как вычислить площадь циклоиды (7 видео)

Содержание

ПЛОЩАДЬ АРКИ ЦИКЛОИДЫ
Параметрическое уравнение циклоиды и уравнение в декартовых координатах
Как вычислить площадь циклоиды
Контакты
📽️ Видео

Видео:Площади 09Скачать

ПЛОЩАДЬ АРКИ ЦИКЛОИДЫ

Первое упоминание о вычислении площади, заключённой между аркой циклоиды и её основанием, имеется в трудах Вивиани и Торричелли. Они при этом пользовались особым приёмом, который назывался «способом неделимых». Этот способ состоит в том, что криволинейную фигуру разбивают на бесконечно тонкие полоски, площадь которых находится сравнительно легко, а затем эти площади складываются. Этот приём привел к появлению через полвека интегрального исчисления.

Рассмотрим фигуру, ограниченную аркой циклоиды и синусоидой. На рисунке 3.1 эта фигура, состоящая из двух лепестков, обведена жирной линией. Займёмся вычислением её площади.

Прежде всего, построим зеркальное отражение правого лепестка фигуры относительно направляющей прямой АВ (это отражение дано на рисунке 4.1 штриховой линией). Перенесём затем эту штриховую кривую налево вверх и приложим ее к левому лепестку так, чтобы дуги синусоид, входящие в контур каждого из лепестков, совпали. Получим выпуклую фигуру, заштрихованную на рисунке 3.1 и изображённую отдельно на рис. 3.2. Такую фигуру называют фигурой Роберваля. Установим важнейшие свойства этой фигуры.

1. Выпуклая фигура М₀РLM равновелика двухлепестковой фигуре, изображенной жирной линией на рис.3.1. Это видно из того, что она «составлена» из тех же лепестков.
2. Любая горизонтальная хорда выпуклой фигуры равна удвоенной хорде лепестка, находящейся на том же расстоянии от АВ. Действительно, хорды СЕ и РН (рис. 3.1) правого лепестка, равноудалённые от производящего круга одинаково удалены от центра. Значит КТ = СЕ = РН = Р₁Н₁ = TL.

Это дает важный результат: хорда МР выпуклой фигуры (рис. 3.2) равна хорде производящего круга СК, расположенный на том же расстоянии от направляющей прямой.

Рассмотрим теперь выпуклую фигуру Роберваля и круг, касающихся тех же прямых АВ и А₁В₁, и точки их пересечения с окружностью и с контуром выпуклой фигуры соединим последовательно прямолинейными отрезками, как показано на рисунке. Полученные таким образом вписанные многоугольники (HLMNPQRSTKи H₁L₁M₁N₁P₁Q₁R₁S₁T₁K₁) мы будем называть «соответственными» многоугольники на ряд трапеций (и треугольников). Площади «соответственных» трапеций в круге и в фигуре Робервеля, например NPRS и N₁P₁R₁S₁, равны, потому что у трапеций этих соответственно равны нижние основания, верхние основания (соответственные хорды) и высоты. На рис. 3.2 равновеликие соответственные трапеции покрыты одинаковой штриховкой.

Будем теперь неограниченно увеличивать число «промежуточных» прямы, параллельных АВ, так чтобы расстояние между любой соседней парой стремилось к нулю. Тогда в круге мы получим серию вписанных многоугольников, число сторон которых неограниченно возрастает, а каждая из сторон стремится к нулю. Мы знаем, что площади S_nэтих многоугольников имеют пределом площадь круга:

Как будет себя вести при этом последовательность многоугольников, вписанных в выпуклую фигуру Роберваля? Площадь ?_n последовательных вписанных многоугольников будет стремиться к площади ? фигуры Роберваля. Известно, что если две переменные величины сохраняют при всех своих изменениях соответственно равные значения и одна из них стремится к определённому пределу, то к тому же пределу стремится и другая. Но каждый многоугольник, вписанный в фигуру Роберваля, равновелик соответственному многоугольнику, вписанному в круг. Поэтому мы заключаем, что предел площадей многоугольников, вписанных в фигуру Роберваля, равен пределу площадей соответственных многоугольников, вписанных в круг; а это значит, что площадь выпуклой фигуры Роберваля равна площади производящего круга:

Отсюда получаем немедленное следствие: площадь двухлепестковой фигуры равна площади производящего круга.

Взглянем теперь на рисунок 3.1. Площадь фигуры AOTPBKA, как мы видели, равна удвоенной площади производящего круга. Площадь двухлепестковой фигуры мы только что определили: она равна площади производящего круга. Следовательно, площадь, ограниченная аркой циклоиды и ее основанием, равна утроенной площади производящего круга.

Теперь найдём площадь, заключённую между аркой циклоиды и её основанием при помощи дифференциальной геометрии.

Видео:Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать

Параметрическое уравнение циклоиды и уравнение в декартовых координатах

5. Параметрическое уравнение циклоиды и уравнение в декартовых координатах

Допустим, что у нас дана циклоида, образованная окружностью радиуса а с центром в точке А.

