как найти площадь полигона

Видео:Быстрый способ ➜ Найдите площадь многоугольника на рисункеСкачать

Вычисление площади участка по координатам вершин основного теодолитного хода

Площадь замкнутого полигона по координатам его вершин определяют по формулам:

X,Y – координаты вершин основного теодолитного хода;

n – вершины хода;

(n+1) – номер последующей вершины;

(n – 1) – номер предыдущей вершины.

По обеим формулам должно получиться одно и то же значение площади, что является контролем вычисления площади участка.

Вычисляют площадь по приведенным формулам в специальной «Ведомости вычисления площади участка по координатам» (табл.6).

Вначале из «Ведомости вычисления координат основного замкнутого хода» (табл.4) переносят в «Ведомость вычисления площади» (табл.6) координаты вершин замкнутого полигона. После этого вычисляют разности соответствующих ординат (графы 2 и 3) и соответствующих абсцисс, указанных в приведенных формулах площади, число разностей равно числу вершин полигона.

В примере: и :

1. = 471,08 – 191,42 = 279,66	1 =78,54-266,54 = 188,00
= 511,48 – 206,93 = 304,55
= 398.81 – 471,08= — 72,27
= 191,42 – 511,48 = -320,06
= 206,93 – 398,81 = — 191,88

Алгебраическая сумма разностей абсцисс и ординат должна равняться нулю, что является контролем вычисления соответствующих разностей. Полученные разности абсцисс и ординат заносят в графы 6 и 7 ведомости. Произведения алгебраически суммируют отдельно в графе 6 и в графе 7. Суммы должны быть одинаковыми, что является контролем вычислений. Сумма произведений в графе 6 и в графе 7 составляют двойную площадь участка.

В примере: 2S= 156506, 62 м 2 , а площадь полигона

S = .

Все вычисления площади записывают в ведомость (табл. 6).

Ведомость вычисления площади участка по координатам

№ точек	Координаты
Х	Y
+289,4	+206,93	+279,66	— 188,00	+80936,40	-38902,84
+266,54	+471,08	+304,55	+ 223,40	+81174,76	+105239,27
+66,01	+511,48	-72,27	+311,02	-4770,34	+159080,50
-44,48	+398,81	— 320,06	-12,53	+14236,26	-4997,09
+78,54	+191,42	-191.88	-333,89	-15070,26	-63913,22
+584,21 — 584,21	+534,42 -534,42	156506,62	156506,62
2S=156506,62м 2 S = 78253,31м 2

На защиту необходимо представить:

1. Обработанный журнал теодолитной съемки.

2. Ведомость вычисления координат точек теодолитных ходов.

4. Ведомость вычисления площади участка.

5. Расчетно-графическая работа должна иметь титульный лист (рис.11).

1. Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Г., Геодезия. — М.: КолосС 2006. — 599 с.

2. Поклад Г.Г., Гриднев С.П.Геодезия. — М.: Академический проект 2007. — 592 с.

Видео:ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА 8 класс геометрия АтанасянСкачать

GIS-LAB

Географические информационные системы и дистанционное зондирование

Видео:Как найти площадь фигуры#математика #площадьфигуры #геометрия #формулапика #репетиторСкачать

Вычисление площади полигона на сфере и на эллипсоиде

Рассматривается известный способ вычисления площади сферического полигона по сферическому избытку. Предлагается расширение этого подхода на поверхность эллипсоида. Приводится пример программной реализации на языке Питон.

Видео:Как найти площадь многоугольника | Олимпиадная математикаСкачать

Содержание

Видео:Как найти площадь многоугольника? | 1 задание ЕГЭ профиль #егэпрофиль #профиль #умскул #егэСкачать

[править] Общие положения

Определим полигон как простой многоугольник — участок поверхности, ограниченный замкнутой полилинией без самопересечений.

Полилиния в свою очередь — ломаная, образованная отрезками геодезических линий.

Геодезическая линия на плоскости — это прямая; геодезическая линия на сфере — дуга большой окружности.

