коэффициент подобия площадь объем

Видео:Средняя линия и коэффициент подобияСкачать

Стереометрия. Страница 7

Видео:Коэффициент подобия отрезков/ площадей/ объемовСкачать

1. Объем

Объем — это величина, показывающая какое количество пространства занимает тело. Например, объем куба, ребро которого равно единице, равен единице. Объем измеряется в кубических единицах. В каких единицах измерения исчисляются три измерения тела (длина, ширина, высота), в таких единицах измеряется и объем. Например, если ребро куба равно 1 м, то его объем будет равен одному кубическому метру, т.е. 1 м 3 .

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Объем прямоугольного параллелепипеда

Пусть даны два прямоугольных параллелепипеда ABCDA’B’C’D’ и ABCDEE’E»E»‘ с общим основанием ABCD и высотами АЕ и АA’ (Рис.1). Обозначим объем параллелепипеда ABCDA’B’C’D’ — V, а объем параллелепипеда ABCDEE’E»E»‘ — V₁.

Разобьем сторону AA’ на большое число n равных частей. Т.е. каждая часть параллелепипеда имеет высоту, равную АA’/ n. Пусть m — число частей, которые укладываются на ребре АЕ.

Возьмем куб объемом одна единица и три прямоугольных параллелепипеда с измерениями: a:1:1, a:b:1, a:b:c (Рис.1.1). Обозначим их объемы как V₁, V₂, V. Тогда можно составить следующие соотношения:

Перемножив эти три равенства почленно, получим, что объем прямоугольного параллелепипеда равен: V = abc.

Рис. 1 Объем прямоугольного параллелепипеда.

Рис. 1.1 Объем прямоугольного параллелепипеда V = abc.

Видео:Подобие треугольников. Вся тема за 9 минут | ОГЭ по математике | Молодой РепетиторСкачать

2.Наклонный параллелепипед

Пусть дан наклонный параллелепипед ABCDA’B’C’D’ (Рис.2). Проведем плоскость через ребро D’C’, перпендикулярную основанию ABCD и построим треугольную призму, у которой грань DD’C’С будет являтся общей с гранью параллелепипеда DD’C’С.

Отсечем точно такую же призму с другой стороны параллелепипеда AA’EBB’F. Отсюда следует, что объем параллелепипеда EFHOA’B’C’D’ равен объему исходного параллелепипеда ABCDA’B’C’D’. Так как мы добавили и отсекли треугольную призму одного и того же размера.

Объем параллелепипеда EFHOA’B’C’D’ равен произведению площади основания EFHO на высоту EA’.

Следует отметить, что если у параллелепипеда две соседние боковые грани находятся под некоторым углом к основанию, т.е. ≠ 90°, то такое преобразование необходимо проделать два раза.

Таким образом, в конечном итоге, можно получить прямоугольный параллелепипед, у которого все боковые грани находятся под прямым углом к основанию. Такое преобразование сохраняет объем параллелепипеда, площадь основания и высоту.

Следовательно, объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Рис.2 Наклонный параллелепипед

Видео:Когда и почему коэффициент подобия равен косинусу?Скачать

3.Объем призмы

Пусть дана треугольная призма ABCA’B’C’ (Рис.3). Достроим данную призму до параллелепипеда. Тогда точка пересечения диагоналей (точка О) параллелограмма BB’C’C будет являться точкой симметрии. Следовательно объем призмы будет равен половине объема параллелепипеда.

Так как объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту, то объем призмы будет равен также произведению площади основания на высоту.

Допустим, что основание призмы есть многоугольник. Тогда его можно разбить на несколько треугольников. Следовательно вся призма будет представлять собой несколько треугольных призм. А общий объем будет равен сумме объемов этих призм.

Таким образом: объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

Рис. 3 Объем призмы.

Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

4. Объем пирамиды

Пусть дана треугольная пирамида ABCS c вершиной S и основанием ABC (Рис.4). Достроим эту пирамиду до треугольной призмы с той же высотой и тем же основанием ABC. Таким образом, треугольная призма будет состоять из трех одинаковых пирамид.
Пирамида ABCS с вершиной S.
Пирамида AECS с вершиной S.
Пирамида CEFS с вершиной S.

Пирамиды AECS и CEFS имеют равные основания AEC и CEF и общую вершину S и соответственно высоту. Следовательно, они имеют равные объемы.

Пирамиды ABCS и CEFS имеют также равные основания ABC и SFE и равные высоты, т.к. основания лежат в параллельных плоскостях.

