как посчитать площадь полумесяца

Видео:Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Как посчитать площадь полумесяца

ТАЙНА САКРАЛЬНОГО ПОЛУМЕСЯЦА.

ОТ АЛГЕБРЫ ДО ГЕОПОЛИТИКИ.

Есть красивые мусульманские легенды о символическом полумесяце, который украшает флаги многих исламских государств. Есть и европейские домыслы, вроде того, что арабы любят луну больше, нежели солнце, поскольку на Востоке днем очень жарко. Однако истинный смысл этого символа скрыт от поверхностного взгляда, хотя и не настолько, чтобы человек разумный, не смог его найти и понять.

Мы все изучали в школе алгебру. Как ясно из ее названия — “Аль-Джебра”, эту науку придумали арабские ученые. А древние греки, родоначальники европейской цивилизации, создали геометрию, — ее символом является треугольник Пифагора, о котором слышали все. Так вот, сегодня я расскажу вам о тайне, скрытой в различии привычных геометрических фигур.

На стене моей комнаты висит розовый ковер с персидским рисунком, а спинку дивана покрывает красный шотландский плед. Я смотрю сначала на европейские прямоугольники, затем рассматриваю волшебные сплетения восточного узора. Потом я вспоминаю угловатый латинский алфавит и изящные арабские письмена, вижу готические соборы, рыцарские замки и отличающиеся от них восточные дворцы, округлые мавзолеи, мечети. Слышу звон скрещенного меча и турецкого ятагана, чувствую, как тягучую мелодию прерывает звон колокола и барабанная дробь. Ведь это же очевидно: основой европейской цивилизации — сначала греческой, потом римской — стала геометрия, а вот арабское мышление целиком построено по принципам алгебры, которая мыслит окружности, пересечениями которых образуются дуги. И все это легко понять, если внимательнее вглядеться в простейшие геометрические чертежи.

Главным открытием Пифагора был прямоугольный равносторонний треугольник, возникающий в квадрате, где проведена диагональ. Рассказывают, что великий геометр, открыв НЕСОИЗМЕРИМОСТЬ сторон квадрата и его диагонали, увидел в том божественный знак, — и поспешил принести в жертву олимпийцам сотню быков. Пифагора легко понять — ведь он воочию узрел Бесконечность.

Что такое НЕСОИЗМЕРИМОСТЬ? Не трудно сказать: какую бы часть стороны квадрата мы не взяли — половину, четверть, треть и т.п. — ни одна из этих мер не уложится на диагонали целое число раз, всегда будет “остаток”, который можно делить до бесконечности на неравные части. Так в математике появились иррациональные числа, в десятичной системе мы выражаем их в виде бесконечных дробей, где цифры после запятой появляются в случайном порядке.

Многие знают, что в электронных чипах, обслуживающих игральные автоматы, работают так называемые датчики “случайных чисел” — выдающие по очереди цифры какого-нибудь иррационального числа. И совсем не случайно завзятые игроки видят в случайностях игры нечто мистическое .

Пифагор подсчитал по своей знаменитой теореме, что, если сторону квадрата принять за единицу, то длина диагонали будет равна “квадратному корню из 2”, и понял философ, что нет ни одной простой n/m дроби, которая при возведении “в квадрат” (n/m) 2 превратится в двойку. Пифагор осознал — странные соотношения рациональных и иррациональных чисел выражают устройство нашего мира, и заявил: “Сущность Вселенной спрятана в числе!”

А теперь посмотрим на пифагорейский треугольник, вписанный в окружность, где иррациональная диагональ совпадает с двумя радиусами, образующими диаметр, а стороны треугольника сошлись в некоторой точке, из которой может быть описана новая окружность с радиусом равным единице. Дуги двух разных окружностей образовали полумесяц, который является алгебраическим аналогом божественного треугольника, открытого древнегреческим мыслителем. Ведь это тоже некий “треугольник”, но составлен он из дуг: две четверть дуги малой окружности — “катеты”, а четверть-дуга большой окружности — “гипотенуза” странного криволинейного треугольника. Так арабские математики увидели Божественное откровение, выраженное в математическом символе. Однако божественный полумесяц открыл им тайну, которая была гораздо важнее той, что открылась Пифагору. Суть этого откровения была глубже, нежели простое раздвоение чисел на рациональные и иррациональные.

В современной науке суть эта выражена в других числах, которые математики именуют трансцендентными. Название непонятное, однако всем нам известно число “пи” — это отношение радиуса и длины окружности = 3,14. Три точки, дописанные в конце числа, обозначают иррациональную бесконечность, и избавиться от этого нескончаемого хвоста никак нельзя. Посмотрите: иррациональный “корень из 2” можно возвести в квадрат — умножить число само на себя — и, как ясно, получится нормальная двойка ( Ö 2) 2 =2 . А вот число “пи” сколько не умножай, никакой целостности не получишь — бесконечность, символически выражаемая тремя точками . никогда не прервется, не окончится.

Дуги окружностей, составляющих полумесяц, подарили древним алгебраистом то, что треугольник дать не мог — возможность измерения орбит, по которым на небе вращаются планеты. Так возникла математическая астрономия: божественные письмена небес стали доступны уму человека, а прямоугольный треугольник никуда не исчез — ведь с его помощью можно было переводить в цифры, то, что обнаруживалось на небе.

Читатель, видимо, уже начал разочаровываться: опять ему предлагают “разъять алгеброй гармонию” — вместо открытия мистических тайн, навязывают популярную лекцию. Обещаю: тайны и их раскрытие скоро начнутся, а в заключение статьи будет предложена “величайшая загадка нашего времени”, — ее решения я не знаю, но кроется за ней явно нечто зловещее и не доброе.

А пока, давайте, вновь заглянем в этот треугольный глаз в круге, что можно различить в этом математическом взгляде?

Вот первая небольшая “тайна”: площадь серпа оказывается равна площади треугольника. Странно, не правда ли? Площадь прямоугольной фигуры равна криволинейной площади между двух соединенных дуг, как такое могло получиться? Очень просто: площади кругов по известной школьной формуле S= p R 2 , отличаются ровно в два раза. Значит, четвертушка большего круга равна половине меньшего. Если вычесть серповидный сегмент из четвертушки — получается треугольник, но, если этот же сегмент вычесть из полуокружности — остается серп. Значит, площадь треугольника и серпа одинаковы!

Иными словами, площадь серпа — это квадрат радиуса (r) 2 окружности, в которой он нарисован. В этом числе уже нет никаких следов трансцендентного числа “пи”. А значит обсчитывать дуги окружностей можно по правилам элементарной арифметики. Эта числовая простота и позволяла астрономии развиваться — солнечные затмения предсказывали еще египтяне и вавилоняне. Пифагор и арабские алгебраисты лишь переоткрыли истины, известные задолго до них, — в том-то и прелесть математики, что она людьми не изобретается в творческом полете фантазии, а открывается в нашем мире, который придуман не человеком, а создан Богом.

Что же следует из всего этого? А то, что существует два противоположных математических подхода: один основывается на прямых и отрезках, другой на окружностях и дугах. Один подход лежит в основе геометрического мышления европейской науки, а другой составляет суть алгебраической логики арабских культур.

Я физик, мне не надо долго вспоминать, я просто знаю: ни одной арабской фамилии не встретишь среди звучных имен корифеев европейской точной науки, той, что возникла на развалинах средневековой астрологии-астрономии и мистической алхимии. И я спрашиваю вас: неужели Восток так неожиданно поглупел? А может наоборот — наша европейская наука стала развиваться как-то однобоко, так, что ее алгебраическая составляющая оказалась искаженной и приниженной — подчиненной нуждам тех абстракций, в которых мы привыкли осознавать мир? И я утверждаю: дело обстоит именно так. И это дело надо менять.

Кто-то поморщится — какие голословные утверждения! Неужели автор хочет сказать, что европейская наука неправильна? Что же это за “однобокое геометрическое мышление”? И где же кроется его ошибочность? Почему тогда европейская наука дает впечатляющие практические результаты?

Объясняю. Во-первых, алгебра в европейской науке есть, но сделана она на европейский манер — превращена в обслуживающую дисциплину по технологии решения уравнений. Во-вторых, в начале XX века европейская геометризированная математика уже пришла в противоречие с опытом: в квантовой механике и теории относительности пришлось искусственно вводить поправки к математическим уравнениям. А, в-третьих, ошибочность геометризированной математики для непредвзятого взгляда очевидна и продемонстрировать ее не составляет труда.

Есть детский парадокс — задачка, с помощью которой недалекие учителя демонстрируют ученикам свое “умственно превосходство”. Предлагается вообразить Земной шар и яблоко, обвязанные по окружности нитью. Затем говорится, что к ее длине добавлен 1 метр, а нить опять растянута до кривизны окружности. Мол, образуется “зазор”, спрашивается — у кого он больше: у яблока или Земного шара? Наивные дети отвечают: “Конечно у яблока, ведь для Земного шара этот “лишний”

метр — ничего не значит!” И тут детям объясняют, что в геометрии длина окружности считается по формуле L=2 p R , а по этим расчетам зазор R 0 -R 1 =1/2 p задается неизменным “пи”, то есть его величина не зависит от того, как соотносятся длина окружности и вставленный в нее метр. Иными словами, получается, что зазор будет одинаковым и для яблока, и для Земного шара, и для нашей Галактики.

