как посчитать площадь объемной фигуры

Видео:Как найти площадь фигуры?Скачать

Площадь фигур

Площадь фигуры является суммарной числовой характеристикой всех единичных квадратных элементов плоскости. В зависимости от размера фигур стороны квадрата единичного элемента могут быть равны 1 мм, см, м, дюйму, км и пр. S фигур могут измеряться в следующих единицах измерения: мм2, см2, м2, гектарах, квадратных километрах и пр.

Видео:5 класс, 21 урок, Объемы. Объем прямоугольного параллелепипедаСкачать

Вычислить, найти площадь геометрических фигур

Площадь фигуры сложной формы может составляться из различных элементарных фигур: треугольников, квадратов, прямоугольников и пр. Общая площадь будет высчитываться путем суммирования площадей составляющих компонент.

Набор онлайн-калькуляторов страницы дает возможность оперативного вычисления не только S плоских фигур (квадрата, прямоугольника, круга, ромба, эллипса), но и площадей объемных фигур (куба, призмы, конуса, цилиндра, сферы, тетраэдра и пр.), являющихся совокупностью нескольких плоскостей.

Вычисление площадей фигур востребовано для решения различных задач:
— строительных;
— кадастровых;
— инженерных и пр.

Государство осуществляет кадастровый учет земельных участков, основным учитываемым параметром которых является площадь. Специалистами БТИ фиксируется общая и полезная жилая площадь квартир. В быту иногда нужно вычислять площадь ковра, натяжного потолка, площадь дачного участка и пр.

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Достаточно знать всего одну формулу, чтобы вычислять и площади, и объемы различных фигур (Формула Симпсона)

Приветствую Вас, уважаемые гости и подписчики моего канала!

Сегодня, хотел бы свою статью посвятить царице наук, а именно — математике! Являясь отцом двоих детей, я постоянно помогаю им с домашкой (домашними работами), в том числе и с математикой. Дочери в школе задали на лето около сотни задач, и, проверяя очередную, наткнулся в учебнике на интересный параграф, который называется в честь двух великих математиков: Формула Ньютона-Симпсона.

На самом же деле, она относится к высшей математике, а именно к приемам численного интегрирования, но благодаря своей простоте, проходят ее и в школьном курсе. С помощью одной единственной универсальной формулы Ньютона-Симпсона можно вычислять как площади фигур, так и объемы различных тел.

Формула выглядит следующим образом:

Если вычисляются объемы тел, то в качестве «b» берутся площади оснований и сечений, если же вычисляются площади, то «b» это длины оснований и отрезка по центру.

b1 — это длина или площадь нижнего основания;

b2 — это длина отрезка посередине фигуры или площадь сечения по центру тела;

b3 — это длина или площадь верхнего основания;

Видео:Площадь фигурыСкачать

Проще на примерах…

1. Объемы

Итак, предположим нам требуется вычислить объем конуса или пирамиды. Геометрия нам говорит, что объем этих фигур равен:

По формуле Ньютона-Симпсона это представляется так:

V=(Н/6)*(b1 + 4b2 + b3) или (Н/6)*(b1 + 4*(b1/4) + 0) = Н*b1/3.

Как вы видите формула Симпсона, путем преобразования, превращается в стандартную формулу, изучаемую в школе. Все то же самое можно проделать с цилиндром, призмой или шаром, а также с усеченными вариантами пирамиды и конуса.

В случаях с цилиндром и призмой, по формуле Ньютона-Симпсона у вас будет выведена формула объема, равная произведению высоты на основание b1, а в случае с шаром, получится реальная формула нахождения объема сферы: 4/3 *π*r³.

Уже за счет того, что формула применима для нахождения объемов самых известных геометрических фигур, она достойна называться универсальной. Кроме объема, как я уже ранее писал, с помощью нее можно вычислять и площади.

2. Площади

Площадь любой произвольной трапеции:

S = h/6 * (b1 + 4(b1+b3)/2 + b3) = h/2 * (b1+b3)

S = h/6 * (b1 + 4(b1/2) + 0) = 1/2 *b*h

Площадь параллелограмма или правильного четырехугольника:

S = h/6 * (b1 + 4b1 + b1) = b*h

Что и требовалось доказать!

Формула очень проста и интересна, если Ваши детки не проходили ее в школе, считаю, что стоит им рассказать и показать.

А на этом всё, с Вами был Роман, канал «Строю для Себя»…

Видео:Площадь поверхности параллелепипедаСкачать

Калькулятор вычисления объема и площади геометрических фигур

Весь осязаемый мир представляет собой объемные геометрические фигуры и их сочетания. Определение объемов и площадей поверхностей тел может понадобиться не только при решении школьных задач, но также в быту или профессиональной деятельности. Простые объемные тела разделяются на две категории.