Отсюда можно сделать вывод, что все три пирамиды имеют один и тот же объем. Таким образом, объем одной пирамиды равен одной трети объема призмы.

Если основание пирамиды представляет собой многоугольник, то его можно разбить на треугольники и объем такой пирамиды можно рассчитать как сумму объемов всех составляющих пирамид, т.к. они все имеют одну и ту же высоту.

Отсюда можно сделать вывод, что объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.

Видео:ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 8 класс ЗАДАЧИ коэффициент подобияСкачать

Объем усеченной пирамиды

Пусть дана усеченная пирамида ABCA’B’C’ (Рис.4.1). Достроим нашу пирамиду до полной с вершиной O. Тогда объем усеченной пирамиды будет равен разности двух пирамид.

Пусть х — высота полной пирамиды,
h — высота усеченной пирамиды.
S₁ — площадь основания полной пирамиды
S₂ — площадь основания малой пирамиды

Рис. 4 Объем пирамиды.

Рис. 4.1 Объем усеченной пирамиды.

Видео:ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ коэффициент подобия 8 классСкачать

5. Равновеликие тела

Два геометрических тела называются равновеликими, если они имеют равные объемы.

Пусть даны две треугольные пирамиды, у которых равные площади оснований и высоты. Разделим высоту каждой пирамиды на n равных частей. Через каждую точку деления проведем плоскость, параллельную основанию. Для каждого слоя пирамиды построим призму, как показано на рисунке 5 а и b. Призма в k — м слое первой пирамиды (а) равна призме в k — 1 слое второй пирамиды (b). Так как у них площади оснований подобны с коэффициентом подобия k/n и высоты равны H/n. Отсюда следует, что они имеют равные объемы.

Пусть:
V_a — объем пирамиды а
V_b — объем пирамиды b
G_a — сумма объемов призм пирамиды а
G_b — сумма объемов призм пирамиды b

Тогда суммы объемов G_a и G_b можно рассчитать по формулам:

Если n будет стремиться к бесконечности, то дробь SH/n будет стремиться к нулю. Следовательно:

Если поменять местами пирамиды, то можно получить противоположное неравенство, т.е. V_b ≥ V_a . Следовательно, объемы двух пирамид а и b равны, т.е. V_b = V_a

Отсюда можно сделать вывод, что две треугольные пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами равновелики.

Рис. 5 Равновеликие тела.

Видео:Преобразование подобия. Подобные фигуры. Коэффициент подобия. Геометрия 8-9 классСкачать

6. Объемы подобных тел

Пусть даны два подобных куба Q₁ и Q₂ (Рис.6), которые имеют измерения Q₁:a,b,c и Q₂:ka,kb,kc c коэффициентом подобия k соответственно.

Тогда объем куба Q₁ равен V₁ = abc,
а объем куба Q₂ равен V₂ = ka kb kc = k 3 abc = k 3 V₁.

Следовательно, отношение объемов двух кубов равно k 3

Если тело представляет собой многогранник, в основании которого лежит многоугольник, то его можно разбить на определенное колическтво призм. И общий объем будет равен сумме обемов всех призм. Так как отношение площадей равно k 2 , а отношение высот этих фигур равно k, то объемы двух подобных фигур будут равны:

Объем подобной фигуры:

Точно так же можно разбить тело на несколько пирамид. Тогда объем всего тела будет равен сумме всех составляющих его пирамид.

Отсюда можно сделать следующий вывод, что отношение объемов двух подобных тел равно кубу их коэффициента подобия.

Рис. 6 Объемы подобных тел.

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.

2000 руб / 120 мин — подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин — индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин — студенты.

Тел. 8 916 461-50-69, email: alexey-it@ya.ru

7. Пример 1

Три латунных куба 6 м, 8 м и 10 м переплавлены в один куб. Чему равно ребро этого куба.

Решение:

Пусть даны три латунных куба со сторонами 6 м, 8 м и 10 м (Рис.7). Найдем объем каждого куба:

V₆ = 6 3 = 216 м 3

V₈ = 8 3 = 512 м 3

V₁₀ = 10 3 = 1000 м 3

Отсюда следует, что общий объем должен быть равен:

V_общ = V₆ + V₈ + V₁₀ = 216 + 512 + 1000 = 1728 м 3

Следовательно, сторону куба можно найти из формулы:

а = 3 = 3 = 12 м.

Рис.7 Задача. Три латунных куба 6 м, 8 м и 10 м.