Если выбрать в качестве параметра, определяющего положение точки, угол t=∟NDM на который успел повернуться радиус, имевший в начале качения вертикально е положение АО, то координаты х и у точки М выразятся следующим образом:

х= OF = ON — NF = NM — MG = at-a sin t,

y= FM = NG = ND – GD = a – a cos t

Итак параметрические уравнения циклоиды имеют вид:

При изменении t от -∞ до +∞ получится кривая, состоящая из бесчисленного множества таких ветвей, какая изображена на данном рисунке.

Так же, помимо параметрического уравнения циклоиды, существует и ее уравнение в декартовых координатах:

, где r – радиус окружности, образующей циклоиду.

6. Задачи на нахождение частей циклоиды и фигур, образованных циклоидой

Задача №1. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды, уравнение которой задано параметрически

Решение. Для решения данной задачи, воспользуемся известными нам фактами из теории интегралов, а именно:

Площадь криволинейного сектора.

Рассмотрим некоторую функцию r = r(ϕ), определенную на [α, β].

Будем считать, что r и ϕ — полярные координаты точки. Тогда любому

r₀ — полярные координаты точки. Если ϕ будет меняться, «пробегая» весь[α, β], то переменная точка M опишет некоторую кривую AB, заданную

уравнением r = r(ϕ).

Определение 7.4. Криволинейным сектором называется фигура, ограниченная двумя лучами ϕ = α, ϕ = β и кривой AB, заданной в полярных

координатах уравнением r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.

Теорема. Если функция r(ϕ) > 0 и непрерывна на [α, β], то площадь

криволинейного сектора вычисляется по формуле:

Эта теорема была доказана ранее в теме определенного интеграла.

Исходя из приведенной выше теоремы, наша задача о нахождении площади фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды, уравнение которой задано параметрические x= a (t – sin t) , y= a (1 – cos t) , и осью Ох, сводится к следующему решению.

Решение. Из уравнения кривой dx = a(1−cos t) dt. Первая арка циклоиды соответствует изменению параметра t от 0 до 2π. Следовательно,

Задача №2. Найти длину одной арки циклоиды

Так же в интегральном исчислении изучалась следующая теорема и следствие из нее.

Теорема. Если кривая AB задана уравнением y = f(x), где f(x) и f ’ (x) непрерывны на [a, b], то AB является спрямляемой и

Следствие. Пусть AB задана параметрически

L_AB = (1)

Пусть функции x(t), y(t) непрерывно-дифференцируемые на [α, β]. Тогда

формулу (1) можно записать так

Сделаем замену переменных в этом интеграле x = x(t), тогда y’(x)= ;

dx= x’(t)dt и, следовательно:

А теперь вернемся к решении нашей задачи.

Решение. Имеем , а поэтому

= 8a

Задача №3. Надо найти площадь поверхности S, образованной от вращения одной арки циклоиды

В интегральном исчислении существует следующая формула для нахождения площади поверхности тела вращения вокруг оси х кривой, заданной на отрезке [a,b] параметрически: x=φ(t), y=ψ(t) (t₀ ≤t ≤t₁)

|S|=

Применяя эту формулу для нашего уравнения циклоиды получаем:

Задача №4. Найти объем тела, полученного при вращении арки циклоиды

В интегральном исчислении при изучении объемов есть следующее замечание:

Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию задана параметрическими уравнениями и функции в этих уравнениях удовлетворяют условиям теоремы о замене переменной в определенном интеграле, то объем тела вращения трапеции вокруг оси Ох, будет вычисляться по формуле

Воспользуемся этой формулой для нахождения нужного нам объема.

Итак, в ходе выполнения данной работы были выяснены основные свойства циклоиды. Так же научились строить циклоиду, выяснила геометрический смысл циклоиды. Как оказалось циклоида имеет огромное практическое применение не только в математике, но и в технологических расчетах, в физике. Но у циклоиды есть и другие заслуги. Ею пользовались ученые XVII века при разработке приемов исследования кривых линий, — тех приемов, которые привели в конце концов к изобретению дифференциального и интегрального исчислений. Она же была одним из «пробных камней», на которых Ньютон, Лейбниц и их первые исследователи испытывали силу новых мощных математических методов. Наконец, задача о брахистохроне привела к изобретению вариационного исчисления, столь нужного физикам сегодняшнего дня. Таким образом, циклоида оказалась неразрывно связанной с одним из самых интересных периодов в истории математики.

1. Берман Г.Н. Циклоида. – М., 1980

2. Веров С.Г. Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды // Квант. – 1975. — №5

3. Веров С.Г. Тайны циклоиды// Квант. – 1975. — №8.

4. Гаврилова Р.М., Говорухина А.А., Карташева Л.В., Костецкая Г.С.,Радченко Т.Н. Приложения определенного интеграла. Методические указания и индивидуальные задания для студентов 1 курса физического факультета. — Ростов н/Д: УПЛ РГУ, 1994.

5. Гиндикин С.Г. Звездный век циклоиды // Квант. – 1985. — №6.

6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. – М.,1969

[1] Такая линия и называется «огибающей». Всякая кривая линия есть огибающая своих касательных.

Видео:Площадь циклоиды.ЦиклоидаСкачать