Представьте только: длина окружности, внутри которой умещается целая галактика, увеличивается мысленно на один метр, потом считают по известной формуле величину зазора между прежним и новым радиусом, и заявляют нам, что для яблока этот зазор будет тот же, что и для Великого галактического кольца!

Вот что значит европейская самоуверенность! Даже явная абсурдность выводов не наталкивает наших учителей на простейшую мысль: формула L=2 p R выражает не “длину любой окружности”, а нечто другое. И ведь надо бы поверить детям, чье восприятие Вселенной определяется ее реальной геометрией, а не абстрактными построениями древних греков. Реальные окружности соотносятся своими радиусами и длинами дуг с помощью алгебраических отношений, а не геометрических. Алгебра здесь должна применяться иная, а не та, что приспособлена только для того, чтобы подтверждать геометрические отношения, принятые за абсолютные.

Между прочим, о наличии “другой алгебры” ученые знают.

И в третий раз заглянем в треугольный глаз. Мы уже увидели: квадратная площадь равна площади полумесяца. Появляется мысль: а можно ли построить еще какие-либо треугольники с площадями, численно равные каким-либо другим “полумесяцам”?

Конечно, можно! Можно сужать наш прямоугольник так, что его площадь остается единичной, а на его основании строить соответствующие дуги окружностей. Вершина треугольника будет уходить все дальше и дальше в бесконечность, а площадь месяца будет все больше и больше уподобляться кругу. Его внешняя окружность начинает смыкаться, приближаясь в пределе к полной, а вот что будет происходить с внутренней площадью — той, которая относится к разрастающемуся сегменту? Еще более причудливый вид принимает ряд построений, когда мы станем переводить исходный треугольник в прямоугольный треугольник той же площади, — тогда придется “оторвать” один из концов полумесяца от основной прямой и превратить исходный полумесяц в половинку полумесяца в два раза большего. Математика тут становится сложной — появляется экспоненциальная функция с трансцендентным числом “ е ”, а еще появляется так называемая мнимая единица i = Ö -1 , о которой греческие геометры и слыхом не слыхали.

Пространства с мнимыми осями — их называют псевдоевклидовыми — появились в современной науке лишь в XX веке. Наиболее известное из них — 4-х мерное пространство-время теории относительности. Но об этом речь впереди.

Алгебраический полумесяц и все множество площадей, что порождается дугами, в европейской алгебре обернулись сходящимися рядами, степенными уравнениями, полиномами — тем, чем занимаются сейчас многие алгебраисты, полагающие, что изучают они некие абстрактные числа, придуманные человеческим умом, склонным по природе своей к счету и комбинаторике. Известный математик Кронекер сказал так: “Натуральный ряд чисел создал Бог, все остальное — придумали люди”. Но, как ни странно, трансцендентное число “ e ” ученые именуют “основание натурального логарифма”. Потому, дескать, что экспоненциальная функция “часто встречается”.

Вот ведь что придумано: мол, изобрели люди числа, а потом стали их комбинировать и сочетать по неким заданным правилам — вот и вся “Ал-Джебра”. Иными словами, уравнения возникают тогда, когда люди вводят условные меры для измерения величин, — так, например, получается закон Ньютона, где сила — это умножение массы на ускорение. Стало быть, люди сегодня придумали одну систему уравнений, завтра начали измерять величины по-другому, да и сами величины выбрали другие — вот вам другая система уравнений. Апостол современной математической логики Бертран Рассел выразился недвусмысленно: “Математическая концепция дает абстрактную логическую схему, под которую можно подогнать подходящими манипуляциями эмпирический материал”.

Разве это наука? Нет, это хитроумная идеология, которой ученые пользуются для того, чтобы отвлечь себя и других от странного ощущения — в основаниях науки что-то не в порядке.

Послушайте, как выражается эта идеология в чисто научных текстах. Академик А.Д.Александров пишет в книге “Основание геометрии”: “Для углов имеет место алгебра, аналогичная алгебре отрезков, основанная на сложении углов; разница лишь в том, что углы “ограничены” развернутым углом, тогда как отрезки не ограничены”.

Кавычки, в которые заключено слово “ограничены” многого стоят, — в строгом математическом тексте появляется слово в переносном смысле. Ведь непонятно: ограничены углы на самом деле или не ограничены? А что это за “аналогичная алгебра” — эта какая-то иная алгебра, не та, что мы с вами знаем? Почему же нам о ней тогда не рассказывают? В другом месте, в примечаниях, академик уточняет: “Между отрезками и углами есть, однако, существенная разница: у отрезков нет геометрически выделенного масштаба, а для углов есть — это прямой угол (или развернутый)”. (А.Д.Александров, “Основания геометрии”, М.: “Наука”, с. 80, с. 163). Вот, уважаемые читатели, такая у нас в точной науке фразеология, — как в Одессе: две алгебры суть “две большие разницы”.

Впрочем, не надо думать, что ДРУГОЙ АЛГЕБРЫ в европейской науке нет. Она есть и ей еще предстоит сыграть роль в драме идей. Однако бесспорной истиной остается одно: за последние столетия в Европе математика развивалась исключительно как геометризированная дисциплина. Ее основной продукт — дифференциальное и интегральное исчисление, где разрабатывался аппарат оперирования с бесконечно малыми величинами, что позволило совершить колоссальный рывок в технике.

Однако арабам, которые хранили верность принципам изначальной алгебры, в таком научно-техническом прогрессе места не находилось. Да, они его и не искали — европейские варвары могли сколь угодно долго забавляться своими абстрактными комбинациями, смысл таких игр арабам был не понятен просто потому, что СУТИ — ИСТИНЫ О МИРЕ — в такой науке не было. Точнее, она оставалась скрыта и не досягаема для аналитического подхода европейской математики. Я не знаю, в каких медресе, в каких закрытых школах арабы развивали СВОЮ алгебру, и развивали ли они ее вообще — такой информации у меня нет. Но то, что в науке нового времени алгебраические методы были служебными для “более фундаментальной” науки — факт очевидный. Европейские алгебраисты занимаются тем, что доказывают решаемость уравнений. Даже не решают их, а просто определяют — можно решить или нет.

Положение дел стало изменяться где-то со середины XIX века. Английский математик Гамильтон обнаружил какие-то странные алгебраические структуры, появились некие новые числа — числа комплексные, числа кватернионы. От обычных рациональных, иррациональных и трансцендентных они отличались наличием мнимой единицы. А когда русский математик Лобачевский доказал, что геометрия Евклида не единственна, что возможны иные — НЕЕВКЛИДОВЫ геометрии, европейская математика стала понемногу становиться другой. К слову сказать, Николай Лобачевский жил и работал в Казани, в татарской столице среди российских мусульман, поэтому ему не составляло труда взглянуть на европейскую математику отстранено — как на объект для революционного преобразования. Это не просто совпадение, ведь на самом деле исламское мышление целиком алгебраично и противостоит европейским прямоугольным конструкциями, защищает свой сакральный полумесяц от любых математических посягательств.

Последнее — не образное выражение, ведь дифференциальный анализ именно посягает на святая святых: на КРИВИЗНУ. Он старается свести ее к бесконечно большим суммам бесконечно малых прямолинейных отрезков. Получается, нет никаких окружностей — есть только многоугольники, количество сторон которых неограниченно возрастает, а стороны делаются бесконечно малыми.

Как и в случае с Яблоком-Галактикой, здесь легко обнаружить то, на что европейские математики “закрывают глаза”. Есть еще один детский парадокс, когда “доказывается”, что большее равно меньшему.

В треугольнике можно легко построить два ему подобных:

Ясно, что сумма длин сторон у двух получившихся равна длине исходных сторон треугольника. Потом деление устремляют к бесконечности и с усмешкой говорят: “Поскольку маленькие треугольники все ближе прижимаются к основанию, они с ним в пределе сливаются, а длина двух сторон исходного треугольника оказывается равна его основанию — третьей стороне”. Но ведь сумма двух сторон исходного явно больше его основания! Секрет прост: геометрическое подобие фигур, образованных прямолинейными отрезками, состоит в том, что соотношения не меняются от изменения размеров. Значит, маленькие треугольники ничем не лучше и не хуже исходного, а их “прижимание” к основанию в процессе измельчения никогда не приведет к соединению двух сторон в одну.

Однако почему же этот принцип не хотят применять для окружности?

Вот здесь я нарисовал знакомую нам со школы картинку — как осуществляется “аппроксимация в пределе” длины окружности с помощью многоугольника, число сторон которого бесконечно возрастает — мы их делим и делим, делим и делим. А теперь я прошу вас, уважаемые читатели, давайте поступим несколько по иному. Давайте, не будем делить стороны квадрата, вписанного в окружность, не станем чертить восьмиугольник и т.п., а просто построим еще один квадрат. А затем еще и еще. В результате, вместо бесконечностороннего многоугольника мы получим шестеренку с числом зубцов, устремленным к бесконечности. О возможности таких фигур в школе нам не говорили.

То, что мы с вами сейчас получили, в современной науке называется фрактал — это непрерывная линия, но не гладкая (как говорят — дифференцируемая), а бесконечно ломанная. Тем не менее, этот фрактал вписан в окружность и его площадь стремится к площади круга, однако площадь круга здесь выглядит уже не как знакомая нам S= p R 2 , а несколько иначе. Но европейская наука только сейчас начала заниматься фракталами, а просчитывать и строить эти фигуры научились только благодаря компьютерам. Легко понять, почему нет до сих пор фундаментальной математики о фракталах — ведь надо переосмыслить то, чему нас учили в школе. Представляете, формула площади круга окажется совсем не такой, как мы все привыкли! А истинная формула для окружности будет включать и трансцендентное число “ p ”, и трансцендентное число “ e ”. Но это уже из другой — будущей — математики.