Пример 2

Измерения прямоугольного бруска 3 м, 4 м и 5 м. Если увеличить каждое ребро на х метров, то поверхность увеличится на 54 м 2 . Как увеличится его объем?

Решение:

Пусть дан прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны 3 м, 4 м и 5 м (Рис.8). Найдем его площадь поверхности и объем.

S₁ = 2 * ((5 * 4) + (5 * 3) + (4 * 3)) = 94 м 2

V₁ = 5 * 4 * 3 = 60 м 3

Так как площадь поверхности увеличилась на 54 м 2 , то можно составить следующее соотношение:

S₂ = 2 * ((5 + х) * (4 + х) + (5 + х) * (3 + х) + (4 + х) * (3 + х)) = 94 + 54 = 148

3 x 2 + 24 x — 27 = 0

Корни уравнения: x₁ = — 9, x₂ = 1

Отсюда следует, что измерения увеличенного бруска составляют 4 м, 5 м и 6 м.

Отсюда, V₂ = 6 * 5 * 4 = 120 м 3

Т.е. объем увеличится вдвое.

Рис.8 Задача. Измерения прямоугольного бруска.

Пример 3

Основание прямого параллелепипеда — ромб, площадь которого 1 м 2 . Площадь диагональных сечений 3 м 2 и 6 м 2 . Найдите объем параллелепипеда.

Решение:

Пусть дан прямой параллелепипед, в основании которого лежит ромб (Рис.9). Обозначим несколько переменных. h = AA’, a = AO, b = OD. Тогда составим следующие соотношения:

S_ABCD = 2 a b = 1 — площадь ромба;

S_BB’D’D = 2 b h = 3 — площадь сечения BB’D’D;

S_AA’C’C = 2 a h = 6 — площадь сечения AA’C’C;

Третье уравнение решим относительно h и подставим во второе, затем второе уравнение подставим в первое:

Отсюда, а = 1 м, b = 1 / 2 м, h = 3 м.

Следовательно, объем параллелепипеда равен:

V = 2 ab h = 2 * 1 * 1/2 * 3 = 3 м 3 .

Рис.9 Задача. Основание прямого параллелепипеда — ромб.

Пример 4

Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны 15 м, а расстояние между содержащими их параллельными прямыми 26 м, 25 м и 17 м. Найдите объем призмы.

Решение:

Пусть дана наклонная треугольная призма (Рис.10). Боковое ребро AA’ = 15 м, PC = 25 м, PE = 17 м, EC = 26 м. Сечение РЕС перпендикулярно боковым ребрам. Найдем площадь треугольника РЕС по формуле Герона:

P_PEC = (17 + 25 + 26) / 2 = 34 — полупериметр треугольника РЕС.

S_PEC 2 = P(P — PE)(P — PC)(P — EC) = 34(34 — 17)(34 — 25)(34 — 26) = 41616

Так как треугольник РЕС лежит в плоскости, которая перпендикулярна ребрам призмы, то его следует рассматривать как проекцию треугольника АВС на плоскость сечения. Проведем прямую а, перпендикулярную стороне АВ. Опустим перпендикуляры ОC и TС к прямой а. Следовательно, угол ТСО = α и будет угол между плоскостями. Таким образом площадь треугольника АВС можно найти из формулы:

Рис.10 Задача. Боковые ребра наклонной треугольной призмы.

Опустим перпендикуляр DS. Треугольники KSC и TDK подобны по двум углам. Следовательно, ∠ОDS = α. А отсюда следует, что DS = OD cos α (где OD = AA’ = 15 м — боковое ребро призмы)

Таким образом, объем призмы можно найти по формуле:

V = DS * S_ABC = OD cos α * S_РЕС / cos α = 15 * 204 = 3060 м 3 .

Пример 5

Основание пирамиды — равнобедренный треугольник со сторонами 6 м, 6 м и 8 м. Все боковые ребра равны 9 м. Найдите объем пирамиды.

Решение:

Пусть дана треугольная пирамида (Рис.11). AC = ВС = 6 м, АB = 8 м, SA = SB = SC = 9 м. Найдем площадь основания АВС по формуле Герона:

P_АВC = (6 + 6 + 8) / 2 = 10 — полупериметр треугольника ABС.

S_ABC 2 = P(P — АВ)(P — ВC)(P — АC) = 10(10 — 6) 2 (10 — 8) = 320

S_ABC = 8 м 2

Найдем радиус описанной окружности:

R = ОС = AB * BC * AC / 4S = 6 2 * 8 / 4 * 8 = 9 / м

По теореме Пифагора найдем SO:

SO 2 = SC 2 — CO 2 = 9 2 — (9 / ) 2 = 324 / 5

SO = 18 / м

Теперь объем пирамиды найдем по формуле:

V = S_ABC * SO / 3 = 8 * 18 / / 3 = 48 м 3 .

Рис.11 Задача. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник.

Видео:Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать

Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.
план-конспект занятия по геометрии (10, 11 класс)

Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.

Видео:Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

Скачать:

Видео:Отношение площадей подобных треугольников.Скачать

Предварительный просмотр:

Тема: Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.

Определение понятия подобных тел, отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел, продолжение формирования навыков и умений применения формул объемов при решении задач, а также формирование общих компетенций в области:

• Организации собственной деятельности, выбора типовых методов и способов выполнения профессиональных задач, оценивания их эффективности и качества (ОК 2).
• Оценивания рисков и принятия решений в нестандартных ситуациях (ОК 3).
• Осуществления поиска и использования информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития (ОК 4).
• Использования информационно-коммуникационных технологий для совершенствования профессиональной деятельности (ОК 5).

 определение понятия «подобные тела»;

 вывод формул отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел и

умение применять их при решении задач;

 продолжение формирования навыков и умений по

 применению формул объемов многогранников и тел вращений;

 изображению основных многогранников и круглых тел; выполнять чертежи

по условиям задач;

 решению простейших стереометрических задач на нахождение

геометрических величин (площадей, объемов);

 использованию при решении стереометрических задач планиметрические

 проведению доказательных рассуждений в ходе решения задач.

Объем тела – это положительная величина той части пространства , которую занимает геометрическое тело.

Объемы равных тел равны .

Если тело разбито на несколько тел, не имеющих общих внутренних точек, то его объем равен сумме объемов этих тел.

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.

Правило . Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания и высоты

, где – площадь боковой поверхности;

– периметр основания призмы (многоугольника, лежащего в основании);
– высота призмы (для прямоугольной — это длина бокового ребра призмы).

Правило . Объем прямой призмы равен произведению площади основания на длины бокового ребра

,

где – объем призмы;

– площадь основания призмы (многоугольника, лежащего в основании призмы);

– длина бокового ребра призмы.

Объем куба

Объем куба равен кубу длины его грани.

Формула объема куба

,

где — объем куба, – длина грани куба.

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы

,

где – объем призмы,

– площадь основания призмы,

– высота призмы.

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Формула объема параллелепипеда

, где – объем параллелепипеда,

– площадь основания,

– длина высоты.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

,

где – объем прямоугольного параллелепипеда,

– длина, – ширина, – высота.

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема цилиндра

,

, где – объем цилиндра,

– площадь основания цилиндра,

– радиус цилиндра,

– высота цилиндра,

= 3.141592

Объем частей шара

Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью. Если – радиус шара, перпендикулярный отсекающей плоскости, то точку назовем в этом случае полюсом шара. Высотой шарового сегмента называется отрезок , соединяющий полюс шара с центром основания шарового сегмента.

Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Поэтому его объем является суммой объемов шарового сегмента и конуса . Высота шарового сегмента является также высотой и шарового сектора. Имеем

,

где – радиус конуса. Пусть – полюса шара, . Из прямоугольного треугольника находим , следовательно,

Объем шарового сектора

Два многогранника называются подобными, если они имеют соответственно равные многогранные углы и соответственно подобные грани.

Соответственные элементы подобных многогранников называются сходственными . У подобных многогранников двугранные углы равны и одинаково расположены; сходственные рёбра пропорциональны.

Если в пирамиде проведём секущую площадь параллельно основанию, то она отсечёт от неё другую пирамиду, подобную данной.

Поверхности подобных многогранников относятся, как квадраты сходственных линейных элементов многогранников.

Объёмы подобных многогранников относятся как кубы сходственных линейных элементов этих многогранников.

Квадраты объёмов подобных многогранников относятся как кубы площадей сходственных граней.

Подобные цилиндры и конусы.

Два цилиндра, конуса или усечённых конуса называются подобными, если подобны их осевые сечения.

Боковые и полные поверхности подобных цилиндров, конусов и усечённых конусов относятся, как квадраты их сходственных линейных элементов. (радиусов оснований, высот, образующих).

Объёмы подобных тел.

