как найти площадь наклонной поверхности

Видео:Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Площадь поверхности пирамиды правильной и наклонной

Одним из многогранников, которые изучают в школах в курсе пространственной геометрии, является пирамида. Эта фигура имеет ряд параметров и характеристик, для вычисления которых используют определенные математические формулы. Прочитав статью, вы узнаете, как находить площадь поверхности пирамиды.

Видео:Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Что представляет собой пирамида? Виды фигуры

Речь идет о фигуре в трехмерном пространстве, которая представляет собой многогранник, состоящий из треугольников и многоугольника. Если взять произвольный многоугольник на плоскости и соединить все его вершины прямыми отрезками с какой-нибудь точкой, не принадлежащей плоскости этого многоугольника, то мы получим пирамиду произвольного типа.

Вам будет интересно: «Парирование» — это слово, значение которого нужно знать

Пирамида состоит из граней, вершин и ребер. Грани представляют собой плоскости, ограничивающие объем фигуры. Грани разделены друг от друга ребрами. Если три грани пересекаются в одной точке, то последняя является вершиной. Любая такая фигура имеет несколько вершин, например, у треугольной фигуры их четыре, а у четырехугольной — пять. У каждой пирамиды есть только одна вершина, которая не принадлежит основанию. Она называется главной или основной.

Класс пирамид включает несколько типов фигур. Пирамида будет прямой, если ее боковые треугольники являются равнобедренными. Если эти треугольники еще и равны друг другу, тогда фигура будет правильной. У любой прямой и правильной пирамиды высота (расстояние от главной вершины до основания) пересекает основание в его геометрическом центре. Кроме того, правильная фигура обладает равносторонним (равноугольным) основанием.

Видео:Площадь поверхности призмы. 11 класс.Скачать

Площадь поверхности пирамиды

Под площадью любой подобной фигуры понимают сумму площадей всех ее сторон. Поскольку пирамиды имеют разный тип, то для расчета их площадей не существует универсальной формулы. Однако существуют выражения, которые могут быть использованы в каждом конкретном случае.

Какой бы не была пирамида, она всегда состоит из n-угольной грани и n треугольников. Площадь треугольников вычислить несложно, если известны их высоты и стороны основания. Что касается n-угольника, то для определения его площади следует провести анализ, что это за n-угольник, является ли он правильным, какие его углы известны. Универсальным методом определения его площади является разбиение на более простые фигуры, например, треугольники или параллелограммы.

Видео:Площадь боковой поверхности наклонной призмы в ЕГЭСкачать

Правильная фигура

Для правильной пирамиды формула площади поверхности давно уже определена. Прежде чем ее записывать, отметим, что площадь правильного основания фигуры может быть вычислена так:

В формуле: a — сторона многоугольника, n — число сторон в нем. Например, для треугольника формула выглядит следующим образом:

Для квадрата же получаем типичное равенство:

Для правильной пирамиды площадь поверхности боковой Sb может быть определена по такой формуле:

Где hb — апофема пирамиды (высота бокового треугольника).

Складывая выражения для Sn и Sb, получаем формулу площади полной поверхности пирамиды:

S = Sn + Sb = n/4*a2*ctg(pi/n) + n/2*hb*a.

Отметим, для однозначного определения S любой пирамиды правильной необходимо знать два ее линейных параметра.

Видео:11 класс, 15 урок, Площадь поверхности цилиндраСкачать

Наклонная фигура

Площадь поверхности пирамиды наклонной рассчитать гораздо сложнее, чем правильной. Тем не менее, зная ее развертку, всегда можно решить поставленную задачу. Боковая поверхность наклонной фигуры рассчитывается так:

Здесь ai — длина i-й стороны основания, hbi — длина i-й апофемы. Апофемы для наклонной пирамиды общего типа различаются.

Площадь основания So вычисляется, исходя из его типа, например, если это параллелограмм со сторонами a1 и a2 и углом между ними θ, тогда можно записать:

Как для наклонной, так и для прямой пирамиды апофемы связаны с длинами боковых ребер и ребер основания. Эту связь часто используют при решении задач.

Видео:КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПИРАМИДЫ?Скачать

Формулы площади боковой поверхности треугольной призмы правильной, прямой, наклонной и отсеченной

При изучении стереометрии в старших классах школ рассматривают свойства фигур в пространстве. Одним из основных свойств является объем, однако иногда возникают геометрические проблемы, которые требуют вычисления площадей поверхностей фигур. В данной статье рассмотрим конкретный вопрос: по какой формуле площадь боковой поверхности треугольной призмы можно найти?

Видео:№236. Докажите, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметраСкачать

Треугольная призма

Для начала разберемся, какая фигура будет рассмотрена в статье. Призма — это такой геометрический объект, который состоит из двух одинаковых и параллельных многоугольных граней и нескольких произвольных параллелограммов, которые указанные грани соединяют между собой. Построить призму несложно. Для этого достаточно взять n-угольник плоский и параллельно самому себе перенести его в другую плоскость. В процессе переноса стороны n-угольника опишут все параллелограммы фигуры, совокупность которых образует боковую поверхность призмы. Сами же n-угольники называются ее основаниями.

Здесь мы не будем рассматривать все возможные виды призм, а сосредоточим свое внимание на треугольной фигуре. Несложно догадаться, что под ней понимают такую призму, n-угольные основания которой являются треугольниками. Причем треугольники могут быть самой разной формы, включая равнобедренные и равносторонние.

Таким образом, треугольная призма образована пятью гранями (2 треугольника и 3 параллелограмма). Фигура имеет 6 равноправных вершин и 9 ребер двух видов: ребра основания и ребра боковой поверхности. Выше показан пример такой призмы.

Видео:Нахождение площади поверхности треугольной призмы при помощи развёртки (видео 5)| Объём и ПлощадьСкачать

Виды призм треугольных

Рассматриваемая фигура является самой простой среди призм, поскольку треугольник — это основание с наименьшим возможным количеством сторон. Любая треугольная призма является выпуклой. В общем случае можно выделить три вида этой геометрической фигуры:

Чтобы понимать разницу между указанными видами, следует обратить внимание на тип основания и боковых сторон. Так, если боковые стороны являются параллелограммами общей формы или ромбами, то призма однозначно будет наклонной. Если же боковые все грани образованы прямоугольниками или квадратами, то перед нами прямая призма. Последняя может быть также правильной, если все три прямоугольника являются одинаковыми. Другой критерий правильности прямой фигуры состоит в том, что у нее правильным является основание, то есть оно образовано треугольником с равными сторонами.

Далее рассмотрим формулы площади боковой поверхности треугольной призмы правильной, прямой, наклонной и отсеченной.

Видео:Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shortsСкачать

Наклонная призма

Речь идет о треугольной фигуре произвольного вида. Вычислить площадь боковой поверхности для нее сложнее всего, поскольку высота h фигуры (дистанция между основаниями) не совпадает с длиной бокового ребра b.

Если возникает задача определения площади поверхности (боковой) такой призмы, то поступают следующим образом: сначала делают воображаемый срез фигуры, который должен быть перпендикулярен всем боковым ребрам и граням. Затем рассчитывают периметр этого среза. В данном случае речь идет о периметре треугольника. Предположим, что он равен P_sr. Площадь боковой поверхности определяется путем умножения величины P_sr на сторону b, то есть имеет место следующая формула:

Видео:Стереометрия. ЕГЭ. Найти площадь поверхности многогранникаСкачать

Прямая призма

Как выше было сказано, поверхность боковая этой призмы образована тремя прямоугольниками. Две стороны этих прямоугольников являются одинаковыми, они равны длине бокового ребра b, которое также является высотой h фигуры. Что касается оставшихся двух сторон, то они могут отличаться. Эти стороны являются сторонами оснований. Обозначим их символом a_i, где i = 1, 2, 3. Тогда формула площади поверхности боковой прямой треугольной призмы запишется так:

Многие могли заметить, что данное выражение не отличается от аналогичного для призмы наклонной, ведь сумма трех сторон a_i является периметром основания. Это связано с тем, что для прямой фигуры основание является перпендикулярным боковым граням срезом.

Видео:🙂 Площадь поверхности правильной пирамидыСкачать

Правильная фигура

Формула площади поверхности боковой призмы треугольной правильной является самой простой по сравнению с выражениями выше. У правильной фигуры все боковые грани являются не просто прямоугольниками (квадратами в некоторых случаях), но еще они равны между собой. Эти геометрические факты позволяют записать формулу площади поверхности боковой призмы треугольной правильной в таком виде:

Здесь a — сторона основания (треугольника). Цифра 3 появляется потому, что боковая поверхность представлена тремя равными гранями. Напомним, что в данном выражении сторона b может быть заменена высотой h.

Очевидно, если боковые стороны представляют собой квадраты, то формула для S_b запишется так:

Видео:Объем и площадь поверхности фигуры часть 1Скачать

Отсеченная фигура

Такая призма образуется, если с помощью плоскости отсечь ее часть. Если секущая плоскость параллельна основаниям, то формула площади боковой поверхности треугольной призмы отсеченной примет один из записанных в предыдущих пунктах вид. Действительно, при параллельном сечении мы получим аналогичную по форме исходной призме фигуру.

Если же секущая плоскость не будет параллельна основаниям, тогда для определения площади отсеченной призмы необходимо будет проводить специальный геометрический анализ, поскольку ее боковая поверхность будет представлена неправильными четырехугольниками.

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Треугольная призма все формулы и примеры задач

Треугольная призма — это трехмерное тело, образованное соединением прямоугольников и треугольников. В этом уроке вы узнаете, как найти размер внутри (объем) и снаружи (площадь поверхности) треугольной призмы.

Видео:Как найти площадь фигуры?Скачать

Определение

Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.

Видео:Площадь поверхности призмы. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Элементы треугольной призмы

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ являются основаниями призмы .

Четырехугольники A₁B₁BA, B₁BCC₁ и A₁C₁CA являются боковыми гранями призмы .

Стороны граней являются ребрами призмы (A₁B₁, A₁C₁, C₁B₁, AA₁, CC₁, BB₁, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.

Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).

Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.

Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.

Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы.

Видео:Пирамида Площадь поверхностиСкачать

Виды треугольных призм

Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная.

У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.)

Прямая треугольная призма

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой.

Наклонная треугольная призма

Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной.

Видео:№238. В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно перпендикулярны, а их общее реброСкачать

Основные формулы для расчета треугольной призмы

Объем треугольной призмы

Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы.

Объем призмы = площадь основания х высота

Площадь боковой поверхности призмы

Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту.

Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота

Площадь полной поверхности призмы

Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности.

так как S_бок=P_осн . h, то получим:

Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Свойства призмы :

Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.
Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
Боковые ребра призмы параллельные и равны.

Совет: при расчете треугольной призмы вы должны обратить внимание на используемые единицы. Например, если площадь основания указана в см 2 , то высота должна быть выражена в сантиметрах, а объем — в см 3 . Если площадь основания в мм 2 , то высота должна быть выражена в мм, а объем в мм 3 и т. д.

Видео:Объем наклонной призмы. Урок 15. Геометрия 11 классСкачать

Пример призмы

В этом примере:
— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.

Видео:Цилиндр - расчёт площади, объёма.Скачать

Задачи на расчет треугольной призмы

Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:

V = 1/2 · 6 · 8 · 5 = 120.

Задача 2.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

Решение:

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = S_осн ·h.

Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S₂ = S₁k 2 = S₁2 2 = 4S₁.

Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.

🎥 Видео

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать