методы вычисления площади многоугольника

Видео:8 класс, 10 урок, Понятие площади многоугольникаСкачать

Методы вычисления площади многоугольника

Введение

Работа посвящена исследованию и сравнению методов измерения площадей фигур произвольной формы.

Актуальность и практическая значимость исследования.

В школьном курсе математики мы в основном имеем дело с многоугольниками. С проблемой вычисления площади фигур я столкнулся при решении различных задач, суть которых сводилась к тому, что требовалось найти площадь различных многоугольников, которых мы не рассматривали на уроках математики. Ведь до 8 класса мы знакомимся только с формулами для вычисления площади квадрата, прямоугольника и прямоугольного треугольника. Так как на уроке мы обычно выполняем решение в тетради, то я обратил внимание, что вычислить площадь того же квадрата помогают клетки, изображенные в тетради. Просматривая различную информацию в интернете, я натолкнулся на формулу, которая позволяет вычислить площадь фигуры, но только не по клеткам, а по их узлам. Между тем, на практике часто возникает необходимость найти площадь фигуры неправильной формы. Например, необходимость определить площадь территории по плану или карте. Но для площадей сложных фигур отсутствуют общие формулы, аналогичные формулам для многоугольников. Впоследствии мне захотелось узнать, есть ли другие способы для вычисления площади различных фигур на клетчатой бумаге, какой из них проще, менее затратен по времени.

Гипотеза: площадь сложной фигуры может быть измерена приближенными методами с точностью, достаточной для практических целей.

Цель работы: исследовать различные способы вычисления площадей фигур, сравнить полученные результаты.

Задачи исследования:

изучить литературу по исследуемой теме;

отобрать интересную и понятную информацию для исследования;

найти различные методы и приёмы вычисления площади фигур на клетчатой бумаге.

изучение методов нахождения площади с помощью взвешивания.

измерение с помощью методов взвешивания площадей контрольных фигур: прямоугольника, квадрата, выявление погрешностей измерения

провести сравнительный анализ «плюсов» и «минусов» найденных способов.

провести эксперимент в 8В классе об выявлении математических знаний у учащихся при вычислении площади фигур;

Поиск интересных задач на нахождение площади фигуры.

проанализировать и систематизировать полученную информацию.

Объектом исследования являются методы измерения площади фигур произвольной формы:

1) метод взвешивания;

2) использование клетчатой бумаги;

3) применение точных формул.

Предметом исследования является площадь фигур произвольной формы.

Из истории возникновения понятия «Площадь».

В повседневной жизни мы часто встречаемся с понятием площади. Мы говорим: площадь квартиры, площадь садового участка и т.д.

Необходимость в понятии «площадь» возникла из жизненных потребностей. В древности люди использовали для измерения длин те измерительные приборы, которые всегда были при себе.

Позже возникла потребность в измерении и сравнении разнообразных «фигур» (н.п. земельных участков). Было необходимо ввести величину, которая характеризовала бы величину той части плоскости, которую занимает фигура. Эту величину назвали площадью.

Измерение площадей является одним из самых древних разделов геометрии. В частности, название “геометрия” означает “землемерие”, т.е. связано именно с измерением площадей. Основы этой науки были заложены в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным илом, т. е. вычислять их площади.

Вавилоняне, так же как и египтяне измеряли большей частью простейшие фигуры, встречающиеся при межевании земель, возведении стен и насыпей, строительстве плотин и каналов и т.п.

Сохранилось немало планов земельных угодий, разделенных на прямоугольники, трапеции и треугольники, а также планов различных строений, свидетельствующих, что вавилонский землемер или архитектор должен был хорошо чертить и проводить геометрические расчеты.

Многие ученые решали проблему вычисления площади фигуры. В историю с понятием площади вошли имена Евклида, Архимеда, Пифагора, Герона Александрийского, Рене Декарта, Пьера Ферма, Георга Пика и др. Ими открыто большое количество различных формул и способов для вычисления площади фигуры.

Способы вычисления площади фигуры на клетчатой бумаге.

При изучении вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге я заметил, что все задачи строятся на понятии узла. Узел напоминает узел в рыболовной сетке — пересечение горизонтальных и вертикальных линий. Все задачи достаточно разнообразны и занимательны, они заставляют думать, размышлять, анализировать, искать аналогии.

Рис.1. фотография рыбацкой сетки

Рассмотрим вычисление площади одной и той же фигуры тремя способами и сравним результат вычисления. [1, с.36]

Три способа вычисления площади выпуклого многоугольника.

Разбиение. Смысл данного способа состоит в том, что многоугольник разрезается на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.

Тогда площадь фигуры можно сосчитать по формуле:

Дополнение до прямоугольника. Смысл данного способа – это дополнение многоугольника до прямоугольника так, чтобы его стороны проходили через вершины четырехугольника, а затем вычитание лишних частей. Получим, что площадь фигуры равна:

Формула Пика. Любая фигура изображенная на листе бумаги делит его на внутреннюю область и внешнюю, а еще есть граничные точки многоугольника. Нас интересуют внутренние узлы и узлы, которые лежат на границе многоугольника. Тогда формула выглядит так S = В + Г/2 — 1, где В — количество внутренних узлов, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Эта формула получила название формула Пика в честь австрийского математика Георга Пика которая появилась в его восьмистраничной работе 1899 года, опубликованной в Праге.

Используя рисунок В= 17, Г = 14, получаем

S = 17 + 14/2 — 1 = 23.

Вычисляя площадь выпуклого многоугольника тремя способами, я получил один и тот же результат.

Три способа вычисления площади невыпуклого многоугольника.

Способ разбиенияне подходит для данной фигуры, т.к. невозможно разбить ее на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.

Дополнение до прямоугольника.

Достраивая многоугольник до прямоугольника, и отсекая лишние части, найдем площадь фигуры

При подсчете внутренних узлов многоугольника и узлов, лежащих на границе получим, что

В = 5; Г = 4; S = 5 + 4/2 — 1 = 6.

И опять я получил один и тот же результат.

Вычисление площади кольца по формуле Пика.

А если взять не многоугольник, а, например, кольцо и перенести его на клетчатую бумагу? Понятно, что первый и второй способы не удастся использовать. Применим формулу Пика и сравним полученный результат с результатом, полученным используя формулу для вычисления площади круга.

Возьмем кольцо, которое построим с помощью двух окружностей с радиусами R=4 и r = 2.

Вычислим площадь кольца с помощью формулы Пика:

В = 32, Г = 8, S= 32 + 4 — 1 = 35.

Вычислим площадь кольца по формуле площади круга, округлив число π до единиц.

S = πR 2 — πr 2 = 3* 16 — 3*4 = 48 — 12 = 36.

Округлим теперь π до десятых:

S = πR 2 — πr 2 = 3,1* 16 — 3,1*4 = 49,6 — 12,4 = 37,2.

А если округлить число π до сотых, то получим:

S = πR 2 — πr 2 = 3,14* 16 — 3,14*4 = 50, 24 — 12,56 = 37,68.

Сравнив результаты можно сделать вывод, что существует погрешность в вычислении площади по формуле Пика и чем точнее число π, тем она больше. Следовательно, данную формулу можно применять только для вычисления площадей многоугольников. [2, с.17], [4]

Метод взвешивания

Метод измерения вспомогательной величины придуман еще в древности и заключается в измерении массы плоской копии измеряемой фигуры. Если толщина листа, из которого изготовлены взвешиваемая фигура, постоянна, то масса фигуры прямо пропорциональна ее площади. Нужно нанести на плотную бумагу квадрат, площадь которого S₀ точно известна, вырезать его и определить на весах его массу m₀. На такую же бумагу перенести фигуру с искомой площадью S. Вырезать фигуру и определите её массу m. Затем, пользуясь правилом пропорции – S/S₀ = m/m₀, вычислить искомую площадь. [3, с.65]

Вычисление площади клинового листа

Для решения задачи была взят фотография кленового листа (рис. 2).

Рисунок 2. Фотография листа клена

Окантовка листа была перенесена на лист бумаги и была разбита (разрезана) на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники. (Рисунок 3).

Рисунок 3. Разбиение листа клена на прямоугольники и прямоугольные треугольники

После чего произведен расчет площади каждого прямоугольника и прямоугольного треугольника в см 2

Тогда общая площадь листа будет равна:

см 2

2. Дополнение до прямоугольника.

Окантовка листа была перенесена на лист бумаги и была дополнена до прямоугольника. (Рисунок 4).

Рисунок 4. Дополнение листа клена на прямоугольника

После чего произведен расчет площади общего прямоугольника и каждого прямоугольника и прямоугольного треугольника в см 2

Общий прямоугольник имеет размеры 18,2 см на 15 см, т. Е. его площадь прямоугольника составляет S=18,2∙15=273 см 2

см 2

Окантовка листа была перенесена на миллиметровую бумагу. (Рисунок 5).

Рисунок 5. Разбиение листа клена на узлы

В (внутренние точки) =13353 шт.

Г (граничные точки) = 725 шт.

Тогда по формуле S = В + Г/2 – 1

S=13353+362,5-1=13714,5мм 2 =137,145 см 2

4. Метод взвешивания

Для проведения взвешивания взяли лист бумаги SvetoCopy. По ее плотности определили вес бумаги при помощи таблицы и путем взвешивания. Результаты сошлись. Вес одного листа бумаги А4 =5г. Размеры листа А4 равны 210х297мм, т.е. площадь одного листа равна S₀ = 623,7 см 2

Рис. 6. Фотография оборотной стороны упаковки бумаги SvetoCopy

Рис. 7. Таблицы дляболее точного измерения массы листа по его плотности.

Для определения погрешности вычислений вырезали в качестве эталонов несколько геометрических фигур (прямоугольник (эталон 1) и квадрат (эталон 2)), площадь которых можно сравнить вычислив ее по формуле.

Прямоугольник имеет размеры: 7см на 5 см, а квадрат: 5см на 5см.

Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

Различные способы вычисления площадей многоугольников

Различные способы вычисления площадей многоугольников

Видео:Формулы для вычисления площади правильного многоугольника | Геометрия 7-9 класс #107 | ИнфоурокСкачать

Скачать:

Видео:ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА 8 класс геометрия АтанасянСкачать

Предварительный просмотр:

Муниципальное автономное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 7»

Научно-практическая конференция «Шаг в будущее»

«РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ

Авторы : ученики 11 «И» класса

Дубица Ольга Сергеевна

Кондрашкина Алина Андреевна

Руководитель : учитель математики

Новолодская Лариса Владимировна

Великие математики о вычислении площадей ………………………….6

Георг Пик и его теорема ……………………………………………………7

Способы вычисления площадей многоугольников …………………….8

Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, —

это быть точным, второе –

быть ясным и, насколько можно, простым.
Лазар Карно

Видео:112. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписаннойСкачать

Тема «Площади многоугольников» является неотъемлемой частью школьного курса математики, что вполне естественно. Ведь исторически само возникновение геометрии связано с потребностью сравнения земельных участков той или иной формы. Вместе с тем следует отметить, что образовательные возможности раскрытия этой темы в средней школе используются далеко не полностью . Так при изучении темы «Площади многоугольников» встаёт вопрос: есть ли задачи, отличные от задач рассмотренных в учебнике геометрии. Есть ли другие способы вычисления площадей многоугольников? Можно ли вместо многочисленных формул для вычисления площадей различных многоугольников использовать одну универсальную формулу? Особенно остро этот вопрос встал в период подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике. В контрольно- измерительных материалах ЕГЭ по математике присутствуют задания на вычисление площадей многоугольников. Мы провели опрос у старшеклассников, и из 25 учеников у 18 задание на нахождение площадей многоугольников вызывало затруднения, поэтому мы решили исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры.

Мы изучили литературу, Интернет-ресурсы по данной теме. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Не судите поспешно. Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Мы научились вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке.

Объект исследования : задачи на клетчатой бумаге.

Предмет исследования : задачи на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

Методы исследования : моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

Цель исследования : Вывести и проверить формулы вычисления площадей геометрических фигур с помощью формулы Пика.

Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач :

1. Изучить литературу по исследуемой теме.
2. Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию.
3. Проанализировать и систематизировать полученную информацию
4. Расширить кругозор, изучив дополнительный материал по истории вычисления площадей.
5. Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала.

Гипотеза : Площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формуле планиметрии.

Актуальность : Задачи на нахождение площадей решетчатых многоугольников часто встречаются на ЕГЭ по математике.

В обычной жизни на каждом шагу мы встречаемся с понятием “площадь”. Что такое “площадь”, знает каждый. Каждый понимает смысл слов: площадь комнаты, площадь садового участка. Измерение площадей считают одним из самых древних разделов геометрии; в частности название “геометрия” (т.е. “землемерие”) связывают именно с измерением площадей. Согласно легенде, эта наука возникла в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным илом, и вычислять их площади. По-видимому, в древности приходилось рассматривать лишь участки, мало отличающиеся от прямоугольника по форме, а для таких участков погрешность невелика. Лишь в последствие было полностью развито учение о площадях и получены точные формулы для вычисления площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции и других многоугольников. Определение площадей геометрических фигур – одна из древнейших практических задач. Правильный подход к их решению был найден не сразу, но уже древние греки умели правильно находить площади многоугольников.

Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий. Еще 4 — 5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служит эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, ими можно заполнить плоскость без пробелов.

В древнем Китае мерой площади был прямоугольник. Когда каменщики определяли площадь прямоугольной стены дома, они перемножали высоту и ширину стены. Таково принятое в геометрии определение: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции: основание треугольника делилось пополам, и умножалась на высоту; для трапеции же сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту и т.п. Для вычисления площади четырехугольника умножались полусуммы противоположных сторон.

ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ О ВЫЧИСЛЕНИИ ПЛОЩАДЕЙ

Тема нахождения площадей многоугольников всегда волновала умы многих великих математиков. В своих «Началах» Евклид не употреблял слова «площадь», так как он под самим словом «фигура» понимал часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией. Евклид сравнивал площади разных фигур между собой. Как и другие ученые древности, Евклид занимался вопросами превращения одних фигур в другие, им равновеликие. Площадь составной фигуры не изменится, если ее части расположить по-другому, но без пересечения. Поэтому, например, можно, исходя из формул площади прямоугольника, находить формулы площадей других фигур.

Одним из поздних греческих математиков – энциклопедистов, труды которого имели главным образом прикладной характер, был Герон Александрийский, живший в 1 в. н. э. Будучи выдающимся инженером, он был назван также «Герон Механик». Одна из книг Герона была названа им «Геометрика» и является своего рода сборником формул и соответствующих задач. Она содержит примеры на вычисление площадей квадратов, прямоугольников и треугольников. Имя Герона навсегда связано с известной формулой нахождения площади треугольника, если даны три его стороны a, b, c:

Великому Архимеду принадлежат формулировки многих теорем о площадях и объемах сложных фигур и тел, вполне строго доказанные им методом исчерпывания.

Гиппократ Хиосский, живший во второй половине V века до н. э исследовал площади плоских фигур, ограниченных как прямыми линиями, так и дугами окружности. Не остался в стороне и всем известный Пифагор. С помощью его знаменитой теоремы доказаны и выведены многие формулы для вычисления некоторых многоугольников.

ГЕОРГ ПИК И ЕГО ТЕОРЕМА

Настоящая жемчужина нашего исследования задач на нахождение площадей – это формула Пика. Сто лет назад немецкий математик Георг Пик открыл и доказал замечательную формулу для вычисления площади многоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги. У формулы Пика есть связь со знаменитой формулой Эйлера, связывающей количества вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника.

Георг Алекса́ндр Пик ( 10 августа 1859 — 13 июля 1942 ) — австрийский математик , родился в еврейской семье (Приложение 1).

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. Им написаны работы в области математического анализа, дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений и т. д., всего более 50 тем. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

Для начала рассмотрим, как можно вычислить площадь прямоугольника, применив теорему Пика.

Пусть АВСD – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки ( Приложение 2). Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г – количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом: каждый из В узлов «контролирует» целую клетку смещённой сетки, а каждый из Г узлов – 4 граничных не угловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника S равна
S = В + + 4 · = В + — 1 .

Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу S = В + — 1 . Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки.

СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ МНОГОУГОЛЬНИКОВ.

Мы провели исследование с целью выявления и сравнения различных способов вычисления многоугольников.

Сюжет будет разворачиваться на обычном листке клетчатой бумаги (Приложение 3) . Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток – узлы этой сетки. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах и найдем его площадь. Искать её можно по-разному. Например, можно разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры, найти их площадь и сложить. Но тут нас ждёт много хлопот (попробуйте!).

Давайте «схитрим»: вычислим площадь заштрихованной фигуры, которая «дополняет» наш многоугольник до прямоугольника АВСD, и вычтем её из площади прямоугольника. Заштрихованная фигура легко разбивается на прямоугольники и прямоугольные треугольники, и её площадь вычисляется без усилий.

Если даны более простые многоугольники, например, треугольник, параллелограмм или трапеция, то достаточно применить известные в общеобразовательной программе формулы для вычисления площадей.

Итак, рассмотрим способы вычисления площади на самом простом примере многоугольника: на треугольнике (Приложение 4) .

Задача : на клетчатой бумаге 1 см × 1 см изображён треугольник. Найти его площадь.

1 способ . «Считаем по клеточкам» (Приложение 5) .

1.Посчитаем количество полных клеток внутри данного треугольника. (10 )

2.Дополним неполные клетки друг другом до полных клеток. (5 )

3. Сложим полученные количества полных клеток: ( 10+5 = 15 )

2 способ . «Формула площади фигуры» (Приложение 6).

1.Площадь искомого треугольника найдем по формуле:

S тр =(а•h)/2, где а – основание треугольника, h – его высота, проведенная к этому основанию. а=6, h=5

3 способ . «Сложение площадей фигур» (Приложение 7).

1.Разобьем данный треугольник на два прямоугольных треугольника, для этого проведем высоту.

2.Найдем площадь прямоугольного треугольника S 1 : S 1 = (5Х5)/2=12,5

3.Найдем площадь прямоугольного треугольника S 2 : S 2 = (5х1)/2=2,5

4.Площадь искомого треугольника найдем по формуле:

4 способ . «Вычитание площадей фигур» (Приложение 8).

1.Достроим до прямоугольника со сторонами 5 и 6.

2.Найдем площадь прямоугольника: S пр =5Х6=30

3.Найдем площадь прямоугольного треугольника S 1 : S 1 = (5Х5)/2=12,5

4.Найдем площадь прямоугольного треугольника S 2 : S 2 = (5х1)/2=2,5

5.Площадь искомого треугольника найдем по формуле:

S тр =S пр -(S1+S2) S тр =30-(12,5+2,5)= 15

Но если треугольник будет иметь другое расположение, то основание и высоту в таком треугольнике определить точно невозможно, а, следовательно, невозможно применить формулу для вычисления его площади (Приложение 9).

Поэтому здесь можно только применить способ вычитания прямоугольных треугольников из площади прямоугольника.

S прямоугольника = 6*5 = 30 см 2 , S 1 = ½ *5*2 = 5 см 2 , S 2 = ½ *4*2=4 см 2 ., S 3 =½*6*3 = 9 см 2 Тогда S треугольника = S прямоугольника — S 1 — S 2 — S 3 = 30 – 5 – 4 – 9 = 12 см 2

Все другие способы, рассмотренные здесь тоже достаточно трудоёмки.

Итак, хотя многоугольник и выглядел достаточно просто, для вычисления его площади нам пришлось потрудиться. И вот тут на первый план выходит ещё один способ.

5 способ . «Формула Пика» (Приложение 10).

Площадь искомого треугольника найдем по формуле Пика: S=Г/2+В-1,

где Г –количество узлов на границе треугольника(на сторонах и вершинах),

В – количество узлов внутри треугольника. Г = 12, В = 10,

Как видите, формула Пика очень удобна и проста в применении.

А теперь давайте попробуем вычислить площадь этого треугольника с помощью формулы Пика (Приложение 11).

S = 10 + 6/2 – 1 = 12. Оказывается, это намного быстрее, чем в предыдущем случае!
А если бы многоугольник выглядел более причудливо?

Можно убедиться в том, что формула Пика верна для всех рассмотренных примеров.

Оказывается, что если многоугольник можно разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки, то для него верна формула Пика (Приложение 12).

Рассмотрим ещё некоторые задачи на клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см

Задача 1. Найдите площадь прямоугольника АВСD (Приложение 13).
Решение. По формуле Пика: S = В + — 1 .

В = 8, Г = 6
S = 8 + 6/2 – 1 = 10 (см²)
Ответ: 10 см².

Задача 2. Найдите площадь параллелограмма АВСD (Приложение 14).
Решение. По формуле Пика: S = В + — 1 .

S = 6 + 6/2 – 1 = 8 (см²)
Ответ: 8 см².

Задача 3 . Найдите площадь треугольника АВС (Приложение 15).
Решение. По формуле Пика: S = В + — 1 .

S = 6 + 5/2 – 1 = 7,5 (см²)
Ответ: 7,5 см².

Задача 4. Найдите площадь четырёхугольника АВСD (Приложение 16).

Решение. По формуле Пика: S = В + — 1 .

S = 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (см²)
Ответ: 7,5 см².

Согласитесь, рассмотренные задания аналогичны заданию В3 из вариантов контрольно-измерительных материалов ЕГЭ по математике. Теперь, зная формулу Пика, мы можем вычислить площадь любого многоугольника, даже самой причудливой формы, если он изображён на клетчатой бумаге.

Мы изучили литературу по исследуемой теме, проанализировали и систематизировали полученную информацию, познакомились со способами вычисления площадей многоугольников, в том числе с помощью формулы Пика.

Задачи на клетчатой плоскости не являются несерьёзными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьёзных математических задач. Задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки сподвигла австрийского математика Пика в 1899 году доказать замечательную формулу Пика.

В ходе своей исследовательской работы мы нашли и изучили различные способы вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге, сопоставила их. Любой из этих способов применим для решения задач типа В3 ЕГЭ по математике. Но наиболее удобен, на наш взгляд, способ «Формула Пика», который имеет перед другими способами ряд преимуществ:

1. Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу: S = В + — 1 .
2. Формула Пика очень проста для запоминания.
3. Формула Пика очень удобна и проста в применении.
4. Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой формы.

Даже великие ученые говорили, что геометрия является могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и даёт нам возможность правильно мыслить и рассуждать .
ЛИТЕРАТУРА

2. Григорьева Г. И . Подготовка школьников к олимпиадам по математике: 5 – 6 классы. Метод. пособие. – М.: Глобус, 2009.

3. Жарковская Н. М., Рисс Е. А . Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

4. Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010 – 2011. Режим доступа: http://mathege.ru/or/ege/ShowProblems.html?posMask=32

5. Игнатьев Е. И . В царстве смекалки. – М.: Наука, 1982.

6. Прасолов В. В . Задачи по планиметрии. – М.: МЦНМО, 2000.

7. Смирнова И. М., Смирнов В. А . Геометрия на клетчатой бумаге. – М.: Чистые пруды, 2009.

8. Смирнова И. М., Смирнов В. А . Геометрические задачи с практическим содержанием. – М.: Чистые пруды, 2010.

9. Трошин В. В. Занимательные дидактические материалы по математике. Сборник заданий. Выпуск 2. – М.: Глобус, 2008.

10. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М.: Наука

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Исследовательская работа учащегося по математике на тему «Нахождение площади многоугольника»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Всероссийский детский конкурс научно-исследовательских

и творческих работ «Первые шаги в науке»

Управление образования администрации Яковлевского района

Нахождение площади многоугольника

Исследовательская работа

Выполнена ученицей

7 класса МБОУ «Серетинская ООШ

Ковалёвой Екатериной Владимировной

МБОУ «Серетинская ООШ

Ушакова Ольга Анатольевна

Введение — 2 стр.

Методы нахождения площади многоугольника – 4 стр.

Практическое применение результатов – 7 стр.

Заключение — 9 стр.

Список литературы – 10 стр.

«Решение задач – практическое искусство, подобное

плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано;

научиться ему можно, только подражая хорошим

образцам и постоянно практикуясь»

Увлечение отдельной областью математики часто начинается с размышления над какой-то особенно понравившейся задачей. В декабре я участвовала во Всероссийской дистанционной олимпиаде по математике проекта «Инфоурок». Именно там, среди задач мне встретилось задание на нахождение площади многоугольника, построенного на клетчатой бумаге с вершинами в узлах клеток. Решение этой задачи потребовало немало времени, дополнительных построений и знания формул площадей прямоугольников и прямоугольных треугольников.

Именно тогда у меня и возник вопрос, а можно ли находить площади таких многоугольников другими способами?

Так появилась моя исследовательская работа «Нахождение площади многоугольника»

Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Однако чёткой классификации и структурирования задач на клетчатой бумаге по способам решения при изучении литературы по данной теме я не встретила. Возможно, потому, что большинство таких задач считается «занимательными», и не так уж много авторов посвятило этой теме свои изыскания.

Целью данной работы является исследование методов нахождения площади многоугольников.

Многоугольники, построенные на клетчатой бумаге с узлами вершинах клеток.

Процесс вычисления площадей многоугольников различными методами.

Гипотеза : Можно предположить, что существуют различные методы нахождения площадей многоугольников, построенных на клетчатой бумаге с вершинами в узлах клеток.

Для достижения данной цели необходимо решить следующие поставленные задачи:

Изучить литературу по выбранной теме, определить наиболее интересные методы нахождения площади многоугольника.

Проанализировать полученные результаты и систематизировать их.

Провести практическую работу по нахождению площади многоугольника различными методами

Определить группы задач, которые можно решить с помощью исследованного метода нахождения площади многоугольника.

Создать информационную карту: «Нахождение площади многоугольника»

Изучение литературы по выбранной теме, графическое моделирование, анализ и классификация полученных результатов.

В курсе геометрии часто встречаются задачи на нахождение площади сложной фигуры: произвольного многоугольника, невыпуклого многоугольника. Так же задачи подобного вида включены в банк заданий ГИА и ЕГЭ т. е. умение школьников решать такие задачи необходимо для успешной сдачи экзаменов. Для нахождения площади многоугольника, построенного на клетчатой бумаге с вершинами в углах клеток, не требуется знание формул площадей простых фигур.

Новизна данного проекта заключается в следующем: метод нахождения площади многоугольника с помощью формулы Пика не рассматривается материалом учебников при решении задач в основной и средней школе.

Задачи на бумаге в клетку помогают, как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале.

Владение методами разбиения сложной фигуры на простые, применение формул нахождения площадей некоторых фигур и формула Пика позволяют в каждом конкретном случае решить задачу рационально, а также проверить полученный результат.

Методы нахождения площади многоугольника.

Изучив литературу по теме, я выделила несколько методов нахождения площади многоугольника, построенного на клетчатой бумаге так, что все его вершины находятся в узлах пересечения клеток.

Метод непосредственного применения формул.

В школьном курсе математики изучаются формулы нахождения площади следующих многоугольников: квадрата, прямоугольника, произвольного треугольника, трапеции, параллелограмма, ромба. Если заданный многоугольник является одним из изученных, то нахождение площади сводится к вычислению длин нужных элементов фигуры по клеточкам (высоты, оснований, диагоналей и т. д.) и выполнению расчетов по готовой формуле.

Метод сложения площадей.

Данная фигура разбивается с помощью вертикальных и горизонтальных отрезков так, чтобы многоугольник полностью ( без отверстий и наложений) заполняли получившиеся при разбиении прямоугольники и прямоугольные треугольники. Сумма всех площадей фигур, полученных в результате такого разбиения равна площади данного многоугольника.

Метод вычитания площадей простых фигур из площади многоугольника, построенного вокруг данной фигуры

Вокруг данного многоугольника строится четырехугольник так, чтобы его стороны содержали максимальное количество вершин многоугольника и были либо горизонтальны, либо вертикальны. Находится площадь этого описанного прямоугольника и площади фигур, являющимися дополнениями данной фигуры до прямоугольника. Как правило, эти фигуры являются прямоугольниками и прямоугольными треугольниками, или с помощью несложного разбиения их можно разделить на эти фигуры. Далее вычитается из площади описанного прямоугольника сумма площадей всех дополнительных фигур и получается площадь заданного многоугольника.

Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика.

Так как этот метод не изучается в курсе школьной математики, я решила рассмотреть его подробнее остальных.

Автор формулы — Георг Александр Пик (10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик, родился в еврейской семье. Мать — Йозефа Шляйзингер, отец — Адольф Йозеф Пик. Георга, который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Шестнадцатого апреля 1880 года под руководством Лео Кёнигсбергера Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов». В Немецком университете в Праге в 1888 году Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892-м стал ординарным профессором. В 1900—1901 годах занимал пост декана философского факультета. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, лемма Шварца — Пика.

Но больше всего он известен, однако, своей теоремой Пика, которая появилась в его восьмистраничной работе 1899 года Geometrisches zur Zahlenlehre, опубликованной в Праге в Sitzungber, Lotos, Naturwissen Zeitschrift.

Этот результат оставался незамеченным в течение некоторого времени после того, как Пик его опубликовал, однако в 1969 г. Штейнгауз включил его в свой знаменитый “Математический калейдоскоп». С этого времени теорема Пика привлекла довольно большое внимание и начала вызывать восхищение своей простотой и элегантностью.

Доказательство формулы Пика для прямоугольника с вершинами в узлах клеток.

Пусть АВС D – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям клеток

Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г – количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом:

каждый из внутренних узлов «контролирует» целую клетку смещённой сетки, поэтому их общее количество считаем как единицы площади (В)

каждый из узлов на границе, кроме четырех угловых – половину клетки, поэтому их сумму делим пополам (Г-4)/2

каждая из угловых точек – четверть клетки, поэтому 4 умножаем на ¼ клетки и получаем +1 клетка к площади прямоугольника

Итак, получаем : S = В + + 4 · = =В + — 1 .

Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу S = В + — 1 . Это и есть формула Пика.

Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки!

Применение формулы Пика позволяет быстро и точно найти площадь любого многоугольника, построенного на клетчатой бумаге с вершинами в узлах клеток.

Применение формулы Пика для вычисления площадей некоторых фигур вызвало у меня некоторые затруднения, а значит, появилась необходимость в дополнительном исследовании.

Очень уж чётким должен быть чертёж и очень внимательно нужно его рассматривать, чтобы определить, лежит ли данный узел внутри фигуры или же попал на её границу. Как точно сосчитать число узлов клеток, лежащих точно на границе?

Определение количества узлов на отрезке

Поскольку граница состоит из отрезков, то нам необходимо определить количество узлов клеток, лежащих на произвольном отрезке с концами в узлах.

С горизонтальными и вертикальными отрезками все решается однозначно: сколько клеток включает в себя такой отрезок, такое количество минус один и будет узлов на данном отрезке.

Теперь рассмотрим наклонные отрезки, концы которых находятся в узлах клеток. Достроим такой отрезок до прямоугольного треугольника по линиям клеток.

У нас концы отрезка А и В – узлы сетки. Обозначим через С первый узел, встречавшиеся после А на отрезке АВ (значит, между А и С больше нет узлов). Построим прямоугольный треугольник А С D с гипотенузой А С и катетами, лежащими на линиях сетки (рис.1).

Если С ≠ В, то сместим этот треугольник вдоль

отрезка АВ на расстояние А С . Получим равный

ему треугольник С С D .

Следовательно, С – узел, и между С и С нет узлов. Ясно,

что если эту процедуру продолжить, мы когда-нибудь

получим в качестве очередной точки С точку В – узел

сетки. Рассматривая большой прямоугольный треугольник

ARB с гипотенузой АВ, приходим к равенствам:

AR = (k+1) · AD ,

BR = (k+1) · С D ,

AB = ( k +1) · A С ‌

Значит, если k +1 является общим делителем длин двух катетов прямоугольного треугольника, причем наибольшим, то на гипотенузе есть ровно k узлов клеток.

В итоге можно сформулировать правило:

Если n -количество клеток горизонтальной стороны нашего треугольника, а m — вертикальной стороны, то нужно определить НОД чисел m и n .

Если m и n взаимно просты, то между А и В на отрезке АВ нет узлов сетки.

Если же наибольший общий делитель m и n равен k > 1, то на отрезке АВ между точками А и В расположены ровно ( k – 1) узлов сетки.

Теперь, не вглядываясь долго и напряжённо в картинку и не мучаясь сомнениями, мы точно можем определить, через сколько узлов проходит произвольный отрезок с концами в узлах клеток.

Практическое применение результатов

В качестве практического исследования, попробуем решить одну и ту же геометрическую задачу всеми изученными методами. Выберем задачу на нахождение площади трапеции.

💡 Видео

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Формулы для вычисления площади правильного многоугольникаСкачать

Быстрый способ ➜ Найдите площадь многоугольника на рисункеСкачать

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника,его стороны и радиуса вписанной окружностиСкачать

Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Площадь многоугольникаСкачать

Площадь многоугольникаСкачать

Как найти площадь многоугольника | Олимпиадная математикаСкачать

Площадь фигурыСкачать

49. Понятие площади многоугольникаСкачать

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Как посчитать площадь многоугольника за 15 секунд в уме? Формула для ленивыхСкачать

Геометрия 9 класс (Урок№22 - Формулы площади правильного многоугольника,стороны и радиуса впис.окр.)Скачать

Площадь правильного многоугольникаСкачать

2 лучших способа определения площади многоугольника на рисунке ➜ Найдите площадь ➜ Формула ПикаСкачать