как научились измерять площадь

Видео:Измерение площади фигур с помощью палетки. Математика Моро и другиеСкачать

математика: история возникновения площадей, когда они появились, для чего люди стали измерять ее?

Понадобилась для земледельческих работ. Для покупки земельных участков, для арендования земли. Для расчетов, сколько нужно земли, чтоб вырастить столько то урожая.. . Появилясь очень давно, еще с древних времен.

В древности человеку приходилось постепенно постигать не только искусство счета, но и измерений. Когда древний человек, уже мыслящий, попытался найти для себя пещеру, он вынужден был соразмерить длину, ширину и высоту своего будущего жилища с собственным ростом. А ведь это и есть измерение. Изготовляя простейшие орудия труда, строя дома, добывая пищу, возникает необходимость измерять расстояния, а затем площади, емкости, массу, время. Наш предок располагал только собственным ростом, длиной рук и ног. Если при счете человек пользовался пальцами рук и ног, то при измерении расстояний использовались руки и ноги. Не было народа, который не изобрел бы своих единиц измерения.
Заглянем в прошлое, когда зародилась наука геометрия. .

Для первобытных людей важную роль играла форма окружавших их предметов. По форме и цвету они отличали съедобные грибы от несъедобных, пригодные для построек породы деревьев от тех, которые годятся лишь на дрова, вкусные орехи от горьких и т. д. Особенно вкусными казались им орехи кокосовой пальмы, которые имеют форму шара. А добывая каменную соль, люди наталкивались на кристаллы, имевшие форму куба. Так, овладевая окружающим их миром, люди знакомились с простейшими геометрическими формами.
Уже 200 тысяч лет тому назад были изготовлены орудия сравнительно правильной геометрической формы, а потом люди научились шлифовать их. Специальных названий для геометрических фигур, конечно, не было. Говорили: «такой же, как кокосовый орех» или «такой же, как соль» и т. д.
А когда люди стали строить дома из дерева, пришлось глубже разобраться в том, какую форму следует придавать стенам и крыше, какой формы должны быть бревна. Сами того не зная, люди все время занимались геометрией: женщины, изготавливая одежду, охотники, изготавливая наконечники для копий или бумеранги сложной формы, рыболовы, делая такие крючки из кости, чтобы рыба с них не срывалась
Когда стали строить здания из камня, пришлось перетаскивать тяжелые каменные глыбы. Для этого применялись катки. И заметили, что перекатка проще, если взять кусок дерева с почти одинаковой толщиной в начале и в конце. Так люди познакомились с одним из важнейших тел – цилиндром. Скалками цилиндрической формы пользовались и женщины, раскатывая белье после стирки.
Перевозить грузы на катках было довольно тяжело, потому что сами древесные стволы весили много. Чтобы облегчить работу, стали вырезать из стволов тонкие круглые пластинки и с их помощью перетаскивать грузы. Так появилось первое колесо.
Но не только в процессе работы знакомились люди с геометрическим фигурами.

Издавна они любили украшать себя, свою одежду, свое жилище (бусинки, браслеты, кольца, украшения из драгоценных камней и металлов, роспись дворцов) .
Для того, чтобы взимать налоги с земли, необходимо было знать их площадь. Гончару необходимо было знать, какую форму следует придать сосуду, чтобы в него входило то или иное количество жидкости. Астрономы, наблюдавшие за небом и дававшие на основе этих наблюдений указания, когда начинать полевые работы, должны были научиться определять положение звезд на небе. Для этого понадобилось измерять углы.

Так практическая деятельность людей привела к дальнейшему углублению знаний о формах фигур, развитию геометрии. Люди стали учиться измерять и площади, и объемы, и длины и т. д.

Видео:Свойства площадейСкачать

презентация проекта по математике «площади в нашей жизни»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Муниципальное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа с.Сторожевка» Татищевского района Саратовской области Исследовательский проект по математике «Площади в нашей жизни» Выполнила: учащаяся 8«а» класса Ружич Валерия Руководитель: учитель математики Жогаль Марина Александровна 2014г.

Мы с мамой решили сделать ремонт в квартире. Чтобы сэкономить и не покупать лишние обои и линолеум, мне предстояло выполнить необходимые измерения и вычисления. (Формулы площадей многоугольников мы ещё не учили). Мы считаем, что выбранная тема нашей работы является актуальной, так как, приходя в магазин или на рынок, наши глаза разбегаются от многообразия вида и цен товаров. Но материальные возможности разные и любой человек стремится экономить и уложиться в определенную сумму..

Цель :применить конструирование при вычислении площадей на практике; применить математику для экономии материалов и семейного бюджета. Задачи : Найти в научных источниках и изучить, как вычисляли и измеряли площади раньше и в наше время; Изучить применение умения вычисления площадей в нашей жизни и при решении задач из ЕГЭ по математике Провести практическую работу.

Из истории измерения площадей и землемерия Необходимость измерять площадь возникла у человека тогда, когда он стал переходить от кочевого образа жизни к оседлому. Занятие земледелием, строительством жилищ, другие виды деятельности потребовали измерения площади.

Вначале людей удовлетворяли субъективные меры, общие для жителей некоторой территории В Южной Индии единицей измерения площади был участок земли, который занимал загон овец. В России такой мерой был «плуг» — часть поля, которую можно было вспахать на паре волов за день. В Америке — индейцы при покупке земли в качестве единиц измерения принимали территорию, которую человек мог обежать за один день. Поэтому покупатели обычно нанимали для этой цели самого быстрого бегуна.

