как найти площадь луночек гиппократа

Видео:Луночки Гиппократа. Занятие 16 (2016-2017 уч. год)Скачать

Что такое луночки Гиппократа. Невероятная математическая история длиной в 2500 лет

В марте этого года «Мел» и матфак ВШЭ проводили конкурс на лучшую математическую статью. Мы были горды и рады, что в конкурсе приняли участие и школьники. Несколько лучших текстов, не ставших победителями, мы рекомендовали к публикации. Один из них — текст доктора наук, члена ученого совета НИУ ВШЭ Валентины Кириченко.

Год назад во время жаркого спора с коллегами я впервые услышала о луночках Гиппократа. Упомянуты они были скорее метафорически: кто-то в сердцах воскликнул, что не луночкам же Гиппократа вместо формулы Ньютона — Лейбница должны мы учить студентов на лекциях по интегральному исчислению! Хотя из контекста спора мне показалось, что луночки Гиппократа — это преданье старины глубокой, не связанное с современной математикой. И я из любопытства решила выяснить, о чем речь.

Оказалось, что за луночками Гиппократа скрывается история длиной в две с половиной тысячи лет, охватывающая самые разные страны и культуры — от берегов Эгейского моря до Альпийских гор и от Каира эпохи Фатимидов до Москвы советских времен. Особенно драматично история развивается в XX веке, а заканчивается уже в наши дни, в 2003 году.

Другой Гиппократ

Почему Гиппократ Хиосский (не тот, которого клятва) стал искать луночки, площадь которых легко вычислить? Дело в том, что он, как и многие математики до и после него, хотел найти простую формулу для площади круга. Если разбить круг на несколько удачно подобранных луночек, его площадь можно будет найти как сумму площадей этих луночек. Гиппократу удалось найти еще две подходящие луночки, но этого оказалось недостаточно, чтобы сложить полный круг. Тем не менее мысль Гиппократа заинтересовала последующие поколения математиков и поиск луночек продолжался на протяжении двух с лишним тысяч лет — разные математики пытались дополнить результаты Гиппократа и часто придумывали что-то совершенно новое и неожиданное.

Сам Гиппократ пришел в математику по довольно случайному стечению обстоятельств. Сначала он был торговцем-мореплавателем (родом он был с греческого острова Хиос, как следует из его прозвища), но его ограбили то ли пираты, то ли нечистые на руку таможенники — и он отправился в Афины искать справедливости. Вместо справедливости нашел мудрость и стал одним из ведущих афинских математиков. Ему принадлежит первая версия «Начал», которая не сохранилась, но наверняка повлияла на одноименный труд Евклида, а через него и на многие современные учебники геометрии.

Первая луночка

Гиппократ придумал три интересные криволинейные фигуры — луночки. Площадь луночки Гиппократа задается такой же простой формулой, как и площадь квадрата. Первая луночка строится так:

Сначала нужно построить окружность радиуса r (=жёлтая окружность на рисунке), отметить на ней концы какого-нибудь диаметра (=красный отрезок) и середину полуокружности (=синяя дуга), опирающейся на диаметр. Затем построить вторую окружность с центром в отмеченной середине дуги (черная точка) так, чтобы она прошла через отмеченные концы диаметра (красные точки). Окружности ограничивают два круга — поменьше и побольше. Луночка Гиппократа — это часть меньшего круга, которая лежит вне большего круга.

С астрономической точки зрения можно думать про меньший круг как про Луну, а про больший круг — как про тень от Земли во время неполного лунного затмения. Тогда луночка — это в точности освещенная часть Луны. Здесь читатель может остановиться и подумать над двумя вопросами. Как выразить площадь луночки через радиус r? И может ли месяц в какой-нибудь из лунных фаз совпасть по форме с луночкой Гиппократа? Ответ на первый вопрос будет дан ниже.

Площадь первой луночки

Теперь ответим на вопрос, как найти площадь первой луночки Гиппократа. Тут нам понадобится теорема Пифагора, точнее ее небольшая модификация. Теорема Пифагора утверждает, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Однако легко убедиться, что если вместо квадратов мы построим на катетах другие подобные фигуры (например, котиков), то соотношение между их площадями останется таким же. Площадь котика, построенного на гипотенузе, будет равна сумме площадей котиков, построенных на катетах. Из рисунка видно, какой смысл мы вкладываем в выражение «котик, построенный на катете».