Пусть Т и Т’ – два простых подобных тела. Это означает, что существует преобразования подобия, при котором тело Т переходить в тело Т’ . Обозначим через k коэффициент подобия.

Разобьём тело Т на треугольные пирамиды

Преобразования подобия, которое переводит тело Т в тело Т’ переводит пирамиды

Р 1 , Р 2 , …, Р n в пирамиды Р 1 ‘ , Р 2 ‘ , …, Р n ‘ .

Эти пирамиды составляют тело Т’ и поэтому объём тела Т’ равен сумме объёмов пирамид

Р 1 ‘ , Р 2 ‘ , …, Р n ‘ .

Так как пирамиды Р 1 ‘ и Р 1 подобны и коэффициент подобия равен k , то и отношение их высот равно k , а отношение площадей их оснований равно k 2 . Поэтому, отношение объёмов пирамид равно k 3 . Так как тело Т состоит из пирамид Р 1 , а тело Т’ состоит из пирамид Р 1 ‘ , то отношение объёмов тел Т’ и Т тоже равно k 3 .

Число k – коэффициент подобия – равен отношению расстояний между любыми двумя соответствующими парами точек при преобразования подобия. Поэтому, это число равно отношению любых двух соответствующих линейных размеров тел Т’ и Т . Таким образом, мы приходим к следующему выводу:

Объёмы двух подобных тел относятся как кубы их соответствующих линейных размеров.

Квадраты объёмов подобных тел относятся, как кубы площадей соответствующих граней.

Объёмы подобных цилиндров, конусов и усечённых конусов относятся, как кубы их соответствующих линейных элементов ( радиусов оснований, высот, образующих ) .

Объёмы шаров относятся, как кубы их радиусов или диаметров.

Площади оснований усечённой пирамиды S 1 и S 2 , а её объём равен V. Определить объём полной пирамиды.

Пусть S 1 > S 2 . Обозначим объём полной пирамиды через V 1 , а объём пирамиды, дополняющей данную усечённую пирамиду до полной, через V 2

Составляя производную пропорцию, получим :

С учётом V 1 – V 2 = V, находим :

Площади оснований усечённой пирамиды равны а 2 и b 2 . Найти площадь сечения, которое параллельно площадям оснований усечённой пирамиды и делящего её объём пополам.

В усечённой пирамиде АС 1 ( для простоты рисунка рассматривается треугольная пирамида ) дано :

Необходимо найти площадь сечения А’В’С’ ( пл. АВС ∥ пл. А’В’С’ ) , которое делит усечённую пирамиду на равновеликие по объёму части.

Дополним усечённую пирамиду до полной. Пирамиды

SАВС, SА’В’С’, SA 1 B 1 C 1 – подобные.

Обозначим площадь искомого сечения А’В’С’ через х 2 , а объёмы пирамид

SАВС, SА’В’С’ и SA 1 B 1 C 1

соответственно V a , V x , V b . Тогда :

где t – некоторое число, которое обозначает величину этих отношений. Тогда :

V a = a 3 t , V x = x 3 t, V b = b 3 t.

По условию задачи :

V a – V x = V x – V b ,

a 3 t – x 3 t = x 3 t – b 3 t,

2 x 3 = a 3 + b 3 .

1. Высота конуса равна 5 см . На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объём исходного конуса, если объём меньшего конуса, отсекаемого от исходного, равен 24 см 3 .

2. Объём конуса равен 27 . На высоте конуса лежит точка и делит её в отношении 2 : 1 считая от вершины. Через точку проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объём меньшего конуса.

3. В усечённой пирамиде соответственные стороны оснований относятся как 2 : 5. В каком отношении делится её объём плоскостью, проходящей через середину высоты этой пирамида параллельно основаниям ?

4. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1 / 2 высоты. Объём жидкости равен 54 мл . Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд ?

5. Объём конуса равен 16 . Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объём меньшего конуса.

6. Объём конуса равен 10 . Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объём меньшего конуса.

7. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1 / 2 высоты. Объём жидкости равен 70 мл . Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд ?

8. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1 / 3 высоты. Объём жидкости равен 14 мл . Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху ?

SО = 5 см, SО 1 = 2 см.

Объём малого конуса равен 24 см 3 (см. рисунок). Найдите объём большого конуса.

10. Дано: конус, R – радиус основания, усечённый конус, r – радиус

меньшего основания (см. рисунок).

