- Теория и практика по треугольникам (Часть Ⅱ)
- Площадь произвольного треугольника
- Тригонометрия в прямоугольных треугольниках
- Теорема синусов и теорема косинусов
- Что нужно знать:
- Площадь треугольника через синус
- Определение
- Введение
- Теорема
- Формула
- Пример
- Доказательство
- Заключение
- Формулы (тождества) синус, косинус, тангенс, котангенс тройного угла
- 1. Площадь разностороннего треугольника
- Калькулятор для расчета площади треугольника
- 2. Площадь треугольника с тупым углом
- Формула площади круга, диаметр
- 📹 Видео
Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать
Теория и практика по треугольникам (Часть Ⅱ)
Площадь треугольников.
Тригонометрия в прямоугольных треугольниках.
Что такое синус/косинус.
Таблицы Брадиса. Как пользоваться.
Теорема синусов и косинусов.
Геометрия — это искусство хорошо рассуждать на плохо выполненных чертежах.
С основными свойствами разобрались, теперь рассмотрим формулы и их приминение.
Площадь произвольного треугольника
Нет, это не кривая пентаграмма, нужны на этом рисунке только обозначения. Рассмотрим формулы школьной программы.
Высоту умножаем на ту сторону, на которую приходит высота:
В эту формулу подставляем угол между сторонами a и b:
Удобно использовать эту формулу, когда известны все стороны треугольника, p — полупериметр (половина суммы длин всех сторон):
Данная формула отлично помогает найти радиус вписанной окружности для любого треугольника, если известна площадь:
А эта формула помогает найти радиус описанной окружности для любого треугольника:
А зачем такое количество формул? К каждой задаче будут предоставлять разное дано, удобно знать и применять все формулы, чтобы максимально быстро решать задачи.
Полезные формулы для прямоугольного и равностороннего треугольника:
В данном случае получается, что один катет «b» — высота треугольника, а катет «а» — основание.
Эту формулу можно вывести большим количеством способов, самый простой через формулу №2
Задача №1. Дано на рисунке:
Оттолкнемся от вопроса: нужно найти площадь. Помимо 5 формул для произвольного треугольника, нам подойдет формула нахождения площади через полупроизведение катетов.
Вариантов здесь много (можно через т. Пифагора), но самый быстрый — найти ∠А = 180°− 90° − 60° = 30°, тогда площадь найдем по (2) формуле: S = ½absinα
Ответ: 60
Задача №2. Дано на рисунке:
Снова оттолкнемся от вопроса: нужно найти площадь. Дан обычный треугольник, значит, наш выбор ограничен первыми 5−ью формулами. В первой нужна высота, во второй угол, а в третьей полупериметр, но мы же знаем все стороны! Для начала найдем периметр и полупериметр:
Теперь можно подставить все числа в формулу площади:
Главное — правильно определиться с формулой.
Задача №3. Дано на рисунке:
В ΔABH: ∠A = 180°− 90° − 45° = 45°, значит, ∠A = ∠B => BH = AH = 12.
Тогда площадь можно найти по формуле (1) S=½bh. Высота AH = 12, основание AC = 16+12 = 28. => S = ½×12×28 = 168
Задача №4. Дано на рисунке:
Оттолкнемся от отношения, которое нам дано. Мы знаем, что сумма данных углов равна 90°, если ∠ACM = х и ∠ВCM = 2х, тогда 2х+х = 90°
∠ACM = х = 30° => ∠ВCM = 60°. А что у нас равно 4-ем? Да, медиана! А медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы (2−ое свойство). Тогда отметим равные углы:
В ΔBCM получается ∠ВCM = ∠СВM = 60°, тогда ∠СМВ = 60° и ΔBCM — правильный:
Площадь найдем по (2) формуле: S = ½absinα:
Задача №5. Дано на рисунке:
В дано есть только стороны, а найти нужно угол. Как это сделать? Вот стороны 14,2 и 7,1 во сколько раз отличаются? Да, в 2 раза, а значит угол ∠BAL = 30° (против угла в 30° лежит катет, который в два раза меньше гипотенузы).
Значит, ∠A = 60° => ∠ACB = 180° − 90° − 60° = 30°, а ∠ACB — смежный с ∠ACV => ∠ACV = 180° − 30° = 150°.
Что касается LC: внимательно рассмотрим ΔALC, можно даже лупой воспользоваться. Что видишь? ∠LAC = ∠ACL = 30° => ΔALC — равнобедренный, LC = AL = 14,2.
Ответ: 14,2 и 150°
Тригонометрия в прямоугольных треугольниках
В прямоугольном треугольнике три стороны: 2 катета и гипотенуза.
Катеты меньшие стороны треугольника. Гипотенуза большая сторона, которая лежит напротив угла в 90°.
Относительно угла α:
Катет, который составляет угол, называют прилежащим. Катет, который находится напротив угла, называют противолежащим. Логично? Замечательно!
Тригонометрические функции (синус, косинус. ) задают связь между углом и длинами сторон.
Но хорошо бы знать какие-то значения тригонометрических функций при определенных углах. Все значения вместе образуют таблицу Брадиса. С ее помощью можно вычислить почти любое значение тригонометрической функции при заданом угле. Но как с ней работать?
Найдем sin(10°) . Для этого выберем столбец sin и в нем найдем 10°. Ближайшее значение — это то, что нам нужно — 0,1736.
А что за столбец 0′; 6′; 12′ и т.д. Это минуты! Не те, которых мы ждем в конце урока, а градусные минуты.
Из общего: и те, и другие минуты измеряются в промежутке от 0 до 60.
Градусные минуты делят один градус на 60 минут (1°=60′), нужны они для большей точности задания угла.
p.s. Есть еще и градусные секунды, и в одной градусной минуте 60 градусных секунд, знакомо? 1° = 60′ = 3600».
Семь десятых градуса нужно перевести в минуты. Можно через пропорцию:
Теперь в таблице нужно найти 77°42′ для косинуса. Для синуса минуты прописаны, а для косинуса нет. Но мы же люди не гордые, сами напишем, но в обратном порядке. На пересечении 77° и 42′ получаем наше значение:
Но чтобы не загромождать таблицу 0, его в начале пишут только в первых строчках, поэтому ответ cos(77,7°) = 0,213.
В задачах же таким обилием углов похвастаться нельзя, достаточно знать значения для 30°; 45°; 60°; 90°.
Искусство решать геометрические задачи чем-то напоминает трюки иллюзионистов — иногда,
даже зная решение задачи, трудно понять, как можно было до него додуматься.
Задача №6. Дано на рисунке:
В этой задаче известен противолежащий катет относительно угла в 45°, а найти нужно гипотенузу. Смотрим, где у нас есть противполежащий катет и гипотенуза? Это синус!
Смотрим в таблице, чему равен синус 45°, и подставляем в отношение:
Задача №7. Дано на рисунке:
Мы разобрались с тригонометрическими функциями в прямоугольных треугольниках, значит, и в этой задаче нужно перейти к прямоугольному треугольнику.
В ΔLTK — равнобедренный : ∠L = ∠LKT = (180° − 120°)/2 = 30°
Отлично, в прямоугольном ΔLVK: ∠L = 30° и известна гипотенуза, а нам нужно найти противолежащий катет, чем воспользуемся? Опять синусом!
Теорема синусов и теорема косинусов
Сразу возникает вопрос, а теорема тангенсов тоже есть? Конечно, есть, но она очень редко используется.
Для любого треугольника можно записать такое соотношение, это будет теорема синусов:
Запомни, что сторона относится к синусу противолежащего угла.
Следствие из теорма синусов гласит, что любое соотношение равно двум радиусам описанной окружности:
Для любого треугольника можно записать такое соотношение, это будет теорема косинусов:
А что будет, если α = 90°, а cos(90) = 0? Получится:
Теорема Пифагора, вот так просто можно запомнить теорему косинусов. Начать как теорему Пифагора, а затем вычесть удвоенное произведение на косинус угла между ними.
Можно записать и для других сторон в этом же треугольнике:
Задача №8. Дано на рисунке:
Запишем теорему синусов для двух отношений:
Выразим отсюда KT:
∠K = 180° − 60° − 45° = 75°. Чтобы найти синус угла 75°, советую посмотреть эту статью, нужно воспользовать формулой суммы синусов:
Тогда представим 75° в виде двух табличных значений:
Аналогично выразим LT:
Ответ: 16,3 и 22,3
Задача №9. Дано на рисунке:
Найти нужно x и y. Запишем теорему косинусов для этого треугольника:
Икс выразим через игрек:
Отлично, поздравляю тебя с Elementary по геометрии!
Что нужно знать:
- Вертикальные, смежные, соответственные, накрест лежащие углы.
- Равенство и подобие треугольников.
- Что такое медиана, биссектриса, высота.
- Свойства треугольников.
- Площадь треугольников.
- Синус/косинус в треугольнике.
- Теорему синусов и косинусов.
Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать
Площадь треугольника через синус
Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать
Определение
Площадь треугольника через синус — это площадь треугольника,
выраженная через две любые стороны треугольника и синус угла между ними.
Синус угла — это число, которое используется для нахождения
разных величин в треугольниках, его можно найти в специальных таблицах.
Видео:Как запомнить значения синусов и косинусов?! #математика #синус #косинус #геометрия #егэ #shortsСкачать
Введение
Площадь треугольника кроме половины произведения высоты
на основания, можно также найти и другим способом.
Мало кто знает, но через синусы углов можно найти обычно
не только стороны, но и площадь любого треугольника!
Площадь треугольника выраженная без синуса численно равна
половине произведения двух сторон друг на друга
на синус угла между ними.
Площадь треугольника через синус ищется только в том случае,
если по другой формуле площадь треугольника найти нельзя.
Теорема
( S = frac2 * BC * AC * sin angle BCA )
Площадь произвольного треугольника равна полусумме
произведения двух любых сторон треугольника друг на друга,
и на синус угла между этими сторонами.
Формула
[ S = frac2 * a * b * sin α ]
Где a, b — две стороны треугольника, синус α — синус угла α.
Пример
Для примера, возьмем треугольник omk, изображенный на рисунке 1, со сторонами om, mk, ok.
Известно, что mk равен 6, ok равен 8, синус угла okm равен 1/4.
Нужно найти площадь треугольника omk.
Дано: △omk, mk = 6, ok = 8, sin okm = 1/4.
Найти: S △omk — ?
Решение:
1) ( S = frac2*a*b*sin α ) ( implies ) ( S = frac2*mk*ok*sin okm )
2) S = 1/2 * 6 * 8 * 1/4 = 1/2 * 6 * 8 * 0.25 = 1/2 * 48 * 0.25 = 1/2 * 12 = 6
Ответ: Площадь треугольника omk равна 6.
Доказательство
Докажем, что площадь произвольного треугольника
равна полусумме произведения двух любых сторон
друг на друга, и на синус угла между этими сторонами.
Чтобы вам наглядно было видно, как мы доказываем,
используем один из известнейших треугольников — египетский треугольник.
Высота в египетском треугольнике равна длине одного из катетов.
Построим прямоугольный треугольник, изображенный на рисунке 2,
со сторонами 3,4,5 с одним из углов 90 градусов.
Первым делом найдем площадь обычной формулой,
затем с помощью синуса. Площадь равна половине
основания на высоту — ½3*4 = 6. Теперь найдем с
помощью синуса: ½3*4*sin90 = 6 * 1 = 6. Как видим,
полученные значения площадей сходятся, соответственно
через синус можно найти площадь треугольника ч.т.д.
Теперь, чтобы найти площадь треугольника нам не нужно
знать основание и высоту, можно знать только
две стороны и синус угла между ними.
Видео:Как просто запомнить, что такое sin, cos, tg?! #косинус #синус #тангенс #математика #огэ #егэСкачать
Заключение
В заключение, можно сказать, что площадь
треугольника можно найти разными способами.
Например, в прямоугольном треугольнике площадь
рассчитать легче чем в любом другом треугольнике,
так как высота уже известна. Именно поэтому,
в школьном курсе, отчасти так подробно изучаются
прямоугольные треугольники. В Древнем Египте были
распространены прямоугольные треугольники со
сторонами 3,4,5; 6,8,10; 5,12,13. Длины этих прямоугольных
треугольников треугольников целые, что значительно,
упрощало разного рода вычисления.
Формулу площади треугольника делает универсальной то,
что она может применена к абсолютно любым треугольникам.
Главное, чтобы были известные две стороны,
и угол или синус угла между ними.
Формула площади треугольника через синус — универсальна,
поэтому может быть применена к любым видам треугольников.
Видео:КОСИНУС НА ПАЛЬЦАХ 🖐 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать
Формулы (тождества) синус, косинус, тангенс, котангенс тройного угла
R — большая полуось
r — малая полуось
π ≈ 3.14
Формула площади эллипса, через полуоси:
Калькулятор, вычислить площадь элипса:
1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол
а — нижнее основание
b — верхнее основание
с — равные боковые стороны
α — угол при нижнем основании
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, ( S ):
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, ( S ):
2. Формулы площади равнобедренной трапеции если в нее вписана окружность
R — радиус вписанной окружности
D — диаметр вписанной окружности
O — центр вписанной окружности
H — высота трапеции
α , β — углы трапеции
а — нижнее основание
b — верхнее основание
Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, ( S ):
СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:
R — радиус вписанной окружности
m — средняя линия
O — центр вписанной окружности
c — боковые стороны
а — нижнее основание
b — верхнее основание
Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, стороны и среднюю линию ( S ):
СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:
3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними
d — диагональ трапеции
α , β — углы между диагоналями
Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, ( S ):
4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
c — боковая сторона
m — средняя линия трапеции
α , β — углы при основании
Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, ( S ):
5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту
a — нижнее основание
b — верхнее основание
h — высота трапеции
Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, ( S ):
a , b , c — стороны треугольника
α , β , γ — противолежащие углы
Площадь треугольника через сторону и два угла (S):
Формулы для треугольника:
Зная длины всех трех сторон
и используя формулу Герона можно найти площадь разностороннего треугольника
a , b , c — стороны треугольника
p — полупериметр, p=( a + b + c )/2
Формула ( Герона ) площади треугольника через полупериметр ( S ):
Калькулятор — вычислить, найти площадь треугольника:
Формулы для треугольника:
Треугольник это плоская фигура, которая имеет три стороны и три угла. Сумма всех трех углов, равна 180 градусов.
Высота треугольника это — опущенный перпендикуляр из вершины угла на противоположенную сторону или ее продолжение, которую в этом случае, называют основанием.
Что бы найти площадь треугольника,
для этого надо основание умножить на высоту и разделить на два
Видео:Стороны треугольника через синус косинус и тангенсСкачать
1. Площадь разностороннего треугольника
h — высота треугольника
Формула площади треугольника (S):
Калькулятор для расчета площади треугольника
Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать
2. Площадь треугольника с тупым углом
h — высота треугольника
Формула площади треугольника с тупым углом (S):
Формулы для треугольника:
Зная у треугольника
две стороны и синус угла между ними, находим по формуле, его площадь
a , b , c — стороны треугольника
α , β , γ — углы
Формулы площади треугольника, через две стороны и угол между ними, (S):
Калькулятор — вычислить, найти площадь треугольника:
Формулы для треугольника:
Прямоугольный треугольник, так же как и любой другой треугольник, имеет три стороны и три угла. Разница только в том, что один угол прямой, т. е. 90 градусов и два остальных, острых угла в сумме составляют, тоже 90 градусов.
Две стороны, которые формируют прямой угол, называют катетами, а третья сторона напротив прямого угла, называется — гипотенуза
1. Если известны только катеты
a , b — катеты треугольника
Формула площади треугольника через катеты ( S ) :
2. Если известны острый угол и гипотенуза или катет
c — гипотенуза
a , b — катеты
α , β — острые углы
Формулы площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол ( S ) :
Формулы площади прямоугольного треугольника через катет и угол ( S ) :
Как известно, сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов, а если
то справедливы следующие тождества:
3. Если известны радиус вписанной окружности и гипотенуза
c — гипотенуза
c 1 , c 2 — отрезки полученные делением гипотенузы, точкой касания окружности
r — радиус вписанной окружности
О — центр вписанной окружности
Формулы площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу ( S ) :
b — основание треугольника
a — равные стороны
h — высота
Формула площади треугольника через высоту h и основание b , (S):
Калькулятор — вычислить, найти площадь треугольника через высоту и основание:
Формула площади треугольника через, стороны a , b , (S):
Калькулятор — вычислить, найти площадь треугольника через равные стороны и основание:
b — основание треугольника
a — равные стороны
h — высота
Формулы для треугольника:
Если вы знаете сторону или высоту
вы можете найти площадь равностороннего треугольника
a — сторона треугольника
h — высота
Площадь треугольника через сторону a и высоту h , (S):
Площадь треугольника только через сторону a , (S):
Калькулятор для расчета площади равностороннего треугольника
Площадь треугольника только через высоту h , ( S ):
Калькулятор для расчета площади равностороннего треугольника
a — сторона треугольника
h — высота
Формулы для треугольника:
Видео:Синус, косинус произвольного угла. 9 класс.Скачать
Формула площади круга, диаметр
Круг это плоская фигура, все точки которой, расположены на любом расстоянии от определенной точки (центр круга) но не больше заданной длины (радиус).
Радиус круга — отрезок, соединяющий центр окружности и любую, максимально удаленную от центра точку круга.
Диаметр круга — отрезок, соединяющий две любые точки максимально удаленные от центра круга и проходящий через этот центр. Диаметр, в два раза больше радиуса
или радиус круга или длину окружности, можно найти его площадь.
r — радиус круга
D — диаметр круга
Формула площади круга, (S):
на тему: Площадь круга
Калькулятор для расчета площади круга через радиус
Калькулятор для расчета площади круга через диаметр
L — длина окружности
О — центр круга
Формула площади круга если известна длина окружности, (S):
на тему: Площадь круга
Калькулятор для расчета площади круга через длину
Площадь кольца равна — число π , умноженное на разницу квадратов, радиуса внешней окружности и радиуса внутренней окружности
R — радиус внешней окружности
r — радиус внутренней окружности
Формула площади кольца (S):
Калькулятор — вычислить, найти площадь кольца
R — радиус внешней окружности
r — радиус внутренней окружности
α — угол сектора AOB, в градусах
Формула площади сектора кольца (S):
R — радиус круга
α — угол сегмента в градусах
Формула площади сегмента круга (S), отсекаемая хордой AC :
Калькулятор для расчета длины дуги окружности :
Формулы для окружности и круга:
Найти площадь сектора круга если даны радиус и длина дуги или радиус и центральный угол
r — радиус круга
L — длина дуги AB
α — угол сектора круга AOB в градусах
Формула площади сектора круга (S), через длину дуги ( L ):
Формула площади сектора круга (S), через угол ( α ):
Формулы для окружности и круга:
Вычислить площадь ромба, зная: (диагонали) или (сторону и угол между ними) или (диагональ и угол между сторонами)
a — сторона ромба
D — большая диагональ
d — меньшая диагональ
α — острый угол
β — тупой угол
Формулы площади ромба через диагонали и углы между сторонами ( S ):
a — сторона ромба
h — высота
r — радиус вписанной окружности
Формула площади ромба через высоту или радиус вписанной окружности ( S ):
1. Формула площади параллелограмма через стороны и углы
a, b — стороны параллелограмма
α , β — углы параллелограмма
Формула площади через стороны и углы параллелограмма, ( S ):
Калькулятор — вычислить, найти площадь параллелограмма:
2. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту
a, b — стороны параллелограмма
H b — высота на сторону b
H a — высота на сторону a
Формула площади через стороны и высоты параллелограмма, ( S ):
3. Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними
D — большая диагональ
d —меньшая диагональ
α , β — углы между диагоналями
Формула площади через диагонали параллелограмма и угол между ними , ( S ):
Калькулятор — вычислить, найти площадь параллелограмма:
Формулы для параллелограмма:
📹 Видео
ОГЭ как найти тангенс угла, если нет треугольника #математика #огэ #огэматематика #геометрияСкачать
Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать
Почему синус это синусСкачать
Стороны треугольника через синус косинус и тангенсСкачать
9 класс, 13 урок, Теорема синусовСкачать
100. Теорема о площади треугольникаСкачать
ОГЭ Как найти косинус, если знаем синусСкачать
Решение задачи с применением теоремы синусовСкачать
Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать
Спидран: Как запомнить таблицу синусов и косинусов за 1 минуту? Евгений ДолжкевичСкачать
Геометрия. Теорема синусов и косинусов. Площадь треугольника.Скачать