[править] Полный поворот контура

В общем случае определение площади многоугольника на искривлённой поверхности — нетривиальная задача. Нужно интегрировать по поверхности с пределами, заданными неявно. К счастью, математика может предложить обходные пути решения задачи.

Представим себе точку, движущуюся вдоль контура полигона. Вершины являются точками поворота. Внутренний угол при вершине θ равен разности азимутов направлений α в предыдущую и следующую вершины, а поворот есть угол τ, смежный внутреннему:

На евклидовой плоскости, обойдя любой замкнутый контур без самопересечений, точка совершает поворот ровно на одну окружность — 360°, или 2π радиан. В случае многоугольника этот поворот складывается из суммы поворотов в вершинах.

На поверхности с ненулевой гауссовой кривизной общий поворот отличается от 2π на величину избытка или недостатка, пропорционального кривизне поверхности и площади фигуры.

Видео:Как посчитать площадь многоугольника за 15 секунд в уме? Формула для ленивыхСкачать

[править] Площадь полигона на сфере

[править] Сферический избыток

В общем случае кривизна поверхности меняется в каждой точке, но не на сфере! Кривизна сферы постоянна, и площадь замкнутой фигуры однозначно соотносится с полным поворотом контура.

Отличие полного поворота от 2π радиан называется сферическим избытком или эксцессом ε, который пропорционален площади полигона S:

где R — радиус сферы.

[править] Алгоритм вычисления площади

1. Для каждой стороны из решения обратной геодезической задачи для её конечных вершин находим прямые и обратные азимуты α_{i, i+1} и α_{i+1, i}.
2. Для каждой вершины по азимутам α_{i, i−1} в предыдущую и α_{i, i+1} в последующую вершины находим поворот τ_i и добавляем его к полному повороту τ.
3. Вычисляем сферический избыток ε.
4. Вычисляем площадь полигона S.

[править] Радиус сферы

В геодезической и картографической практике в качестве модели Земли принимают эллипсоид вращения, характеризуемый величинами экваториального радиуса a и сжатия f. Соответствующая сфера должна иметь такую же площадь, как и принимаемый за основу эллипсоид. Такая сфера называется эквивалентной (authalic sphaera по латыни).

Ниже мы приведём формулы вычисления радиуса эквивалентной сферы по параметрам эллипсоида. Пока же поближе посмотрим на пару-тройку популярных программных пакетов.

MapInfo вычисляет площади на сфере по умолчанию. Несложные эксперименты («реверс-инжиниринг») показывает, что радиус сферы не зависит от того, на каком эллипсоиде построена координатная система обрабатываемых данных, — он всегда равен 6370997 метров ровно. Анализ используемых земных эллипсоидов показывает, что это соответствует радиусу эквивалентной сферы эллипсоида Кларка 1866 года, определяемого величинами экаториального радиуса a = 6378206.4 м и полярного радиуса b = 6356583.8 м; точное значение радиуса R_auth = 6370997.2406 м, округлённое до метра — 6370997 м.

Выбор именно этого радиуса не случаен: эллипсоид Кларка 1866 пока ещё широко используется в странах Северной Америки в картографических и кадастровых целях.

В большинстве своём программы GIS не вычисляют площадей на сфере. Тем не менее, в картографических целях ArcGIS включает два эллипсоида с характерными названиями: “Authalic sphere (ARCINFO)” (код “SPHEROID["Sphere_ARC_INFO",6370997,0]”) и более новый “Authalic sphere” (код “SPHEROID["Sphere",6371000,0]”).

В пакете PROJ.4 также имеется эллипсоид “sphere”: параметры “a=6370997.0”, “b=6370997.0”, описание “Normal Sphere (r=6370997)”.

[править] Площадь малого полигона

Если полигон настолько мал, что сферический избыток сравним с погрешностью его вычисления, можно перейти к вычислениям площади на плоскости.

Для промежуточной по размерам зоны имеется следующий вариант решения проблемы. Полигон разбивается на сферические треугольники, как показано на рисунке пунктирными линиями. Решаются обратные задачи для каждой линии, из чего находятся длины сторон a, b, c и внутренние углы A, B, C каждого треугольника. После этого эксцессы ε_j треугольников вычисляются, например, по первой формуле Каньоли:

В итоге находится суммарный эксцесс ε = ∑ε_j и вычисляется площадь S.