Теперь давайте возьмем равнобедренный прямоугольный треугольник и построим на его сторонах подобные сегменты круга — два синих и один красный, как на рисунке. Здесь уже явно просвечивает луночка Гиппократа.

Сумма площадей синих сегментов равна площади красного сегмента по теореме Пифагора. Отсюда видно, что луночка Гиппократа и равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 2r равновелики (то есть имеют одну и ту же площадь), потому что луночка получается из полукруга вырезанием красного сегмента, а треугольник — вырезанием двух синих сегментов. Поэтому площадь первой луночки Гиппократа равна площади квадрата со стороной r. То, что мы только что проделали, называется квадратурой луночки. В строгом смысле слова квадрировать луночку означает построить равновеликий ей квадрат. Но вполне допускается вместо квадрата использовать другие простые фигуры, например треугольники или четырёхугольники.

Луночки Ибн аль-Хайсама

Если вам понравилось квадрировать луночки и вы хотите сами попробовать, то подумайте над задачей о луночках Ибн аль-Хайсама. Покажите, что сумма площадей жёлтых луночек на рисунке равна площади жёлтого прямоугольного треугольника (окружности построены на сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах). Какой именно прямоугольный треугольник взять, совершенно неважно, поэтому рисунок можно превратить в анимацию (с помощью приложения GeoGebra), подвигав вершину прямого угла. Заметим, что площадь каждой из луночек в отдельности не выражается простой формулой. Тем более интересно, что есть простая формула для их суммарной площади.

Ибн аль-Хайсам (или Alhazen в латинской транслитерации Средневековья) начал думать о луночках примерно через полторы тысячи лет после Гиппократа Хиосского — в эпоху иранского интермеццо (персидского Ренессанса). Сначала Ибн аль-Хайсам служил визирем в своем родном городе Басре, но, разочаровавшись в политике, решил посвятить жизнь науке. Он переехал в Каир, поближе к знаменитому университету аль-Азхар, и разработал проект Асуанской плотины, который очень заинтересовал египетского халифа. Однако проект нельзя было реализовать теми техническими средствами, которыми человечество располагало тысячу лет назад. Ибн аль-Хайсаму пришлось около десяти лет то ли скрываться от гнева халифа, то ли сидеть под домашним арестом, изображая сумасшедшего, а все его имущество было конфисковано. Именно в этот период он написал фундаментальный труд о теории света и зрения, за что получил прозвище «отец современной оптики».

Вторая и четвертая луночки

Как уже говорилось, Гиппократ построил еще две квадрируемые луночки. Давайте попытаемся восстановить ход его мысли. Секрет успеха первой луночки в том, что ее площадь по построению оказалась равна площади треугольника. Можно попробовать повторить рассуждение, заменив треугольник на четырёхугольник или пятиугольник. Более общо — впишем в окружность «пифагоров» многоугольник, у которого одна сторона (условная гипотенуза) длиннее остальных, все остальные стороны равны друг другу, и выполняется «теорема Пифагора»: сумма квадратов коротких сторон равна квадрату длинной стороны. По такому многоугольнику можно построить луночку, площадь которой равна площади «пифагорова» многоугольника. Детали конструкции для треугольника (это уже знакомая нам первая луночка Гиппократа), четырехугольника и шестиугольника приводятся на рисунке.

Мы построили три квадрируемые луночки, причем первая совпадает с первой луночкой Гиппократа. Вторая луночка совпадает с его же второй луночкой. А вот луночка, связанная с «пифагоровым» шестиугольником, была построена на две с лишним тысячи лет позже Гиппократа: ее построил Даниэль Вийнквист в 1766 году (поэтому эту луночку мы будем называть четвертой луночкой Гиппократа, а не третьей).

Наша историческая реконструкция мысли Гиппократа не соответствует реальному ходу истории

На первый взгляд история кажется невероятной: неужели понадобились тысячелетия, чтобы обобщить «пифагоров» четырехугольник до «пифагорова» шестиугольника? Тут надо пояснить, какой смысл древнегреческие математики вкладывали в понятие построения. У них были очень точные правила игры: построить означало построить с помощью циркуля и линейки, и никак иначе. Мы не знаем, появились ли эти правила уже во времена Гиппократа Хиосского, но это предположение кажется правдоподобным. Во всяком случае, в эпоху Евклида правила построения циркулем и линейкой четко оформились (в наши дни научиться играть по правилам можно в приложении Euclidea). Построить циркулем и линейкой вписанный в окружность «пифагоров» четырёхугольник не очень сложно (попробуйте это сделать). Догадаться же до построения вписанного «пифагорова» шестиугольника без алгебры вряд ли возможно (а с пятиугольником и того хуже: его вовсе нельзя построить, но это мы забегаем вперёд). Похожая история произошла с построением правильного 17-угольника (его построил Гаусс в 1796 году), хотя сама задача несомненно интересовала древнегреческих геометров, идеи ее решения лежали далеко за пределами античной математики.

Третья и пятая луночки

В своей кандидатской диссертации Даниэль Вийнквист (под научным руководством Валлениуса) построил пять луночек Гиппократа — три ранее известных (на рисунке обозначены Fig1, Fig3, Fig4) и две новых (Fig5 и Fig6). Для иллюстрации приводим две страницы из диссертации Вийнквиста. Слева — алгебраические вычисления для четвёртой луночки (Fig5), а справа — геометрические построения всех пяти луночек Гиппократа (между ними затесались и луночки Ибн аль-Хайсама — куда ж без них). Конечно, как и с четвертой луночкой, главная сложность с пятой луночкой в том, чтобы построить ее циркулем и линейкой. Видна польза алгебры: если в статье Ибн аль-Хайсама не владеющие арабским читатели могут понять только чертеж, то в диссертации Вийнквиста не владеющие латынью вполне могут догадаться (из последней строчки на стр. 20), что длины AE, AF, EF пропорциональны 1, √5, √1 +12√5 +12√25 + 20√5, соответственно. Последняя формула — с тремя вложенными корнями — даёт некоторое представление о том, почему четвёртую луночку существенно сложнее построить циркулем и линейкой, чем первые три.

Страницы из диссертации Вийнквиста

Результаты Вийнквиста переоткрывались несколько раз. В 1840 году это проделал Томас Клаузен, слышавший лишь о первой луночке Гиппократа. Клаузен сумел заинтересовать математическое сообщество новой гипотезой (гипотеза Эйлера — Клаузена) — он предположил, что никаких других квадрируемых луночек циркулем и линейкой построить нельзя.

Клаузен родился в рыбацкой деревне Сногбек в бедной семье, с детства работал, поэтому в школу не ходил и был неграмотным. В двенадцать лет он устроился пастухом к пастору в соседнем приходе. Пастор заметил, что мальчик необыкновенно умен, и разрешил ему совмещать выпас скота с учебой в школе. Кроме того, пастор учил Клаузена астрономии и математике, поскольку сам увлекался этими науками. Блестяще окончив школу, Клаузен по протекции пастора устроился секретарем в обсерваторию в Альтоне, где познакомился с Гауссом, проводившим поблизости от Альтоны геодезические измерения. Гаусс оценил способности молодого человека, что оказалось очень кстати, когда начальник обсерватории уволил Клаузена (они плохо ладили, и последней каплей стал разбитый Клаузеном дорогой барометр). Клаузен отправился в Гёттинген к Гауссу и попросил его замолвить словечко перед шефом. Не в силах отказать Гауссу, начальник обсерватории снова принял Клаузена на работу, но тот, как назло, влюбился в племянницу начальника.

Следующие пятнадцать лет жизни Клаузена могли бы стать сюжетом для одной из самых грустных сказок его соотечественника Ганса Христиана Андерсена. Тем не менее Клаузен продолжал заниматься математикой и астрономией и в 1842 году (когда ему было уже за сорок) получил позицию профессора астрономии в Дерптской обсерватории. Спустя ещё два года Кёнигсбергский университет присудил ему почётную степень — к нему наконец начали относиться в соответствии с его талантами и достижениями. Хотя Клаузен зарабатывал на жизнь астрономией, главным интересом его жизни была чистая математика. Он получил соблазнительное предложение из Пулковской обсерватории, но предпочел остаться в Дерпте (современном Тарту).

