Площадь PRO » Статьи

как звучит теорема о площади треугольника

Обновлено Просмотров 1541
Содержание
  1. Площадь треугольника — определение и вычисление с примерами решения
  2. Теорема (формула площади треугольника)
  3. Площадь треугольника через синус
  4. Определение
  5. Введение
  6. Теорема
  7. Формула
  8. Пример
  9. Доказательство
  10. Заключение
  11. Геометрия. 9 класс
  12. 📸 Видео

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника

Площадь треугольника — определение и вычисление с примерами решения

Площадь треугольника:

Теорема (о площади треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, к ней проведенную.

Доказательство:

Пусть как звучит теорема о площади треугольника

как звучит теорема о площади треугольника

как звучит теорема о площади треугольника

1) Проведем через вершину как звучит теорема о площади треугольникапрямую, параллельную как звучит теорема о площади треугольникаа через вершину как звучит теорема о площади треугольника— прямую, параллельную как звучит теорема о площади треугольникаПолучим параллелограмм как звучит теорема о площади треугольника

2) как звучит теорема о площади треугольника(по трем сторонам). Поэтому

как звучит теорема о площади треугольникаоткуда как звучит теорема о площади треугольника

3) Так как как звучит теорема о площади треугольникато как звучит теорема о площади треугольника

В общем виде формулу площади как звучит теорема о площади треугольникатреугольника можно записать так:

как звучит теорема о площади треугольника

где как звучит теорема о площади треугольника— сторона треугольника, как звучит теорема о площади треугольника— высота, проведенная к ней.

Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Следствие 2. Если сторона одного треугольника равна стороне другого треугольника, то площади таких треугольников относятся как их высоты, проведенные к этим сторонам.

Следствие 3. Если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как стороны, к которым проведены эти высоты.

Пример:

Докажите, что если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

как звучит теорема о площади треугольника

Доказательство:

Рассмотрим как звучит теорема о площади треугольникаи как звучит теорема о площади треугольникау которых как звучит теорема о площади треугольникаПроведем высоты как звучит теорема о площади треугольникаи как звучит теорема о площади треугольника(рис. 238).

как звучит теорема о площади треугольника

2) как звучит теорема о площади треугольника(по острому углу), поэтому как звучит теорема о площади треугольника

3) Имеем: как звучит теорема о площади треугольника

Пример:

Найдите площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна как звучит теорема о площади треугольника

Решение:

Пусть как звучит теорема о площади треугольника— равносторонний со стороной как звучит теорема о площади треугольникаТогда как звучит теорема о площади треугольникаВ равностороннем треугольнике как звучит теорема о площади треугольникагде как звучит теорема о площади треугольника— медиана. Но как звучит теорема о площади треугольника(§ 18, задача 4), поэтому как звучит теорема о площади треугольника

Следовательно, как звучит теорема о площади треугольника

Ответ. как звучит теорема о площади треугольника

Пример:

Стороны треугольника равны 8 см, 15 см и ^ 17 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к его наибольшей стороне.

Решение:

Так как как звучит теорема о площади треугольника(т. е. 289 = 289), то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным. Прямой угол является противолежащим к стороне, равной 17 см.

Пусть на рис. 239 изображен прямоугольный треугольник, у которого как звучит теорема о площади треугольникасм -гипотенуза, как звучит теорема о площади треугольникаи как звучит теорема о площади треугольникасм — катеты, как звучит теорема о площади треугольника— высота. Найдем как звучит теорема о площади треугольника

как звучит теорема о площади треугольника

Площадь этого треугольника можно найти

по формулам: как звучит теорема о площади треугольникаили как звучит теорема о площади треугольника

Тогда как звучит теорема о площади треугольникато есть как звучит теорема о площади треугольникаоткуда как звучит теорема о площади треугольника

Таким образом, имеем: как звучит теорема о площади треугольника(см).

Ответ. как звучит теорема о площади треугольникасм.

Видео:100. Теорема о площади треугольникаСкачать

100. Теорема о площади треугольника

Теорема (формула площади треугольника)

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

как звучит теорема о площади треугольника

где как звучит теорема о площади треугольника — сторона треугольника, как звучит теорема о площади треугольника — проведенная к ней высота.

Пусть как звучит теорема о площади треугольника— высота треугольника как звучит теорема о площади треугольника(рис. 148). Докажем, что как звучит теорема о площади треугольника

как звучит теорема о площади треугольника

Проведем через вершины как звучит теорема о площади треугольникапрямые, параллельные сторонам треугольника, и обозначим точку их пересечения как звучит теорема о площади треугольникаТаким образом, мы «достроили» треугольник как звучит теорема о площади треугольникадо параллелограмма как звучит теорема о площади треугольникав котором отрезок как звучит теорема о площади треугольникатакже является высотой, проведенной к стороне как звучит теорема о площади треугольника

По формуле площади параллелограмма как звучит теорема о площади треугольникаТреугольники как звучит теорема о площади треугольникаравны по трем сторонам (у них сторона как звучит теорема о площади треугольникаобщая, как звучит теорема о площади треугольникакак противолежащие стороны параллелограмма). Эти треугольники имеют равные площади. Тогда площадь треугольника как звучит теорема о площади треугольникасоставляет половину площади параллелограмма как звучит теорема о площади треугольникачто и требовалось доказать.

Следствие 1

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

как звучит теорема о площади треугольника

где как звучит теорема о площади треугольника— катеты прямоугольного треугольника.

Действительно, в прямоугольном треугольнике высота, проведенная к катету, совпадает с другим катетом.

Следствие 2

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

как звучит теорема о площади треугольника

где как звучит теорема о площади треугольника — диагонали ромба.

Действительно, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами как звучит теорема о площади треугольника(рис. 149). Используя следствие 1, имеем:

как звучит теорема о площади треугольника

как звучит теорема о площади треугольника

Следствие 3

Площадь равностороннего треугольника со стороной как звучит теорема о площади треугольникавычисляется по формуле

как звучит теорема о площади треугольника

Обоснуйте это следствие самостоятельно.

Опорная задача

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Докажите.

Решение:

Пусть как звучит теорема о площади треугольника— медиана треугольника как звучит теорема о площади треугольника(рис. 150).

как звучит теорема о площади треугольника

Проведем высоту как звучит теорема о площади треугольникатреугольника как звучит теорема о площади треугольникаЭтот отрезок является одновременно высотой треугольника как звучит теорема о площади треугольникапроведенной к стороне как звучит теорема о площади треугольникаи высотой треугольника как звучит теорема о площади треугольникапроведенной к стороне как звучит теорема о площади треугольникаУчитывая равенство отрезков как звучит теорема о площади треугольникаимеем:

как звучит теорема о площади треугольника

Эта задача имеет интересные обобщения: если высоты двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований; если основания двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их высот.

Докажите эти утверждения самостоятельно.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Окружность и круг
  • Описанные и вписанные окружности
  • Плоские и пространственные фигуры
  • Взаимное расположения прямых на плоскости
  • Треугольник
  • Решение треугольников
  • Треугольники и окружность

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)

Площадь треугольника через синус

как звучит теорема о площади треугольника

Видео:Площадь по теореме Герона #математика #площадь #треугольник #герона #егэ #огэ #найтиплощадь #теоремаСкачать

Площадь по теореме Герона #математика #площадь #треугольник #герона #егэ #огэ #найтиплощадь #теорема

Определение

Площадь треугольника через синус — это площадь треугольника,
выраженная через две любые стороны треугольника и синус угла между ними.

Синус угла — это число, которое используется для нахождения
разных величин в треугольниках, его можно найти в специальных таблицах.

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Введение

Площадь треугольника кроме половины произведения высоты
на основания, можно также найти и другим способом.
Мало кто знает, но через синусы углов можно найти обычно
не только стороны, но и площадь любого треугольника!

Площадь треугольника выраженная без синуса численно равна
половине произведения двух сторон друг на друга
на синус угла между ними.

Площадь треугольника через синус ищется только в том случае,
если по другой формуле площадь треугольника найти нельзя.

Теорема

как звучит теорема о площади треугольника

( S = frac2 * BC * AC * sin angle BCA ) ​

Площадь произвольного треугольника равна полусумме
произведения двух любых сторон треугольника друг на друга,
и на синус угла между этими сторонами.

Формула

[ S = frac2 * a * b * sin α ]

Где a, b — две стороны треугольника, синус α — синус угла α.

Пример

как звучит теорема о площади треугольника

Для примера, возьмем треугольник omk, изображенный на рисунке 1, со сторонами om, mk, ok.
Известно, что mk равен 6, ok равен 8, синус угла okm равен 1/4.

Нужно найти площадь треугольника omk.

Дано: △omk, mk = 6, ok = 8, sin okm = 1/4.

Найти: S △omk — ?

Решение:

1) ​ ( S = frac2*a*b*sin α ) ​​ ( implies ) ​ ( S = frac2*mk*ok*sin okm ) ​

2) S = 1/2 * 6 * 8 * 1/4 = 1/2 * 6 * 8 * 0.25 = 1/2 * 48 * 0.25 = 1/2 * 12 = 6

Ответ: Площадь треугольника omk равна 6.

