наибольшая площадь при заданном периметре (8 видео)

Содержание

Наибольшая площадь при заданном периметре
Урок «Квадрат — прямоугольник наибольшей площади при заданном периметре» (задача Дидона для прямоугольника)
Чем больше периметр, тем больше площадь фигуры? Или как построить дом?
Скачать:
Предварительный просмотр:
🎥 Видео

Видео:Что важнее площадь или периметр?Скачать

Наибольшая площадь при заданном периметре

Слово «изопериметрический» происходит от слов «изос» (по-гречески «равный») и «периметр». Изопериметрическая задача (на плоскости) состоит в нахождении фигуры, имеющей наибольшую площадь среди всех фигур с одним и тем же периметром. Решение изопериметрической задачи является также решением и другой задачи, а именно: найти фигуру наименьшего периметра среди всех равновеликих фигур.

В самом деле, пусть среди фигур, имеющих периметр наибольшая площадь – у фигуры и эта площадь равна Рассмотрим произвольную другую фигуру той же площади. Пусть ее периметр равен Рассмотрим подобную ей фигуру с периметром Площади фигур и относятся так же, как квадраты периметров, то есть как к , поэтому площадь фигуры равна Поскольку ее периметр, по предположению, равен ее площадь меньше, чем у фигуры то есть меньше А значит, откуда Получается, что фигура имеет меньший периметр, чем любая другая равновеликая ей фигура.

Вообще, поскольку у подобных фигур площади пропорциональны квадратам периметров, у всех них одинакова величина 2 , а у фигур разной формы эта величина может отличаться. У фигур, представляющих решение изопериметрической задачи (независимо от размера), величина 2 должна быть наибольшей.
(В дальнейшем будем называть эту величину изопериметрическим частным ).

Заметим, что задача о наименьшей площади фигур с одним и тем же периметром особого смысла не имеет: например, при данном периметре можно делать все меньше и меньше одну из сторон прямоугольника (), другая же его сторона, равная (/2 – ), ограничена сверху величиной /2, а значит, площадь этой фигуры будет не больше /2. Даже если, например, = 1 000 000 км, можно сделать площадь 2 , если положить = 2∙10 –8 мм; если надо получить еще в 1000 раз меньшую площадь, надо и уменьшить в 1000 раз, и т. д. Таким образом, минимальной площади при данном периоде не существует: площадь может сколь угодно мало отличаться от нуля.

наибольшая площадь при заданном периметре

По аналогии с указанной изопериметрической задачей на плоскости можно рассмотреть и пространственную изопериметрическую задачу: какое трехмерное тело среди всех тел той же площади поверхности имеет наибольший объем. Уже древнегреческим математикам был известен ответ в изопериметрической задаче: в плоском случае искомая фигура – это круг (а в пространственном – шар). На эту мысль, наводит, во-первых, непосредственное сравнение площадей некоторых фигур равного периметра (или равной площади поверхности). Посмотрите на зависимость изопериметрического частного от формы плоских фигур.

Во-вторых, некоторые физические соображения также показывают, что ответ в изопериметрической задаче – это круг или шар. Например, капельки воды и мыльные пузыри не случайно имеют форму шара: силы поверхностного натяжения действуют так, чтобы уменьшать площадь поверхности. Характерно также, что кошки, когда холодно, спят, максимально сворачиваясь в клубок: так они уменьшают площадь поверхности тела, поскольку, чем меньше поверхность, тем меньше тепла они расходуют во внешнее пространство.

В третьих, древние греки считали круг наиболее совершенной фигурой (она максимально симметрична, именно такую форму имеют небесные тела и их орбиты). Это соображение увеличивало их уверенность в том, что именно круг, помимо других своих интересных свойств, должен также быть решением изопериметрической задачи.

Но вот геометрически древние греки доказать этого не могли, хотя и пришли к ряду частных, но важных результатов на эту тему, в том числе, в решении разнообразных задач о том, у какой фигуры определенного типа с заданными условиями площадь имеет наибольшее значение. Исследования такого рода имели не только теоретическое, но и практическое значение: при разделе земли в древности иногда совершались махинации, связанные с выдачей кусков большого периметра и маленькой площади; периметр легче измерить, чем площадь, поэтому некоторые доверчивые клиенты судили о величине участка земли по периметру.

Наверное, один из самых простых результатов на тему изопериметрических фигур – теорема о том, что из всех прямоугольников одинакового периметра наибольшую площадь имеет квадрат. В самом деле, пусть периметр всех рассматриваемых прямоугольников равен 4, а у данного прямоугольника две большие стороны равны каждая, а две меньшие, соответственно, каждая. Тогда площадь прямоугольника равна , то есть она не меньше 2 и достигает своего наибольшего значения тогда, когда прямоугольник является квадратом со стороной .

В «Началах» Евклида имеется единственная задача на максимум площади. Требуется в данный треугольник вписать параллелограмм наибольшей площади. Попробуйте экспериментальным путем найти искомый параллелограмм.

Ответ в этой задаче таков: параллелограмм имеет наибольшую площадь, когда точка делит сторону пополам. Евклид доказывает этот результат с помощью подобия треугольников. На первый взгляд кажется, что данная задача не имеет большого отношения к изопериметрическим задачам: в самом деле, периметры рассматриваемых параллелограммов не равны друг другу. Тем не менее, если «сдвинуть» вершину параллельно стороне , то площади параллелограмма и треугольников , и не изменятся (потому что не изменятся их высоты и основания). Задача при этом сводится к такой: в данный прямоугольный треугольник вписать прямоугольник наибольшей площади.

Далее: если пропорционально сжать или растянуть этот прямоугольный треугольник вдоль одного из катетов так, чтобы катеты стали равны, то высоты данных прямоугольника и треугольников изменятся в одном и том же отношении, а задача примет следующий вид: в данный прямоугольный равнобедренный треугольник вписать прямоугольник наибольшей площади.

Это задача вполне изопериметрическая: нетрудно видеть, что все рассматриваемые прямоугольники имеют один и тот же периметр – насколько увеличивается одна сторона, настолько уменьшается другая. Но решение изопериметрической задачи для прямоугольников мы уже знаем, это квадрат, а его вершина делит гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника пополам. Значит, и в исходной задаче вершина искомого параллелограмма делит соответствующую сторону треугольника пополам.

Зенодор (II в. до н. э.) написал целый трактат «Об изопериметрических фигурах». Хотя трактат Зенодора не сохранился, некоторые его результаты дошли до нас в изложении математиков Паппа (III в. н. э.) и Теона (IV в. н. э.), в том числе следующие теоремы:

из двух треугольников с общей стороной и равными периметрами меньше площадь того, которому принадлежит наибольший из четырех углов, прилежащих к этой стороне (отсюда сразу следует, что из всех треугольников равного периметра, имеющих общее основание, площадь максимальна у равнобедренного треугольника);

при одинаковом числе сторон и равных периметрах площадь правильного многоугольника больше, чем неправильного;

из двух правильных многоугольников с равными периметрами больше площадь того, у которого больше сторон.

Таким образом, чем «ближе» многоугольник к кругу, тем, действительно, больше его изопериметрическое частное.

Нельзя не упомянуть об очень древней задаче, известной как задача Дидоны. Согласно древнему мифу, воспроизведенному в поэме Вергилия «Энеида», будущая основательница Карфагена – Дидона (вероятно, IX в. до н. э.) – бежала от преследований своего брата, тирана финикийского города Тир, на корабле с небольшим отрядом преданных ей людей. Они высадились на североафриканском побережье, принесли богатые подарки местному царю и попросили о выделении им участка; царь согласился отдать лишь «столько земли, сколько занимает воловья шкура». Тогда Дидона сделала из шкуры длинный тонкий ремень и огородила им значительную территорию на берегу моря, где и возник город Карфаген. Задачей Дидоны традиционно называется задача о том, какую форму должен иметь этот участок, чтобы занять наибольшую территорию при заданной длине ремня. Рассмотрим эту задачу для случая, когда берег прямолинеен. Пусть ремень имеет длину и опоясывает некую фигуру Ф₁. Отразим ее относительно берега. Тогда ремень и его отражение вместе являются границей (длины 2) новой фигуры Ф₂, составленной из фигуры Ф₁ и ее отражения. Если решение изопериметрической задачи – круг, то площадь Ф₂ (при данном периметре 2) максимальна, когда Ф₂ – круг. Но поскольку площадь Ф₂ ровно в 2 раза больше, чем у Ф₁, площадь Ф₁ тоже максимальна, если Ф₂ – круг, а ремень, соответственно, образует полуокружность.