Видео:#110. Задание 8: площадь поверхности составного многогранникаСкачать

Тела вращения

Первая категория — это тела вращения. Такие объемные фигуры образуются путем вращения плоской фигуры вокруг одной из сторон или путем движения образующей кривой вдоль направляющей. Наш каталог предлагает калькуляторы, при помощи которых можно рассчитать параметры следующих тел вращения.

Конус

Конус — фигура, которая создается путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Также конус формируется путем движения образующего луча вдоль направляющей окружности, при этом начало луча остается неподвижным. Для определения площади поверхности конуса используется простая формула:

где R — радиус основания, l — образующая конуса.

Для подсчета объема конической фигуры используется следующее соотношение:

где h — высота конуса.

Конусы широко встречаются в быту, производстве или науке. Например, коническую форму имеют вафельные рожки для мороженного, абажуры для светильников, пожарные ведра или воронки. В природе конус также распространен: горы, вулканы, сосновые шишки или шляпки грибов имеют форму данного тела.

Цилиндр

Цилиндр — тело вращения, которое образуется путем вращения прямоугольника вокруг одной из сторон. Также цилиндр формируется путем движения образующей прямой по направляющей кривой, которая в случае цилиндра может быть окружностью, эллипсом, параболой или гиперболой. Такие «экзотические» цилиндры носят соответствующие названия эллиптических, параболических и гиперболических фигур, однако в реальной жизни наибольшее распространение получил прямой круговой цилиндр. Для определения площади поверхности такого цилиндра используется формула:

S = 2 pi × R × (R + h),

где R — радиус основания, h — высота цилиндра.

Для вычисления объема цилиндра геометры применяют следующее соотношение:

Цилиндр легко встретить в реальной жизни: это и цистерны, и поршни двигателей, и колонны, и трубы газопроводов. Цилиндры широко используются в производстве, поэтому многим инженерам приходится вычислять площади поверхностей или объемы цилиндрических объектов.

Шар — тело вращения, созданное путем вращения круга около своей оси. Сфера — это поверхность, сформированная путем вращения окружности или полуокружности вокруг своей оси. Таким образом, шар — это пространство, ограниченное сферой. Площадь сферы вычисляется по формуле:

где R — радиус сферы.

Для подсчета объема шара используется следующее выражение:

Шар — идеальная фигура, поэтому в природе она встречается довольно часто. К примеру, сферическую форму принимают капли дождя, снежные комья, планеты, звезды, а также ягоды или кроны деревьев. В человеческой повседневности форму шара имеют спортивные мячи, пушечные ядра, подшипники или бусины.

Видео:КАК ЗАПОМНИТЬ ОБЪЕМЫ ВСЕХ ФИГУР? #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

Многогранники

Вторя категория — многогранники. Многогранник или полиэдр — это объемное тело, каждая грань которого является многоугольником. Существует огромное множество многогранников: к ним относятся призмы, пирамиды, параллелепипеды, а также платоновы тела — полиэдры, гранями которых являются правильные многоугольники. В нашем каталоге вы найдете инструменты для определения площадей поверхностей и объемов следующих многогранников.

Призма

Призма — это полиэдр, который состоит из двух n-угольных оснований, параллельных друг другу и n боковых граней, формирующих боковую поверхность призмы. Грань призмы — это всегда параллелограмм. Простыми словами, если в основании фигуры лежит квадрат, то призма считается четырехугольной, но при этом шестигранной: четыре грани составляют боковую поверхность, а две — поверхность оснований. Если в основании лежит пентагон — то призма пятиугольная и семигранная, а если додекагон — то фигура 12-угольная и 14-гранная. Если в основании призмы положить полигон, количество сторон которого стремится к бесконечности, то основание превратится в круг, а призма — в цилиндр. Для определения площади боковой поверхности призматической фигуры используется выражение:

где a — сторона параллелограмма, n — количество граней, h — его высота.

Площадь поверхности основания призмы зависит от многоугольника и в общем виде для правильных полигонов рассчитывается как:

So = n/4 × a 2 × ctg(pi/n),

где n — количество сторон фигуры, a — длина стороны.

Полная же площадь поверхности определяется как:

Объем призмы вычисляется по следующей формуле:

Призма — наиболее распространенный в человеческой повседневности полиэдр. Форму призмы имеет огромное число предметов вокруг вас: это системный блок компьютера, сабвуфер, стол, шкаф, комната и здание. Если выйти на улицу, то вы увидите царство призм. Именно поэтому инструмент для определения объемов и площадей поверхности призматических фигур всегда актуален.

Пирамида

Пирамида — это полиэдр, который составлен из n-угольного основания и n боковых граней, формирующих боковую поверхность пирамидальной фигуры. Грань пирамиды — это всегда треугольник. Вид полиэдра определяется в зависимости от того, какой полигон выступает в роли фундамента пирамиды. Следовательно, пирамиды бывают треугольные, четырехугольные, пятиугольные или n-угольные. Площадь боковой порвехности пирамиды рассчитывается согласно выражению:

где h — высота пирамиды, P — периметр полигона, лежащего в основании.

Площадь фундамента рассчитывается по общей формуле для любого правильного полигона:

So = n/4 × a 2 × ctg(pi/n),

где a — длина стороны, n — количество сторон.

Полная площадь поверхности пирамиды определяется как:

Для определения объема пирамиды используется формула:

где h — высота фигуры.

Пирамида — довольно распространенная фигура и широко используется в архитектуре. Всем известно о величественных пирамидах в Египте или колоссальных сооружениях в Южной Америке. Современные архитекторы также активно используют пирамиды при проектировании торговых комплексов, музеев или выставочных галерей. Кроме того, пирамидальные фигуры часто встречаются в производстве и машиностроении.

Параллелепипед

Параллелепипед — это гексаэдр с попарно параллельными гранями. Если ребра такого шестигранника равны, то параллелепипед превращается в куб. Параллелепипед — это частный случай прямой четырехугольной призмы, поэтому формулы для расчета площади и объема фигуры выводятся из соотношений для призмы с n = 4. Таким образом, для расчета площади поверхности гексаэдра используется формула:

S = 4 (a × h) + 2 (a × b),

где a, b — стороны основания параллелепипеда, h — высота фигуры.

Объем полиэдра определяется как:

Параллелепипед, так же как и призма, постоянно встречается в реальности. Форму такого гексаэдра имеет множество вещей вокруг нас: шлакоблоки, бетонные плиты, грузовые контейнеры или картонные коробки. Формулы для расчета атрибутов параллелепипеда, несомненно, пригодятся вам не только для решения школьных задач, но и в бытовых вопросах.

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Примеры использования

Наш калькулятор позволяет рассчитать объем или площадь поверхности любого из заданных геометрических тел. Рассмотрим пару примеров.

Заливка бетона

К примеру, вы решили построить летний коттедж, а для каждого дома необходим фундамент. Вы выбрали плитный фундамент — монолитную плиту, которую заливают под всей площадью будущего жилища. Вам требуется узнать, сколько бетона понадобится для обустройства такого фундамента. Плитное основание представляет собой обычный параллелепипед, следовательно, вам понадобится определить объем шестигранника. Пусть вы хотите построить дом с размерами 6 на 9 метров, а толщина фундамента согласно техническим требованиям должна составлять 15 см. Приведем все параметры в одни единицы измерения и воспользуемся калькулятором для расчета объема параллелепипеда.

Таким образом, нам потребуется заказать 8,1 кубометров бетонной смеси.

Пошив мячей

Допустим, вы открыли производство по производству волейбольных мячей, и вам требуется узнать, сколько материала уходит на пошив одного мяча. Согласно данным из Википедии, стандартный волейбольный мяч имеет длину окружности l = 67 см, следовательно, радиус такого мячика составит 10,6 см. Зная радиус, вы без проблем можете определить, сколько синтетической кожи понадобится для создания одного изделия

Это означает, что для обшивки одного мяча вам понадобится 0,141 квадратных метров кожи.

Видео:Математика 4 класс (Урок№14 - Измерение площади фигуры с помощью палетки.)Скачать

Заключение

Объемные фигуры постоянно вращаются вокруг нас, поэтому задача определения площадей поверхностей и объемов многогранников остается актуальной задачей. Используйте наш каталог онлайн-калькуляторов и выполняйте необходимые расчеты для решения бытовых или производственных задач.

📸 Видео

Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!Скачать

Объем и площадь поверхности фигуры часть 1Скачать

Миникурс по геометрии. Куб, призма, цилиндр и конусСкачать

Математика | Объём в жизни и в математикеСкачать

Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать

урок 158 Площадь комбинированных фигур. Математика 4 классСкачать

Как посчитать площадь многоугольника за 15 секунд в уме? Формула для ленивыхСкачать

Математика 5 Объем Объем прямоугольного параллелепипедаСкачать

Стереометрия для ЕГЭ: 5 - виды фигур в стереометрии, их объемы и площадиСкачать

Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Сможете ли вы посчитать периметр каждой из этих двух фигур?Скачать