Луночки Гиппократа в XX веке и в наши дни

Итак, в XIX веке было известно пять луночек Гиппократа. Вот они все на одном рисунке: луночки жёлтые, а сиреневым закрашены «наконечники», площади которых совпадают с площадями луночек.

Мы так и не ответили на вопрос, верна или неверна гипотеза Эйлера — Клаузена. Может быть, надо подождать ещё пару тысяч лет и какой-нибудь марсианский математик построит неизвестную науке луночку Гиппократа? Оказывается, что нет, не построит, хотя убедительно объяснить невозможность такого построения совсем не просто.

История с гипотезой Эйлера — Клаузена довольно запутанная и заслуживает отдельного рассказа. Как и другие «задачи о невозможном», уходящие корнями в античную математику, гипотеза стала испытательным полигоном для математических методов, развитых в XIX веке. Но орешек оказался крепче, чем классические задачи о невозможности удвоения куба, трисекции угла и квадратуры круга. Действительно, невозможность удвоения куба и трисекции угла вполне можно объяснить старшекласснику, умеющему делить многочлены с остатком (см. заочную часть проекта «Алгебраические числа как векторы» на Летней конференции «Турнира городов»), а невозможность квадратуры круга (или трансцендентность числа π) — первокурснику, овладевшему основными понятиями математического анализа (см. видеоролик «Доказательство: e и π — трансцендентные числа» канала Mathologer). Однако для доказательства невозможности построения или квадратуры каждой луночки, отличной от пяти луночек Гиппократа, нужна более тяжелая артиллерия.

Двойной удар по гипотезе Эйлера — Клаузена был нанесён в 1934 году с разных сторон: алгебраической (в работе Николая Чеботарёва) и трансцендентной (в работе Александра Гельфонда). Но если Чеботарёв явно решал задачу о луночках, то Гельфонд решил седьмую проблему Гильберта, в которой о луночках не было ни слова. Только в 2003 году Курт Гирстмейр заметил, что результат Гельфонда и его обобщение, полученное Аланом Бейкером (1966), вместе с результатом Чеботарёва, дополненным его учеником Анатолием Дородновым (1947), дают полное доказательство гипотезы Эйлера — Клаузена.

Хотя гипотеза Эйлера — Клаузена стала доказанной теоремой, это вовсе не означает, что математики перестали думать о луночках Гиппократа. Например, в видеоролике «Lunes» канала Numberphile можно увидеть, как красиво думает о луночках Барри Мазур. В частности, он придумал квадрировать луночку с помощью «наконечника» и строить «пифагоровы» многоугольники (только он их называет «гиппократовыми»). Мораль истории ясна: хорошую математическую мысль интересно думать во все времена.

Видео:Площадь круга.Скачать

« Луночки Гиппократа » Выполнила : Учащаяся 8 а класса Шарапова Мария Дмитриевна Научный руководитель : Форсова Ольга Борисовна. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемАлександр Чаплин

Похожие презентации

Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

Презентация на тему: » « Луночки Гиппократа » Выполнила : Учащаяся 8 а класса Шарапова Мария Дмитриевна Научный руководитель : Форсова Ольга Борисовна.» — Транскрипт:

1 « Луночки Гиппократа » Выполнила : Учащаяся 8 а класса Шарапова Мария Дмитриевна Научный руководитель : Форсова Ольга Борисовна

2 Актуальность выбранной темы Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции, но древним геометрам не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку.

3 Цель реферата : Познакомиться с биографией Гиппократа и изучить историю задачи о квадратуре круга и свойства « Луночек Гиппократа »

4 Задачи реферата : 1. Изучить литературу и источники Интернет по данной теме. 2. Ознакомиться с биографией Гиппократа и его открытиями в области медицины, астрономии, геометрии. 3. Изучить задачу о квадратуре круга 4. Изучить свойства « Луночек Гиппократа »

5 Оглавление Кто такой Гиппократ ? Квадратура круга. Луночки Гиппократа. Задача. Вывод. Использованная литература.

6 Кто такой Гиппократ ? Гиппократ Хиосский ( вторая половина V века до н. э.) Древнегреческий геометр, автор первого систематического сочинения по геометрии ( не дошедшего до нас ). Врач и астроном.

7 Квадратура круга Квадратура круга задача, заключающаяся в построении с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу. В 19 веке была строго установлена неразрешимость квадратуры круга с помощью циркуля и линейки. S квадрата = π r 2 сторона равна r π – отношение длины окружности к своему диаметру – число иррациональное. Оно выражается бесконечной непериодической десятичной дробью 3, …

8 Луночки Гиппократа Гиппократовы луночки, три фигуры, указанные Гиппократом Хиосским, каждая из которых ограничена дугами двух окружностей и для каждой из которых с помощью циркуля и линейки можно построить равновеликие прямолинейные фигуры.

10 Гиппократ заметил, что суммарная площадь зеленых луночек равна площади квадрата, окрашенного здесь в красный цвет Гиппократ получил четыре квадрируемые луночки.

11 Пусть нижнее основание трапеции является диаметром описанной около нее окружности, АВ = ВС =CD и на боковых сторонах и верхнем основании, как на диаметрах построены полуокружности. Площадь трапеции равна сумме площадей этих луночек и полукруга.

12 Задача Дано : АВСД — квадрат, АВ =4 см, АВ — диаметр круга, 4 малых круга равны. Доказать : равна суммарная площадь зелёных луночек площади квадрата. Доказательство : S АВСД = 4 х 4=16 см ^2, рассмотрим прямоугольный треугольник АСД : АД = СД, угол АДС =90 градусов, по теореме Пифагора ( квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ) можно узнать длину отрезка АС : АД = ДС =4 c м => 4^2 х 2= х ^2, х = 32

5,65 c м. АС диаметр круга ( чёрного )=> R = 5,65/2 = 2,825=> S круга = П R^2

25 см ^2 АВ диаметр круга => R = 4/2=2 см => S круга = П R^2 = 2 х 3,14 = 6,28 см ^2 Узнаём суммарную площадь зелёных луночек : Общая S полукругов

25 c м ^ =9 см ^2( суммарная площадь чёрных полукругов )=> 25-9=16 c м ^2 Суммарная площадь луночек = площади квадрата. 4^2 х 2= х ^2, х = 32

5,65 c м. АС диаметр круга ( чёрного )=> R = 5,65/2 = 2,825=> S круга = П R^2

25 см ^2 АВ диаметр круга => R = 4/2=2 см => S круга = П R^2 = 2 х 3,14 = 6,28 см ^2 Узнаём суммарную площадь зелёных луночек : Общая S полукругов

25 c м ^2 25-16=9 см ^2( суммарная площадь чёрных полукругов )=> 25-9=16 c м ^2 Суммарная площадь луночек = площади квадрата.»>

13 Вывод Гиппократ посвятил свою жизнь геометрическим открытиям. На всей ее протяжённости он так и не смог найти решения квадратуре круга, но был близок к нему. Различные другие, продолжавшиеся в течение тысячелетий, попытки найти квадратуру круга оканчивались неудачей. Лишь в 80- х годах 19 в. было строго доказано, что квадратура круга с помощью циркуля и линейки невозможна. Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если применять, кроме циркуля и линейки, еще другие средства построения.

14 Использованная литература В. Н. Березин « Луночки Гиппократа » ( журнал Квант 1971, 5) Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. – 3- е изд., испр. и доп. – М.: Педагогика — Пресс, 1997, с.271. Я познаю мир : детская энциклопедия : Математика / Сост. А. П. Савин, В. В. Станцо, А. Ю. Котова : под общ. ред. О. Г. Хинн. – М.: ООО « Издательство АСТ — ЛТД », Гиппократ Хиосский Википедия. Квадратура Круга Википедия.

Видео:Быстрый способ ➜ Найдите площадь многоугольника на рисункеСкачать

История возникновения задачи о квадратуре круга

История возникновения задачи о квадратуре круга

Задача о квадратуре круга заключается в следующем: построить квадрат, площадь которого, была бы равна площади данного круга. Задача о квадратуре круга — самая старая из всех математических задач. Она возникла на заре человеческой культуры и ее история охватывает период около четырех тысяч лет. Этой задачей раньше греков занимались вавилоняне и египтяне. Независимо от греков ею занимались китайцы и индийцы. Задача о квадратуре круга вместе с тем является самой популярной из математических задач. Этой популярности, по-видимому, содействовала жизненная необходимость и чрезвычайная простота формулировки, которая доступна как математику, так и нематематику, но большое распространение эта задача получила в древней Греции. Об этой задаче даже говорит человек, далекий от математики, древнегреческий драматург Аристофан (446 — 385 годы до н. э.). По свидетельству Плутарха, первый из греческих математиков, кто по — серьезному занимался квадратурой круга, был Анаксагор (500 — 428 годы до н. э.). Будучи посажен в тюрьму за безбожие, он предался размышлениям на математические темы. В результате этих размышлений, он и «начертал квадратуру круга». Каким путем пытался он решить задачу о квадратуре круга, это, к сожалению, до нас не дошло. Квадратурой круга

много занимался другой греческий ученый Гиппий из Элиды (около V века до н. э.). В 420 году до н. э. он открыл, как указывалось выше, трансцендентную кривую — квадратрису, которая служила для решения задач о трисекции угла и квадратуры круга. Первый из древнегреческих ученых, кто применил квадратрису Гиппия для решения задачи о квадратуре круга, был Динострат, живший во второй половине IV века до н. э.

В дальнейшем увидим, что большой вклад в историю задачи о квадратуре круга внесли современники Сократа (469 — 399 годы до н. э.) Антифон и Бризон, а также Гиппократ Хиосский, живший во второй половине V века до н. э. Изыскания древнегреческих ученых, связанные с задачей о квадратуре круга, завершаются замечательными исследованиями по этому вопросу

величайшего математика древности Архимеда из Сиракуз, жившего в III веке до н. э. Его трактат «Измерение круга» является образцом строгой научной постановки вопроса и его приближенного решения.

В древней Греции круг и окружность считались венцом совершенства. Действительно, в каждой своей точке окружность «устроена» одинаковым образом, что позволяет ей как бы двигаться «по себе». На плоскости этим свойством обладает еще лишь прямая. Одно из интереснейших свойств круга состоит в том, что он при заданном периметре ограничивает максимальную площадь.

В русском языке слово «круглый» тоже стало означать высокую сте­пень чего-либо: «круглый отличник», «круглый сирота» и даже «круг­лый дурак».

С кругом связана и классическая задача, ставшая символом неразре­шимой проблемы.

Циркуль и линейка — это классические инструменты геометров с древнейших времен до наших дней. Ими можно проводить лишь пря­мые и окружности. Однако сколько интересных задач связано именно с циркулем и линейкой!

Попытка решить задачу

о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки

Древнегреческие ученые стремились задачу о квадратуре круга решить при по­мощи циркуля и линейки. Показательна в этом отношении работа Гиппократа Хиос­ского, которому удалось криволинейную фигуру (гиппократовы луночки) преобразовать в равновеликий ей многоульльник. Однако преобразовать круг в равновеликий ему квадрат Гиппократу так и не удалось. Остановимся несколько подробнее на его рассуждениях.

На отрезке AВ, как на диаметре, построим полукруг АСВ. Далее, из

точки О — середины отрезка. АВ — восставим перпендикуляр ОС. Со­единим прямыми точку С с точками А и В. Отрезок СВ будет стороной квадрата, вписанного в круг, и площадь треугольника АСВ будет рав­няться половине этого квадрата. На отрезке СВ, как на диаметре, опи­шем еще полукруг СЕВ. Применяя к прямоугольному треугольнику АСВ теорему Пифагора, получим:

АВ2 = АС2 + СВ2 =СВ2. (1)

На основании того, что площади кругов относятся между собой, как квадраты их диаметров, будем иметь:

пл. крут АСВ: пл. круга СЕВ=АВ2: СВ2 (2)

пл. круга АСВ: пл, круга СЕВ = 2 :1. (3)

Откуда пл. круга АСВ = 2 пл. круга СЕВ (4)

пл. полукруга АСВ = 2 пл. полукруга СЕВ. (5)

пл. сектора ОСВ = пл. полукруга СЕВ. (6)

Вычитая из левой и правой частей равенства (6) сегмент CDB, полу­чим, что площадь треугольника ОСВ равняется площади луночки CDBE. Наконец, при помощи циркуля и линейки теперь не составляет большого труда построить квадрат, площадь которого будет равна площади треугольника ОСВ, а следовательно, и площади луночки CDBE. Так Гиппократ Хиосский весьма оригинальным приемом нашел квадратуру некоторой, специаль­ного вида, луночки.

Это открытие Гиппократа окрылило древних геометров надеждой, что с помощью циркуля и линейки когда-нибудь удастся вычислить и квадратуру круга: «Раз можно найти квадратуру некоторой луночки, образованной дугами кругов, то почему же,—рассуждали они,—нельзя найти квадратуру круга».

Сам Гиппократ, найдя квадратуру указанной выше луночки, пытал­ся найти квадратуру круга.

Однако в рассуждениях Гиппократа Хиосского допущена одна ошибка, которая «из невозможного делает возможным» — неразрешимую задачу о квадратуре круга разрешимой.

Ошибка в рассуждениях Гип­пократа, приводящая к иллюзорному решению задачи о квадратуре круга была замечена еще древними учеными. Об этой ошибке говорят древнегреческий историк математики Евдем Родосский и знаменитый основоположник формальной логики Аристотель. Так, Евдем Родосский заявляет, что хотя рассуждение Гиппократа Хиосского и является остроумным, тем не менее оно является ошибочным. Дело в том, говорит Евдем, что три луночки, которые рассматривал Гиппократ при решении квадратуры кругa, построены не на катетах прямоугольного треугольника, а на сторонах трапеции и, следовательно, к ним он не может применить то свойство о квадрируемости луночки, которое он доказал в начале. В этом же упрекал Гиппократа и Аристотель. Аристотель, как и Евдем считал, что Гиппократ совершил грубую ошибку, полагая возможным квадратуру луночки, построенной на стороне квадрата, необдуманно применить к квадратуре луночки, построенной на стороне шестиугольника. Другая попытка решить задачу о квадратуре круга с помощью цир­куля и линейки была предпринята древнегреческим ученым Антифоном. Он в данный круг квадратура которого находилась, вписывал сначала квадрат. Затем дуги, хордами которых являются стороны вписанного в круг квадрата, он делил пополам и точки деления соединял с вершинами квадрата и таким образом получал вписанный в круг правильный восьмиугольник. Далее, дуги, хордами которых являются стороны вписанного в круг правильного восьмиугольника, делил также пополам и точки деления соединял с вершинами указанного восьмиугольника и получал вписанный в круг правильный 16-угольник. Продолжая этот процесс дальше, он получал вписанные в круг правильные 32-угольник, 64-угольник и т. д. Он считал, что указанным построени­ем, выполняемым только при помощи циркуля и линейки, можно прий­ти к такому правильному многоугольнику, правда, быть может, с очень большим числом сторон, который полностью исчерпает круг, то есть его площадь будет равна площади данного круга. А так как для любого правильного многоугольника всегда можно построить равновеликий ему квадрат, то и для данного круга, поскольку он исчерпывается правильным многоугольником, можно построить равновеликий ему квадрат.

Еще в Древности ученые подвергли решение Антифона резкой кри­тике. Они совершенно правильно заявляли, что утверждение Антифо­на, будто правильный многоугольник может совпасть с кругом, противоречит основным началам геометрии. Однако для целей приближен­ной квадратуры круга рассуждение Антифона вполне приемлемо, так как с помощью этого рассуждения данный круг можно приближенно квадрировать с любой степенью точности.

О доказательстве невозможности решить

Попытки древнегреческих ученых решить задачу о квадратуре кру­га путем проведения прямых и окружностей так и не увенчались успе­хом. Оно и понятно, почему. Дело в том, что задача о квадратуре круга, так же как и задачи об удвоении куба и трисекции угла, оказывается также неразрешимой при помощи циркуля и линейки.

Еще в 1755 году Парижская Академия наук вынесла решение впредь не принимать на рассмотрение работы, касающиеся квадратуры круга, а также и других двух знаменитых задач древности, то есть задач о трисекции угла и удвоении куба. Это охладило пыл «квадратурщиков», и задачей о квадратуре круга люди стали заниматься значительно меньше.

Окончательный удар всем иллюзиям решить задачу о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки был нанесен лишь во второй половине XIX века. Немецкому математику Ф. Линдеману в 1882 году удалось, наконец, вполне строго доказать, что задача о квадратуре круга неразрешима при помощи циркуля и линейки и все старания что-нибудь сделать в этом направлении указанными средствами являются совершенно напрасными и ненужными.

Доказательство Линдемана чрезвычайно трудное и далеко выходи за пределы школьного курса математики.

Вопрос о построении квадрата, равновеликого данному кругу, сводится к построению произведения данного отрезка R на данное число , причем это построение надо провести при помощи только циркуля и линейки, то есть путем проведения конечного числа окружностей и прямых линий. При помощи циркуля и линейки можно всегда построить произведение данного отрезка R на рациональное число (целое или дробное), но далеко не всегда можно указанными средствами построить произведение данного отрезка на число иррациональное. Произведение данного отрезка R на число иррациональное можно построить в некоторых случаях, если, например, иррациональное число равняется или ; тогда R находится, как сторона квадрата, вписанного в круг радиуса R, a R —как сторона правильного 12-угольника, впи­санного в круг радиуса R, причем, как известно, вписать правильный 12-угольник в круг не составляет трудности, после того как в круг пред­варительно вписан правильный шестиугольник.

В теории геометрических построений установлено, что данный от­резок R можно умножить при помощи циркуля и линейки на вещественное число лишь только в том случае, если это вещественное число может быть корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, разрешимого в квадратных радикалах. Число, которое не может являться корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, принято называть трансцендентным числом. Следовательно, при помощи циркуля и линейки нельзя построить произведение данного отрезка R на число трансцендентное. Таким образом, чтобы доказать неразрешимость задачи о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки, необходимо установить невозможность указанными средствами построить произведение данного отрезка R на число трансцендентное. Таким образом, чтобы доказать неразрешимость задачи о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки, необходимо установить невозможность указанными средствами построить произведение данного отрезка R на число , а для этого достаточно показать, что или есть число трансцендентное.

Линдемана как раз и заключается в том, что он впервые в этой науке вполне строго доказал, что есть число трансцендентное и тем самым окончательно установил невозможность решения задачи о квадратуре круга с помощью циркуля и линейки. Вот почему Ф. Линдемана называют «победителем числа «, а еще лучше—»победителем задачи о квадратуре круга».

В заключение заметим, что изучение арифметической природы числа р исторически шло в следующем направлении. Сначала в 1761 году немецкий с И. Ламберт первый показал, что число р есть число иррациональное. Позднее французский математик А. Лежандр установил, что квадрат числа есть также число иррациональное. Наконец, в 1882 году немецкий математик Ф. Линдеман доказал знаменитую теорему, согласно которой, как указывалось выше, число р есть число трансцендентное, то есть оно не может служить корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Отсюда как следствие, уже вытекала неразрешимость с помощью циркуля и линейки знаменитой задачи о квадратуру круга.

Если провести под определенным углом к диаметру хорду, равную сто­роне искомого квадрата, то треугольник Бинга позволяет приближенно решать задачу о квадратуре круга. Треугольник Бинга представляет собой чертежный треугольник с острым углом, равным требуемому углу.

AC = 2r cos

Площадь искомого квадрата, следовательно, равна 4r2 cos2 С другой стороны, эта площадь равна площади круга r2, значит,

4r2 cos2 =r2.

Отсюда

По таблицам находим, что

Имея такой треугольник, можно для каждого данного круга сразу найти сторону равновеликого ему квадрата.

📽️ Видео

Как найти площадь треугольника без формулы?Скачать

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решенияСкачать

Площадь круга. Математика 6 класс.Скачать

Как найти площадь этого треугольника, не зная формулы?Скачать

Задача первоклассника в 1 шаг! Невероятное решение!Скачать

Как найти площадь фигуры?Скачать

Площадь фигурыСкачать

КРАСНАЯ ПЛОЩАДЬ. ВЕСЕЛОЕ РЕШЕНИЕ!Скачать

Что такое площадь? Как найти площадь?Скачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

Формула Пика / Как находить площадь многоугольника?Скачать

Как найти площадь объекта в ОГЭСкачать

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать