как найти площадь ильича интеграл

Видео:Интегралы №12 Вычисление площадейСкачать

Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями

Видео:Определённый интеграл. ПлощадьСкачать

Общие сведения

Вычислить площадь фигуры на плоскости считается довольно простой операцией. Для ее выполнения необходимо знать только формулу. Существенно усложняет задачу фигура, ограниченная прямыми.

Одной из них считается криволинейная трапеция. Ее площадь можно определить только при нахождении значений определенного интеграла.

Операция интегрирования считается довольно сложной, поскольку необходимо знать основные правила. Перед нахождением площади криволинейной трапеции специалисты рекомендуют внимательно изучить и освоить правила интегрирования основных функций.

Разбирается неопределенный интеграл, а затем осуществляется переход к более сложным операциям.

Информация об интегралах

С понятием интеграла связано много направлений научных отраслей. Обозначается он символом «∫». С помощью интеграла открываются большие возможности по быстрому и эффективному нахождению значений следующих величин: площади криволинейной трапеции, объема тела вращения, поверхности, пути при неравномерном движении, массы неоднородного физического тела и так далее.

Упрощенный вариант представления и определения интеграла — сумма бесконечно малых слагаемых. Интеграл бывает нескольких типов: одинарный, двойной, тройной, криволинейный и так далее. Для любого элемента он может быть двух типов:

Операция нахождения первого типа значительно проще второго. Это объясняется тем, что во втором случае следует не только найти первообразную, но и выполнить правильную подстановку значений.

Неопределенным интегралом функции вида f(х) называется такая первообразная функция F(х), производная которой равна подинтегральному выражению. Записывается это таким образом: ∫(f(x)) = F(х) + С.

Последняя величина является константой, поскольку при выполнении операции нахождения производной константа равна 0.

Для нахождения первообразной используется специальная таблица интегралов:

Рисунок 1. Таблица интегралов и их первообразные.

В таблице приведены простые функции. Для нахождения площади фигуры, которая ограничена линиями, достаточно значений первообразных на рисунке 1. Вычисление определенного интеграла заключается в получении первообразной и подстановке начального и конечного значений. Следует отметить, что константа при этом не берется. Существует способ, чтобы найти определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница позволяет быстро и эффективно вычислить площадь фигуры. Для этого нужно подставить значения ее границ (a и b) в первообразные: F(x)|(a;b) = F(b) — F(a).

Криволинейные фигуры

Криволинейная фигура (трапеция) — класс плоских фигур, которые ограничены графиком неотрицательной и непрерывной функции, а также осью ОУ и прямыми (х = а, х = b). Она изображена на рисунке 2. Для нахождения ее площади следует использовать определенный интеграл.

Рисунок 2. Фигуры с криволинейными сторонами.

Интегрирование разбивает фигуру на прямоугольные части. Длина каждой из них равна ординате y = f(х) через промежутки, которые очень малы, по оси декартовой системы координат (есть еще и полярная) ОХ на отрезке [a;b]. Ширина является бесконечно малым значением. При интегрировании находятся площади прямоугольников и складываются. Для того чтобы не путаться в графиках, геометрическую фигуру следует заштриховать.

Криволинейная трапеция — геометрическая фигура с неровными сторонами, которые образовались в результате пересечения графика непрерывной функции с осями абсцисс и ординат.

Применение обыкновенных методов нахождения площади этой фигуры невозможно, поскольку она обладает одной или несколькими неровными сторонами (кривыми линиями).

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.Скачать

Способы вычисления и рекомендации

Для расчетов площади криволинейной трапеции используется несколько методов. Их условно можно разделить на следующие: автоматизированные и ручные. Первый из них выполняется при помощи специализированного программного обеспечения (ПО). Примером является онлайн-калькулятор, который не только находит площадь заданной фигуры, но и изображает ее в декартовой системе координат.

Существует и другое ПО, которое является более «мощным». К нему можно отнести наиболее популярные среды: Maple и Matlab. Однако существует множество программ, написанных на языке программирования Python. Программы нужны также при освоении темы интегрирования. Если необходимо рассчитать множество интегралов и площадей криволинейных фигур, то без них не обойтись.

