нахождение площади фигуры по интегралу (7 видео)

Содержание

1.8. Как вычислить площадь с помощью определённого интеграла?
Решение задач по математике онлайн
Калькулятор онлайн. Вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции).
Немного теории.
Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Понятие определенного интеграла
Формула Ньютона — Лейбница
Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла
Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y)
Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)
Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)
Итоги
📺 Видео

Видео:вычисление площадей фигур с помощью интеграловСкачать

1.8. Как вычислить площадь с помощью определённого интеграла?

Задачка это школьная, но, несмотря на то, почти 100% встретится в вашем курсе высшей математики. Поэтому со всей серьёзностью отнесёмся ко ВСЕМ примерам, и первое, что нужно сделать – это ознакомиться с Приложением Графики функций, чтобы освежить в памяти технику построения элементарных графиков. …Есть? Отлично! Типовая формулировка задания звучит так:

Пример 10
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

И первый важнейший этап решения состоит как раз в построении чертежа. При этом я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций.

В нашей задаче: прямая определяет ось , прямые параллельны оси и парабола симметрична относительно оси , для неё находим несколько опорных точек:

Искомую фигуру желательно штриховать:

Второй этап состоит в том, чтобы правильно составить и правильно вычислить определённый интеграл. На отрезке график функции расположен над осью , поэтому искомая площадь:

Ответ:

После того, как задание выполнено, полезно взглянуть на чертёж
и прикинуть, реалистичный ли получился ответ.

И мы «на глазок» подсчитываем количество заштрихованных клеточек – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получилось, скажем, 20 квадратных единиц, то, очевидно, где-то допущена ошибка – в построенную фигуру 20 клеток явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 11
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и осью

Быстренько разминаемся (обязательно!) и рассматриваем «зеркальную» ситуацию – когда криволинейная трапеция расположена под осью :

Пример 12
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями.

Решение: найдём несколько опорных точек для построения экспоненты:

и выполним чертёж, получая фигуру площадью около двух клеток:

Если криволинейная трапеция расположена не выше оси , то её площадь можно найти по формуле: .
В данном случае:

Ответ: – ну что же, очень и очень похоже на правду.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому от простейших школьных задачек мы переходим к более содержательным примерам:

Пример 13
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение: сначала нужно выполнить чертеж, при этом нас особо интересуют точки пересечения параболы и прямой , поскольку здесь будут находиться пределы интегрирования. Найти их можно двумя способами. Первый способ – аналитический. Составим и решим уравнение:

таким образом:

Достоинство аналитического способа состоит в его точности, а недостаток – в длительности (и в этом примере нам ещё повезло). Поэтому во многих задачах бывает выгоднее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой».

С прямой всё понятно, а вот для построения параболы удобно найти её вершину, для этого возьмём производную и приравняем её к нулю:
– именно в этой точке и будет находиться вершина. И, в силу симметрии параболы, остальные опорные точки найдём по принципу «влево-вправо»:

Выполним чертеж:

А теперь рабочая формула: если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и отрезками прямых , можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а, грубо говоря, важно, какой из двух графиков ВЫШЕ.

В нашем примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из нужно вычесть

Завершение решения может выглядеть так:

На отрезке : , по соответствующей формуле:

Ответ:

Следует отметить, что простые формулы, рассмотренные в начале параграфа – это частные случаи формулы . Поскольку ось задаётся уравнением , то одна из функций будет нулевой, и в зависимости от того, выше или ниже лежит криволинейная трапеция, мы получим формулу либо

А сейчас пара типовых задач для самостоятельного решения

Пример 14
Найти площадь фигур, ограниченных линиями:

а) , .

б) , ,

Решение с чертежами и краткими комментариями в конце книги

В ходе решения рассматриваемой задачи иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, интеграл решён правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры, именно так несколько раз ошибался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:

Пример 15
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: выполним бесхитростный чертёж,

хитрость которого состоит в том, что искомая площадь заштрихована зелёным цветом (внимательно смотрИте на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована серым цветом! Особое коварство состоит в том, что прямую можно недочертить до оси , и тогда мы вовсе не увидим нужную фигуру.