Видео:Найди площадь, зная периметрСкачать

Урок «Квадрат — прямоугольник наибольшей площади при заданном периметре» (задача Дидона для прямоугольника)

создать условия для наблюдения за площадью прямоугольника с заданным периметром;
формировать диалог при фронтальной и групповой работе
учить размышлять, доказывать, наблюдать.

Этап акта учебной деятельности:

этап решения частных задач

умение использовать обобщённый способ действия при решении частных задач.

Цель: настроить учащихся на урок

У: Встали красиво, настроились на работу. Здравствуйте!

2. Первая частная задача

Цель: повторить название геометрических фигур и их признаки

У: Назовите фигуры, которые нарисованы на доске.

-квадрат,
— овал,
— круг,
— прямоугольник,
— треугольник,
— ломаная линия,
— прямая ,
— отрезок,
— треугольник.

У: Как можно одним словом назвать фигуры 1 и 4?

Д: Прямоугольники или четырёхугольники.

У: Какие ещё фигуры имеют одинаковые названия? Почему?

Д: Фигуры 5 и 9. У них три угла, тир стороны – это треугольники.

У: Эти треугольники одинаковые?

Д: Они разные, т.к. у них разные углы

У: А какие бывают углы?

У: Как проверить прямой угол или тупой?

Д: С помощью угольника (линейка)

У: Можно ли фигуру 5 назвать прямоугольником?

Д: Нет. Углы не все прямые.

Вторая частная задача

Цель: повторить формулы, по которым находят площадь и периметр

У: Посоветуйтесь в группах и найдите периметр и площадь данных фигур.

1 группа: Мы нашли периметр 1,4,5,9 фигур.

1 фигура – это квадрат Р= аx4, S =a x a

4 фигура – это прямоугольник. Р=(а+в)x2, S=a x в

5 и 9 фигуры – это треугольники. Р=а+в+с, S=?

2 группа: Мы нашли периметр, как и группа №1, а площадь по палетке

3 группа: Мы хотим добавить, что фигуры 6,7,8, можно просто измерить,.S=?

4 группа: Мы предлагаем измерить фигуры 2 и 3 верёвочкой (шнурком) и площадь их нашли по палетке.

Третья частная задача

Цель: по заданному периметру построить прямоугольник

Вид работы: Групповая

У: Жили-были Медведь, Волк, Лиса и Заяц. Они жили в одном лесу, но часто ссорились из-за того, что запрещали друг другу заходить на свою территорию. Лев – царь зверей решил, что у каждого из них должен быть свой участок. Собрал их и говорит:

«Уважаемые звери! У меня сейчас нет времени, а вам нужны участки. Поэтому вы сами отмерьте себе участки прямоугольной формы, а чтобы не было обид, я вам раздам верёвочки длиной 16м ( у детей будут верёвочки 16 см), это значит, что у вас участки будут одинакового периметра»

Учащиеся в группах отмеривают участки прямоугольной формы по своим верёвочкам и чертят их на листах А4.

Вид работы: Фронтальная

У: Участки вы отмерили, теперь давайте обсудим на каких 4 остановимся.

(учитель направляет выбор детей на фигуры, которые указаны на рисунке )

У: Медведь выбрал себе участок под номером 1. Волк – 2, Лиса – 3, а Зайцу достался 4 участок.

Но тут Лиса стала переживать, что периметр её участка меньше, чем у Волка.

Что надо сделать, чтобы ей помочь решить этот вопрос?

Д: Надо вычислить периметр этих участков

Медведь: Р=(а+в)x2=(1+7)x2=16см
Волк: Р=(а+в)x2=(2+6)x2=16см
Лиса: Р=(а+в)x2=(3+5)x2=16см
Заяц: Р=аx4=4×4=16см

Д: Все верно, у всех участки с одинаковым периметром. Можно было и не вычислять периметр, ведь у нас у всех верёвочка была одинаковой длины.

У: Молодцы, вы все правильно объяснили!

Четвёртая частная задача

Цель: выяснить, что квадрат –прямоугольник наибольшей площади при заданном периметре.

У: На следующий день Лев пришёл, внимательно рассмотрел участки и похвалил Зайца, пожав ему лапу: « Какой ты молодец! Ты оказался самым хитрым».

Почему Лев назвал Зайца самым хитрым? Обсудите это в своих группах.

1 группа: Может быть, у него самый удобный участок по форме?

2 группа: У нас нет ответа.

3 группа: Мы нашли площадь всех участков

Медведь: S=а x b= 1x 7= 7 кв.см
Волк: S=аx b= 2 x 6= 12 кв.см
Лиса: S=a x b=3 x 5 = 15 кв.см
Заяц: S=a x b=4 x 4 = 16 кв.см

4 группа: Мы тоже нашли площадь всех участков.

У: Вы помните на какой вопрос ищем ответ?

Д: Да. Почему Заяц самый хитрый.

У: Так почему же он самый хитрый?

Д: У всех участков одинаковый периметр, но площадь разная, и у Зайца площадь самая большая.

Вывод и итог урока

У: Какой формы были все участки?

Д: Это прямоугольники, один из них квадрат.

У: Какой периметр у всех этих участков?

Д: Периметр одинаковый

У: Что скажете о их площади?

У: Почему участок Зайца особенный?

Д: У него форма не как у всех – квадрат и площадь самая большая.

У: Какой сделаем вывод?

Д: У всех прямоугольников с одинаковым периметром площади разные, а площадь квадрата самая большая.

У: Действительно! Интересное открытие?

У: Вы довольны своей работой?

Д: Да (объясняют почему)

У: Оцените вашу работу на шкале.

Спасибо за хорошую работу, урок окончен, отдыхайте.

Видео:Максимальная площадь прямоугольника (гениальный подход) #математика #геометрия #площадь #периметрСкачать

Чем больше периметр, тем больше площадь фигуры? Или как построить дом?

Доказать гипотезу: Чем больше периметр, тем больше площадь фигуры.

Видео:Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!Скачать

Скачать:

Вложение	Размер
rabota.docx	308.74 КБ

Видео:Как вычислить периметр #геометрия #задача #треугольник #периметрСкачать

Предварительный просмотр:

МБОУ «Бик-Утеевская основная общеобразовательная школа Буинского района РТ»

«Чем больше периметр, тем больше площадь фигуры? Или как построить дом?»

Авторы: ученицы 5 класса

Руководитель: учитель математики

Салаватуллина Фарида Фидаиловна

Мы очень часто говорим о практическом применении математических знаний в жизни человека. Я считаю, что знания, полученные при изучении математики, должны быть приближены к реальной жизни, чтобы мы знали, зачем необходимы те или иные знания, для решения каких жизненно важных проблем они могут быть полезны.

С древности необходимость заставила человека измерять не только длин, расстояние, но и площадь. В обычной жизни площадью мы называем большое, открытое пространство на улице, покрытое асфальтом. Но оказывается, что площадь можно найти и у крышки стола, и у тетради, и у учебника, и у пола в классе, и у земельного участка.

Для измерения площади у русского народа были свои особые мерки: копна, выть, соха, обжа, коробья, веревка, жеребья. Сейчас мы не используем этих мер площади. От древних землемеров нам досталось только само слово «площадь».

С понятием площади и периметра мы знакомы с начальных классов. В обычной жизни на каждом шагу мы встречаемся с понятием “площадь”. Что такое “площадь”, знает каждый. Каждый понимает смысл слов: площадь комнаты, площадь садового участка. Однажды на уроке математики учительница предложила нам решить задачу Льва Толстого « Как Пахом покупал землю»: Крестьянин Пахом, который мечтал о собственной земле и собрал, наконец, желанную сумму, предстал перед требованием старшины: «Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за 1000р. Но если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои деньги». Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырехугольник периметром Р=40 км. Решив задачу, мы поняли, что из всех прямоугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

Какие свойства у периметра и площади фигур? Как связаны периметры и площади? Какая фигура имеет наибольшую площадь при заданном периметре? А может быть, Пахому выгоднее было бы выкроить себе участок вовсе не прямоугольной, а какой-нибудь другой формы? Оказывается на самом деле окружность из всех замкнутых фигур данной длины (или периметра) ограничивает наибольшую площадь. Каков периметр окружности, и как его вычислить, у нее нет сторон?

