как найти максимальную площадь конуса

Видео:62. Площадь поверхности конусаСкачать

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь поверхности прямого кругового конуса (боковую, полную и основания), а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Видео:11 класс, 17 урок, Площадь поверхности конусаСкачать

Формула вычисления площади конуса

1. Боковая поверхность

Площадь (S) боковой поверхности конуса равняется произведению числа π на радиус основания и на длину образующей.

Образующая ( l ) соединяет вершину конуса и границу основания, другими словами, точку на окружности.

Примечание: в вычислениях значение числа π округляется до 3,14.

2. Основание

Основанием конуса является круг, площадь которого вычисляется так:

Учитывая то, что диаметр круга равняется двум его радиусам ( d = 2R ), данную формулу можно представить в виде:

3. Полная площадь

Для вычисления суммарной площади конуса следует сложить площади боковой поверхности и основания:

Видео:Конус. 11 класс.Скачать

Примеры задач

Задание 1
Вычислите площадь боковой поверхности конуса, если известно, что его радиус равен 16 см, а длина образующей – 5 см.

Решение:
Используем соответствующую формулу с известными нам величинами:
S = 3,14 ⋅ 16 см ⋅ 5 см = 251,2 см 2 .

Задание 2
Высота конуса равна 4 см, а его радиус – 3 см. Найдите суммарную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Если рассмотреть конус в сечении, то можно заметить, что его высота, радиус и образующая представляют собой прямоугольный треугольник. Следовательно, воспользовавшись теоремой Пифагора, можно найти длину образующей (является гипотенузой):
l 2 = (4 см) 2 + (3 см) 2 = 25 см 2 .
l = 5 см.

Осталось только использовать найденное и известные по условиям задачи значения, чтобы рассчитать площадь:
S = 3,14 ⋅ 3 см ⋅ (5 см + 3 см) = 75,36 см 2 .

Видео:№550. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Найдите площадь этого сечения, еслиСкачать

Вывод формулы площади конуса. Пример решения задачи

Изучение свойств пространственных фигур играет важную роль для решения практических задач. Наука, которая занимается фигурами в пространстве, называется стереометрией. В данной статье, с точки зрения стереометрии, рассмотрим конус и покажем, как находить площадь конуса.

Видео:№547. Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найдите образующую конуса.Скачать

Конус с круглым основанием

В общем случае конусом называется поверхность, построенная на некоторой плоской кривой, все точки которой соединены отрезками с одной точкой пространства. Последняя называется вершиной конуса.

Вам будет интересно: Пытка — это что такое. Значение и определение

Из приведенного определения понятно, что кривая может иметь произвольную форму, например параболическую, гиперболическую, эллиптическую и так далее. Тем не менее на практике и в задачах по геометрии встречается часто именно круглый конус. Он показан ниже на рисунке.

Здесь символом r обозначен радиус круга, находящегося в основании фигуры, h — это перпендикуляр к плоскости круга, который проведен из вершины фигуры. Он называется высотой. Величина s — это образующая конуса, или его генератриса.

Видно, что отрезки r, h и s образуют прямоугольный треугольник. Если его вращать вокруг катета h, то гипотенуза s опишет коническую поверхность, а катет r образует круглое основание фигуры. По этой причине конус считают фигурой вращения. Три названных линейных параметра связаны между собой равенством:

Отметим, что приведенное равенство справедливо только для круглого прямого конуса. Прямой фигура является только в том случае, если ее высота падает точно в центр круга основания. Если это условие не выполняется, то фигура называется наклонной. Разница между прямым и наклонным конусами показана ниже на рисунке.

Видео:Усеченный конус. 11 класс.Скачать

Развертка фигуры

Изучение площади поверхности конуса удобно проводить, рассматривая его на плоскости. Такой способ представления поверхности фигур в пространстве называется их разверткой. Для конуса эту развертку можно получить следующим образом: необходимо взять фигуру, изготовленную, например, из бумаги. Затем, ножницами отрезать круглое основание по окружности. После этого вдоль генератрисы сделать разрез конической поверхности и развернуть ее на плоскость. Результатом этих несложных операций будет развертка конуса, показанная ниже на рисунке.

Как видно, поверхность конуса действительно можно представить на плоскости. Она состоит из двух следующих частей:

• круг радиусом r, представляющий основание фигуры;
• круговой сектор радиусом g, являющийся конической поверхностью.

Формула площади конуса предполагает нахождение площадей обеих развернутых поверхностей.

Видео:ОТКУДА? Как найти площадь боковой поверхности конуса? Развёртка конуса | Математика с ДетекторомСкачать

Вычисление площади поверхности фигуры

Разделим поставленную задачу на два этапа. Сначала найдем площадь основания конуса, затем площадь конической поверхности.

Первую часть задачи решить просто. Поскольку дан радиус r, то для вычисления площади основания достаточно вспомнить соответствующее выражение для площади круга. Запишем его:

Если радиус не известен, тогда сначала следует его найти, пользуясь формулой связи между ним, высотой и генератрисой.

Вторая часть задачи по нахождению площади конуса несколько сложнее. Заметим, что круговой сектор построен на радиусе g генератрисы и ограничен дугой, длина которой равна длине окружности круга. Этот факт позволяет записать пропорцию и найти угол рассматриваемого сектора. Обозначим его греческой буквой φ. Этот угол будет равен:

2 × pi => 2 × pi × g;

Зная центральный угол φ кругового сектора, можно с помощью соответствующей пропорции найти его площадь. Обозначим ее символом Sb. Она будет равна:

Sb = pi × g2 × φ / (2 × pi) = pi × r × g

То есть площадь конической поверхности соответствует произведению образующей g, радиуса основания r и числа Пи.

Зная, чему равны площади обеих рассмотренных поверхностей, можно записать конечную формулу площади конуса:

S = So + Sb = pi × r2 + pi × r × g = pi × r × (r + g)

Записанное выражение предполагает для вычисления S знание двух линейных параметров конуса. Если g или r неизвестны, то их можно найти через высоту h.

Видео:№555. Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конусаСкачать

Задача на вычисление площади конуса

Известно, что высота круглого прямого конуса равна его диаметру. Необходимо вычислить площадь фигуры, зная, что площадь ее основания составляет 50 см2.

Зная площадь круга, можно найти радиус фигуры. Имеем:

Теперь найдем генератрису g через h и r. Согласно условию, высота h фигуры равна двум радиусам r, тогда:

g = √5 × r = √(5 × So / pi)

Найденные формулы для g и r следует подставить в выражение для всей площади конуса. Получаем:

S = So + pi × √(So / pi) × √(5 × So / pi) = So × (1 + √5)

В полученное выражение подставляем площадь основания So и записываем ответ: S ≈ 161,8 см2.

Видео:№567. Найдите образующую усеченного конуса, если радиусы оснований равны 3 см и 6 см, а высота равнаСкачать

Площадь поверхности конуса

Видео:11 класс. Геометрия. Объем конуса. 21.04.2020Скачать

Онлайн калькулятор

Площадь боковой поверхности конуса

=
=

Площадь полной поверхности конуса

=
=

Видео:Геометрия 11 класс (Урок№7 - Конус.)Скачать

Теория

Площадь боковой поверхности конуса через образующую

Чему равна площадь боковой поверхности конуса S_б.пов, если образующая l, а радиус основания r:

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равна площадь боковой поверхности конуса, образующая которого l = 6 см, а радиус основания r = 3 см:

Площадь боковой поверхности конуса через высоту

Чему равна площадь боковой поверхности конуса S_б.пов, если высота h, а радиус основания r:

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равна площадь боковой поверхности конуса, высота у которого h = 5 см, а радиус основания r = 2 см:

S_б.пов ≈ 3.14 ⋅ 2 ⋅ √ 2² + 5² ≈ 6.28 ⋅ √ 29 ≈ 33.82 см²

Площадь полной поверхности конуса через образующую

Чему равна площадь полной поверхности конуса S_п.пов, если образующая l, а радиус основания r:

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равна площадь полной поверхности конуса, образующая которого l = 6 см, а радиус основания r = 3 см:

Площадь полной поверхности конуса через высоту

Чему равна площадь полной поверхности конуса S_п.пов, если высота h, а радиус основания r:

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равна площадь полной поверхности конуса, высота у которого h = 5 см, а радиус основания r = 2 см:

S_п.пов ≈ 3.14 ⋅ 2 ⋅ (2 + √ 2² + 5² ) ≈ 6.28 ⋅ (2 + √ 29 ) ≈ 46.38 см²

🎬 Видео

Геометрия 11. Найти объем конусаСкачать

Как найти объем вписанного конуса? 🔍 #умскул_профильнаяматематика #умскул #никитасалливанСкачать

🌟 Откройте мир конусов: исследуем площадь их поверхности!Скачать

Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

№553. Найдите высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 6 дм2, а площадьСкачать

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

11 класс, 36 урок, Объем конусаСкачать

11 класс, 18 урок, Усеченный конусСкачать

Решение задач на конусСкачать