Каждому очевидно: площадь шестеренки может сколь угодно близко приближаться к площади круга, но ее фрактальная граница — точно также как и у треугольника — никогда не сомкнется с кривой окружности. А самое главное: принцип подобия, если его применить для зубцов шестеренки, заставляет нас для окружностей разного радиуса строить разные фракталы — придется как-то количественно различать “разные по длине” бесконечности. Но это для современной европейской математики просто НЕМЫСЛИМО!

Я полагаю, что все вышесказанное некоторыми читателями воспринимается как злобный памфлет на европейскую науку. Автор-злоумышленник нагло утверждает, что наши уважаемые математики все время заблуждались и шли не по тому пути, по которому надо. Надеюсь, что дальнейший мой рассказ оправдает вторжение в “святая святых” классической аксиоматики.

Ситуация в европейской науке, конечно, не так печальна и безвыходна, однако очень драматична. Расскажу интересную историю. В XVII веке, когда дифференциальное и интегральное исчисление только завоевывало свои позиции, против него с резкой критикой выступил французский алгебраист Мишель Ролль. Много полемических копий было сломано им в борьбе с соотечественниками Декартом, Лопиталлем, с англичанином Ньютоном. Похожая ситуация была и в других европейских странах — в Италии, Германии, где алгебраический стиль мышления успел пустить глубокие корни. Корни эти не засохли, время от времени они дают бурные всходы.

Помните, как мы рисовали сужающийся треугольник, вершина которого уходит в бесконечность, а на основании строятся замыкающиеся серповидные фигуры? Так вот, во Франции в XIX веке появилась так называемая проективная геометрия, основным понятием которой стала “бесконечно удаленная точка”. Потом эта наука усилиями французских и немецких математиков превратилась из прикладной архитектурно-инженерной науки в науку серьезную. Одна только несерьезность в ней есть — эта самая бесконечно удаленная точка. Ее стали идеологически именовать “идеальным объектом”, мол, на самом деле его нет и быть не может, но мы его можем помыслить — вообразить. Почему же его “быть не может”? Об этом лучше всего спросить адептов стандартного матанализа, которые умеют разбивать заданную единицу на бесконечное множество бесконечно малых отрезков, а саму эту единицу гоняют по числовой оси как душе угодно: ее можно сделать любой — и такой и побольше. Но в бесконечности никакой точки опоры у них нет — можно единицу увеличивать беспредельно.

Здесь уместно вспомнить цитату из “Оснований геометрии” о том, что углы “ограничены”, а отрезки — нет. И уместно спросить автора-академика: а вы уверены в этом? Ведь углы “ограничены”, все-таки, каким-то странным образом: мы можем вертеть радиус-вектор, как стрелку часов, все и дальше и дальше, накручивая обороты, но увеличивающийся беспредельно угол все время измеряется точным числом радиан — углом равным “пи”. Так может быть и для прямой есть нечто вроде периодической меры, тем более, что на эту роль прямо-таки напрашивается трансцендентное число “ е ” — тот самый, ну, “натурально логарифм”.

Когда создавалась неклассическая физика — квантовая механика, ее основатель немецкий физик Макс Планк, долго не мог поверить, что величину энергии он может квантовать с помощью некоторой константы, названной потом постоянная Планка. Но пришлось с этим смириться — экспериментальные факты, связанные с поглощением и излучением электромагнитной энергии, заставляли принять вывод, который не согласуется с классическим математическим анализом. Потому и именуют сейчас квантовую и релятивистскую теории физикой неклассической.

Если я скажу сейчас, что новый математический аппарат для квантовой механики был предложен французом Полем Дираком и немцем Вернером Гейзенбергом, и что был этот аппарат чисто алгебраическим — это, полагаю, читателей уже не удивит. Однако, к сожалению, на этом дело застопорилось: вступила в свои права идеология, заявившая, что алгебраические принципы не имеют отношения к реальности, просто такой математический аппарат подходит для обсчета экспериментально наблюдаемых величин и не более того. То что в уравнении Шредингера — основном для квантовой механики — появилась эта вездесущая экспонента да еще и с мнимым показателем, это вообще осталось вне рамок какого-либо объяснения. Так все просто — придумали “математическую структуру”, а она вдруг почему-то пригодилась.

Идеология затемнила очевидный факт: стандартное дифференциальное и интегральное исчисление, основанное на бесконечном делении единицы, в неклассической физике уже не годится. Впрочем, смелые физики подобную мысль высказывали.

Лауреат Нобелевской премии американец Ричард Фейнман в своей книге “Характер физических законов” пишет: “Теория, согласно которой пространство непрерывно, мне кажется неверной. Она не дает ответа на вопрос о том, чем определяются размеры элементарных частиц. Я сильно подозреваю, что простые представления геометрии, распространенные на очень маленькие участки пространства, неверны. Говоря это, я, конечно, всего лишь пробиваю брешь в общем здании науки, ничего не говоря о том, как ее заделать”.

Попытки покончить с непрерывной делимостью делались. Например, еще в 1930 году в статье В.А.Амбарцумяна и Д.Д.Иваненко “К вопросу о том, как избежать бесконечного самодействия электрона”. В более поздней книге Д.Д.Иваненко “Квантовая теория поля” подчеркнуто, что первая попытка основывалась на слишком простых предположениях: грубо говоря, — просто предполагалось, что с некоторого “очень-очень маленького” расстояния отрезок дальше уже делить нельзя. Вся беда в том, что расстояние — это не атомарная материя, отрицать его делимость — это подрывать основы стандартного дифференцирования. Но мало того: величину, которая не может делиться пополам ЕВРОПЕЙСКОЕ МЫШЛЕНИЕ ПРОСТО НЕ МОЖЕТ СЕБЕ ПРЕДСТАВИТЬ!

Впрочем, представлять это и нет никакой необходимости. В “алгебре углов” внутренняя мера для величины уже задана. Надо просто признать, что геометрические отрезки и треугольники — это нечто вторичное по отношению к алгебраическому полумесяцу, а истинную природу мира выражает алгебра, которая позволяет связать вместе бесконечно малое и бесконечно большое.

Парадоксальная ситуация сложилась сейчас в физике. В разных уголках планеты — в США и Мексике, Европе и Азии — многие физики стараются дать алгебраическое толкование миру, но сложившаяся система научного истеблишмента допускает только геометризированные теории — абстрактные пространства. И ведь “многие физики”, о которых я говорю, — это не самоучки-дилетанты, а вполне уважаемые в научном мире ученые, участвующие в общем процессе познания, сделавшие общепризнанный вклад, но вот в фундаментальной науке они ищут что-то не то и не так. Алгебраический язык признается только в качестве служебного средства выражения, дескать, 4-х мерный континуум пространства-времени Минковского — это да! Это фундаментальная истина о мире! А его алгебраические версии — какие-то измышления и не более того.

Ученые, работающие в этом направлении, хорошо понимают, что причина коренится в каком-то неуловимом различии стилей мышления, характерном для разных культур. В этом мне довелось убедиться на собственном опыте. Не так давно я опубликовал во Всемирной сети на русском и английском языках свою работу “Числа в пространстве”, где геометрический 4-х мерный пространственно-временной континуум был сдвоен с особого рода многообразием — кватернионным время-пространством. Стали приходить письма. И вот один профессор пишет: “Я посмотрел на карту России и увидел, что Вы живете в Азии, между Европой и Америкой, а я немец — живу в Испании”. Конечно, мой немецкий коллега понимает, что Красноярск не Мадрид, он хочет подчеркнуть другое — для осознания значимости алгебры нужна какая-то особая среда, отличная от той, что царит в типично европейских университетах. Характерно, что интернет-сайт новаторского направления алгебраистов сделан в университете Мехико и его главную страницу украшают орнаменты древних цивилизаций Центральной Америки — рисунки, состоящие из переплетающихся дуг и округлых фигур. Математическими символами ученые стараются выразить истины, которые древние понимали интуитивно.

Что же происходит, и что должно произойти в ближайшее время? В общих чертах картина выглядит так. Классические алгебра и геометрия — полумесяц и треугольник — создавались для плоскости. Сейчас на наших глазах создается синтетическая алгебро-геометрия, где оба подхода соединятся в пространственном понимании величины. Но для этого придется, во-первых, признать фундаментальную роль операций с мнимыми числами, а, во-вторых, придется переосмыслить основания стандартного математического анализа, признающего только отношения бесконечно малых, но игнорирующего отношения обратных им бесконечно больших величин. Дело, конечно, не столь просто как представляется на словах. Но суть именно в этом.

Впрочем, и в математическом сообществе ситуация уже назрела. В 60-х годах прошлого века израильский логик-алгебраист Абрахам Робинсон построил непротиворечивую нестандартную модель математического анализа, где наряду с бесконечно малыми числами были представлены и бесконечно большие, Робинсон именовал эти числа гипердействительными. Правомерность такой модели долго не хотели признавать, но потом — после решения некоторых не решаемых теорем — смирились. Идеологически выход был найден такой же, как и в случае с проективной геометрией: гипердействительные числа объявили “идеальными” элементами, которые воображать можно, но на самом деле их нет. А ведь достаточно соединить современную алгебру и гипердействительные числа — как объединение алгебраического и аналитического подходов станет очевидным.

Тут читатели, видимо, усомнятся: если более-менее понятно, почему арабы не любят европейцев с их прямоугольно-геометрическим мышлением, то чем же им не угодили евреи, коль скоро и у тех алгебраическое мышление все-таки присутствует?

Вот теперь я приступаю к самой интересной части своего рассказа.

С многоугольниками и окружностями, квадратами и полумесяцами мы уже разобрались. Но ведь помимо многоугольников вписываются в окружность и другие фигуры — звезды. Самые известные из них — пентаграмма и шестиугольник, сакральные символы древних иудеев. Давайте вглядимся в эти необычные построения, в них каким-то странным образом соединяются воедино и окружность как целое, и треугольники (правда не прямоугольные, не привязанные к центру окружности, а заданные сами по себе). Эти звездоообразные фигуры нельзя “устремлять к бесконечности”, их можно только поворачивать, а еще можно рисовать другие звезды — с большим числом лучей.

Есть одно интересное различие у “щита Давида” и “звезды Соломона”: в одном случае окружность делится на четное число дуг, а в другом — на нечетное. Уже здесь можно заметить важное отличие от стандартного европейского многоугольника, которым в школьной геометрии накрывают круг и аппроксимируют окружность, — у стандартного многоугольника число сторон всегда будет четным.

А теперь, давайте, попробуем оттолкнуться от принципа звезды и построить предельную сверхтонкую звезду с нечетным числом сторон, у которой число лучей устремлено к бесконечности.

Здесь я нарисовал звездочку, у которой 47 лучей. А если их будет становиться бесконечно много? Открою тайну: ни один отрезок, образующий ее лучи, никогда не пересечет центр окружности — для него точка центра останется никогда не достигаемым пределом.

Что касается шестиугольника, то в середине прошлого века молодой голландский математик Ван дер Варден предложил интересное построение. Из равностороннего треугольника, с помощью изламывания его сторон строится шестиконечная звезда: каждая сторона треугольника делится на три части, а потом середина удваивается — превращается в стороны равнобедренного треугольника. Затем операция повторяется — рождается “снежинка”, и так до бесконечности. В результате получается фрактал — замкнутая не дифференцируемая кривая бесконечной длины, ограничивающая конечную площадь. Бесконечно ломанная фигура Ван дер Вардена охватывает определенную часть евклидовой плоскости, а замкнутый периметр состоит из бесконечно малых отрезков, каждый из которых наклонен к соседнему.

На второй части рисунка представлено другое построение (оно было предложено в работе автора “Существуют ли гипердействительные числа в квантово-релятивистской вселенной?”). В исходном треугольнике единичного периметра стороны делятся на четыре части, а срединные складываются в треугольную “крышу”. То есть периметр не меняется, а треугольник от такого складывания уменьшается. Понятно, что в пределе он “сжимается в точку”, укладывая в нее свой единичный периметр.

Мы начинали с треугольника, который вписан в окружность, значит, устремляем сжатие в центр круга. И вновь его центр оказался недостижимым! Все, только что уведенное нами, доказывает: для этих фигур точка центра отсутствует — она лежит в мнимой области евклидовой плоскости. Сложную математику легко понять: просто-напросто у “слишком многоугольной” фигуры центр все больше и больше “выпирает”. И во все века профессиональные огранщики драгоценных камней это учитывали, они были вынуждены поднимать центр огранки вверх — в виде вершинки многогранника.

Неужели автор хочет сказать, что у голландцев и евреев мышление специально приспособлено для понимания таких фокусов?

Именно это я и хочу сказать. Но причиной здесь не национальность, раса или кровь, а СПОСОБ МЫШЛЕНИЯ — то, что передается в культуре народа, определяя ее — и в профессиональных пристрастиях, и в бытовых мелочах, и в излюбленных способах умозаключения, которые в чистом виде проявляются в математической науке.

“О, какая скука!” — воскликнет читатель, — ждали сакральных тайн, а получили какую-то культурологию.

Согласен, это все довольно неинтересно. Не интересно, как из древней иудейской культуры, где алгебраическое и геометрическое были соединены, выделились два самостоятельных логических направления. Не интересно и то, как носители этого логического семени оказались между двух огней: они чувствовали себя чужими и среди прямоугольных римлян с их когортами-квадригами, среди их готских наследников-крестоносцев, и среди носителей культуры “Аль-Джебры”, накручивающих на голову чалму и размахивающих дугообразными саблями.

Однако обладая зачатками обоих способов мышления евреи были в выигрыше среди всех этих племен, вызывая к себе зависть и ненависть. Особенную зависть вызывали способности к финансам, а ведь все просто — оборот капитала приносит процент, точно так же как поворот радиуса-стрелки вокруг центра окружности-циферблата приводит его не в ту же самую точку окружности, а на некоторую бесконечно малую долю дуги дальше. (Кстати, именно этот “излишек времени” привел к календарным проблемам — високосным пятилеткам и старому-новому году. А для сведения экономистов: векселя-расписки — это мнимые деньги, т.к. денежный континуум не только квантуется монетками, но к тому же псевдоевклидов.)

К сожалению, алгебро-геометрический зародыш у его носителей-иудеев хоть и сохранялся, но не развивался — для развития алгебры и геометрии требовалось развести эти логики как можно дальше, сделать их самостоятельными. Этого иудейские мыслители не делали, они рисовали свои божественные звезды и молились. Правда не все. Некоторые из них уходили из общины и включались в общее развитие науки. Отступников, — таких, как например, Бенедикт Спиноза — отлучали и проклинали. И подобными “неинтересными историями” вся история последних двух тысячелетий просто переполнена.

Давно уже сказано: любопытство публики вызывают либо кровь, либо тайна. Возможно, раскрытие “тайны иудейского мышления” выглядит не очень интересно, но ГЛАВНАЯ ТАЙНА не в диагоналях и дугах. Ведь не случайно же математики называют странные числа и иррациональными, и трансцендентными, видя в них некую потусторонность . И сам великий Пифагор, и иудейские мудрецы, и гениальные арабские алгебраисты абсолютно точно осознавали ИСТИНУ: в числах воплощен Божественный Логос . Так что все дальнейшее — это только подтверждение старой религиозной истины: история разворачивает перед нами грандиозный Божественный план и понять его нам пока не дано.

Но поймите меня правильно: дело не в том, что нации и культуры вовлечены в какой-то неведомый мировой спектакль по навязанному нам сценарию. Дело в другом: та высшая логика развития, по которой шла история человечества, — это Разумная Логика. Нет ничего “программного” в том, что, складывая в уме числа 2 и 2 мы всегда получаем 4 — ведь так устроен Универсум. И нет ничего заданного в том, что по сути дела этот же закономерный процесс развертывался в истории — в пространстве и во времени: тезис – антитезис — синтез, как это сформулировал мудрый немецкий философ Гегель.

И вот сейчас на наших глазах, в нашу эпоху наконец-то осуществляется великий синтез разумного мышления из составляющих его логических частей. Что ж — так шла логическая эволюция, так разворачивался математический ряд, теперь все заканчивается, создается новая наука — некое биполярное исчисление, где будут работать и ноль и бесконечность (в той мере, в которой мы сейчас понимаем глубину этих понятий).

Но ведь история на этом не заканчивается, людям предстоит жить и дальше. Единственное, что от нас сейчас требуется — это признать, что в мире проявляется Высшая Логика, в которую нам следует верить, и которую надо познавать по мере сил. Я говорю — “сил”, а не возможностей, потому что возможности нашего разума, дарованного Богом, безграничны, а вот силы разума надо наращивать и не растрачивать попусту. Вон, тот же Бертран Рассел, заявлял — я, мол, не христианин, и на что же потратил талант? На создание искусственных формально-логических языков, в которых математические проблемы переформулируются , чтобы их можно было успешно запутывать. Правда, на языке математической логики Абрахам Робинсон доказал правомерность нестандартной модели анализа, но не проще ли было сам математический анализ сделать нестандартным, введя бесконечно большие величины прямо и непосредственно? Что тут скажешь! — история шла кружным путем, значит она тоже алгебраична, а не прямолинейна как гипотенуза.

Я думаю, кое-кому моя проповедь покажется сильно заумной. Да, и Святые тайны нынче не в моде. А кое-кто просто скажет: сочинил автор гегелевскую схематику и подверстывает под схему живую жизнь. Вместо раскрытия тайн — фокус: математик вынул из головы шар!

Раз морали не интересны, переходим к детективному сюжету.

Допустим, я все-все придумал, но тогда все вышеизложенное мог придумать и кто-нибудь другой. И не в XXI веке, а раньше, и не в Сибири, а где-либо южнее.

И вот, значит, нашлись умные люди, которые подумали так: “Наверное, суть всех проблем и противоречий в двух различных стилях мышления — алгебраическом и геометрическом, один явно и очевидно доминирует в Европе с ее готикой, а другой в Азии с ее витиеватостями. Но если объединить эти два подхода в рамках одной науки — получится что-то очень эффективное”. Так подумали об этом умные люди и организовали общество, на герб которого вынесли символы треугольника и окружности — циркуль и угольник. Как вы уже поняли, это были масоны. Я говорю здесь не о злокозненных служителях сатаны, а о масонах, которые говорили о единстве человечества, о том, что надо не враждовать, выясняя — чье мышление “круче”, а попробовать соединить то, что логика развития разъединила, но должна столь же неотвратимо синтезировать в новой науке, в обществе, построенном на новых основаниях.