Эти вопросы толкнули меня на исследовательскую работу. Я решила исследовать, как можно использовать свойства площади и периметра при строительстве дома.

Идеи моей исследовательской работы, возможно, помогут нам в дальнейшей самостоятельной жизни.

Гипотеза: Из всех прямоугольников с равными периметрами наибольшую площадь имеет квадрат. Из всех замкнутых фигур данной длины окружность ограничивает наибольшую площадь.

Цель исследования: Составить проект дома большей площади при наименьших затратах строительного материала.

Изучить типы жилья у различных народностей;
Опросить своих сверстников и предложить сделать каждому необходимые измерения в своем доме, вычислить периметр и площадь их дома;
Провести математическое исследование получения большей площади дома, не изменяя его периметра.
Найти проект дома, в котором мы хотели бы жить, и спроектировать его так, чтобы он был по площади больше, а расход материала оставался прежним.

Дом — жилище, построенное человеком. Даже животные, насекомые и птицы строят свои дома. У любого жителя и обитателя уголка Земли есть свой дом или домик, свое жилище, своя крепость.
Но дом — это не только то место, где человек ночует или где он жил с детства. Люди пришли к пониманию дома, крова, жилища. Места, где человек чувствует себя в безопасности, защищенным от внешней среды, где он может отдохнуть и набраться сил. Есть такое выражение: «чувствовать себя как дома», то есть «в своей тарелке», уверенно, без страха и волнений.
Издревле считалось важным иметь свой дом, быть хозяином, высоко ценилось умение вести хозяйство, «держать дом» и содержать дом.
Можно сказать, что дом — это пространство, организованное особым образом. Каждый человек, осознанно или бессознательно, организует пространство своего бытия, и во многом от того, как он это делает, и складывается его жизнь.

Но человек живёт повсюду – на снежном севере, и на знойном юге, и в степных просторах, и среди лесов, и в горах, и в пустыне и даже на воде. Как же люди на разных уголках земного шара устраивают свое жилье? Ответ на этот вопрос я нашла в Интернет-ресурсах на сайте «Национальная архитектура (типы жилья)». Этот термин применяется для обозначения методов строительства, использующие местные (легко доступные) ресурсы и традиции для удовлетворения местных нужд и условий проживания. Национальная архитектура стремится развиваться со временем в соответствии с происходящими изменениями в окружающей среде, культуре народа и историческом контексте. Знания о строительстве национального жилья часто передаются через местные традиции, и в основном они основываются на знаниях, добытых путем проб и ошибок на протяжении многих поколений, что отличается от геометрических и физических расчетов,

лежащих в основе расчетов архитекторов.

Среди многих типов жилья я обнаружила множество круглых форм и хочу привести их в виде примера:

1. Рондавель распространён в странах юга Африки, в том числе, таких как ЮАР, Лесото Рондавель обычно имеет круглую форму (отсюда и название) и традиционно изготавливается из материалов, доступных в природе. Стены обычно делаются из камня. Основные элементы крыши рондавеля — балки из круглого лесоматериала или шесты из веток деревьев, обрезанных по длине.

2. Пальясо , или пальоса — традиционный тип жилища в Галисии. Распространён в округе Сьерра-де-лос-Анкарес. В качестве жилищ пальясо использовались до 1970-х годов. Высотой 4-5 метров, круглого или овального сечения, диаметром от 10 до 20 метров, с конической крышей из соломы на деревянном каркасе. Стены пальясо сооружались из камня. В нем имелась только одна входная дверь, окна отсутствовали вообще или имелось

лишь небольшое оконное отверстие.

3. Яра́нга — шатер в виде усеченного конуса высотой в центре от 3,5 до 4,7 метра и диаметром от 5,7 до 7-8 метров. Используется как переносное жилище некоторых кочевых народов (чукчей, коряков, эвенов, юкагиров) северо-востока Сибири. Каркас собирают из лёгких деревянных шестов в форме слегка наклонённой внутрь стенки и конуса или купола над ней. Сверху каркас покрывают оленьими или моржовыми шкурами. В среднем на ярангу обычного размера требуется потратить около 50 шкур. Внутри яранга делится на жилое отапливаемое помещение — иоронгу — и кладовую, разделённые вертикальным пологом, образующим в плане квадрат.

Существует формула вычисления периметра (длины) окружности. Но для этого сначала надлежит вспомнить, что такое окружность, и какие она имеет элементы. А окружность – есть кривая, которая не только плоская и замкнутая, но еще и все ее точки расположены на одинаковом удалении от заданной точки, зовущейся центром.

Отрезок прямой, соединяющий этот центр с какой-либо точкой окружности, есть радиус (R).

Отрезок прямой, проходящий через центр окружности и соединяющий ее две точки, наиболее удаленные друг от друга, есть диаметр (D). Диаметр равен двум радиусам.

Отношение длины окружности к ее диаметру одинаково для любой окружности и равно постоянному числу 3, 14. Число это обозначается буквой π (пи).

Вот теперь можно и дать формулу вычисления периметра (длины) окружности: P = 2πR или π D.

Цели исследования: Выявить зависимость между периметрами фигур и их площадью. Какая фигура имеет наибольшую площадь при заданном периметре?

Гипотеза: Чем больше периметр, тем больше площадь фигуры. Что нужно выяснить:

Мы знаем: Периметр – сумма длин всех сторон многоугольника Периметр – сумма длин всех сторон многоугольника Площадь фигуры – величина, показывающая сколько места занимает фигура на плоскости. Площадь фигуры – величина, показывающая сколько места занимает фигура на плоскости. Свойства: Свойства: 1. Равные фигуры имеют равные площади; 2. Площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей; 3. За единицу площади принимают площадь квадрата со стороной, равному единичному отрезку

Если у одой фигуры больше периметр, чем у второй, то ее площадь больше, меньше или по-разному? Заметили, если периметр одного прямоугольника больше, то и его площадь больше чем у других. Но если периметры равны то площади могут быть различны От чего зависят площади прямоугольников, если их периметры равны? Сначала мы рассмотрим прямоугольники Сначала мы рассмотрим прямоугольники

Какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь? Решение этой задачи было известно ещё математикам Древней Греции. Оно изложено в книге Евклида, где доказывается, что, если рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то площадь квадрата будет больше.

Из рисунка видно, что наибольшая площадь у прямоугольников, у которых длина равна ширине, то есть у квадратов Значит, из всех прямоугольников с равными периметрами наибольшую площадь имеет квадрат

Как Пахом покупал землю (Задача Льва Толстого) — А цена какая будет?- говорит Пахом. — Цена у нас одна: 1000 руб.за день. Не понял Пахом. — Какая же это мера – день? Сколько в ней десятин будет? Мы этого, — говорит, не умеем считать. А мы за день продаем: сколько обойдешь в день, то и твое, а цена дню 100 рублей… Какой хочешь круг забирай, только до захода солнца приходи к тому месту, с какого взялся. Что обойдешь все твое Какой путь должен выбрать Пахом, чтобы получить большую площадь земли?

Теперь мы знаем, что Пахом должен идти по сторонам квадрата Теперь мы знаем, что Пахом должен идти по сторонам квадрата А какие еще есть единицы площади? А какие еще есть единицы площади?

Для измерения земли используются следующие единицы: Метрические единицы площади 100 квадратных метров – а (ар): 100 квадратных метров – а (ар): 1 ар = 100 м2; 1 ар = 100 м2; Квадрат со стороной 100 метров – Квадрат со стороной 100 метров – га (гектар): 1 га = 10000 м2; 1 га = 10000 м2; Неметрические единицы площади

А если фигура не является прямоугольником? У равновеликих фигур чем больше вершин, тем больше периметр.

Вывод 1. Если периметр одного прямоугольника больше, то и его площадь больше, чем у других. 2. Ели периметры прямоугольников равны, то площади могут быть различны. 3. Из всех прямоугольников с равными периметрами наибольшую площадь имеет квадрат. 4. У равновеликих фигур чем больше вершин, тем больше периметр.