какой закон площадей кеплера

Видео:Законы КеплераСкачать

Законы Кеплера

Астрономия конца XVI века отмечает столкновение двух моделей нашей Солнечной системы: геоцентрическая система Птолемея – где центром вращения всех объектов является Земля, и гелиоцентрическая система Коперника – где Солнце является центральным телом.

И хотя Коперник был ближе к истинной природе Солнечной системы, его работа имела недостатки. Основным из этих недостатков являлось утверждение, что планеты вращаются вокруг Солнца по круговым орбитам. С учетом этого, модель Коперника практически настолько же не согласовывалась с наблюдениями, как и система Птолемея. Польский астроном стремился исправить данное расхождение при помощи дополнительного движения планеты по кругу, центр которого уже двигался вокруг Солнца — эпицикл. Однако, расхождения в большей своей части не были устранены.

В начале XVII века немецкий астроном Иоганн Кеплер, изучая систему Николая Коперника, а также анализируя результаты астрономических наблюдений датчанина Тихо Браге, вывел основные законы относительно движения планет. Они были названы как Три закона Кеплера.

Будучи великолепным наблюдателем, Тихо Браге за много лет составил объёмный труд по наблюдению планет и сотен звёзд, причём точность его измерений была существенно выше, чем у всех предшественников.

Видео:Законы КеплераСкачать

Первый закон Кеплера (закон эллипсов)

Планеты Солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам. В одном из фокусов которой находится Солнце.

Согласно первому закону Кеплера, все планеты нашей системы движутся по замкнутой кривой, называемой эллипсом. Наше светило располагается в одном из фокусов эллипса. Всего их два: это две точки внутри кривой, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса постоянна.

После длительных наблюдений ученый смог выявить, что орбиты всех планет нашей системы располагаются почти в одной плоскости. Некоторые небесные тела двигаются по орбитам-эллипсам, близким к окружности. И только Плутон с Марсом двигаются по более вытянутым орбитам. Исходя из этого, первый закон Кеплера получил название закона эллипсов.

Видео:Законы КеплераСкачать

Второй закон Кеплера (закон площадей)

Радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади.

Второй закон Кеплера говорит о следующем: каждая планета перемещается в плоскости, проходящей через центр нашего светила. В одно и то же время радиус-вектор, соединяющий Солнце и исследуемую планету, описывает равные площади. Таким образом, ясно, что тела движутся вокруг желтого карлика неравномерно, а имея в перигелии максимальную скорость, а в афелии – минимальную.

На практике это видно по движению Земли. Ежегодно в начале января наша планета, во время прохождения через перигелий, перемещается быстрее. Из-за этого движение Солнца по эклиптике происходит быстрее, чем в другое время года. В начале июля Земля движется через афелий, из-за чего Солнце по эклиптике перемещается медленнее.

Видео:Законы Кеплера / Kepler's lawsСкачать

Третий закон Кеплера (гармонический закон)

Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит.

По третьему закону Кеплера, между периодом обращения планет вокруг светила и ее средним расстоянием от него устанавливается связь. Третий закон Кеплера выполняется как для планет, так и для спутников, с погрешно­стью не более 1 %.

На основании этого закона можно вычис­лить продолжительность года (время полного оборота вокруг Солнца) любой планеты, если известно её расстояние до Солнца. И наобо­рот — по этому же закону можно рассчитать орбиту, зная период обращения.

Видео:Законы Кеплера Анимированная презентация по физике 10 классСкачать

Дальнейшее развитие

И хотя законы Кеплера имели относительно невысокую погрешность, все же они были получены эмпирическим способом. Теоретическое же обоснование отсутствовало. Данная проблема позже была решена Исааком Ньютоном, который в 1682-м году открыл закон всемирного тяготения.

Законы Кеплера стали важнейшим этапом в понимании и описании движения планет.

Видео

Видео:Законы Кеплера простым языком #астрономия #космос #физика #историяСкачать

Потенциальная энергия взаимодействия двух тел

Пусть два тела с массами M и m находятся на расстоянии R друг от друга. Тогда энергия их взаимодействия равна

Видео:Второй закон КеплераСкачать

Полная энергия

Если тело находится в гравитационном поле и имеет некоторую скорость, то его полная энергия равна

Таким образом, в соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается неизменной.