Этот пример ещё и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определённых интегралов. Действительно:

1) на отрезке над осью расположен график прямой ;
2) на отрезке над осью расположен график гиперболы .

Совершенно понятно, что площади можно (и нужно) сложить:

Ответ:

И познавательный пример для самостоятельного решения:

Пример 16
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , и координатными осями.

Итак, систематизируем важные моменты этой задачи:

На первом шаге ВНИМАТЕЛЬНО изучаем условие – КАКИЕ функции нам даны? Ошибки бывают даже здесь, в частности, арккотангенс зачастую принимают за арктангенс. Это, кстати, относится и к другим заданием, где встречается арккотангенс.

Далее следует ПРАВИЛЬНО выполнить чертёж. Сначала лучше построить прямые (если они есть), затем графики других функций (если они есть J). Последние во многих случаях выгоднее строить поточечно – найти несколько опорных точек и аккуратно соединить их линией.

Но здесь могут подстерегать следующие трудности. Во-первых, из чертежа не всегда понятны пределы интегрирования – так бывает, когда они дробные. На mathprofi.ru в соответствующей статье я рассмотрел пример с параболой и прямой , где из чертежа не понятна одна из точек их пересечения. В таких случаях следует использовать аналитический метод, составляем уравнение:

и находим его корни:
– нижний предел интегрирования, – верхний предел.

Во-вторых, не всегда понятен «внешний вид» линии, и функция (Пример 16) – яркий тому пример. Я и сам «с ходу» не представляю, как выглядит график этой функции. Здесь можно воспользоваться специализированными программами или онлайн сервисами (а-ля «построить график онлайн»), а в экстремальной ситуации найти побольше опорных точек (штук 10-15), чтобы поточнее провести «неизвестную» кривую.
Ну и, конечно, я призываю вас повышать свои знания и навыки в графиках, в частности, приведу прямую ссылку на особо полезную статью:
http://mathprofi.ru/kak_postroit_grafik_funkcii_s_pomoshyu_preobrazovanii.html

После того, как чертёж построен, анализируем полученную фигуру – ещё раз окидываем взглядом предложенные функции и перепроверяем, ТА ЛИ это фигура. Затем анализируем её форму и расположение, бывает, что площадь достаточно сложнА и тогда её следует разделить на две, а то и на три части.

Составляем определённый интеграл или несколько интегралов по формуле , все основные вариации мы разобрали выше.

Решаем определённый интеграл (ы). При этом он может оказаться достаточно сложным, и тогда применяем поэтапный алгоритм: 1) находим первообразную и проверяем её дифференцированием, 2) используем формулу Ньютона-Лейбница.

Результат полезно проверить с помощью программного обеспечения / онлайн сервисов или просто «прикинуть» по чертежу по клеточкам. Но и то, и другое не всегда осуществимо, поэтому крайне внимательно относимся к каждому этапу решения!

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Видео:Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Видео:Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Пример 1.Скачать

Калькулятор онлайн.
Вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции).

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции). Программа для вычисления определенного интеграла (площади криволинейной трапеции) не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс интегрирования функции.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите подинтегральную функцию и пределы интегрирования Для данной задачи возможно получить подробное решение.
Узнайте как это сделать.

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.Скачать

Немного теории.

Видео:Интегралы №12 Вычисление площадейСкачать

Определенный интеграл.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Задача 1 (о вычислении площади криволинейной трапеции).

В декартовой прямоугольной системе координат xOy дана фигура (см. рисунок), ограниченная осью х, прямыми х = a, х = b (a ( S_n = f(x_0)Delta x_0 + dots + f(x_k)Delta x_k + dots + f(x_)Delta x_ )
Здесь ради единообразия обозначений мы считаем, что a = х₀, b = x_n;
( Delta x_0 ) — длина отрезка [x₀; x₁],
( Delta x_1 ) — длина отрезка [x₁; x₂], и т.д;
при этом, как мы условились выше, ( Delta x_0 = dots = Delta x_ )

Итак, ( S approx S_n ), причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n.
По определению полагают, что искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности (S_n):
$$ S = lim_ S_n $$

Задача 2 (о перемещении точки)
По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v = v(t). Найти перемещение точки за промежуток времени [а; b].
Решение. Если бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: s = vt, т.е. s = v(b-а). Для неравномерного движения приходится использовать те же идеи, на которых было основано решение предыдущей задачи.
1) Разделим промежуток времени [а; b] на n равных частей.
2) Рассмотрим промежуток времени [t_k; t_k+1] и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, такой, как в момент времени t_k. Итак, мы считаем, что v = v(t_k).
3) Найдем приближенное значение перемещения точки за промежуток времени [t_k; t_k+1], это приближенное значение обозначим s_k
( s_k = v(t_k) Delta t_k )
4) Найдем приближенное значение перемещения s:
( s approx S_n ) где
( S_n = s_0 + dots + s_ = v(t_0)Delta t_0 + dots + v(t_) Delta t_ )
5) Искомое перемещение равно пределу последовательности (S_n):
$$ s = lim_ S_n $$

Подведем итоги. Решения различных задач свелись к одной и той же математической модели. Многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, данную математическую модель надо специально изучить.

Видео:Определённый интеграл. ПлощадьСкачать

Понятие определенного интеграла

Дадим математическое описание той модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для функции y = f(x), непрерывной (но необязательно неотрицательной, как это предполагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [а; b]:
1) разбиваем отрезок [а; b] на n равных частей;
2) составляем сумму $$ S_n = f(x_0)Delta x_0 + f(x_1)Delta x_1 + dots + f(x_)Delta x_ $$
3) вычисляем $$ lim_ S_n $$

В курсе математического анализа доказано, что этот предел в случае непрерывной (или кусочно-непрерывной) функции существует. Его называют определенным интегралом от функции y = f(x) по отрезку [а; b] и обозначают так:
( intlimits_a^b f(x) dx )
Числа a и b называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним).

Вернемся к рассмотренным выше задачам. Определение площади, данное в задаче 1, теперь можно переписать следующим образом:
( S = intlimits_a^b f(x) dx )
здесь S — площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке выше. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Определение перемещения s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = a до t = b, данное в задаче 2, можно переписать так:
( S = intlimits_a^b v(t) dt )

Видео:Применение определенного интеграла при решении геометр. и физических задач. Практ. часть. 11 класс.Скачать

Формула Ньютона — Лейбница

Для начала ответим на вопрос: какая связь между определенным интегралом и первообразной?

Ответ можно найти в задаче 2. С одной стороны, перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = а до t = b и вычисляется по формуле
( S = intlimits_a^b v(t) dt )

С другой стороны, координата движущейся точки есть первообразная для скорости — обозначим ее s(t); значит, перемещение s выражается формулой s = s(b) — s(a). В итоге получаем:
( S = intlimits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) )
где s(t) — первообразная для v(t).

В курсе математического анализа доказана следующая теорема.
Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то справедлива формула
( S = intlimits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) )
где F(x) — первообразная для f(x).

Приведенную формулу обычно называют формулой Ньютона — Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643—1727) и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646— 1716), получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно.

На практике вместо записи F(b) — F(a) используют запись ( left. F(x)right|_a^b ) (ее называют иногда двойной подстановкой) и, соответственно, переписывают формулу Ньютона — Лейбница в таком виде:
( S = intlimits_a^b f(x) dx = left. F(x)right|_a^b )

Вычисляя определенный интеграл, сначала находят первообразную, а затем осуществляют двойную подстановку.

Опираясь на формулу Ньютона — Лейбница, можно получить два свойства определенного интеграла.

Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:
( intlimits_a^b (f(x) + g(x))dx = intlimits_a^b f(x)dx + intlimits_a^b g(x)dx )

Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
( intlimits_a^b kf(x)dx = k intlimits_a^b f(x)dx )

Видео:Вычисление площадей и объемов с помощью определённого интегралаСкачать

Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций, но и плоских фигур более сложного вида, например такого, который представлен на рисунке. Фигура Р ограничена прямыми х = а, х = b и графиками непрерывных функций y = f(x), y = g(x), причем на отрезке [а; b] выполняется неравенство ( g(x) leqslant f(x) ). Чтобы вычислить площадь S такой фигуры, будем действовать следующим образом:
( S = S_ = S_ — S_ = intlimits_a^b f(x) dx — intlimits_a^b g(x) dx = )
( = intlimits_a^b (f(x)-g(x))dx )

Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и графиками функций y = f(x), y = g(x), непрерывных на отрезке [a; b] и таких, что для любого x из отрезка [а; b] выполняется неравенство ( g(x) leqslant f(x) ), вычисляется по формуле
( S = intlimits_a^b (f(x)-g(x))dx )

Видео:Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 1.Скачать

Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y)

В предыдущем разделе, посвященном разбору геометрического смысла определенного интеграла, мы получили ряд формул для вычисления площади криволинейной трапеции:

S ( G ) = ∫ a b f ( x ) d x для непрерывной и неотрицательной функции y = f ( x ) на отрезке [ a ; b ] ,

S ( G ) = — ∫ a b f ( x ) d x для непрерывной и неположительной функции y = f ( x ) на отрезке [ a ; b ] .

Эти формулы применимы для решения относительно простых задач. На деле же нам чаще придется работать с более сложными фигурами. В связи с этим, данный раздел мы посвятим разбору алгоритмов вычисления площади фигур, которые ограничены функциями в явном виде, т.е. как y = f ( x ) или x = g ( y ) .

Видео:Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Пусть функции y = f 1 ( x ) и y = f 2 ( x ) определены и непрерывны на отрезке [ a ; b ] , причем f 1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) для любого значения x из [ a ; b ] . Тогда формула для вычисления площади фигуры G , ограниченной линиями x = a , x = b , y = f 1 ( x ) и y = f 2 ( x ) будет иметь вид S ( G ) = ∫ a b f 2 ( x ) — f 1 ( x ) d x .

Похожая формула будет применима для площади фигуры, ограниченной линиями y = c , y = d , x = g 1 ( y ) и x = g 2 ( y ) : S ( G ) = ∫ c d ( g 2 ( y ) — g 1 ( y ) d y .

Разберем три случая, для которых формула будет справедлива.

В первом случае, учитывая свойство аддитивности площади, сумма площадей исходной фигуры G и криволинейной трапеции G 1 равна площади фигуры G 2 . Это значит, что

Поэтому, S ( G ) = S ( G 2 ) — S ( G 1 ) = ∫ a b f 2 ( x ) d x — ∫ a b f 1 ( x ) d x = ∫ a b ( f 2 ( x ) — f 1 ( x ) ) d x .

Выполнить последний переход мы можем с использованием третьего свойства определенного интеграла.

Во втором случае справедливо равенство: S ( G ) = S ( G 2 ) + S ( G 1 ) = ∫ a b f 2 ( x ) d x + — ∫ a b f 1 ( x ) d x = ∫ a b ( f 2 ( x ) — f 1 ( x ) ) d x

Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Если обе функции неположительные, получаем: S ( G ) = S ( G 2 ) — S ( G 1 ) = — ∫ a b f 2 ( x ) d x — — ∫ a b f 1 ( x ) d x = ∫ a b ( f 2 ( x ) — f 1 ( x ) ) d x . Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Перейдем к рассмотрению общего случая, когда y = f 1 ( x ) и y = f 2 ( x ) пересекают ось O x .

Точки пересечения мы обозначим как x i , i = 1 , 2 , . . . , n — 1 . Эти точки разбивают отрезок [ a ; b ] на n частей x i — 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , где α = x 0 x 1 x 2 . . . x n — 1 x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S ( G i ) = ∫ x i — 1 x i ( f 2 ( x ) — f 1 ( x ) ) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

S ( G ) = ∑ i = 1 n S ( G i ) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 ( x ) — f 1 ( x ) ) d x = = ∫ x 0 x n ( f 2 ( x ) — f ( x ) ) d x = ∫ a b f 2 ( x ) — f 1 ( x ) d x

Последний переход мы можем осуществить с использованием пятого свойства определенного интеграла.

Проиллюстрируем на графике общий случай.

Формулу S ( G ) = ∫ a b f 2 ( x ) — f 1 ( x ) d x можно считать доказанной.

А теперь перейдем к разбору примеров вычисления площади фигур, которые ограничены линиями y = f ( x ) и x = g ( y ) .

Видео:Интеграл для нахождения площади фигуры ч1Скачать

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Рассмотрение любого из примеров мы будем начинать с построения графика. Изображение позволит нам представлять сложные фигуры как объединения более простых фигур. Если построение графиков и фигур на них вызывает у вас затруднения, можете изучить раздел об основных элементарных функциях, геометрическом преобразовании графиков функций, а также построению графиков во время исследования функции.

Необходимо определить площадь фигуры, которая ограничена параболой y = — x 2 + 6 x — 5 и прямыми линиями y = — 1 3 x — 1 2 , x = 1 , x = 4 .

Решение

Изобразим линии на графике в декартовой системе координат.

На отрезке [ 1 ; 4 ] график параболы y = — x 2 + 6 x — 5 расположен выше прямой y = — 1 3 x — 1 2 . В связи с этим, для получения ответа используем формулу, полученную ранее, а также способ вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

S ( G ) = ∫ 1 4 — x 2 + 6 x — 5 — — 1 3 x — 1 2 d x = = ∫ 1 4 — x 2 + 19 3 x — 9 2 d x = — 1 3 x 3 + 19 6 x 2 — 9 2 x 1 4 = = — 1 3 · 4 3 + 19 6 · 4 2 — 9 2 · 4 — — 1 3 · 1 3 + 19 6 · 1 2 — 9 2 · 1 = = — 64 3 + 152 3 — 18 + 1 3 — 19 6 + 9 2 = 13

Ответ: S ( G ) = 13

Рассмотрим более сложный пример.

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y = x + 2 , y = x , x = 7 .

Решение

В данном случае мы имеем только одну прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс. Это x = 7 . Это требует от нас найти второй предел интегрирования самостоятельно.

Построим график и нанесем на него линии, данные в условии задачи.

Имея график перед глазами, мы легко можем определить, что нижним пределом интегрирования будет абсцисса точки пересечения графика прямой y = x и полу параболы y = x + 2 . Для нахождения абсциссы используем равенства:

y = x + 2 О Д З : x ≥ — 2 x 2 = x + 2 2 x 2 — x — 2 = 0 D = ( — 1 ) 2 — 4 · 1 · ( — 2 ) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ О Д З x 2 = 1 — 9 2 = — 1 ∉ О Д З

Получается, что абсциссой точки пересечения является x = 2 .

Обращаем ваше внимание на тот факт, что в общем примере на чертеже линии y = x + 2 , y = x пересекаются в точке ( 2 ; 2 ) , поэтому такие подробные вычисления могут показаться излишними. Мы привели здесь такое подробное решение только потому, что в более сложных случаях решение может быть не таким очевидным. Это значит, что координаты пересечения линий лучше всегда вычислять аналитически.

На интервале [ 2 ; 7 ] график функции y = x расположен выше графика функции y = x + 2 . Применим формулу для вычисления площади:

S ( G ) = ∫ 2 7 ( x — x + 2 ) d x = x 2 2 — 2 3 · ( x + 2 ) 3 2 2 7 = = 7 2 2 — 2 3 · ( 7 + 2 ) 3 2 — 2 2 2 — 2 3 · 2 + 2 3 2 = = 49 2 — 18 — 2 + 16 3 = 59 6

Ответ: S ( G ) = 59 6

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена графиками функций y = 1 x и y = — x 2 + 4 x — 2 .

Решение

Нанесем линии на график.

Определимся с пределами интегрирования. Для этого определим координаты точек пересечения линий, приравняв выражения 1 x и — x 2 + 4 x — 2 . При условии, что x не равно нулю, равенство 1 x = — x 2 + 4 x — 2 становится эквивалентным уравнению третьей степени — x 3 + 4 x 2 — 2 x — 1 = 0 с целыми коэффициентами. Освежить в памяти алгоритм по решению таких уравнений мы можете, обратившись к разделу «Решение кубических уравнений».

Корнем этого уравнения является х = 1 : — 1 3 + 4 · 1 2 — 2 · 1 — 1 = 0 .

Разделив выражение — x 3 + 4 x 2 — 2 x — 1 на двучлен x — 1 , получаем: — x 3 + 4 x 2 — 2 x — 1 ⇔ — ( x — 1 ) ( x 2 — 3 x — 1 ) = 0

Оставшиеся корни мы можем найти из уравнения x 2 — 3 x — 1 = 0 :

x 2 — 3 x — 1 = 0 D = ( — 3 ) 2 — 4 · 1 · ( — 1 ) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3 ; x 2 = 3 — 13 2 ≈ — 0 . 3

Мы нашли интервал x ∈ 1 ; 3 + 13 2 , на котором фигура G заключена выше синей и ниже красной линии. Это помогает нам определить площадь фигуры:

S ( G ) = ∫ 1 3 + 13 2 — x 2 + 4 x — 2 — 1 x d x = — x 3 3 + 2 x 2 — 2 x — ln x 1 3 + 13 2 = = — 3 + 13 2 3 3 + 2 · 3 + 13 2 2 — 2 · 3 + 13 2 — ln 3 + 13 2 — — — 1 3 3 + 2 · 1 2 — 2 · 1 — ln 1 = 7 + 13 3 — ln 3 + 13 2

Ответ: S ( G ) = 7 + 13 3 — ln 3 + 13 2

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривыми y = x 3 , y = — log 2 x + 1 и осью абсцисс.

Решение

Нанесем все линии на график. Мы можем получить график функции y = — log 2 x + 1 из графика y = log 2 x , если расположим его симметрично относительно оси абсцисс и поднимем на одну единицу вверх. Уравнение оси абсцисс у = 0 .

Обозначим точки пересечения линий.

Как видно из рисунка, графики функций y = x 3 и y = 0 пересекаются в точке ( 0 ; 0 ) . Так получается потому, что х = 0 является единственным действительным корнем уравнения x 3 = 0 .

x = 2 является единственным корнем уравнения — log 2 x + 1 = 0 , поэтому графики функций y = — log 2 x + 1 и y = 0 пересекаются в точке ( 2 ; 0 ) .

x = 1 является единственным корнем уравнения x 3 = — log 2 x + 1 . В связи с этим графики функций y = x 3 и y = — log 2 x + 1 пересекаются в точке ( 1 ; 1 ) . Последнее утверждение может быть неочевидным, но уравнение x 3 = — log 2 x + 1 не может иметь более одного корня, так как функция y = x 3 является строго возрастающей, а функция y = — log 2 x + 1 строго убывающей.

Дальнейшее решение предполагает несколько вариантов.

Вариант №1

Фигуру G мы можем представить как сумму двух криволинейных трапеций, расположенных выше оси абсцисс, первая из которых располагается ниже средней линии на отрезке x ∈ 0 ; 1 , а вторая ниже красной линии на отрезке x ∈ 1 ; 2 . Это значит, что площадь будет равна S ( G ) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 ( — log 2 x + 1 ) d x .

Вариант №2

Фигуру G можно представить как разность двух фигур, первая из которых расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке x ∈ 0 ; 2 , а вторая между красной и синей линиями на отрезке x ∈ 1 ; 2 . Это позволяет нам найти площадь следующим образом:

S ( G ) = ∫ 0 2 x 3 d x — ∫ 1 2 x 3 — ( — log 2 x + 1 ) d x

В этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида S ( G ) = ∫ c d ( g 2 ( y ) — g 1 ( y ) ) d y . Фактически, линии, которые ограничивают фигуру, можно представить в виде функций от аргумента y .

Разрешим уравнения y = x 3 и — log 2 x + 1 относительно x :

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = — log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 — y ⇒ x = 2 1 — y

Получим искомую площадь:

S ( G ) = ∫ 0 1 ( 2 1 — y — y 3 ) d y = — 2 1 — y ln 2 — y 4 4 0 1 = = — 2 1 — 1 ln 2 — 1 4 4 — — 2 1 — 0 ln 2 — 0 4 4 = — 1 ln 2 — 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 — 1 4

Ответ: S ( G ) = 1 ln 2 — 1 4

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y = x , y = 2 3 x — 3 , y = — 1 2 x + 4 .

Решение

Красной линией нанесем на график линию, заданную функцией y = x . Синим цветом нанесем линию y = — 1 2 x + 4 , черным цветом обозначим линию y = 2 3 x — 3 .

Отметим точки пересечения.

Найдем точки пересечения графиков функций y = x и y = — 1 2 x + 4 :

x = — 1 2 x + 4 О Д З : x ≥ 0 x = — 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 — 4 x + 16 ⇔ x 2 — 20 x + 64 = 0 D = ( — 20 ) 2 — 4 · 1 · 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 — 144 2 = 4 П р о в е р к а : x 1 = 16 = 4 , — 1 2 x 1 + 4 = — 1 2 · 16 + 4 = — 4 ⇒ x 1 = 16 н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я x 2 = 4 = 2 , — 1 2 x 2 + 4 = — 1 2 · 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н и н и я ⇒ ( 4 ; 2 ) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = x и y = — 1 2 x + 4

Найдем точку пересечения графиков функций y = x и y = 2 3 x — 3 :

x = 2 3 x — 3 О Д З : x ≥ 0 x = 2 3 x — 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 — 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 — 45 x + 81 = 0 D = ( — 45 ) 2 — 4 · 4 · 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9 , x 2 45 — 729 8 = 9 4 П р о в е р к а : x 1 = 9 = 3 , 2 3 x 1 — 3 = 2 3 · 9 — 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я ⇒ ( 9 ; 3 ) т о ч к а п е р е с е ч а н и я y = x и y = 2 3 x — 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 — 3 = 2 3 · 9 4 — 3 = — 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я

Найдем точку пересечения линий y = — 1 2 x + 4 и y = 2 3 x — 3 :

— 1 2 x + 4 = 2 3 x — 3 ⇔ — 3 x + 24 = 4 x — 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 — 1 2 · 6 + 4 = 2 3 · 6 — 3 = 1 ⇒ ( 6 ; 1 ) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = — 1 2 x + 4 и y = 2 3 x — 3

Дальше мы можем продолжить вычисления двумя способами.

Способ №1

Представим площадь искомой фигуры как сумму площадей отдельных фигур.

Тогда площадь фигуры равна:

S ( G ) = ∫ 4 6 x — — 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x — 2 3 x — 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 — 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 — x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 · 6 3 2 + 6 2 4 — 4 · 6 — 2 3 · 4 3 2 + 4 2 4 — 4 · 4 + + 2 3 · 9 3 2 — 9 2 3 + 3 · 9 — 2 3 · 6 3 2 — 6 2 3 + 3 · 6 = = — 25 3 + 4 6 + — 4 6 + 12 = 11 3

Способ №2

Площадь исходной фигуры можно представить как сумму двух других фигур.

Тогда решим уравнение линии относительно x , а только после этого применим формулу вычисления площади фигуры.

y = x ⇒ x = y 2 к р а с н а я л и н и я y = 2 3 x — 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 ч е р н а я л и н и я y = — 1 2 x + 4 ⇒ x = — 2 y + 8 с и н я я л и н и я

Таким образом, площадь равна:

S ( G ) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 — — 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 — y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y — 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 — y 2 d y = = 7 4 y 2 — 7 4 y 1 2 + — y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 · 2 2 — 7 4 · 2 — 7 4 · 1 2 — 7 4 · 1 + + — 3 3 3 + 3 · 3 2 4 + 9 2 · 3 — — 2 3 3 + 3 · 2 2 4 + 9 2 · 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Как видите, значения совпадают.

Ответ: S ( G ) = 11 3

Видео:Определённый интеграл, нахождение площади фигурыСкачать

Итоги

Для нахождения площади фигуры, которая ограничена заданными линиями нам необходимо построить линии на плоскости, найти точки их пересечения, применить формулу для нахождения площади. В данном разделе мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся варианты задач.