В учебниках сферической тригонометрии можно найти и другие формулы вычисления сферического избытка в треугольнике.

Видео:Площадь фигурыСкачать

[править] Площадь полигона на эллипсоиде

[править] Параметры эллипсоида

Обычно эллипсоид задаётся такими параметрами, как экваториальный радиус a и сжатие f. Часто в качестве второго параметра приводят полярный радиус b. Эти величины связаны простыми соотношениями:

Из основных параметров выводятся другие: полярный радиус кривизны c, эксцентриситет e, второй эксентриситет e′:

[править] Классический способ

Можно получать площади интегрированием по поверхности. Это сложно, поскольку пределы интегрирования в полигоне заданы неявно, но вполне реализуемо численными методами.

Однако можно воспользоваться тем фактом, что средний по азимутам радиус кривизны поверхности эллипсоида является медленно меняющейся функцией широты:

В классическом способе для данной территории поверхность эллипсоида представляется сферой с радиусом, равным радиусу кривизны R на средней широте этой территории. Если территория имеет значительное простирание по широте, придётся её разбивать на более мелкие фигуры. Таким образом, мы вновь обращаемся к технике работы с малыми полигонами, описанной чуть выше.

Классический способ издавна использовался при обработке измерений в геодезических сетях. Геодезистам не приходилось искуственно разбивать полигоны на треугольники, они уже были разбиты: в вершинах находились геодезические пункты, углы и/или длины сторон в каждом треугольнике измерялись. Отличалась только цель вычисления сферического избытка: он определялся не для установления площади, а для нахождения теоретической суммы углов в треугольниках.

Характерные размеры треугольников определялись дальностью видимости между сигналами — вышками, установленными над центрами, — и составляли первые десятки километров, т.е. десятые доли процента от радиуса Земли.

При обработке вычислялся общий радиус кривизны по средней широте территории работ. Этого было достаточно для нахождения сферического избытка. Однако для нахождения площадей точнее будет вычислять радиус кривизны индивидуально для каждого треугольника по широте его центра.

Для огромной территории, заданной контуром без готового разбиения на достаточно мелкие фигуры, применение классического метода затруднительно.

[править] Эквивалентное отображение

Речь идёт об отображении поверхности эллипсоида на сферу. В математической картографии это распространённый подход, поскольку математика на сфере намного проще, чем на эллипсоиде. В данном случае необходимо совершить отображение, при котором сохраняются площади объектов — эквивалентное отображение. Площадь эквивалентной сферы равна площади поверхности эллипсоида. Приведём пару представлений радиуса этой сферы R_auth:

При эквивалентном отображении долгота на эллипсоиде λ равна долготе на эквивалентной сфере, а геодезической широте на эллипсоиде φ соответствует так называемая эквивалентная широта на сфере β:

Ряд такого вида называется тригонометрическим.

[править] Алгоритм вычисления площади

Алгоритм вычисления площади на эллипсоиде с использованием эквивалентного отображения совпадает с алгоритмом для сферы, только в начале вставим переход от геодезических широт к эквивалентным.

1. Для каждой вершины по геодезической широте φ_i вычисляем эквивалентную широту β_i.
2. Для каждой стороны из решения обратной геодезической задачи для её конечных вершин находим прямые и обратные азимуты α_{i, i+1} и α_{i+1, i}.
3. Для каждой вершины по азимутам α_{i, i−1} в предыдущую и α_{i, i+1} в последующую вершины находим поворот τ_i и добавляем его к полному повороту τ.
4. Вычисляем сферический избыток ε.
5. Вычисляем площадь полигона S.

[править] Замечания

Важно помнить, что геодезическая линия на эллипсоиде не отображается в дугу большой окружности на сфере. Правда, отличие становится заметным лишь при длинах сторон, сравнимых с размерами Земли. Так, при самом неудачном положении линии длиной 4 тысячи километров «провисание» в середине приближается к пяти километрам. Для линий, вытянутых вдоль меридианов, «провисание» отсутствует.

В каждую длинную сторону, не являющуюся отрезком меридиана, следует вставлять дополнительные вершины. Для этого надо решать одну обратную и много прямых геодезических задач, только не на сфере, а на эллипсоиде, используя алгоритмы сфероидической геодезии. Только после этого можно пересчитывать геодезические широты промежуточных узлов в широты эквивалентные. Чем короче полученные отрезки, тем меньше расхождение между дугой большой окружности на эквивалентной сфере и отображением геодезической линии. Можно сделать процедуру вставки итеративной, т.е. добавлять точки до сходимости площади в пределах заданной точности.

К счастью, береговые линии и границы государств обычно образованы сравнительно короткими отрезками полилиний. А длинные границы полярных владений вытянуты вдоль меридианов, которые являются геодезическими линиями.

Отрезки параллелей, напротив, геодезическими линиями не являются. Вдоль геодезической линии поворот по определению равен нулю. Параллель же является кривой линией на поверхности. Замечательно, что кривизна её постоянна, что даёт простую зависимость поворота вдоль отрезка параллели от широты и разности долгот:

Вместе с тем фактом, что азимуты начальных и конечных направлений параллелей всегда равны 90° либо 270°, это позволяет легко вычислять повороты контуров, составленных частично отрезками геодезических, а частично отрезками параллелей. В частности, если территория является сфероидической трапецией, ограниченной отрезками двух меридианов и двух параллелей, получаем следующую формулу вычисления площади:

где λ₁ и λ₂ — долготы западной и восточной границ, β₁ и β₂ — эквивалентные широты южной и северной границ.

Видео:Площадь многоугольникаСкачать

[править] Программная реализация

Создадим скрипт на языке Питон, предназначенный для вычисления площади полигона на эллипсоиде. Используем эквивалентное отображение эллипсоида на сферу, на которой и будет вычисляться площадь.

Эллипсоид зададим большой полуосью a и сжатием f. Скрипт должен работать и для сферы; в этом случае в качестве a задаётся радиус сферы, а f приравнивается нулю.

Данные должны будут читаться из файла.

[править] Вспомогательные функции

Создадим несколько функций. Во-первых, нам понадобится реализация степенного ряда:

Она облегчит нам вычисление радиуса эквивалентной сферы и коэффициентов тригонометрического ряда:

Наконец, подготовим реализацию тригонометрического ряда:

Эти функции можно найти в архиве Auth.zip в файле auth.py. Также в архиве находится файл sph.py, необходимый для решения обратной геодезической задачи на сфере.

[править] Программа

Напишем программу вычисления площади полигона.

В примере задаются параметры эллипсоида WGS 84, по которым вычисляются радиус эквивалентной сферы и коэффициенты тригонометрического ряда для пересчёта геодезической широты в эквивалентную.

Далее программа читает из файла данных вершины полигона, представленные парами геодезических координат λ, φ, и по приведённому выше алгоритму вычисляет площадь.

Код программы находится в архиве Auth.zip в файле area.py.

Чтобы скрипт был предельно прост, не выполняются некоторые необходимые проверки. Поэтому к данным предъявляются такие требования:

• последняя точка должна совпадать с первой;
• точки не должны дублироваться.

По координатам, использованным при построении рисунка, подготовим файл данных polygon.dat:

Выполним скрипт в консоли:

Поскольку большая полуось задавалась в километрах, результат получен в квадратных километрах.

Посмотрев на рисунок, легко заметить, что длины сторон нашего полигона сравнимы с радиусом сферы, и упомянутый выше эффект «провисания» линий может повлиять на точность вычисления площади.

Видео:Самый простой способ нахождения площадиСкачать

[править] Ссылки

Последнее обновление: 2014-07-01 10:54

Дата создания: 14.03.2014
Автор(ы): ErnieBoyd

Видео:Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!Скачать

Как найти площадь правильных многоугольников

В геометрии многоугольник — это форма, состоящая из прямых линий, соединенных для создания замкнутого контура. У этого также есть вершины, равные количеству сторон. Оба следующих геометрических объек

Видео:Как найти площадь фигуры?Скачать

Содержание:

Видео:8 класс, 10 урок, Понятие площади многоугольникаСкачать

Определение многоугольника

В геометрии многоугольник — это форма, состоящая из прямых линий, соединенных для создания замкнутого контура. У этого также есть вершины, равные количеству сторон. Оба следующих геометрических объекта являются полигонами.

Видео:Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Определение правильного многоугольника

Если стороны многоугольника равны по размеру, а углы также равны, то этот многоугольник называется правильным многоугольником. Ниже приведены правильные многоугольники.

Название полигонов оканчивается суффиксом «гон», а количество сторон определяет переднюю часть имени. Число по-гречески используется в качестве префикса, и все слово говорит о том, что это многоугольник с таким количеством сторон. Ниже приведены несколько примеров, но список продолжается.

N

многоугольник

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Как найти площадь полигонов: метод

Площадь общего нерегулярного многоугольника не может быть получена непосредственно из формулы. Однако мы можем разделить полигон на более мелкие полигоны, с помощью которых мы можем легко вычислить площадь. Затем сумма этих компонентов дает площадь всего многоугольника. Рассмотрим неправильный семиугольник, как показано ниже.

Площадь семиугольника может быть задана как сумма отдельных треугольников внутри семиугольника. Вычисляя площадь треугольников (от a1 до a4).

Общая площадь = a1 + a2 + a3 + a4

Когда число сторон больше, нужно добавить больше треугольников, но основной принцип остается тем же.

Используя эту концепцию, мы можем получить результат для вычисления площади правильных многоугольников.

Рассмотрим правильный шестиугольник с длиной d сторон, как показано ниже. Шестиугольник можно разделить на шесть меньших конгруэнтных треугольников, и эти треугольники можно переставить из параллелограмма, как показано.

Из диаграммы видно, что суммы площади меньших треугольников равны площади параллелограмма (ромбоида). Следовательно, мы можем определить площадь шестиугольника, используя площадь параллелограмма (ромбоида).

Площадь параллелограмма = Сумма площади треугольников = Площадь семиугольника.

Если мы напишем выражение для области ромбоида, мы имеем

Из геометрии шестиугольника мы можем наблюдать, что 6d — периметр шестиугольника, а h — перпендикулярное расстояние от центра шестиугольника до периметра. Поэтому мы можем сказать,

Площадь шестиугольника = 12 периметра шестиугольника × перпендикулярное расстояние до периметра.

Из геометрии мы можем показать, что результат можно распространить на многоугольники с любым числом сторон. Следовательно, мы можем обобщить приведенное выше выражение в

Площадь многоугольника = 12 периметра многоугольника × перпендикулярное расстояние до периметра

Перпендикулярное расстояние до периметра от центра имеет название apothem (h). Итак, если многоугольник с n сторонами имеет периметр p и апотему h, мы можем получить формулу:

Видео:Видео урок гиа по математике 2013: Найти площадь фигуры.Скачать

Как найти площадь регулярных полигонов: пример

1. У восьмиугольника есть стороны 4 см в длину. Найдите площадь восьмиугольника. Чтобы найти площадь восьмиугольника, нужны две вещи. Это периметр и апофем.

Длина стороны составляет 4 см, а восьмиугольник имеет 8 сторон. Следовательно, р
Периметр восьмиугольника = 4 × 8 = 32 см

Внутренние углы восьмиугольника равны 1350, а сторона нарисованного треугольника делит угол пополам. Следовательно, мы можем рассчитать апотему (h) с помощью тригонометрии.

ч = 2tan67.5 0 = 4.828cm

• Следовательно, площадь восьмиугольника

💡 Видео

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Задание №4 "найти площадь фигуры" по теме "Единицы измерения площади". Математика 4, 5 классСкачать

Математика Урок 10 Площадь правильного многоугольникаСкачать

Сможешь найти площадь трапеции? Как найти площадь трапеции если все стороны известны?Скачать

QGIS площадь полигона: 5 простых способов посчитать (2021)Скачать