Теорема вириала

В случае кругового движения кинети­ческая энергия в 2 раза меньше по модулю потенциальной. Поэтому

Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю. Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела.

При E_пол Система с отрицательной полной энергией называется гравитационно связанной .

При E_пол = 0 тело движется по параболической траектории. Скорость тела на бесконечности равна нулю.

При E_пол > 0 движение происходит по гиперболической траектории. Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.

Видео:Урок 65. Движение планет. Законы КеплераСкачать

Первая космическая скорость

Это скорость движения по круговой траектории вблизи поверхности Земли

Это минимальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно преодолело притяжение Земли и стало спутником. Для Земли примерно 7,9 км/с.

Видео:Первый закон Кеплера. ЭллипсСкачать

Вторая космическая скорость

Это скорость движения по параболической траектории

Она равна минимальной скорости, которую нужно сообщить телу на поверхности Земли, чтобы оно, преодолев земное притяжение, стало искусственным спутником Солнца . Находится из условия равенства нулю полной энергии системы. Для Земли примерно 11,2 км/с.

Видео:ЕГЭ по Физике 2022. Астрономия. Первый закон КеплераСкачать

Третья космическая скорость

Это скорость, при которой тело преодолевает притяжение Солнца

где v – орбитальная скорость планеты, v ₂ – вторая космическая скорость для планеты. Для Земли примерно 16,6 км/с.

Задачи:

Звезда и планета обращаются вокруг общего неподвижного центра масс по круговым орбитам. Найдите массу планеты m, если известно, что скорость движения планеты равна v ₁ , а скорость движения и период обращения звезды равны v ₂ и T соответственно.

Если бы все линейные размеры Солнечной системы были пропорционально сокращены так, чтобы среднее расстояние между Солнцем и Землей стало 1 м, то какова была бы продолжительность одного года? Считайте, что плотность небесных тел при этом не меняется.

Автоматическая станция обращается вокруг планеты Марс с периодом T = 18 ч. Максимальное удаление от поверхности Марса (в апоцентре) a = 25000 км, минимальное (в перицентре) p = 1380 км. По указанным параметрам орбиты станции определите отношение массы Марса к массе Земли. Радиус Марса r_м = 3400 км, радиус Земли r_з = 6400 км.

Вычислить массу Юпитера, зная, что его спутник Ио совершает оборот вокруг планеты за 1,77 суток, а большая полуось его орбиты 422 тыс. км.

Вычислить параболическую скорость на поверхности Луны, R_Л = 0.27 радиуса Земли, M_Л = 1/81 массы Земли.

Видео:Второй закон Кеплера (закон площадей)Скачать

Законы Кеплера

Гравитационное взаимодействие проще всего наблюдать на космических объектах, обладающих огромной массой. В окружающей нас повседневности действие гравитации между предметами наблюдать сложно, даже если вес предметов составляет сотни и тысячи килограммов. В микромире силы гравитационного взаимодействия малы настолько, что ими можно пренебречь, потому на первый план выходят другие виды взаимодействий между элементарными частицами и атомами.

Гравитация удерживает живых существ и предметы на поверхности планеты, определяет характер движения планет вокруг Солнца. Именно гравитационное воздействие определяет тот факт, что планеты удерживаются вокруг своих звезд, а спутники не могут уйти в космическое пространство и продолжат движение по орбите вокруг своей планеты.

Закон всемирного тяготения или как его еще называют, теория гравитации, был открыт именно при наблюдении за планетами Солнечной системы.

Если наблюдать за движением небесных тел с Земли, то может показаться, что все эти тела движутся по сложной траектории. Так, например, древний ученый Птолемей, первооткрыватель законов движения планет, поместил Землю в центр вселенной и предположил, что другие планеты и звезды движутся вокруг Земли по большим и малым орбитам.

Рисунок 1 . 24 . 1 . Условное изображение наблюдаемого движения Марса на фоне неподвижных звезд.

Законы движения планет, установленные Птолемеем никем из исследователей не оспаривалась на протяжении 14 веков и только в середине 16 столетия была заменена Коперником на гелиоцентрическую систему, согласно которой все планеты движутся вокруг Солнца.

На основе гелиоцентрической системы объяснить траектории движения небесных тел стало намного проще. На основании трудов Коперника и наблюдений за движением планет астронома из Дании Браге немецкий астроном Кеплер сформулировал три эмпирических закона движения планет в Солнечной системе.

Видео:ЕГЭ по Физике 2022. Астрономия. Второй закон КеплераСкачать

Первый закон Кеплера

Планеты Солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам. В одном из фокусов такой орбиты находится Солнце.

Мы проиллюстрировали первый закон Кеплера рисунком. На нем изображена планета, чья масса меньше массы звезды. Звезда находится в одном из фокусов эллипса, по которому движется планета. Точкой Р мы обозначили ближайшую к звезде траекторию, носящая название перигелия. Точка А – это наиболее удаленная от звезды точка траектории, которая называется афелием. Большая ось эллипса располагается между точками афелии и перигелия.

Рисунок 1 . 24 . 2 . Эллиптическая орбита планеты массой m M . a – длина большой полуоси, F и F ‘ – фокусы орбиты.

В Солнечной системе все планеты за исключением Плутона движутся по орбитам, которые близки к круговым.

Видео:21 серия. Закон КеплераСкачать

Второй закон Кеплера, или закон площадей

Радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади.

Рисунок 1 . 24 . 3 . Закон площадей – второй закон Кеплера.

Эквивалентом второго закона Кеплера можно считать закон сохранения момента импульса. На рисунке, расположенном выше, изображен вектор импульса тела p → и составляющие его p r → и p ⊥ → . Площадь, заметенная радиус-вектором за малое время Δ t , приближенно равна площади треугольника с основанием r Δ θ и высотой r :

∆ S = 1 2 r 2 ∆ θ или ∆ S ∆ t = 1 2 r 2 ∆ θ ∆ t = 1 2 r 2 ω ; ( ∆ t → 0 ) .

Здесь ω = ∆ θ ∆ t ; ( ∆ t → 0 ) – угловая скорость.

Момент импульса L по абсолютной величине равен произведению модулей векторов p r → и p ⊥ → :

L = r p ⊥ = r ( m v ⊥ ) = m r 2 ω так как v ⊥ = r ω .

Из этих отношений следует:

∆ S ∆ t = L 2 m , ∆ t → 0

Поэтому, если по второму закону Кеплера ∆ S ∆ t = co n s t , то и момент импульса L при движении остается неизменным.

В частности, поскольку скорости планеты в перигелии v P → и афелии v A → направлены перпендикулярно радиус-векторам r P → и r A → из закона сохранения момента импульса следует:

r P v p = r A u A

Видео:Законы КеплераСкачать

Третий закон Кеплера

Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Формула третьего закона Кеплера имеет вид:

T 2 a 3 = c o n s t или T 1 2 a 1 3 = T 2 2 a 2 3

Точность, с которой третий закон Кеплера выполняется для всех планет, составляющих Солнечную систему, составляет выше 1 % .

На рисунке изображены две орбиты, по которым небесные тела движутся вокруг звезды. Одна из орбит круговая с радиусом R , а другая – эллиптическая с большой полуосью a . Если R = a , то согласно третьему закону Кеплера периоды обращения планет по таким орбитам будут одинаковы.

Рисунок 1 . 24 . 4 . Круговая и эллиптическая орбиты. При R = a периоды обращения тел по этим орбитам одинаковы.

Рисунок 1 . 24 . 5 . Модель законов Кеплера.

Законы Кеплера очень долго были правилами, полученными эмпирически на основе наблюдений за движением небесных тел. Для того, чтобы получить возможность опираться на них в создании рабочих теорий, не хватало теоретического обоснования законов.

Таким обоснованием стало открытие закона всемирного тяготения Исааком Ньютоном:

Закон всемирного тяготения:

где M и m – массы Солнца и планеты, r – расстояние между ними, G = 6 , 67 · 10 – 11 Н · м 2 / к г 2 – гравитационная постоянная.

Ньютон был первым из исследователей, кто пришел к выводу о том, что между любыми телами в космосе действуют гравитационные силы, которые и определяют характер движения этих тел. Частным случаем такого взаимодействия является сила тяжести, воздействующая на тела, расположенные на поверхности и вблизи планет.

Для круговых орбит первый и второй закон Кеплера выполняются автоматически, а третий закон утверждает, что T 2

R 3 , где Т – период обращения, R – радиус орбиты. Отсюда можно получить зависимость гравитационной силы от расстояния. При движении планеты по круговой траектории на нее действует сила, которая возникает за счет гравитационного взаимодействия планеты и Солнца:

ω 2 R = 2 π 2 R T 2 .

Свойство консервативности гравитационных сил позволяет ввести понятие потенциальной энергии. Для сил всемирного тяготения удобно потенциальную энергию отсчитывать от бесконечно удаленной точки.

Потенциальная энергия тела массы m , находящегося на расстоянии r от неподвижного тела массы M , равна работе гравитационных сил при перемещении массы m из данной точки в бесконечность.

Математическая процедура вычисления потенциальной энергии тела в гравитационном поле состоит в суммировании работ на малых перемещениях.

Рисунок 1 . 24 . 6 . Вычисление потенциальной энергии тела в гравитационном поле.

Закон всемирного тяготения применим не только к точеным массам, но и к сферически симметричным телам. Работа ∆ A i гравитационной силы F → на малом перемещении ∆ s i → = ∆ r i → есть:

∆ A i = — G M m r i 2 ∆ r i

Полная работа при перемещении тела массой m из начального положения в бесконечность находится суммированием работ Δ A i на малых перемещениях:

В пределе при Δ r i → 0 эта сумма переходит в интеграл. В результате вычислений для потенциальной энергии получается выражение:

E p = A r ∞ = — G M m r

Знак «минус» указывает на то, что гравитационные силы являются силами притяжения.

Если тело находится в гравитационном поле на некотором расстоянии r от центра тяготения и имеет некоторую скорость v , его полная механическая энергия равна

E = E k + E p = m v 2 2 — G M m r = c o n s t

В соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается неизменной.

Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю. Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела (рис. 1 . 24 . 6 ).

При E = E 1 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние r > r m a x . В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (планеты Солнечной системы, кометы).

Рисунок 1 . 24 . 7 . Диаграмма энергий тела массой m в гравитационном поле, создаваемом сферически симметричным телом массой M и радиусом R .

При E = E 2 = 0 тело может удалиться на бесконечность. Скорость тела на бесконечности будет равна нулю. Тело движется по параболической траектории.

При E = E 3 > 0 движение происходит по гиперболической траектории. Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.

Видео:КЕПЛЕР - ГЕНИЙ, КОТОРОГО НИКТО НЕ ПОНЯЛСкачать

Первая и вторая космические скорости

Законы Кеплера применимы не только к движению планет и других небесных тел в Солнечной системе, но и к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей. В этом случае центром тяготения является Земля.

Первой космической скоростью называется скорость движения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли.

m v 1 2 R 3 = G M m R 3 2 = g m , отсюда v 1 = G M R 3 = g R 3 = 7 , 9 · 10 3 м / с .

Второй космической скоростью называется минимальная скорость, которую нужно сообщить космическому кораблю у поверхности Земли, чтобы он, преодолев земное притяжение, превратился в искусственный спутник Солнца (искусственная планета). При этом корабль будет удаляться от Земли по параболической траектории.

E = m v 2 2 2 — G M m R 3 = 0 , отсюда v 2 = 2 G M R 3 = 2 g R 3 = 11 , 2 · 10 3 м / с .

Мы проиллюстрировали понятие первой и второй космической скорости рисунком. Если скорость космического корабля равна v 1 = 7 . 9 · 10 3 м / с и направлена параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей. При начальных скоростях, превышающих v 1 , но меньших υ 2 = 11 , 2 · 10 3 м / с , орбита корабля будет эллиптической. При начальной скорости v 2 корабль будет двигаться по параболе, а при еще большей начальной скорости – по гиперболе.

Рисунок 1 . 24 . 8 . Космические скорости. Указаны скорости вблизи поверхности Земли. 1 : v = v 1 – круговая траектория; 2 : v 1 v v 2 – эллиптическая траектория; 3 : v = 11 , 1 · 10 3 м / с – сильно вытянутый эллипс; 4 : v = v 2 – параболическая траектория; 5 : v > v 2 – гиперболическая траектория; 6 : траектория Луны.

🎥 Видео

Законы КеплераСкачать

Как Ньютон дополнил третий закон КеплераСкачать

Решение задач. Законы Кеплера и закон всемирного тяготенияСкачать

Физика. 9 класс. Законы КеплераСкачать

Третий закон КеплераСкачать