Говорят, великий математик Леонард Эйлер, член Петербургской Академии наук был швейцарским масоном. Охотно верю, ведь именно он подарил математике формулу косинуса угла, где радианная мера дуги выражалась через экспоненту с мнимым показателем степени.

Говорят, прославленный русский полководец Александр Суворов был масоном. И это возможно: успешно бил он войска и с Востока, и с Запада.

Говорят, что английские масоны создали Американское государство — это недвусмысленно воплощено в символике на долларовых бумажках. И это верно, я бы сам в то время с удовольствием поступил так же: ведь совершенно очевидно, что, заселяя новый континент представителями разных наций и культур, можно добиться такого объединения, где автоматически синтезируются алгебраический и геометрический стили мышления. Другой вопрос, что из этой благородной затеи получилось, и почему это нынешние арабы никак не хотят признавать “новое мышление”, которое им навязывается из США.

Однако, дорогие мои читатели, мне лично по душе другой проект, который видится не искусственным конструированием истории, а является составной частью ее естественного хода. Если угодно, — частью Божественного Плана.

Помимо всех вышеперечисленных героев исторической драмы, участвовала в ней еще одна интересная культура, о которой мы с вами пока не говорили. Но этот “икс” можно не только реально обнаружить, но и математически вычислить.

Судите сами. Если античные греки, рисуя свои треугольники и квадраты, столкнулись с иррациональными числами, а циркулем они пользоваться тоже умели, то, как вы думаете, чем они занимались целое тысячелетие, пока другие артисты распределяли свои роли? Ведь совершенно очевидно: они должны были понять, что оба математических подхода, которые никак не хотят соединяться воедино, могут, тем не менее, как-то соединиться. И они нашли выход, хитроумные греки, они “нарисовали” и ту сакральную фигуру, в которой вновь увидели отблеск Божественной бесконечности — знак Высшего Разума. Но фигура оказалась не плоской, а объемной, а соединение математических начал было не научным, а религизно-символическим.

. И были соединены шар и объемный трехмерный крест, у которого одна из перекладин развернута. Если смотреть на такой крест сбоку, то эта перекладина как бы уйдет в перспективу, а на плоскости изобразится в виде наклонной. Так поздняя греческая культура Византийской империи обозначила свое предназначение — соединение окружности и квадрата в объемных символах — шаре и кресте. Русские, подхватившие православное христианство из ослабевших рук Византии стали носителем этой тайны. В отличие от иудеев владевших семенем, где обе логики содержались в зачатке, русские православные получили от греков нечто сверхценное — принцип, в котором только и могли оба стиля мышления СОЕДИНИТЬСЯ В БУДУЩЕМ.

Вы только взгляните на храм Василия Блаженного — ведь это потрясающий синтез прямоугольного и округлого! Именно синтез, где поверхность куполов то завихряется вращательным движением, то дробится на кванты многогранников. Здесь треугольники сочетаются с дугами, а в странных заостренных дугах угадывается особая кривая — КАРДИОИДА. Эта фигура очень похожа на человеческое сердце, но именно такую линию рисует точка окружности, которая вращается относительно другой (именно принцип вращения и позволяет объединять алгебру и геометрию). Византийский грек астроном Птоломей некогда использовал кардиоиды для своих построений, которые были забыты, но к которым придется возвратиться в современной науке, где создается алгебра вращений, позволяющая объединить квантовую механику и релятивистскую физику.

Я заканчиваю свою статью. Как и следовало ожидать: всяк кулик свое болото расхваливает!

Больше скажу, уважаемые читатели: вся эта статья — типично рекламный текст. Ведь я рекламирую особое научное направление: к этому особому направлению принадлежит моя работа о кватернионном время-пространстве, и книга Владимира Елисеева “Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного”, и концепция Владимира Кассандрова, которая так и называется “Алгебраическая структура пространства-времени и алгебродинамика”. Сюда относятся труды белорусских теоретиков, создающих кватернионную релятивистскую физику, и попытки кыргизских физиков переосмыслить теорию относительности с позиций вращения, и труды казахских ученых, старающихся выразить физику самоорганизации в особой фрактальной концепции. К этому направлению примыкают и много-много других книг и статей российских физиков и математиков разных национальностей, где делаются попытки в той или иной форме соединить доселе несоединенное — прямое и кривое, фракталы и гладкие кривые, прямолинейное перемещение и вращение.

Некоторых ученых эти поиски приводят к иррациональной мифологии, другие ищут новые торсионные поля, выдавая желаемое за действительное, третьи — инженеры, которые давно поняли что современные теоретические взгляды не соответствуют реальности, — они с остервенением нападают на теорию относительности Эйнштейна и квантовую механику. Но ведь эти научные концепции ни в чем не виноваты, поскольку также являются лишь первыми попытками заговорить на новом языке. Впрочем, скоро все эти противоречия разрешатся.

И новая наука по-новому увидит Вселенную.

И человечество по иному осознает свое место в этом странном, очень таинственном мире, где Божественный смысл остается для человеческого разума вечным вопросом, открытым для нашего вопрошающего ума.

А где же “величайшая неразгаданная загадка нашего времени” , которой автор пугал читателей?

Даже странно, всем сестрам по серьгам, а тут — хлоп! — и закрыл кубышку с сюрпризами. Сейчас все будет. Но перед этим еще одно замечание: я ведь ничего не говорил про Китай и Японию с их иероглифами, про Индию с ее многобожием, про “янь” и “инь”, про буддизм и Кришну. Это верно. Про них вам лучше расскажут специалисты в тамошних культурах и культах. Ведь история не закончилась и впереди еще много интересного.

Вот, например, интересная тайна, которая, правда, обозначила себя не в Гималаях, а на пшеничных полях Великобритании.

Меня эта загадка давно интересовала — ведь не могут же сами собой за считанные минуты (как показывают свидетели) появляться на полях такие причудливые узоры. Рассказывают: налетел вихрь, замелькали какие-то огоньки — и вот тебе круг с узором, или как именуют их английские исследователи — формация. Причем, все так естественно — никаких призраков и эльфов, даже “летающие тарелки” перед глазами не мельтешат.

Меня, как физика, сначала заинтересовал механизм явления. Он казался нехитрым: если почва в форме круга или некоего узора внезапно нагреется, скажем, градусов до 100, жидкость в стеблях у корня вскипит, сосудики-жилки растений полопаются, а тут еще нагретый воздух устремится вверх, а холодный вихрем набежит с боков — вот и легла пшеница, как нужно. А кому нужно? Тут мой рациональный разум дал осечку. Я предположил, в качестве рабочей гипотезы, что раньше круги появлялись в результате некоторого естественного процесса (подземных молний или выплесков электромагнитной энергии из глубин земли), а затем кто-то исследовал эти явления и освоил технику “рисования на полях”. И теперь некие люди, владеющие данной технологией, зачем-то создают эти странные фигуры и озадачивают все остальное человечество.

Технология, конечно, “продвинутая”: надо узоры со спутника или с вертолета рисовать неким микроволновым лучом (что, впрочем, не столь фантастично, как кажется — на экране телевизора электронный луч рисует фигуры и позатейливей), либо надо как-то обрабатывать поле зимой, чтобы потом некоторое вещество провзаимодействовало с электромагнитным сигналом и нагрело почву в нужном месте (пиротехники на съемках фильмов разные фокусы проделывают, и тут удивляться не приходится). Вот, думаю, хотят публике какую-то очередную секту навязать, “скрижали” уже нарисовали – осталось организовать рекламную кампанию для нового пророка. Тут и Гарри Поттер подоспел. Вот! — я обрадовался, — все и разъяснилось! Как не жалко денег на такой дешевый спектакль?

Однако, по мере своей научной работы, которая к загадочным кругам никакого отношения не имела, я приходил во все большее удивление: ведь картина алгебраической геометрии, которая рождалась в моем уме, странным образом пересекалась с этими узорами на полях.

Когда я предположил, что отрицательную площадь нужно толковать, как выемку из плоской объемной фигуры, то увидел — что именно это и происходит: многие формации оказываются сложными сочетаниями таких положительных и отрицательных площадей — формации суть выемки из объема не скошенного урожая.

Когда я понял, что переход движущейся точки с одной прямолинейной траектории на другую можно описать с помощью трех вращений, я вдруг вспомнил формацию, где в углах треугольника помещались три круга.

Но окончательно меня добил фрактал Ван дер Вардена. Он тоже был среди формаций, что не сильно удивляло — ведь фигура знаменитая и тайные сектанты должны о ней знать. Однако странные добавления были у фрактала — какие-то кружочки внутри и снаружи.

А теперь судите сами.

Понимая, что без поворотов и вращений никакого синтеза алгебры и геометрии не будет, я сделал предположение, которое нигде до этого в литературе не встречалось.

Итак, традиционно построение фигуры Ван дер Вардена понимается как чисто геометрическое изламывание и удлинение сторон треугольника. А ведь имеется и другой вариант: представим, что исходный треугольник был повернут на 180 градусов вокруг точки центра — для образования шестиконечной звезды. Тогда, получается, мы имеем здесь дело не с делением и надстраиванием сторон, а с поворотами, — исходный треугольник был повернут, затем каждый из равносторонних треугольников при вершинах был повернут, затем при каждой новой вершине соответствующие треугольники были повернуты и т.п.

Иными словами, мы начинаем с некоторого исходного вращения вокруг центра, а затем последовательно определяем новые центры вокруг которых поворачиваются части фигуры. Изложенный принцип позволяет говорить не о пошаговом построении варденовской фигуры, а о некотором разовом повороте, который осуществляется вокруг некоторого бесконечного множества точек, и превращает исходный треугольник в фигуру с бесконечно изломанным периметром. В физике известен подход, когда множество вращений, заданных на ограниченной площади , “вытесняет циркуляцию на границу”, значит, определим и обратный процесс. Все по науке, все логично.

Но ведь, судя по всему, именно это и показывается в таинственной формации: фрактал создается множеством вращений, которые символизируются маленькими кругами внутри и вокруг него. “Ничего себе!” — подумал я. Ведь тогда все эти формации — попытка показать именно то, что я понимаю как синтетическую научную теорию. Более того. Если рассмотреть, что получается в пределе внутри фрактала, там обнаруживается чуть повернутый исходный шестиугольник, окруженный, как трещинками, фрактальными изгибами. А такой вариант построения вообще не обозначен и не исследован в математической науке! Значит ЭТО не просто баловство, а самые настоящие подсказки человечеству, нашим ученым, которые про круги и вращения не думают, а создают черт знает какие абстракции на основе своих бесконечно малых прямолинейных отрезков. Да, это серьезно. Как же я должен сие понимать? — таинственные сектанты хотят нам подсказать таким экзотическим способом путь развития науки? Получается, они ЭТО прекрасно знают. “Ну, масоны! Все у них через круги, нет чтобы просто книжку опубликовать!”

А теперь, уважаемые читатели, судите сами: кто нам посылает строго научно обоснованные мудрые подсказки — пришельцы из космоса, братья из параллельного мира или таинственные мудрецы-благодетели. Или, может быть, не благодетели? Может быть, хитрые злоумышленники, которые собираются уверить нас, что внеземные разумные силы даровали им новую науку, а по сему они сильнее всех на Земле, так как связь с внеземельем имеют? Вы думаете, я шучу? Тут не до шуток! Только новоявленной жреческой касты нам на Земле и не хватает — этакие высокомерные брахманы с длинными седыми бородами, да научно обоснованной новой религией, и с новой — самой настоящей! — научной теорией, которая, безусловно, даст и невиданные технические чудеса.

Только вот незадача: объединение алгебры и геометрии человечество ВЫСТРАДАЛО всей своей историей, и нечего нам выдавать наше собственное достижение за инопланетный секрет!

А поскольку я пришел к такому выводу, поэтому и счел нужным изложить в этой странной статье все, что считаю своим долгом сообщить людям.

Что касается алгебраической геометрии, то, надеюсь, у наших ученых хватит научной смелости сделать небольшой оставшийся шаг. Ведь иначе все мы окажемся в сетях новоявленных пророков лже-религии, под гнетом самозванных лживых властителей.

ПРИМЕЧАНИЯ ДЛЯ МАТЕМАТИКОВ:

Математики, возможно, обратили внимание, что автор сначала использует стандартное представление о площади круга, а потом эту формулу площади ставит под сомнение. Уточняю: у прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, имеется странное свойство — если вершины его углов лежат на окружности, его гипотенуза не проходит через центр круга. Если же мы проводим гипотенузу через центр круга и пробуем уложить прямоугольный треугольник на эту площадь, появляется угловой дефицит: радиусы — половины гипотенузы — сходятся в центре под углом не равным 180 градусам. Для выведения количественной зависимости следует рассмотреть взаимоотношения между несколькими окружностями с вписанными в них фигурами. Совпадение гипотенузы и диаметра – предельный случай. Предлагаемое утверждение в стандартной системе представлений не доказуемо, тем не менее оно истинно.

Рассматривая аппроксимацию окружности вписанным многоугольником, автор, конечно подразумевал, что имеется и внешний – описанный – многоугольник, периметр которого устремляется “навстречу” периметру вписанного многоугольника. Для упрощения изложения о втором многоугольнике не говорилось, но введение его в рассмотрение – важнейший шаг от стандартного предельного перехода к нестандартному, ведь между радиус-векторами этих многоугольников и образуется бесконечно малый угловой дефицит.

Говоря о вращениях и кардиоидах, автор имел ввиду следующее построение: циркуль закреплен в пространстве, а вокруг его ножек вращаются две евклидовы плоскости так, что каждая ножка циркуля описывает в каждой из плоскостей свою кривую. Следует рассмотреть случаи, когда направленность вращений плоскостей совпадают или противоположны. В одном из случаев очерчивается неклассическая кардиоида (в микро масштабе ее часть предстает как экспонента), в другом случае — появляется кинематика относительности.

В статье ничего не говорилось о дифференциальной геометрии, о топологии, но выводы этих наук, конечно, имелись в виду.

10-14 января 2003 год. o7a@inbox.ru

П.Полуян “Нестандартный анализ неклассического движения”, “Числа в пространстве” на русском и английском языках:

портал Красноярского государственного университета www.krasu.ru

и на сайте автора в США

П.Полуян “Прилетят ли в Америку ракетно-ядерные камикадзе?” http://pravda.ru/main/2002/09/10/46833.html

П.Полуян «Биологическое оружие — реальная опасность»

П.Полуян «Вихревое оружие – злой джинн в руках террористов»

Видео:ПЛОЩАДЬ КРУГА. ЛАЙФХАК #math #логика #загадка #математика #геометрияСкачать

Насколько велика Луна? Попробуем представить…

Несмотря на то, что мы можем наблюдать Луну в ночном небе (а иногда и при свете дня), представить ее размер и удаленность от Земли в перспективе довольно сложно.

Насколько велика Луна? Ответ на этот вопрос не так прост, как может показаться на первый взгляд. Так же как и Земля, Луна не является идеально круглой и имеет слегка сплющенную форму (приплюснутый шар). Это означает, что диаметр Луны от полюса к полюсу меньше ее диаметра на экваторе.

Тем не менее, разница между этими диаметрами не велика и составляет всего лишь четыре километра. Экваториальный диаметр Луны составляет примерно 3476км, а полярный – 3472 км. Для простоты понимания это расстояние можно сравнить с похожей по размеру территорией, например, с Австралией.

Видео:Цилиндр - расчёт площади, объёма.Скачать

От побережья к побережью

Расстояние между двумя крайними австралийскими городами, Перт и Брисбен, по прямой составляет 3606 км. Такова протяженность Австралии. Таким образом, если поместить Австралию и Луну рядом, растянув последнюю по диаметру, их протяженность будет примерно одинакова.

С другой стороны, такой взгляд является слишком односторонним. Хотя Луна имеет одинаковую протяженность с Австралией, на самом деле она гораздо больше. Площадь Австралии составляет примерно 7,69 миллионов квадратных километров, тогда как площадь Луны равна 37,94 миллионов квадратных километров, что почти в пять раз превышает территорию Австралии.

Видео:Лучший способ найти площадь кругаСкачать

Как далеко находится Луна?

Ответ на вопрос о расстоянии до Луны также может показаться сложнее, чем мы думаем. Луна вращается вокруг Земли по эллиптической орбите, то есть ее удаленность от нашей планеты постоянно меняется, причем разница может достигать 50000 км, именно поэтому размер Луны в нашем небе постоянно меняется. Кроме того, орбита Луны подвергается влиянию других объектов Солнечной системы. Кроме того, Луна постепенно отдаляется от Земли в результате приливного влияния.

Более тщательно исследовать последнюю информацию позволили миссии «Аполло». Побывавшие на Луне в 1969 году американские астронавты установили на ее поверхности несколько зеркальных отражателей, которые не требуют энергии и работают до сих пор. Система отражателей расположена так, что отправленный с Земли лазерный луч, отразившись, возвращается назад отправителю.

Вычислив время, которое требуется лазеру, чтобы достичь Луны и попасть обратно, ученые получили возможность очень точно измерять расстояние до Луны и отслеживать удаление Луны от Земли. В результате было установлено, что Луна отдаляется от Земли со скоростью 38 мм в год или около 4 метров в столетие.

Видео:Площадь круга. Математика 6 класс.Скачать

Как добраться до Луны

Среднее расстояние между Луной и Землей составляет 384402 км. Попробуем представить эту цифру в сравнении с земными расстояниями.

Если мы захотим добраться все от того же Брисбена до Перта на автомобиле, нам придется преодолеть расстояние в 4310 км, на что потребуется около 46 часов. Для преодоления расстояния, равное расстоянию между Землей и Луной, подобное путешествие придется совершить более 89 раз. На это потребуется пять с половиной месяцев непрерывной езды на автомобиле, без учета пробок и возможных ДТП.

К счастью, астронавты «Аполло-11» не были ограничены австралийскими скоростными нормами, и в 1969 году командный модуль «Колумбия» достиг лунной орбиты всего за три дня и четыре часа.

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Солнечное затмение

Экваториальный диаметр Солнца составляет почти 1,4 миллиона километров, что приблизительно в 400 раз превышает диаметр Луны. Любопытно, что расстояние между Землей и Солнцем (равное 149,6 миллионам километров) составляет примерно 400 расстояний между Землей и Луной.

Именно поэтому Луна и Солнце кажутся нам с Земли одинаковыми по размеру. В результате, когда Луна и Солнце находятся на одной линии (как кажется с Земли), мы можем наблюдать удивительное явление – полное затмение Солнца.

К сожалению, ученые пришли к выводу, что в будущем солнечные затмения на Земле прекратятся. Благодаря своему удалению, Луна однажды окажется слишком далеко, чтобы затмевать Солнце. Большинство ученых сходятся во мнении, что это произойдет примерно через 600 миллионов лет.

Видео:Как высчитать квадратуру из треугольника,трапеции и т. д.Скачать

Луноходы

Несмотря на прогресс в развитии космоса, Луна до сих пор остается единственным небесным телом, по которому ходил человек, причем случилось это полвека лет назад. Спустя пятьдесят лет после первого (и совершенного единственной страной) прилунения из двенадцати побывавших на спутнике Земли человек в живых осталось только четверо.

Хочется надеяться, что в ближайшие годы люди смогут вернуться на Луну и вдохновят новое поколение продолжать изучение нашего ближайшего небесного соседа.

Видео:Объём цилиндраСкачать

Как рассчитать площадь: формулы, примеры расчетов

Во многих областях повседневной жизни геометрия помогает людям отвечать на важные вопросы и решать проблемы жизнедеятельности. По меньшей мере 4 тыс. лет назад эти знания уже использовались, например, в Древнем Египте для землеустройства. И сегодня многие профессии, от модельеров до архитекторов, нуждаются в базовых геометрических знаниях, чтобы знать, как рассчитать площадь.

Видео:Площадь кругаСкачать

Поверхность тела и ее площадь

Это мера того, сколько пространства находится внутри плоской формы. В общем случае площадь поверхности представляет собой сумму всех областей геометрических фигур, покрывающих поверхность объекта. Рассчитать площадь поверхности тела часто требуется в повседневной жизни, например, чтобы узнать сколько краски нужно купить, чтобы покрыть стену, или шифера для ремонта крыши дома.

Люди издавна научились определять площадь плоских геометрических фигур, используя метод сетки. Он заключается в том, что на измеряемую фигуру накладывают масштабированную сетку из простейших квадратов, например, 1х1 см. После чего можно легко рассчитать квадратную площадь, посчитав количество квадратов сетки внутри формы. В этом случае каждый квадрат сетки имеет ширину 1 см и высоту 1 см, и площадь этого квадрата сетки составляет один квадратный сантиметр.

Использование сетки для подсчета квадратов в форме — это очень простой способ определения площади, но он не может быть применен для определения площади сложных фигур. Площадь таких сложных объектов может быть рассчитана с использованием простых математических формул. Самые простые и наиболее часто используемые в жизни вычисления — это площади квадратов и прямоугольников, и надо знать, как рассчитать площадь в метрах.

Часто в реальности расчеты могут быть более сложными. Например, типичный план этажа комнаты может не состоять из простого прямоугольника или квадрата. В этом случае перед тем, как рассчитать общую площадь, нужно разделить измеряемую сложную поверхность на несколько простейших геометрических фигур.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Простой расчет прямоугольника

Если внимательно посмотреть вокруг, можно увидеть множество примеров прямоугольников. По определению, прямоугольник представляет собой четырехсторонний многоугольник, углы которой находятся под прямым углом, равным 90 градусам. Рассчитать площадь поверхности тела прямоугольника — простая математическая операция, которая наиболее часто применяется человеком в повседневной жизни. Почему важно знать формулу площади? Многие предметы и обстановка, окружающие человека, имеют прямоугольную форму: дом, стены, пол, крыша. И очень часто надо знать их площадь для строительства или ремонта.

Если прямоугольник имеет длину b и ширину h, мы можем найти площадь S, умножив ширину на его длину. Следовательно: S=bxh.

Пример. Как рассчитать площадь прямоугольника, если известны сторона и ширина, например, длина 4 см и ширина 3 см, тогда: S=4х3=12.

Квадрат — разновидность прямоугольника с равными углами и сторонами.

Пример. Если квадрат имеет стороны 3 см, мы можем найти S, возведя в квадрат значение стороны. Следовательно, имеем: S=3х3=9.

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Формулы параллелограмма

Параллелограмм является четырехсторонним многоугольником с двумя парами параллельных сторон одинаковой длины. По определению, прямоугольник также представляет собой тип параллелограмма, но с равными углами. Площадь параллелограмма вычисляется так же, как и для прямоугольника (высота × ширина), но важно понимать, что высота означает не длину вертикальных сторон, а расстояние между сторонами.

Из рисунка видно, что высота — это расстояние между двумя параллельными сторонами параллелограмма, расположенная под прямым углом между ними. S=ADxh. S=bxh, где AD=b — основание, h — высота.

Пример. Если параллелограмм имеет основание 3 см, а высоту 2 см, то площадь S равна произведению основания на высоту. Следовательно, имеем: S=3х2=6.

Видео:Как посчитать площадь многоугольника за 15 секунд в уме? Формула для ленивыхСкачать

Основание трапеции

Рассмотрим, как правильно рассчитать площадь трапеции. Трапеция представляет собой четырехсторонний многоугольник с одной парой параллельных сторон. Если две непараллельные стороны имеют одинаковую длину, форма называется равнобедренной или обычной трапецией. Если непараллельные стороны имеют разную длину, она называется неравнобедренной. Однако, несмотря на эту дополнительную сложность в определении, площадь неправильной трапеции может быть рассчитана с помощью простой формулы.

Измерения для расчета площади трапеции:

1. Выровнять прямой край транспортира вдоль более короткой из двух параллельных сторон.
2. Использовать транспортир, чтобы провести линию перпендикулярно от основания трапеции вплоть до противоположной параллельной стороны.
3. Измерить расстояние высоты с помощью линейки.
4. Измерить длину более короткой параллельной стороны.
5. Измерить длину более длинной параллельной стороны.
6. Чтобы найти площадь трапеции, предварительно нужно вычислить среднюю величину двух ее параллельных сторон: (a+b)/2.
7. Площадь равнобедренной (или любой) трапеции равна произведению средней длины основания и вершины на высоту.
8. Площадь трапеции: S=1/2×h×(a + b).

Нужно обратить внимание, что высота трапеции всегда перпендикулярна основанию, точно так же, как высота параллелограмма. Пример: a=3 см, b=5 см, h=4 см. S=4х(3+5)/2=16.

Видео:Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Виды треугольников

Треугольник представляет собой многоугольник, который имеет три стороны и может быть отнесен к следующим типам:

• Равносторонний треугольник имеет равные стороны и равные углы.
• Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и два равных угла.
• Разносторонний треугольник имеет три неравные стороны и три неравных угла.
• Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол 90 градусов.
• Остроугольный треугольник имеет все углы меньше 90 градусов.
• Тупоугольный треугольник имеет один угол больше 90 градусов.

Площадь любого треугольника определяется по формулам.

1. Как рассчитать площадь треугольника, если известны высота и основание треугольника:

• S=1⁄2×a×h, где: h – высота, a — основание.
• S=1⁄2xa×b×sinα, где: a, b – любые две стороны, α — угол между ними.
• S=p×r, где: p = (a+b+c) / 2 — полупериметр, a, b, c – три стороны, r – радиус круга.

Площадь равностороннего треугольника:

Площадь равнобедренного треугольника:

2. Как рассчитать площадь треугольника, если заданы две стороны и угол между ними:

Пример 1: Найти S треугольника, сторона которого составляет 14 см, а высота — 10 см.

Решение: b=14 см, h=10 см, A=1⁄2х14х10=70

Пример 2. Найти область треугольника, стороны которого и угол между ними заданы следующим образом: a=5 см и b=7 см, C=45 градусов.

Решение: Площадь треугольника =1⁄2xaxbxsin 45.

Площадь =1⁄2×5×7×0,707 (поскольку sin45=0,707)

Ответ: 12,3725 см 2 .

Пример 3. Найдите площадь (в м 2 ) равнобедренного треугольника, стороны которого составляют 10 м, а основание — 12 м.

Решение: Площадь равнобедренного треугольника определяется:

A=1⁄4xbx√(4a 2 -b 2 )A=1⁄4х12х√(4х(10) 2 -(12) 2 )А=48

Пример 4. Найти площадь треугольника, стороны которого равны 8, 9 и 11 соответственно. Все единицы измерения даны в метрах (м).

Решение: Стороны a=8, b=9 и c=11. Согласно формуле Херона площадь треугольника может быть определена по следующей формуле: A=√(sx(sa)х(sb)х(sc)). Прежде всего нам нужно определить s, которая является полупериметром треугольника: s =1⁄2х(a+b+c)=1⁄2х(8+9+11)=14.

Теперь, вставив значение полупериметра в формулу Герона, можно определить площадь треугольника: A=√(sx(sa)х(sb)х(sc)). A=√(14х(14-8)х(14-9)х(14-11)). A=√(1260)=35,50

Видео:Как рассчитать площадь будущего дома.Скачать

Измерение площади ромба

Ромб — особый вид параллелограмма, имеющий равные стороны и равные противоположные углы. Площадь ромба можно определить, используя три способа.

1. Метод высоты основания. Сначала выберите одну любую сторону в качестве базы, так как они имеют одинаковую длину. Затем определите высоту — перпендикулярное расстояние от выбранного основания до противоположной стороны.

• Площадь является произведением этих двух величин и определяется по формуле: S=a×h, где: S – площадь ромба, h — высота ромба, AB=BC=AD=DC=a – сторона ромба.

2. Метод диагоналей. Другая простая формула для площади ромба, когда известны длины диагоналей. Площадь составляет половину произведения диагоналей.

• В качестве формулы: S=1/2xACxBD, где: S – площадь ромба, AC– большая диагональ, BD — меньшая диагональ.

3. Использование тригонометрии. В тригонометрии, есть удобная формула, когда известны длина стороны и любой угол:

• S=a2×sin α, где: S – площадь ромба, B=BC=AD=DC= a – сторона ромба, α — острый угол, β — тупой угол.

Видео:🆗 КАК РАССЧИТАТЬ | ПЛОЩАДЬ СТЕН❓Скачать

Поверхность круга

Круг представляет собой форму, состоящую из замкнутой изогнутой линии. Каждая часть линии находится на одном и том же расстоянии от центра области, называемом радиусом. Еще с древних времен известно, как рассчитать площадь круга, если задан радиус. Площадь круга вычисляется по формуле S=πxr 2 , где: S — площадь круга,

π — число пи (3.1415), r — радиус круга.

Чтобы найти площадь круга, выполняем следующие действия. Запишите заданный радиус или диаметр величины как r или d соответственно. Как рассчитать площадь круга, если задан диаметр? Это совсем несложно, нужно вычислить радиус, разделив диаметр на 2, и перемножить данные с помощью калькулятора или вручную. Полученный ответ будет в квадратных единицах.

Задача: Найти площадь круга радиусом 10 см.

Решение: Мы имеем радиус окружности =10 см. Площадь круга =3,1416×10×10=314,16.

Ответ: 314,16 см 2 .

Найдите площадь круга диаметром 15 см.

Решение: У нас диаметр круга =15 см. Радиус =15/2=7,5 см. Площадь круга =3,14х7,5х7,5=176,625=176,63 (округлить до 2 знаков после запятой).

Ответ: 176,63 см 2 .

Видео:Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать

Простые геометрические фигуры крыш

Прежде чем выполнять кровельные работы, нужно знать, как рассчитать площадь крыши, чтобы определить, сколько материала потребуется. Его количество всегда нужно брать с запасом и добавлять не менее 10 процентов от общей площади кровли для учета отходов строительства.

Предварительно перед расчетом схему кровли разбивают на простые геометрические фигуры, в нашем примере это две трапеции и два треугольника. Как рассчитать площадь крыши для трапециевидных элементов? Площадь вычисляется по следующей формуле: S=(a+b)xh/2, где: а – ширина нижнего свеса — 10 м, b – ширина по коньку — 7 м, h – высота — 5 м.

Для треугольных элементов применяется формула: S=axh/2, где: а – ширина ската по нижнему свесу — 7 м, h – высота ската — 3 м.

1. Измерить длину, ширину и высоту каждой геометрической фигуры крыши, включая ветровые окна. Эта информация может быть доступна в исходном плане здания дома или, если поверхность крыши относительно низкая и плоская, можно ее измерить самостоятельно. Если хозяин дома сам не может безопасно подняться на крышу, расчет можно выполнить по наружным замерам здания.
2. Перемножить длину и ширину каждой треугольной или трапецеидальной плоскости в отдельности.
3. Вычислить площадь для симметричных треугольных плоскостей, умножив длину основания треугольника (самую длинную сторону) на его высоту (расстояние от середины самой длинной стороны до противоположного угла).
4. Затем разделите итог на 2, чтобы получить результат в квадратных метрах. S=axh/2=7х3/2=10,5 м 2 .
5. Вычислить площадь для трапеции, умножив ширину нижнего свеса плюс ширину по коньку на его высоту (расстояние от середины самой длинной стороны до противоположного угла).
6. Затем разделить итог на 2, чтобы получить результат в квадратных метрах.
7. Умножить площадь на 0,1, чтобы получить 10-процентную надбавку для запаса кровельного материала S=(a+b)xh/2=(10+7)*5/2= 42,5 м 2 .
8. Сложить площади всех фигур вместе. S=10,5+10,5+42,5+42,5=106 м 2 .
9. В результате получается общая площадь крыши 106 м 2 , с запасом — 116 м 2 .

Видео:Как рассчитать площадь земельного участкаСкачать

Инструментальные обмеры дома

Для измерения площади дома потребуются инструменты, чтобы очень точно выполнить расчеты, которые могут стать основой для проведения ремонтных работ, купли-продажи или страхования дома. Перед тем как рассчитать площадь, нужно взять рулетку, карандаш и блокнот, на котором нарисовать простейшую схему плана дома. Ее можно взять из паспорта застройщика или других проектных документов. С последним источником нужно быть внимательным, указанные цифры могут быть не всегда точными, например, какие-то ремонтные работы могут быть в них не учтены. Поэтому правильнее будет выполнить измерение площади самостоятельно.

Как рассчитать площадь дома вручную? Если нужно измерять площадь пола вручную, лучше всего измерить внешние стены, не забывая различных строительных углублений, подсобных помещений, верхних этажей, отдельных зданий или гаражей. Когда сделаны простые основные измерения, площадь рассчитывается путем умножения длины дома на ширину.

В зависимости от формы плана строительства может понадобится разбить его на простейшие геометрические фигуры. В этом примере дом имеет 9 метров на 12 метров, давая нам 108 квадратных метров. Гараж составляет 6 метров на 3 метра, что составляет 18 квадратных метров, общая площадь — 126 квадратных метров.

Видео:Почему площадь круга равна pi•R²Скачать

Предремонтные замеры пола

Как рассчитать площадь пола перед проведением ремонтных работ, например, замены линолеума или покраски? Для квадратного или прямоугольного помещения сначала нужно будет измерить длину и ширину комнаты. Затем умножить длину и ширину, получим длина x ширина = площадь. Таким образом, если комната имеет размеры 3 метра в ширину и 5 метров в длину, общая площадь составит 15 квадратных метров.

Это измерение можно использовать при расчете необходимого количества плиточного раствора, герметика, линолеума, которые владелец планирует использовать для своего проекта. Чтобы рассчитать площадь для подбора материалов, как правило, нужно добавить 10% коэффициент запаса: просто умножьте площадь на 1,1, а затем округлите до целого значения.

В примере, когда общая площадь составляет 15 м 2 , нужно будет заказать дополнительное количество плитки и раствора для 16,5 квадратных метра. Если комната не прямоугольная, нужно разделить ее на две или более элементарных геометрических фигур, чтобы рассчитать общую площадь.

Видео:Измерение площади фигуры с помощью палеткиСкачать

Калькулятор для неправильной фигуры

Очень часто измеряемое пространство имеет очень сложную форму, которую не всегда удается разбить на простые элементы.

Чтобы просто определить такую площадь, стоит воспользоваться интернет-приложением SketchAndCalc. Он является калькулятором площади неправильных фигур для любой формы изображения. Это единственный калькулятор площади, способный вычислять по загруженным изображениям, он имеет уникальную функцию, которая позволяет пользователю установить масштаб чертежа любого изображения, прежде чем рисовать периметр. Таким образом, углы или кривые неправильной фигуры легко вычисляются.

Проще говоря, если есть изображение, которое можно загрузить, или адрес карты для поиска, можете рассчитать площадь неправильной фигуры независимо от того, насколько сложна она, просто рисуя периметр области. Калькулятор может даже суммировать вычисления нескольких площадей вместе путем рисования слоев. После вычисления первой области можно добавить новый слой чертежа, что позволяет выполнить неограниченное количество вычислений области.

Результаты калькулятора площади отображаются в дюймах и метрах, увеличивая его полезность и устраняя необходимость преобразования. Это наряду с точными инструментами рисования и увеличения гарантирует, что площади каждой неправильной фигуры рассчитываются точно. Он также может размещать правильные формы многоугольника с фиксированными углами и точными линиями.

Инструмент с ограниченным рисунком привязывается к общим углам, а линию длины можно редактировать вручную с помощью клавиатуры. Приложение полезно, если измеряемая область имеет прямую сторону или длину. Еще одной уникальной особенностью SketchAndCalc TM является то, что он имеет продвинутый инструмент рисования кривой для неправильных фигур. Некоторые приложения калькулятора области позволяют осуществлять поиск по карте.

SketchAndCalc делает это очень точно, используя поиск по долготе и широте. Независимо от того, находится ли замеряемая область на сельскохозяйственных землях или в море, пользователь будет тратить меньше времени на поиск и больше времени на расчет площади территории. Это универсальная утилита, применяемая во многих отраслях промышленности, в строительстве, садоводстве. Она используется и энтузиастами по благоустройству своего дома и придомовой территории. Калькулятор ландшафта или калькулятор земельной площади также нашел своих пользователей среди землеустроителей. Теперь они знают, как рассчитать площадь участка легко и быстро.

Однако, помимо этих общих применений, многие работающие в области образования, медицины, науки и исследований нуждаются в расчете площади неправильных форм, таких как клеточные мембраны или другие объекты, обнаруженные в биологии, и с удовольствием пользуются этим приложением.

Для применения математики в повседневной жизни недостаточно уметь считать один плюс один. Существенным аспектом окружающей среды являются геометрические структуры, то есть представление повседневных предметов в прямоугольной, квадратной, круглой или треугольной форме. И надо уметь рассчитать нужную площадь.

Кроме того, геометрические фигуры используются и при построении диаграмм, схем, презентаций. Вот почему так важно уметь делать различные расчеты, в том числе и вычисление площади.

💥 Видео

КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ КРУГА, ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ДИАМЕТР? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать