Видео:КАК ЗАПОМНИТЬ ОБЪЕМЫ ВСЕХ ФИГУР? #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать
Мыльная опера
Как математики 200 лет решали задачу о минимальных поверхностях
Совсем недавно японские и итальянские математики рассказали о решении важной задачи из теории минимальных поверхностей — о поведении мыльной пленки на гибком каркасе. Как часто бывает в физике, эта теоретическая задача связана с гораздо более широким кругом явлений, чем простое возникновение мыльных пленок: от динамики молекул до гравитационных полей черных дыр. Мы предлагаем вам небольшой экскурс в одну из самых красивых задач математики — задачу Плато о минимальных поверхностях.
Историю этой задачи следует начать с работ бельгийского физика Жозефа Плато, кстати, изобретателя стробоскопа. В первой половине XIX века ученый занимался исследованием геометрии мыльных пузырей и сложных конструкций из мыльных пленок. Бельгиец пытался описать закономерности, которые возникают в мыльной пене, и сформулировал несколько законов, известных как «законы Плато». Например, оказалось, что средняя кривизна поверхности мыльной пленки одинакова во всех ее точках.
Мыльные пленки были выбраны ученым не случайно. Как известно, любая физическая система стремится минимизировать свою энергию. Шар, находящийся на склоне горы, покатится вниз, так как стремится уменьшить потенциальную энергию, электрический конденсатор постепенно разрядится и так далее. Точно так же и мыльная пленка попытается уменьшить свою энергию, если это возможно. Поскольку эта энергия запасается в поверхностном натяжении (чем больше площадь поверхности, тем больше ее энергия), то пленка стремится обладать геометрией с минимальной площадью поверхности, оптимизируя любые изгибы и стыки.
Это приводит на практике к необычным закономерностям. Например, оказалось, что в мыльной пене пленки «стыкуются» друг с другом строго тройками, под углом 120 градусов. На пересечении таких плоскостей формируются так называемые «границы Плато». Они, кстати, тоже пересекаются между собой — только четверками, под углом равным 109,5 градуса (это угол, под которым из центра тетраэдра видны его вершины). Как отметил Плато, любые другие конфигурации в мыльной пене неустойчивы.
На самом деле проблема минимальной поверхности была сформулирована почти за век до экспериментов Плато французским математиком Жозефом-Луи Лагранжем. Ученый, создавший теорию вариационного исчисления, задался вопросом, как минимизировать площадь поверхности, заключенной в данном трехмерном контуре. Можно показать математически, что минимальные поверхности обладают определенным свойством: их средняя кривизна поверхности равна нулю. Это равносильно тому, что капиллярное давление в каждой точке пленки мыльной пленки уравновешено.
Оригинальная задача была поставлена в 1760-х годах. Вопрос, который поставил Лагранж, формулировался так: всегда ли можно построить минимальную поверхность для заданного контура? С точки зрения математики, у этой задачи есть около десятка эквивалентных формулировок, одна из которых требует доказать существование решения дифференциального уравнения второго порядка для заданных граничных условий (трехмерного каркаса).
Очевидный способ доказать существование такой поверхности — найти прямое решение уравнения для всех возможных каркасов, то есть указать метод построения минимальной поверхности. Однако в математике есть и еще один способ доказательства таких утверждений — так называемые «чистые доказательства существования». Например, можно доказать, что у многочлена нечетной степени всегда есть хотя бы один действительный корень. Это непрерывная функция, которая при больших положительных «иксах» будет положительной, а на больших отрицательных «иксах» — отрицательной (или наоборот). Это означает, что в какой-то момент она должна будет пересечь ось абсцисс — эта точка и будет искомым корнем. Но при этом такое доказательство не указывает на способ поиска этого корня.
Жозеф Плато подошел к этой задаче с «другого конца», показав, как построить физически минимальную поверхность для заданного замкнутого контура. Для этого достаточно просто сделать этот каркас из проволоки и окунуть его в мыльный раствор. Но, разумеется, доказательством существования минимальных поверхностей работы физика послужить не могли. Зато в честь его работ вопрос, сформулированный Лагранжем, стал известен как «задача Плато». Интересно, что правила, которые сформулировал бельгиец, оказались верны для всех минимальных поверхностей. Это было подтверждено в 1970-х годах с помощью геометрической теории меры.
На доказательство существования минимальных поверхностей ушло почти 200 лет. Математики находили решения для отдельных частных случаев (например, когда каркас состоит из прямолинейных отрезков), но доказать утверждение в наиболее общем виде удалось лишь в 1930 году. Этот результат независимо друг от друга получили Джесси Дуглас и Тибор Радо. За свое оригинальное решение в 1936 году Дуглас получил первую в истории Филдсовскую премию.
Построение минимальных поверхностей — отдельная проблема, которая тоже была решена. Для этого были разработаны специальные методы, о ряде которых можно прочитать в брошюре Алексея Сосинского. Например, необычно выглядит способ построения минимальной поверхности с помощью случайных блужданий. Он устроен следующим образом. На первом этапе спроецируем каркас на лист бумаги в клеточку (посмотрим на его тень). Пусть линии на листе бумаги — улицы города, тень каркаса – его граница. Поместим в узел клетки пьяницу — объект, который случайным образом будет поворачивать на каждом перекрестке. Когда пьяница пересекает границу города, он падает в канаву и его штрафует полицейский. Сумма штрафа зависит от высоты точки каркаса, отбрасывающей тень на конкретную «канаву».
Оказывается, средняя величина штрафа для каждой отправной точки пьяницы численно равна высоте минимальной поверхности, натянутой на данный каркас. Этот метод относится к классу методов Монте-Карло.
После работы Дугласа задачу Плато начали обобщать. К примеру, в четырехмерном пространстве можно ввести трехмерные «поверхности» и так далее. Задача о существование таких минимальных гиперповерхностей была решена российским математиком Анатолием Фоменко. Во второй половине XX века математики рассмотрели вариант задачи о мыльных пленках на гибких каркасах и даже решили его для частных случаев. В 2017 году вышла публикация с решением наиболее реалистичной формулировкой этой задачи — с гибким каркасом конечной толщины.
Есть у истории с минимальными поверхностями еще один интересный поворот. Более 200 лет считалось, что существуют всего три класса таких объектов: плоскости, катеноиды и геликоиды — если не рассматривать пересекающиеся поверхности. Катеноиды возникают, когда пленка оказывается натянутой между двумя параллельными кольцами. Геликоиды — спиральные ленты, появляющиеся на соответствующих спиральных каркасах.
Видео:Площадь поверхности и объем фигур вращения//(Задание 5)//ЕГЭ МатематикаСкачать
Тригонометрия
Рис.9 Оптимальная форма цилиндра при заданном объеме позволяет уменьшить расходы на материалы. Поэтому такая задача актуальна, например, при строительстве нефтехранилищ (рисунок (9)).
Пусть (H) − высота цилиндра, а (R) − радиус его основания. Объем и полная площадь поверхности цилиндра вычисляются по формулам [V = pi H,;;;S = 2pi + 2pi RH.] В качестве независимой переменной выберем радиус основания (R.) Выразим (H) через (R) (при заданном объеме (V) ): [H = frac<<pi >>.] Исследуем площадь поверхности (Sleft( R right)) на экстремум. [ <Sleft( R right) = 2pi + 2pi RH > = <2pi + 2pi R cdot frac<<pi >> > = <2pi + frac<>.> ] Вычисляем производную: [ <S'left( R right) = <left( <2pi + frac<>> right)^prime > > = <4pi R — frac<><<>> > = <frac<<4pi — 2V>><<>>.> ] Находим стационарные точки: [ ;; <Rightarrow frac<<4pi — 2V>><<>> = 0,>;; <Rightarrow left< <begin<*> <4pi — 2V = 0>\ <ne 0> end,> right.>;; <Rightarrow R = sqrt[large 3normalsize]<<frac<>>>.> ] Данное значение (R) соответствует минимальной площади поверхности (Sleft( R right),) поскольку при переходе через эту точку производная меняет знак с минуса на плюс.
Ещё по теме
Дан ромб, диагонали которого равны (d1=4) см, (d2=6) см. Острый угол равен (α = 30°) . Найдите площадь фигуры через сторону и угол.
Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки ( Aleft( 1;0 right) ) на ( dfrac ) .
Найдите ( cos alpha ) и ( ctg alpha ) , если ( sin alpha=dfrac ) и ( dfrac .
Найдите ( sin alpha ) и ( tg alpha ) , если ( cos alpha=-dfrac12 ) и ( dfrac ;
Точка ( A(<_>;<_>)=A(5;7) ) — центр окружности. Радиус окружности равен ( 2 ) . Необходимо найти координаты точки ( P ) , полученной поворотом начального радиус-вектора на ( -30^circ ) .
Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки ( Aleft( 1;0 right) ) на ( 750^circ ) .
Видео:А.7.11 Вычисление площади и объема сложных фигурСкачать
Из всех тел равного объема наименьшая поверхность у шара
Ирина Долгополова
Виктория Силаева
Научный руководитель: Марина Александровна Веселова.
Проблема данного проекта: определить, какое национальное жилище обладает наилучшим изопериметрическим коэффициентом комфортности.
Цель исследования: выяснить, жилище какой формы наиболее комфортно для проживания с точки зрения соотношения объема жилищного пространства и потери тепла через его поверхность.
Задачи: выяснить, какие бывают национальные жилища, их размеры и формы. Выяснить, каким образом с помощью изопериметрической проблемы можно ответить на вопрос исследования. Произвести необходимые вычисления. Определить коэффициенты комфортности для каждого жилища. Сравнить их и, исходя из полученных результатов, выявить жилище наиболее комфортной для проживания формы с точки зрения соотношения объема жилищного пространства и потери тепла через его поверхность.
Гипотеза: у всех жилищ разной формы различный изопериметрический коэффициент комфортности, и существует жилище, имеющее наилучший изопериметрический коэффициент (коэффициент комфортности).
Предмет исследования: изопериметрический коэффициент жилища как показатель комфортности.
В последнее время все чаще говорят о том, что мировые запасы природных ресурсов небезграничны. Количество добытой нефти и газа год от года уменьшается. Открытые месторождения газа и нефти иссякают, а новых становится все меньше и меньше. Если мы такими же темпами будем добывать и использовать нефть и газ, то, возможно, через несколько десятков лет все ресурсы и их месторождения иссякнут совсем, поэтому цены на них постепенно растут. Перед населением планеты давно стоит проблема энергосбережения. Известно, что огромное количество энергии тратится на отопление помещений, в том числе жилых.
Необходимо отметить, что проблема отопления и сохранения тепла в доме существует с древних времен. Одним из способов сэкономить тепло является обеспечение жилья наименьшей потерей тепла через его поверхность. Можно существенно уменьшить размеры жилища, но человек должен иметь достаточно жилого пространства, чтобы чувствовать себя комфортно. Таким образом, встает вопрос: как достичь сочетания максимально возможного объема жилого пространства при минимальной площади поверхности, через которую может уходить тепло. Первобытные люди приходили к его решению опытным путем. В результате в условиях определенного климата и имеющихся строительных материалов у всех народов появились национальные жилища. Этот вопрос остается для человечества актуальным, а с учетом ситуации с энергоносителями становится все более острым. Решением проблемы данного исследования служит так называемая изопериметрическая проблема геометрии. Смысл ее в следующем: на плоскости — среди всех замкнутых кривых данной длины существует кривая, охватывающая наибольшую площадь; в пространстве — среди всех замкнутых поверхностей заданной площади существует поверхность, заключающая в себе наибольший объем. В геометрии эта проблема давно решена, такие объекты найдены. Такая линия на плоскости — это окружность, такая поверхность в пространстве — это шар. С точки зрения соотношения жилого пространства и поверхности, через которую уходит тепло, жилище шарообразной формы идеально. Чем ближе изопериметрический коэффициент геометрического тела к единице, тем ближе такое жилище к идеальному с точки зрения нашего исследования. Это значит, что жилище, имеющее наибольший изопериметрический коэффициент, — наилучшее с точки зрения соотношения жилого пространства и поверхности, через которую уходит из дома тепло.
Изопериметрическая проблема в природе и жизни
Итак, чтобы впоследствии узнать, жилище какой формы является наиболее комфортным для проживания с точки зрения соотношения потери тепла и объема жилищного пространства, необходимо вычислить и сравнить изопериметрические коэффициенты жилищ. Назовем этот коэффициент коэффициентом комфортности. Для этого потребуется формула, где V — объем жилища, S — площадь полной поверхности.
Изопериметрическое неравенство для объемных тел будет записано в следующем виде: изопериметрический коэффициент K всегда меньше единицы или равен ей. Единственное тело, имеющее коэффициент, равный единице, — это шар.
Изопериметрическая теорема: «Из всех тел равного объема наименьшую поверхность имеет шар». Заметим, что эта стереометрическая изопериметрическая теорема позволяет ответить на вопрос: «Почему заварной чайник круглой формы остывает медленнее, чем чайник такого же объема, но другой формы?» Джордж Пойа в своей книге «Математика и правдоподобные рассуждения» так написал об этой проблеме.
«К изопериметрической теореме нас могут привести совсем примитивные рассмотрения.
Мы можем научиться ей у кота.
Я думаю, что все вы видели, что делает кот, когда в холодную ночь он приготовляется ко сну: он поджимает лапы, свертывается и таким образом делает свое тело насколько возможно шарообразным.
Он делает так, очевидно, для того, чтобы сохранить тепло, сделать минимальным выделение тепла через поверхность своего тела. Кот, не имеющий ни малейшего намерения уменьшить свой объем, пытается уменьшить свою поверхность, делая себя как можно более шарообразным. Судя по всему, он имеет некоторое знакомство с изопериметрической теоремой».
Спорный вывод: вигвам теплее чума. Работу надо продолжать
Работа исследует зависимость формы и теплопотерь ограждающей конструкции. Наиболее комфортным для проживания жилищем, с точки зрения соотношения объема жилищного пространства и потери тепла через его поверхность, оказался вигвам. Наихудшим — типи. Разнообразные формы жилища, теплопотери были рассчитаны.
Но автор не учел, что во всем мире взаимосвязь этих двух составляющих невозможна без материалов, из которых, собственно, и возводятся жилища и в России, и в Америке.
Во всем прогрессивном мире давно задумались над экологической проблемой строительства. Волна переживаний дошла и до наших школ. Безусловно, эта работа ставит своей целью помочь разобраться в формах экологической архитектуры, приблизиться к пониманию идеального экодома.
22 года назад в Великобритании впервые внедрили экологический стандарт по строительству BREEAM, основная задача которого — создать рейтинговую оценочную систему экологического строительства.
В 1998-м появилась система LEED в CША. И только в 2009-м RuGBC — Совет по экологическому строительству в России официально стал членом Всемирного совета по экологическому строительству. Во всем мире одна из функций подобных советов — образовательная. Российская организация пока находится на стадии развития. Ее сферы влияния не распространяются на школьников в необходимом объеме.
На сегодняшнем этапе развития общества разрабатывается необходимая научная литература для профессиональных сообществ.
Разработкой школьных пособий по тематике экологического строительства никто не занимался. Хотя этот обширный пласт затрагивает не только вопрос, как построить дом с минимальным энергопотреблением. Для современного школьника экологическая проблема — это где-то далеко: исчезновение Аральского моря, техногенные катастрофы, аварии на химических предприятиях, глобальное потепление.
А тем временем города на глазах ребят увеличиваются за счет новых построек. Так, в России за 2011 год было построено 5,5 млн кв. м. жилья. Это, для сравнения, где-то 1000 высотных многоэтажных домов. Гдето нужно их строить? Место выбирают зачастую красивое, чистое, зеленое. Строят тоже не из шлака, а из современных строительных материалов, которые, заметьте, состоят из природных компонентов.
Автор проекта планирует продолжить расчеты исследованием более сложных форм и фигур. На сегодняшний день в инструментарии архитекторов есть программы-помощники, они автоматически просчитывают (исходя из заданных климатических показателей и времени суток) теплопотери, освещенность, вентиляцию проектируемого пространства. В них можно двигать стены, окна и собирать нужную по пространству модель. Поэтому, мне кажется, разумным было бы обратиться к исследованию экологических материалов, биологического разнообразия, сортировке и переработке мусора, способам экономии энергии в повседневной жизни, доступным школьникам.
Но в этом должны помогать образовательные программы.
Сравнение коэффициентов комфортности жилищ
Внесем результаты вычислений в таблицу.
Сравнение поможет определить, жилище какой формы является наиболее комфортным для проживания с точки зрения потери тепла через его поверхность: 0,767>0,694>0,647>0,645>0,595 >0,436.
Расставим жилища в порядке возрастания изопериметрического коэффициента, а значит, в порядке возрастания их комфортности: чум, иглу,типи, изба,юрта, вигвам.
Выводы
У всех жилищ разной формы различный изопериметрический коэффициент комфортности, и существует жилище, имеющее наилучший изопериметрический коэффициент.
Наибольший изопериметрический коэффициент комфортности имеет вигвам.
Наименьший изопериметрический коэффициент комфортности имеет чум.
У юрты, типи и избы коэффициенты близки по значению, эти жилища близки по изопериметрическим характеристикам.
Значения изопериметрических коэффициентов рассмотренных конструкций могут существенно отличаться. Размах составил: 0,767 — 0,436 = 0,331. Такой размах соизмерим с самим коэффициентом К чума.
Заключение
Данная работа на тему «Исследование комфортности жилищ c помощью изопериметрической теоремы» посвящена исследованию национальных жилищ разных народов как геометрических объектов.
Целью исследования было определить, жилища какой формы наиболее комфортны для проживания с точки зрения соотношения объема жилищного пространства и потери тепла через его поверхность. В основу работы была положена следующая гипотеза: у всех жилищ разной формы различный изопериметрический коэффициент комфортности, и существует жилище, имеющее наилучший изопериметрический коэффициент. В ходе исследования необходимо было выявить жилище, имеющее подходящие геометрические характеристики для получения наилучшего изопериметрического коэффициента комфортности.
Для этого были проведены вычисления изопериметрических коэффициентов жилищ и их сравнение. Мы выявили, что изопериметрические коэффициенты жилищ разной формы не совпадают и существует жилище, имеющее наилучший изопериметрический коэффициент комфортности.
Из этого следует, что гипотеза подтверждена. Наиболее комфортным для проживания жилищем, с точки зрения соотношения объема жилищного пространства и потери тепла через его поверхность, оказался вигвам, имеющий наилучший изопериметрический коэффициент комфортности.
Это означает, что вигвам из всех жилищ имеет наименьшую площадь поверхности при наибольшем объеме жилищного пространства. Наихудшим с этой точки зрения оказался типи. Во время работы над проектом были изучены понятие изопериметрического коэффициента комфортности, изопериметрическая теорема, изопериметрическая проблема, а также формы различных национальных жилищ. Были освоены способы расчета геометрических характеристик жилищ и их изопериметрические коэффициенты комфортности.
Было бы интересно выяснить, где еще используются изопериметрические свойства фигур. Также представляется перспективным исследование других интересных свойств фигур, которые применяются в архитектуре и других сферах человеческой деятельности.
Типы национального жилища — избы, шалаши на жердях и каркасах, войлочный дом
Жилище — это сооружение, место, в котором обитают люди или животные.
Обычно жилище служит укрытием от неблагоприятной погоды, для сна, выращивания потомства, хранения припасов, отдыха.
У кочевых народов они являлись и являются временными сооружениями, поэтому к ним предъявляются определенные требования: они должны легко собираться и разбираться, быть погодоустойчивыми, иметь внутри достаточно пространства, но в то же время быть компактными.
При этом очень важно, чтобы внутри жилища было достаточно тепло.
И люди во все времена и на всех континентах боролись за тепло внутри жилья самыми разными способами. Они делали чрезвычайно маленький вход.
Сознательно уменьшали само помещение. Решали проблему сохранения тепла в жилище с помощью разнообразных укрывных материалов. Делали вход в жилище ниже уровня пола, как, например, эскимосы в своих иглу.
Но при этом люди всегда сталкивались с проблемой: как при наименьшей поверхности жилища обеспечить как можно больше пространства для жилья.
Решение этой проблемы отражено, в частности, в геометрической форме жилищ.
Прежде всего следует познакомиться с видом и формой тех жилищ, которые были отобраны для исследования.
У индейцев Северной Америки национальным жилищем служит вигвам— шалаш на каркасе, изготовленный из тонких стволов, покрытый циновкой, корой или ветками.
С геометрической точки зрения вигвам состоит из двух частей: полусферы, высота которой равна двум метрам, и цилиндрического основания высотой один метр. Диаметр пола вигвама составляет примерно четыре метра, а высота — около трех.
Типи (на языке дакота) — традиционное переносное жилище кочевых индейцев Великих равнин и Центральной Америки с очагом, расположенным в центре.
Типи имеет форму слегка наклоненного конусообразного шалаша на каркасе из жердей, покрытых обработанными шкурами бизонов и оленей.
Небольшой наклон, которым частично и была обусловлена характерная конструкция входа, позволял типи выдерживать сильные западные ветра Великих равнин. Наклон также способствовал вкупе с циркуляцией воздуха между внешним покрытием и внутренней подкладкой свободному выходу дыма от центрального очага и в то же время предотвращению сквозняков.
Точка пересечения перпендикуляра, проведенного из вершины к основанию типи, находится в метре от центрального очага.
Диаметр основания сооружения мог быть доведен до пяти метров, в исключительных случаях — до семи.
Высота типи достигала шести метров.
Юрта (в большинстве тюркских языков yurt, yurta) — переносное жилище у кочевников. Казахи называли юрту «кийз уй» — «войлочный дом».
Юрта состоит из двух частей: крыши в форме конуса, высота которого около двух метров, и нижней части в форме цилиндра, диаметр которого равен шести метрам, а высота — два с половиной метра.
Иглу — зимнее жилище эскимосов. Представляет собой куполообразную постройку с диаметром основания три-четыре метра и высотой около двух метров из уплотненных ветром снежных или ледяных блоков.
Важно, чтобы вход в иглу был ниже уровня пола — это обеспечивает отток из нее тяжелого углекислого газа и приток взамен более легкого кислорода, а также теплоизоляцию.
Чум — конический шалаш из жердей, покрываемый берестой, войлоком или оленьими шкурами; форма жилища распространена по всей Сибири, от Уральского хребта до берегов Тихого океана, финно-угорских монгольских народов. Диаметр чума в нижней части обычно составляет от трех до восьми метров, а высота — около пяти.
Изба — деревянный срубный (бревенчатый) жилой дом в сельской лесистой местности России, Украины, Белоруссии.
Изба представляет собой совокупность двух частей — крыша в форме прямой призмы с восьмиметровыми боковыми гранями и с основаниями в форме равнобедренного треугольника высотой примерно два с половиной метра c боковыми сторонами длиной четыре метра и призматическое основание высотой четыре с половиной метра, шириной около шести метров и длиной почти восемь метров.
Подчеркнем, что в данном исследовании рассматривается только форма национальных жилищ с точки зрения соотношения площади поверхности и внутреннего обитаемого пространства. Cохранение тепла в доме зависит от многих факторов. Нас интересует, как сочетание геометрических параметров конструкций жилищ может помочь в решении этого вопроса.
Другие факторы в работе не рассматривались. Оказывается, в решении данной проблемы может помочь изопериметрическая проблема. Из нее следует, что существует числовой показатель соотношения площади поверхности объема геометрического тела, который называется изопериметрический коэффициент тела.
Применительно к данной ситуации он называется коэффициентом комфортности. Идеи различных геометрических форм архитекторы могут черпать у национальных жилищ.
Именно они сильно отличаются своими конструктивными особенностями. Таким образом, объектом исследования данной работы являются национальные жилища разных народов. Их разнообразная геометрическая форма представляет для нас интерес.
🔥 Видео
Стереометрия для ЕГЭ: 5 - виды фигур в стереометрии, их объемы и площадиСкачать
Кодирование изображений за 10 минут | ИНФОРМАТИКА ЕГЭ | СОТКАСкачать
Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать
5 класс, 21 урок, Объемы. Объем прямоугольного параллелепипедаСкачать
Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shortsСкачать
Объемы и площади всех фигур за 30 минут(ЕГЭ)Скачать
Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать
Математика 5 Объем Объем прямоугольного параллелепипедаСкачать
Вычисление площадей и объемов с помощью определённого интегралаСкачать
Как найти объем. Принцип Кавальери | Ботай со мной #050 | Борис Трушин |Скачать
3 основых формулы объема для ЕГЭ #егэ2023 #математика #школа #егэ #fyp #shortsСкачать
Урок 1.Поиск решения, оптимизация, оптимальный план производстваСкачать
Технический калькулятор. Вычисление площади и объема фигурСкачать
Расчет объемов методом площадей и средней высотыСкачать
Площади и объемы подобных фигурСкачать
Упрощенный расчет необходимого количества свай / Монтаж / и как выбрать сваи СОВЕТСкачать
Понятие длины, площади и объёма фигурыСкачать