Доказательство

Докажем, что площадь произвольного треугольника
равна полусумме произведения двух любых сторон
друг на друга, и на синус угла между этими сторонами.

Чтобы вам наглядно было видно, как мы доказываем,
используем один из известнейших треугольников — египетский треугольник.
Высота в египетском треугольнике равна длине одного из катетов.
Построим прямоугольный треугольник, изображенный на рисунке 2,
со сторонами 3,4,5 с одним из углов 90 градусов.

как звучит теорема о площади треугольника

Первым делом найдем площадь обычной формулой,
затем с помощью синуса. Площадь равна половине
основания на высоту — ½3*4 = 6. Теперь найдем с
помощью синуса: ½3*4*sin90 = 6 * 1 = 6. Как видим,
полученные значения площадей сходятся, соответственно
через синус можно найти площадь треугольника ч.т.д.

Теперь, чтобы найти площадь треугольника нам не нужно
знать основание и высоту, можно знать только
две стороны и синус угла между ними.

Видео:Теорема о площади треугольника | Геометрия 7-9 класс #95 | ИнфоурокСкачать

Теорема о площади треугольника | Геометрия 7-9 класс #95 | Инфоурок

Заключение

В заключение, можно сказать, что площадь
треугольника можно найти разными способами.
Например, в прямоугольном треугольнике площадь
рассчитать легче чем в любом другом треугольнике,
так как высота уже известна. Именно поэтому,
в школьном курсе, отчасти так подробно изучаются
прямоугольные треугольники. В Древнем Египте были
распространены прямоугольные треугольники со
сторонами 3,4,5; 6,8,10; 5,12,13. Длины этих прямоугольных
треугольников треугольников целые, что значительно,
упрощало разного рода вычисления.

Формулу площади треугольника делает универсальной то,
что она может применена к абсолютно любым треугольникам.
Главное, чтобы были известные две стороны,
и угол или синус угла между ними.

Формула площади треугольника через синус — универсальна,
поэтому может быть применена к любым видам треугольников.

Видео:Геометрия 9 класс : Теорема о площади треугольникаСкачать

Геометрия 9 класс : Теорема о площади треугольника

Геометрия. 9 класс

Мы знаем, как найти площадь треугольника, зная его сторону и высоту, проведённую к ней: S = 1/2 aha
Также мы можем вычислить площадь треугольника, если известны три его стороны (формула Герона): S = √(p(p — a)(p — b)(p — c)), где p = (a + b + c)/2.
Выведем формулу для вычисления площади треугольника по двум его сторонам и углу между ними.
Для этого воспользуемся методом координат.
Расположим треугольник ABC в координатной плоскости так, чтобы точка C совпадала с началом координат, точка B лежала на положительной полуоси Cx, а точка А располагалась в верхней полуплоскости. Найдём координаты точки А.

S = 1/2 ah,
h = b sin C,
S = 1/2 a b sin C
Подставив выражение для вычисления высоты в формулу для вычисления площади треугольника получили, что площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
Теперь рассмотрим параллелограмм АВСD.

Диагональ ВD разбивает параллелограмм на два треугольника: треугольник АВD и треугольник СDВ. Тогда площадь параллелограмма будет равна сумме площадей этих треугольников: SABCD = SABD + SCDB
SABD = 1/(2) ABAD sin⁡A
Треугольники АВD и СDВ равны по трём сторонам. Следовательно, SABD = SCDB
Подставим формулу для вычисления площади треугольника в выражение для нахождения площади параллелограмма.
SABCD = 1/2 ABADsin⁡A + 1/2 ABAD sin⁡A
Получаем, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними: SABCD = AB ∙ AD ∙ sin⁡A

📸 Видео

✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис ТрушинСкачать

✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис Трушин

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Теорема о площади треугольника. 9 классСкачать

Теорема о площади треугольника. 9 класс

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА формула 9 класс геометрия АтанасянСкачать

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА формула 9 класс геометрия Атанасян

Теорема о площади треугольника.Скачать

Теорема о площади треугольника.

Площади треугольников с равным углом.Скачать

Площади треугольников с равным углом.

Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)

8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольников

8 класс, 14 урок, Площадь треугольникаСкачать

8 класс, 14 урок, Площадь треугольника

Отношение площадей треугольниковСкачать

Отношение площадей треугольников

11 класс, 47 урок, Формулы площади треугольникаСкачать

11 класс, 47 урок, Формулы площади треугольника

Отношение площадей треугольников с равным угломСкачать

Отношение площадей треугольников с равным углом

Секретные формулы площади треугольникаСкачать

Секретные формулы площади треугольника
Поделиться или сохранить к себе: