как найти площадь по квадратикам (6 видео)

Содержание

Формула Пика
Геометрия. Применение формул. Задача 5 Базового ЕГЭ по математике
Квадраты на клетчатой бумаге
📸 Видео

Видео:Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Формула Пика

Формула Пика. Рассказ о формуле, при помощи которой можно находить площадь фигуры построенной на листе в клетку (треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник, многоугольник). Это формула Пика.

Она секретной не является. Информация о ней в интернете имеется, но многим материал статьи будет крайне полезен. Об этой формуле обычно рассказывается применительно к нахождению площади треугольника. На примере треугольника мы её и рассмотрим.

В задачах, которые будут на ЕГЭ есть целая группа заданий, в которых дан многоугольник построенный на листе в клетку и стоит вопрос о нахождении площади. Масштаб клетки это один квадратный сантиметр.

ФОРМУЛА ПИКА

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:

М – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)

N – количество узлов внутри треугольника

*Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.

Найдём площадь треугольника:

M = 15 (обозначены красным)

N = 34 (обозначены синим)

Ещё пример. Найдём площадь параллелограмма:

M = 18 (обозначены красным)

N = 20 (обозначены синим)

Найдём площадь трапеции:

M = 24 (обозначены красным)

N = 25 (обозначены синим)

Найдём площадь многоугольника:

M = 14 (обозначены красным)

N = 43 (обозначены синим)

Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. Но знайте, что можно это делать и таким образом.

А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта формула работает хорошо.

Теперь взгляните на следующие фигуры:

Это типовые фигуры, в заданиях стоит вопрос о нахождении их площади. Такие или подобные им будут на ЕГЭ. При помощи формулы Пика такие задачи решаются за минуту. Например, н айдём площадь фигуры:

M = 11 (обозначены красным)

N = 5 (обозначены синим)

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конечно, можно и эти «микрофигурки» дробить на более простые фигуры (треугольники, трапеции). Способ решения выбирать вам.

Найдём площадь фигуры:

Опишем около неё прямоугольник:

Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур:

В будущем будем рассматривать задания на нахождение площади, связанные с окружностями построенными на листе в клетку, не пропустите! На этом всё. Успехов вам!

Видео:Площадь квадрата. Как найти площадь квадрата?Скачать

Геометрия. Применение формул. Задача 5 Базового ЕГЭ по математике

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

В этой статье — основные типы заданий №5 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам

1. На клетчатой бумаге с размером клетки изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна Тогда

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

Осталось умножить найденное значение синуса на

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

, где и — диагонали.

Получим:

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна

Площадь каждого из маленьких треугольников равна

Тогда площадь четырехугольника

9. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще круга, то есть круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на . Получим:

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Задачи на координатной плоскости

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

Видео:Как найти площадь фигуры?Скачать

Квадраты на клетчатой бумаге

Выполнила:Иглина Александра, 5 класс

Построим несколько квадратов с вершинами в узлах сетки и найдем их площади. Пусть сторона одного квадратика сетки равна 1.

1. «Прямые» квадраты:

Их площадь найти легко: это квадраты длин их сторон, а стороны равны целому числу клеток. Площади прямых квадратов – это квадраты целых чисел: 1, 4, 9, 16, 25 и т.д.

2. «Косые» квадраты

Как найти площадь «косого» квадрата?

Впишем наш «косой» квадрат в «прямой» (рис. 1)

Чтобы найти площадь S «косого» квадрата, надо из площади прямого квадрата вычесть 4 площади закрашенных прямоугольных треугольников, т.е. 2ab. Эти треугольники одинаковые.

А теперь передвинем прямоугольные треугольники внутри большого квадрата так, чтобы получилось два «прямых» квадрата, как показано на рис. 2.

Площадь одного квадрата равна a 2 , а второго ─ b 2 . Сумма их площадей как раз равна площади «косого» квадрата, потому что это площадь большого «прямого» квадрата без тех же четырех прямоугольных треугольников.

Если сторону «косого» квадрата обозначить через c, то его площадь S=c 2 . Поэтому c 2 =a 2 +b 2 . Так мы пришли к теореме Пифагора для закрашенных прямоугольных треугольников.

Какими же числами может выражаться площадь «косого» квадрата с вершинами в узлах сетки? Это такие числа, которые можно представить в виде суммы двух квадратов целых чисел. Например,

А, например, квадрата с вершинами в узлах сетки и площадью, равной 31, не существует, потому что

т.е. 31 не разбивается на сумму двух квадратов целых чисел.

Комментарий учителя.

Задача выросла из упражнения из замечательной книжки И.Ф. Шарыгина, Л.Н. Ерганжиевой «Наглядная геометрия. 5-6 классы», М., Дрофа, 2008: построить на клетчатой бумаги квадраты с вершинами в узлах сетки площадью 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, … клеток. Пятиклассники с удовольствием решали её на уроке. Потом я сказал, что интересно исследовать, квадраты какой площади можно так построить, а какой – нельзя. Через несколько месяцев Саша принесла готовое решение (делала дома, помогали родственники, понимающие в математике). Получилась симпатичная работа.

Работа имеет естественное продолжение:

1) Какие именно целые числа представимы в виде суммы квадратов двух целых чисел (назовём их двуквадратными)? Оказывается, простые двуквадратные числа при делении на 4 имеют остаток 1 или 2. Этот результат легко пронаблюдать экспериментально. Некоторые его части не трудно доказать.

2) Произведение двуквадратных чисел также является двуквадратным числом. Это следует из формулы (a 2 + b 2 )(c 2 +d 2 ) = (ac+bd) 2 + (ad-bc) 2 .

Интересно исследовать аналогичные вопросы на треугольной и на шестиугольной решётках.

Задача о размене монет

Нетрусова Наталья Михайловна,

Коровин Василий Михайлович

Летняя школа «Интеллектуал»

Цель нашей работы – установить, какие суммы можно получить из неограниченного количества монет достоинства x и y.

1) Сначала мы рассмотрели случай, когда достоинства наших монет взаимно просты. Мы сформулировали и доказали лемму:

Если можно получить интервал от (х-1)(у-1) до (х-1)(у-1) + min(x,y) – 1, то можно получить все числа, большие (х-1)(у-1).

Мы выдвинули гипотезу 1:

Если числа х и у взаимно просты, то можно получить все числа, начиная с (х-1)(у-1).

Эту гипотезу мы попытались доказать по этапам:

а) Можно получить все числа от (х-1)(у-1) до (х-1)(у-1) + min(х,у) – 1.

б) Ни при каких значениях х и у не получается числа (х-1)(у-1) – 1.

Подпункт а) мы доказали, а подпункт б) не смогли.

2) Потом мы рассмотрели случай, когда достоинства наших монет не взаимно просты и выдвинули гипотезу 2:

Пусть х и у — числа вида х = dn и у = dm, где m и n – взаимно простые числа, тогда мы сможем получать только числа, делящиеся на d, начиная с d(n-1)(m-1).

Мы доказали эту гипотезу (свели её к гипотезе 1).

В дальнейшем мы надеемся доказать те части гипотезы 1, которые ещё не доказали.

Комментарий.

Работа выполнена на Летней школе «Интеллектуал» в 2009 году. Дети работали 5 полуторачасовых занятий аудиторного времени. Видимо, этого всё же маловато для подобных задач – многие не успели закончить работу.

«Не больше половины»

Красноярская летняя школа

Руководитель: Антон Борисюк

Постановка задачи. Дана кучка камней. Играющие (их двое) по очереди берут камни, причём игрок не может пропускать ход (не брать камни), и может взять не больше половины камней. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Требуется понять, какие числа выигрышные, а какие – проигрышные.

Комментарий.Позиция называется выигрышной, если игрок, попавший на эту позицию, при правильной игре победит (как бы ни играл соперник). Позиция называется проигрышной, если игрок, попавший на эту позицию, проиграет при правильной игре соперника (как бы он сам ни играл).

Теорема 1.

1. Единица – первое проигрышное число.

2. Пусть Х – проигрышное число, тогда:

А. Числа, большие Х и меньшие 2Х+1 – выигрышные;

Б. 2Х +1 – проигрышное число.

Доказательство

1. Единица – первое проигрышное число, так как в этом случае нельзя сделать ход.

2.А. Пусть Х – проигрышное число, N – число, причем

X = 2 n -1, где n – любое натуральное число, – проигрышные.

Б. Х_n=2 n -1 – единственные проигрышные числа.

Доказательство

А. Доказательство проводится методом математической индукции.

X₁ = 2-1 = 1 – проигрышное число. Пусть Х_n – проигрышное число.

По теореме 1, если Х –проигрышное число, то и 2Х+1 –проигрышное число.

следовательно Х_n₊₁ = 2Х_n+1 = 2(2 n -1)+1= 2*2 n -1= 2 n +1 -1 — проигрышное число.

Б. Пусть Y не число вида 2 n -1. Тогда для некоторого числа n выполнено:

Очевидно, Y — 2 n ≤ Y/2, значит, из Y можно получить проигрышное число камней 2 n — 1. Т.е. Y – выигрышное число.

Первые проигрышные числа:

№ Проигр.Числа	Число	Формула
2 1 -1=1
2 2 -1=3
2 3 -1=7

Комментарий.Работавыполнена в Красноярской летней школе в 2000 году. Данные о возрасте участников не сохранились.

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право.