Новичку для автоматизированных вычислений рекомендуется применять различные онлайн-калькуляторы. Однако следует выделить неплохую программу, которая обладает довольно неплохими функциональными возможностями.

Она называется Integral calculator и представляет собой очень удобное приложение для Android-устройств. Кроме того, можно скачать подобное ПО для Linux, Mac и Windows.

Программа — это калькулятор, который используется для нахождения интегралов и производных, а также его можно применять для решения уравнений интегрального и дифференциального типов. Integral calculator обладает такими функциональными возможностями:

1. Вычисление производных.
2. Нахождения первообразных для определенных и неопределенных интегралов.
3. Решение систем уравнений.
4. Выполнения операций над матрицами и определителями.
5. Построение графиков заданных функций в 2D и 3D.
6. Расчет точек перегиба.
7. Вычисление рядов Фурье.
8. Решение дифференциальных уравнений линейного типа первого и второго порядков.

Однако специалисты не рекомендуют использовать приложения такого типа, поскольку нужно уметь решать подобные задачи самостоятельно. Любые математические операции развивают мышление, а злоупотребление ПО приводит к значительной деградации. Решать какие-либо задачи рекомендуется также людям, которые не имеют отношения к математической сфере.

Видео:11 класс, 21 урок, Определённый интегралСкачать

Основной алгоритм

При нахождении площади криволинейной трапеции рекомендуется следовать определенному алгоритму. Он поможет избежать ошибок, поскольку задача разбивается на несколько простых подзадач, решение которых довольно просто контролировать. Алгоритм имеет следующий вид:

1. Нужно прочитать и понять условие задачи.
2. Начертить декартовую систему координат.
3. Построить график заданной функции.
4. Изобразить линии, ограничивающие фигуру.
5. После определения границ нужно аккуратно заштриховать фигуру.
6. Вычислить неопределенный интеграл функции, которая дана в условии.
7. Посчитать площадь, подставив значения ограничивающих прямых в первообразную.
8. Проверить решение задачи при помощи программы.

Первый пункт — внимательное чтение условия задачи. Этап считается очень важным, поскольку формирует дальнейший алгоритм. Необходимо выписать все известные данные, а затем подумать над дальнейшим решением задачи. Следует обратить особое внимание на график функции, который при возможности нужно упростить. Далее следует выписать линии, которые будут ограничивать фигуру.

Следующий пункт считается наиболее простым, поскольку нужно начертить обыкновенную систему координат. В условии должен быть указан ее тип. Если обозначена полярная система, то следует ее начертить. Во всех остальных случаях изображается декартовая система координат.

Третий пункт алгоритма — правильное построение графика функции. В этом случае нет необходимости составлять таблицу зависимости значения функции от аргумента. График должен быть схематичным. Например, если это парабола, то нужно ее изобразить. В этом случае необходимо ознакомиться с основными базовыми функциями и их графиками.

Следующим шагом является правильное изображение прямых. Если ее уравнение имеет следующий вид «x = 5» или что-то подобное, то она будет проходить параллельно оси ОУ. Например, при y = 10 прямая проходит параллельно оси ОХ. В других случаях нужно составить таблицу зависимостей значений уравнения прямой от переменной. Следует брать всего два значения аргумента, поскольку их достаточно для проведения прямой.

После всех операций образуется фигура, которая ограничена линиями. Ее необходимо заштриховать. После этого вычисляется неопределенный интеграл заданной функции. Необходимо воспользоваться табличными значениями первообразных на рисунке 2. Однако здесь есть небольшой нюанс: константу записывать нет необходимости. Она «уничтожается» при подстановке в формулу Ньютона-Лейбница.

В полученное значение следует подставить значения границ. Кроме того, необходимо обратить особое внимание на знак формулы. При отрицательном значении границы формула принимает следующий вид: F(x)|(-a;b) = F(b) — F(-a) = F(b) + F(a). Проверка правильности решения выполняется с помощью ПО.

Видео:ИНТЕГРАЛ С НУЛЯ | определенный интеграл | ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ | сумма РиманаСкачать

Примеры решения

Для закрепления теоретического материала специалисты рекомендуют решить несколько задач. В качестве примера можно взять криволинейные трапеции, изображенные на рисунке 2.

Разновидность параболы

В первом примере функция вида y = -x^2 + 2x и ось ОХ образуют фигуру. Необходимо найти ее площадь. Из функции видно, что ветви параболы направлены вниз (отрицательный знак перед квадратом). Точки пересечения находятся следующим образом:

1. Тело функции приравнивается к 0: -х^2 + 2x = 0.
2. Выносится общий множитель: -x(x-2) = 0.
3. Решаются обе части уравнения.
4. Первый корень: -х1 = 0 или х1 = 0.
5. Для нахождения второго нужно решить другую часть уравнения: х2-2 = 0. Отсюда, х2 = 2.

Ветви параболы проходят через координаты по ОХ: 0 и 2 соответственно. Координата «х» вершины точки параболы находится с помощью подстановки в формулу: x = -b/(2*a) = -2 / -2 = 1. В этом случае координата «у» вычисляется следующим образом: y = -(1^2) + 2 * 1 = -1 + 2 = 1. Точка с координатами (1;1) является вершиной параболы. Границы интегрирования — координаты по ОХ, через которые проходят ветви параболы.

После всех операций следует вычислить неопределенный интеграл функции, воспользовавшись таблицей на рисунке 1: ∫ (-х^2 + 2x) dx = — (x^3 / 3 + x^2) + C = x^2 — x^3 / 3 + C. После этого следует подставить начальное и конечное значения (константа убирается): S = x^2 — x^3 / 3 = (2^2 — 2^3 / 3) — (0^2 — 0^3 / 3) = 4 — 8/3 = 4 / 3 (кв. ед.). Последняя запись является единицей измерения площади. Она обозначается в условных единицах, так как в условии задачи размерность сторон фигуры не указана.

Гипербола, степенная и прямая

На следующем рисунке изображен график функции гиперболы (у = 1 / х). Прямые, которые ограничивают график, описываются следующими законами: у1 = -2 и у2 = -1. Для вычисления площади заданной фигуры следует взять интеграл: ∫(1/х) dx = ln (|x|) + С. Для окончательного решения необходимо подставить значения в натуральный логарифм: S = ln (2) — ln (1) = 0,6931 — 0 = 0,6931 (кв. ед.).

Фигура, которая ограничена прямыми y1 = -1 и y2 = 1, и представлена функцией вида y = 3^x. Площадь находится следующим образом: S = ∫ (3^x) dx = 3^x / (ln(|3|)) = [3^1 / (ln(3))] — [3^(-1) / (ln(3))] = (3 / 1,0986) — ((1/3) / 1,0986) = 2,7307 — 0,3034 = 2,4273 (кв. ед.).

Последняя фигура представлена графиком прямой y = 0,5х + 1, которую ограничивают прямые х1 = -1 и х2 = 2. Значение площади можно найти таким способом: S = ∫ (0,5х + 1) dx = (0,5 * х^2) / 2 + x = [((0,5 * 2^2) / 2) + 2] — [((0,5 * (-1)^2) / 2) + (-1)] = 3 — 0,75 = 2,25 (кв. ед.).

Для определения значения площади криволинейной фигуры (трапеции) необходимо использовать определенные интегралы. При решении нужно внимательно следить за знаками и первообразными из таблицы на рисунке 1.

Видео:Определенный интеграл. 11 класс.Скачать

1.8. Как вычислить площадь с помощью определённого интеграла?

Задачка это школьная, но, несмотря на то, почти 100% встретится в вашем курсе высшей математики. Поэтому со всей серьёзностью отнесёмся ко ВСЕМ примерам, и первое, что нужно сделать – это ознакомиться с Приложением Графики функций, чтобы освежить в памяти технику построения элементарных графиков. …Есть? Отлично! Типовая формулировка задания звучит так:

Пример 10
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

И первый важнейший этап решения состоит как раз в построении чертежа. При этом я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций.

В нашей задаче: прямая определяет ось , прямые параллельны оси и парабола симметрична относительно оси , для неё находим несколько опорных точек:

Искомую фигуру желательно штриховать:

Второй этап состоит в том, чтобы правильно составить и правильно вычислить определённый интеграл. На отрезке график функции расположен над осью , поэтому искомая площадь:

Ответ:

После того, как задание выполнено, полезно взглянуть на чертёж
и прикинуть, реалистичный ли получился ответ.

И мы «на глазок» подсчитываем количество заштрихованных клеточек – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получилось, скажем, 20 квадратных единиц, то, очевидно, где-то допущена ошибка – в построенную фигуру 20 клеток явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 11
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и осью

Быстренько разминаемся (обязательно!) и рассматриваем «зеркальную» ситуацию – когда криволинейная трапеция расположена под осью :

Пример 12
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями.

Решение: найдём несколько опорных точек для построения экспоненты:

и выполним чертёж, получая фигуру площадью около двух клеток:

Если криволинейная трапеция расположена не выше оси , то её площадь можно найти по формуле: .
В данном случае:

Ответ: – ну что же, очень и очень похоже на правду.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому от простейших школьных задачек мы переходим к более содержательным примерам:

Пример 13
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение: сначала нужно выполнить чертеж, при этом нас особо интересуют точки пересечения параболы и прямой , поскольку здесь будут находиться пределы интегрирования. Найти их можно двумя способами. Первый способ – аналитический. Составим и решим уравнение:

таким образом:

Достоинство аналитического способа состоит в его точности, а недостаток – в длительности (и в этом примере нам ещё повезло). Поэтому во многих задачах бывает выгоднее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой».

С прямой всё понятно, а вот для построения параболы удобно найти её вершину, для этого возьмём производную и приравняем её к нулю:
– именно в этой точке и будет находиться вершина. И, в силу симметрии параболы, остальные опорные точки найдём по принципу «влево-вправо»:

Выполним чертеж:

А теперь рабочая формула: если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и отрезками прямых , можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а, грубо говоря, важно, какой из двух графиков ВЫШЕ.

В нашем примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из нужно вычесть

Завершение решения может выглядеть так:

На отрезке : , по соответствующей формуле:

Ответ:

Следует отметить, что простые формулы, рассмотренные в начале параграфа – это частные случаи формулы . Поскольку ось задаётся уравнением , то одна из функций будет нулевой, и в зависимости от того, выше или ниже лежит криволинейная трапеция, мы получим формулу либо

А сейчас пара типовых задач для самостоятельного решения

Пример 14
Найти площадь фигур, ограниченных линиями:

а) , .

б) , ,

Решение с чертежами и краткими комментариями в конце книги

В ходе решения рассматриваемой задачи иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, интеграл решён правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры, именно так несколько раз ошибался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:

Пример 15
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: выполним бесхитростный чертёж,

хитрость которого состоит в том, что искомая площадь заштрихована зелёным цветом (внимательно смотрИте на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована серым цветом! Особое коварство состоит в том, что прямую можно недочертить до оси , и тогда мы вовсе не увидим нужную фигуру.

Этот пример ещё и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определённых интегралов. Действительно:

1) на отрезке над осью расположен график прямой ;
2) на отрезке над осью расположен график гиперболы .

Совершенно понятно, что площади можно (и нужно) сложить:

Ответ:

И познавательный пример для самостоятельного решения:

Пример 16
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , и координатными осями.

Итак, систематизируем важные моменты этой задачи:

На первом шаге ВНИМАТЕЛЬНО изучаем условие – КАКИЕ функции нам даны? Ошибки бывают даже здесь, в частности, арккотангенс зачастую принимают за арктангенс. Это, кстати, относится и к другим заданием, где встречается арккотангенс.

Далее следует ПРАВИЛЬНО выполнить чертёж. Сначала лучше построить прямые (если они есть), затем графики других функций (если они есть J). Последние во многих случаях выгоднее строить поточечно – найти несколько опорных точек и аккуратно соединить их линией.

Но здесь могут подстерегать следующие трудности. Во-первых, из чертежа не всегда понятны пределы интегрирования – так бывает, когда они дробные. На mathprofi.ru в соответствующей статье я рассмотрел пример с параболой и прямой , где из чертежа не понятна одна из точек их пересечения. В таких случаях следует использовать аналитический метод, составляем уравнение:

и находим его корни:
– нижний предел интегрирования, – верхний предел.

Во-вторых, не всегда понятен «внешний вид» линии, и функция (Пример 16) – яркий тому пример. Я и сам «с ходу» не представляю, как выглядит график этой функции. Здесь можно воспользоваться специализированными программами или онлайн сервисами (а-ля «построить график онлайн»), а в экстремальной ситуации найти побольше опорных точек (штук 10-15), чтобы поточнее провести «неизвестную» кривую.
Ну и, конечно, я призываю вас повышать свои знания и навыки в графиках, в частности, приведу прямую ссылку на особо полезную статью:
http://mathprofi.ru/kak_postroit_grafik_funkcii_s_pomoshyu_preobrazovanii.html

После того, как чертёж построен, анализируем полученную фигуру – ещё раз окидываем взглядом предложенные функции и перепроверяем, ТА ЛИ это фигура. Затем анализируем её форму и расположение, бывает, что площадь достаточно сложнА и тогда её следует разделить на две, а то и на три части.

Составляем определённый интеграл или несколько интегралов по формуле , все основные вариации мы разобрали выше.

Решаем определённый интеграл (ы). При этом он может оказаться достаточно сложным, и тогда применяем поэтапный алгоритм: 1) находим первообразную и проверяем её дифференцированием, 2) используем формулу Ньютона-Лейбница.

Результат полезно проверить с помощью программного обеспечения / онлайн сервисов или просто «прикинуть» по чертежу по клеточкам. Но и то, и другое не всегда осуществимо, поэтому крайне внимательно относимся к каждому этапу решения!

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Видео:Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Видео:Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Пример 1.Скачать

Калькулятор онлайн.
Вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции).

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции). Программа для вычисления определенного интеграла (площади криволинейной трапеции) не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс интегрирования функции.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите подинтегральную функцию и пределы интегрирования Для данной задачи возможно получить подробное решение.
Узнайте как это сделать.

Видео:Как использовать интеграл для поиска площади и объема? Формулы для математики ЕНТ за 15 минутСкачать

Немного теории.

Видео:Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 1.Скачать

Определенный интеграл.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Задача 1 (о вычислении площади криволинейной трапеции).

В декартовой прямоугольной системе координат xOy дана фигура (см. рисунок), ограниченная осью х, прямыми х = a, х = b (a ( S_n = f(x_0)Delta x_0 + dots + f(x_k)Delta x_k + dots + f(x_)Delta x_ )
Здесь ради единообразия обозначений мы считаем, что a = х₀, b = x_n;
( Delta x_0 ) — длина отрезка [x₀; x₁],
( Delta x_1 ) — длина отрезка [x₁; x₂], и т.д;
при этом, как мы условились выше, ( Delta x_0 = dots = Delta x_ )

Итак, ( S approx S_n ), причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n.
По определению полагают, что искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности (S_n):
$$ S = lim_ S_n $$

Задача 2 (о перемещении точки)
По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v = v(t). Найти перемещение точки за промежуток времени [а; b].
Решение. Если бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: s = vt, т.е. s = v(b-а). Для неравномерного движения приходится использовать те же идеи, на которых было основано решение предыдущей задачи.
1) Разделим промежуток времени [а; b] на n равных частей.
2) Рассмотрим промежуток времени [t_k; t_k+1] и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, такой, как в момент времени t_k. Итак, мы считаем, что v = v(t_k).
3) Найдем приближенное значение перемещения точки за промежуток времени [t_k; t_k+1], это приближенное значение обозначим s_k
( s_k = v(t_k) Delta t_k )
4) Найдем приближенное значение перемещения s:
( s approx S_n ) где
( S_n = s_0 + dots + s_ = v(t_0)Delta t_0 + dots + v(t_) Delta t_ )
5) Искомое перемещение равно пределу последовательности (S_n):
$$ s = lim_ S_n $$

Подведем итоги. Решения различных задач свелись к одной и той же математической модели. Многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, данную математическую модель надо специально изучить.

Видео:РАЗБИРАЕМ ИНТЕГРАЛЫ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #задачиегэ #формулыСкачать

Понятие определенного интеграла

Дадим математическое описание той модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для функции y = f(x), непрерывной (но необязательно неотрицательной, как это предполагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [а; b]:
1) разбиваем отрезок [а; b] на n равных частей;
2) составляем сумму $$ S_n = f(x_0)Delta x_0 + f(x_1)Delta x_1 + dots + f(x_)Delta x_ $$
3) вычисляем $$ lim_ S_n $$

В курсе математического анализа доказано, что этот предел в случае непрерывной (или кусочно-непрерывной) функции существует. Его называют определенным интегралом от функции y = f(x) по отрезку [а; b] и обозначают так:
( intlimits_a^b f(x) dx )
Числа a и b называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним).

Вернемся к рассмотренным выше задачам. Определение площади, данное в задаче 1, теперь можно переписать следующим образом:
( S = intlimits_a^b f(x) dx )
здесь S — площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке выше. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Определение перемещения s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = a до t = b, данное в задаче 2, можно переписать так:
( S = intlimits_a^b v(t) dt )

Видео:Площадь треугольника с помощью интегралаСкачать

Формула Ньютона — Лейбница

Для начала ответим на вопрос: какая связь между определенным интегралом и первообразной?

Ответ можно найти в задаче 2. С одной стороны, перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = а до t = b и вычисляется по формуле
( S = intlimits_a^b v(t) dt )

С другой стороны, координата движущейся точки есть первообразная для скорости — обозначим ее s(t); значит, перемещение s выражается формулой s = s(b) — s(a). В итоге получаем:
( S = intlimits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) )
где s(t) — первообразная для v(t).

В курсе математического анализа доказана следующая теорема.
Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то справедлива формула
( S = intlimits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) )
где F(x) — первообразная для f(x).

Приведенную формулу обычно называют формулой Ньютона — Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643—1727) и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646— 1716), получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно.

На практике вместо записи F(b) — F(a) используют запись ( left. F(x)right|_a^b ) (ее называют иногда двойной подстановкой) и, соответственно, переписывают формулу Ньютона — Лейбница в таком виде:
( S = intlimits_a^b f(x) dx = left. F(x)right|_a^b )

Вычисляя определенный интеграл, сначала находят первообразную, а затем осуществляют двойную подстановку.

Опираясь на формулу Ньютона — Лейбница, можно получить два свойства определенного интеграла.

Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:
( intlimits_a^b (f(x) + g(x))dx = intlimits_a^b f(x)dx + intlimits_a^b g(x)dx )

Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
( intlimits_a^b kf(x)dx = k intlimits_a^b f(x)dx )

Видео:Определенный интеграл, формула Ньютона-Лейбница. Вычисление площадей и объемов тел вращения.Скачать

Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций, но и плоских фигур более сложного вида, например такого, который представлен на рисунке. Фигура Р ограничена прямыми х = а, х = b и графиками непрерывных функций y = f(x), y = g(x), причем на отрезке [а; b] выполняется неравенство ( g(x) leqslant f(x) ). Чтобы вычислить площадь S такой фигуры, будем действовать следующим образом:
( S = S_ = S_ — S_ = intlimits_a^b f(x) dx — intlimits_a^b g(x) dx = )
( = intlimits_a^b (f(x)-g(x))dx )

Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и графиками функций y = f(x), y = g(x), непрерывных на отрезке [a; b] и таких, что для любого x из отрезка [а; b] выполняется неравенство ( g(x) leqslant f(x) ), вычисляется по формуле
( S = intlimits_a^b (f(x)-g(x))dx )

🎦 Видео

Площадь фигуры между двумя кривымиСкачать

07 Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интегралаСкачать

Видеоурок по математике "Вычисление площади фигуры"Скачать

Площадь Астроиды.АстроидаСкачать

Определенные интегралы и площадь фигурыСкачать

Интеграл: Азы интегрирования. Высшая математикаСкачать

Неопределенный интеграл. 11 класс.Скачать