1. Радиусы оснований усечённого конуса относятся как 2 : 3. Высота конуса разделена на три равные части, и через точки деления проведены плоскости, параллельные основаниям. Найти в каком отношении разделился объём усечённого конуса.

а ) 127 : 162 : 217;

б ) 127 : 168 : 219;

в ) 123 : 168 : 217;

г ) 127 : 168 : 217.

2. Если объёмы двух сфер относятся как 64 : 125, то площади их поверхностей относятся как ?

Видео:Подобные треугольникиСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Использование кейс-метода для решения задач на нахождение площади поверхности и объема невыпуклого многогранника

В статье рассматривается решение задач В9 при подготовке к ЕГЭ.

урок в 11 классе по геометрии. Тела вращения, их объемы и площади поверхностей

урок в 11 классе по геометрии. Тела вращения, их объемы и площади поверхностей.

Пропорциональные отрезки. Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных треугольников. Урок с использованием ЭОР

Цель урока: сформулировать определение пропорциональных отрезков, подобных треугольников, коэффициента пропорциональности, доказать теорему об отношении площадей подобных фигур, уметь применить знания.

Технологическая карта урока геометрии по теме: «Тела вращения, площади их поверхностей и объемы»

Урок геометрии, проведенный на 1 курсе СПО.За неделю до урока группа разбивается на команды, каждая из которых получает задание от преподавателя подготовить материал по конкретному телу вращения.

Открытый урок по теме «Тела вращения, их объемы и площади поверхностей»

урок – конкурс, который является одной из форм проверки знаний по данной теме.

Технологические карта урока геометрии по теме «Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных треугольников. Решение задач». Геометрия. 8 класс

Урок проведен в 8 классе после изучения тем «Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных фигур». Данный урок проведен в форме игры «Умники и умницы». Игра состо.

Конспект урока по геометрии в 11 классе «Вычисление объемов и площадей поверхности геометрических тел»

Урок геометрии по теме: Вычисление объемов и площадей поверхности геометрических тел» проводится в 11 классе в форме проекта.Обучающиеся делятся на группы и выполняют задание на исследовани.

Видео:8 класс Отношение площадей подобных фигурСкачать

Объем пространственных фигур — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Исследование. Соберите не менее 4 призм различных размеров из кубиков и изобразите полученные призмы.

1. Предположим, что ребро каждого кубика, из которых состоит призма, равна 1 единице, площадь грани равна 1 квадратной единице, а объём равен 1 кубической единице.
2. Данные для каждой призмы запишите в таблицу.
3. Какая связь существует между площадью основания призмы и высотой?
4. Вытащите один кубик из угла конструкции и изобразите вид впереди, сверху и сбоку каждого кубоида.

Если тело можно разделить на конченое число треугольных пирамид, то оно называется простым телом. Для простых тел объём — положительная величина, численное значение которой удовлетворяет следующим свойствам.

1. Объёмы конгруэнтных тел равны.
2. Объём куба, ребро которого равно единице, равен кубической единице.
3. Если тело можно разделить на простые части, то его объём равен сумме объёмов полученных частей.

Тела, имеющие одинаковые объёмы называются равновеликими. Объём прямоугольного параллелепипеда, размеры которого являются натуральными числами, равен

количеству кубических единиц, из которых он состоит. Можно также показать, что объём прямоугольного параллелепипеда, размеры которого заданы любыми действительными числами равен произведению трёх измерений: . Формулу объёма можно записать как произведение площади основания и высоты с. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания и высоты:

Следствие: Объём куба с ребром а равен:

Объём любой прямой призмы равен произведению площади основания и высоты. Справедливость данного утверждения проверим на прямой призме, в основании которой лежит прямоугольный треугольник.

Достроим основание призмы до прямоугольника, получим призму, достроенную до прямоугольного параллелепипеда. Объём полученной призмы равен .

Плоскость , проходящая через диагональ параллелепипеда делит призму на две конгруэнтные треугольные призмы. Значит, объём прямой призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник будет:

В треугольнике ABC, являющимся основанием прямой призмы, проведём высоту так, чтобы она пересекала противоположную сторону во внутренней области: . Плоскость, проходящая через ребро АА’ перпендикулярно ребру ВС имеет одинаковую высоту с призмой, и делит её на две призмы, в основании которых лежат прямоугольные треугольники. Объём заданной призмы равен сумме объёмов полученных призм. Значит, объём прямой призмы с произвольным треугольником в основании равен произведению площади основания и высоты.

Если основанием прямой призмы является произвольный многоугольник, то её также можно разделить на треугольные призмы и найти её объём как сумму объёмов данных призм. Наклонную призму АВСА’В’С’ преобразуем в прямую призму равного объёма. Для этого:

1. проведём плоскость перпендикулярную боковым рёбрам;
2. отделим оставшуюся при сечении верхнюю часть призмы;
3. переместим и соединим её с оставшейся внизу частью;
4. высота полученной прямой призмы является боковым ребром наклонной призмы, т.е. , основание же является перпендикулярным сечением наклонной призмы. Объём данной прямой призмы является также объёмом наклонной призмы.

Следствие. Объём наклонной призмы равен произведению перпендикулярного сечения и ребра призмы: . Угол между перпендикулярным сечением и основанием равен углу между боковым ребром и высотой призмы.

Поэтому, .

Таким образом объём призмы равен произведению площади основания и высоты.

Видео:Задание 24 Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Принцип Кавальери для нахождении объёмов

Если площади сечений параллельных основаниям двух тел равны, то равны и их объёмы, при условии, что основания лежат в одной плоскости, а высоты равны. Этот принцип открыл итальянский математик Бонавентура Кавальери (1598 — 1647).

Объем призмы

Объем призмы равен произведению площади основания и высоты.

Пример №1

Найдём объём правильной пятиугольной призмы, стороны основания которой равны 4 см, а длина бокового ребра 9 см. Центральный угол правильного пятиугольника равен 360 : 5 = 72° значит апофема равна:

Площадь правильного многоугольника равна полупроизведению периметра и апофемы.

Исследование. 1. Диагонали куба деляг его на 6 конгруэнтных пирамид. Основание каждой пирамиды — грань куба, а высота

каждой пирамиды равна

а)Докажите, что объём каждой пирамиды равен

б)Докажите, что объём каждой пирамиды равен

Объём пирамиды

Объем пирамиды равен одной третьей произведения площади основанию на высоту.

Пусть, ТАВС — треугольная пирамида с вершиной Т и основанием ABC. Достроим эту пирамиду до треугольной призмы. Полученная призма состоит из трёх пирамид:

1)заданной пирамиды ТАВС;

Основания 2-ой и 3-ей пирамид конгруэнтны: и высота, проведённая из вершины Т общая. Поэтому их объёмы равны. Основания 1-ой и 3-ей пирамид конгруэнтны: и высота, проведённая из вершины С общая. Поэтому и их объёмы равны. Тогда объём заданной пирамиды равен . Основание любой пирамиды всегда можно разделить на треугольники и найти объём пирамиды суммировав объёмы всех полученных пирамид. Таким образом, объём любой пирамиды равен одной третьей произведения площади основания на высоту: .

Подобие фигур в пространстве

Подобные фигуры имеют одинаковую форму и пропорциональные размеры.

Например, прямоугольные треугольники на рисунке подобны, так как отношения соответствующих сторон равны.

Прямоугольные параллелепипеды на рисунке подобны, так как отношения соответствующих линейных размеров равны и соответствующие грани являются подобными четырёхугольниками. Правильные многогранники подобны. В частном случае подобными являются все кубы, правильные тетраэдры и т.д.

Подобные фигуры

Если при преобразовании расстояние между любыми двумя точками, меняется в одинаковое число раз, то такое преобразование называется подобием. Одна и другая, полученная при преобразовании подобием, фигура называются подобными фигурами. Коэффициент подобия равен отношению расстояний между парой любых двух соответсвующих точек.

Пример №2

Определим подобны или нет фигуры на рисунке.

Площади поверхностей и объёмы подобных фигур

Исследование. Покажите подобны или нет следующие фигуры.

Призмы А и В (прямоугольные параллелепипеды) подобные призмы

с коэффициентом подобия равным .

Для данных призм найдите:

а)отношение площадей полных поверхностей;

а)площадь полной поверхности призмы А

площадь полной поверхности призмы В

Отношение полной поверхности призмы А к полной поверхности призмы В

б)объём призмы А

объём призмы В

Отношение объёма призмы А к объёму призмы В

Если коэффициент подобия двух пространственных фигур равен , то отношение площадей (боковых, полных, оснований) равно , а отношение объемов равно Коэффициент подобия:

Пирамида, полученная сечением плоскости параллельной основанию, подобна данной. Коэффициент подобия можно найти из отношения соответствующих линейных размеров.

Например, на рисунке даны высоты. Тогда, отношения их боковых поверхностей, основании и полных поверхностей равно квадрату отношения высот.

Объём усечённой пирамиды

Исследование. В древнем Египте объём правильной усечённой четырёхугольной пирамиды вычисляли по формуле . Однако доподлинно не известно каким образом эта формула была получена. Выведите формулу, выполнив следующие шаги:

• а)Запишите объём правильной четырёхугольной пирамиды, со стороной основания у ед.
• б)Запишите объём правильной четырёхугольной пирамиды, со стороной основания х ед.
• в)Покажите зависимость между высотами Н и h, как
• г)Покажите, что объём усечённой пирамиды находится по формуле .

Объём усечённой пирамиды можно также найти как разность объёмов пирамид, при сечении плоскостью параллельной основанию.

Здесь V — объём усечённой пирамиды, S₂ и S₁ площади нижнего и верхнего оснований. h — высота усечённой пирамиды, h₁ — высота меньшей пирамиды.

Так как эти пирамиды подобны, то отношение площадей равно квадрату отношений высот. Запишем это равенство и найдём высоту меньшей пирамиды.

Учитывая выражение

в равенстве

Объём усечённой призмы

Объём усечённой пирамиды с площадями оснований и , и высотой вычисляется по формуле

Задачи на сечение плоскостью

Пример:

На рисунке показано сечение куба, с ребром а, плоскостью АВDО. Точки D и С являются серединами рёбер. Найдём площадь сечения.

Решение:

Дано: куб, длина ребра которого равна а точки D и С середины рёбер.

Найдите:

Для удобства повернём куб и отметим данные задачи на рисунке. Из по теореме Пифагора:

Ответ:

Симметрия в пространстве

В пространственных фигурах также можно наблюдать различную симметрию. Известно, что в параллелепипеде диагональные сечения являются параллелограммами и диагонали ВD₁ и DВ₁ пересекаясь в точке О делятся пополам.

Можно показать, что другие диагонали также пересекаются в точке О и делятся пополам. Значит, точка пересечения диагоналей параллелепипеда является центром его симметрии.

В пространстве, помимо симметрии относительно точки и прямой, рассматривается симметрия относительно плоскости.

Если отрезок АА’ пересекает плоскость а посередине, и перпендикулярен плоскости, то говорят, что точки А и А’ симметричны относительно плоскости а.

Если точки фигуры, симметричные некоторой плоскости, также принадлежат этой фигуре,то эту плоскость называют плоскостью симметрии, а фигуру называют симметричной относительно плоскости.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все линейные размеры разные, кроме центра симметрии имеет ещё три оси и три плоскости симметрии. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей противоположных граней, называется осью симметрии,а плоскость, проходящая перпендикулярно через середину рёбер называется плоскостью симметрии. Параллелепипед, у которого два линейных размера равны, имеет 5 плоскостей симметрии. Данные изображения нарисуйте в тетрадь.

Точка пересечения диагоналей куба является его центром симметрии. Прямые, проходящие через середину параллельных рёбер, не принадлежащих одной грани (их всего 6) и прямые, проходящие через центры противоположных граней(их всего три), являются осями симметрии куба. У куба 9 плоскостей симметрии. Они изображены на следующих рисунках.

Вращательная симметрии

Вращательная симметрия пространственных фигур похожа на вращательную симметрию плоских фигур. Однако, для объёмных фигур она определяется при помощи оси вращения.

Вращательная и осевая симметрия широко применяется при изучении строения молекул веществ.

Пример №3

На рисунке показан вид сверху деталей, в виде правильных треугольных призм. Из них сконструирована правильная шестиугольная призма с центром основания О. Сколько деталей понадобилось для этого?

Основанием призмы является правильный шестиугольник, состоящий их 6 конгруэнтных треугольников. Каждый треугольник заполнен призмами. По изображению видно, что в один треугольник помещено 1+3 + 5 + 7 + 9 = 25 призм . Для правильной шестиугольной призмы таких призм нужно будет 6 • 25 = 150.

• Объёмы поверхностей геометрических тел
• Фигуры вращения: цилиндр, конус, шар
• Объем фигур вращения
• Длина дуги кривой
• Площадь многоугольника
• Правильные многоугольники
• Вписанные и описанные многоугольники
• Площадь прямоугольника

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📹 Видео

Площади подобных фигур. Геометрия 8-9 классСкачать

8 класс, 20 урок, Определение подобных треугольниковСкачать

Задание 26 Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

57 Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Подобные треугольники Отношение площадейСкачать