В разных странах существовали различные меры, что мешало развитию торговли, ремесел, и в 1791 году Национальное собрание Франции по предложению Комиссии по мерам и весам Академии наук утвердило новую систему мер, которая годилась «на все времена и для всех народов». В 1875 году 17 стран, в том числе и Россия, подписали Метрическую конвенцию. Окончательно же эта система вошла в употребление в СССР с 1927 года.

Площадь — это величина показывающая размер той части плоскости, которая очерчена соединенными между собой отрезками. Землю нельзя разделить на равные куски: берега реки извилисты, границы участка будут ломаными линиями. И люди научились измерять площади участков , разбивая их на части в виде прямоугольников и треугольников. Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими. Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит.

За единицу измерения площадей принимают квадрат Площадь квадрата со стороной а равна S= а 2 Площадь прямоугольника S=а· b,где а — длина; b — ширина; S — площадь; Площадь прямоугольного треугольника — половина площади достроенного прямоугольника S=(а· b) : 2

. Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к данной стороне Площадь многоугольника равна сумме площадей фигур , из которых он составлен.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см ×1 см изображена фигура. Найдите её площадь в квадратных сантиметрах. Решение. Из площади прямоугольника 6·4=24 вычесть площади прямоугольных треугольников 4·1:2=2 и 4·4:2=8 . Т.о.24 -2-8=14 см2.

2 способ. сложить площади трех частей- прямоугольника 1·4 и двух прямоугольных треугольников 1·4 :2 и 4·4:2, т.о. 4+2+8=14 см2. Ответ : 14 см2.

Практическая работа. Знания о способах определения площадей я применила при расчетах необходимого количества материалов для ремонта квартиры . 1.Сколько стоит жалюзи на окно шириной 1,5м и высотой 2м, если цена жалюзи 350 руб. за 1 кв.м.?

2.Пол застелили линолеумом по 250 руб. за 1кв.м. Какова стоимость линолеума, если длина комнаты 4,5м, ширина – 4м? Решение. площадь комнаты 4·4,5=18 кв.м. Стоимость линолеума 18·250=4500 руб. Хотя, при покупке линолеума нужно учитывать его ширину. В нашем случае можно купить 9м при ширине 2м, а можно 4,5 при ширине 4м. Ответ:4500руб.

Сколько рулонов обоев шириной 0,5 понадобится для оклеивания комнаты размером 4×4,5×2,5м, если в рулоне 10,5м и в комнате находится окно шириной 2м , высотой 1,5м? Решение. Удобнее считать обои полосами: 4м-8 полос, 4,5м -9 полос, всего (8+9)·2=34 . В рулоне 4 полосы по 2,5 м. Понадобится 34:4=8,5 рулонов. Учтем окно 2·1,5=3 кв.м или 4 полосы по 1,5м, т.е.6м обоев. С учетом окна можно купить 8 рулонов обоев.

3 .Для покраски 1 м2 потолка требуется 240 г краски. Краска продается в банках по 2,5 кг. Сколько банок краски нужно купить для покраски потолка площадью 30 м2? Решение. Для покраски 30 кв. м. потолка потребуется 30 · 240 = 72 00 г = 7,2 кг краски. Разделим 7,2 на 2,5, получим 2,88. Следовательно, потребуется 3 банки краски. Ответ: 3. 4. Кафельная плитка прямоугольной формы со сторонами 20 см и 30 см. Сколько плиток потребуется, чтобы выложить стену в кухне длиной 2,5м и высотой 1,5 м?

Вывод: Точный расчет необходимых материалов позволил не покупать лишние обои (1 рулон от 200р.), лишние метры линолеума (от 250р.), краску (от 125р), а также другие материалы. Это позволило сэкономить более 600р.

Заключение С вычислением площадей мы сталкиваемся часто в быту. Умение применить математику помогает экономить семейный бюджет. Для тех, кто плохо запоминает формулы достаточно помнить ,как вычислить площадь прямоугольника и владеть навыками конструирования. Умение вычислять площади пригодится не только в быту, но и чтобы сдать ЕГЭ.

источники 1. А.Л.Семенов , И.В. Ященко «Математика ЕГЭ» 2. Под редакцией А.Л.Семенова, И.В. Ященко «Математика .ЕГЭ .3000 задач» 3. Под редакцией А.Л.Семенова, И.В. Ященко «Математика . ЕГЭ. 30 вариантов» 4.А.Л.Семенов , И.В. Ященко «Математика ЕГЭ. Весь банк задач блок В » Электронный вариант. Интернет ресурсы: 1.http://ege.yandex.ru/math Интернет ресурсы: 1.http://ege.yandex.ru/mathematics 2.http://alexlarin.net/ege.html 3.http://ege-study.ru/materialy-ege, 4. http://www.4egena100.ru/

Благодарю за внимание !

Краткое описание документа:

Проект предназначен для расширения кругозора учащихся по теме «площади», позволяет узнать о применении математики в землемерии и быту, об истории измерения площадей, показывает основные приемы вычисления площадей плоских фигур, используя знание формулы площади квадрата и прямоугольника, и приемы конструирования.

Исследовательский проект по математике

« Площади в нашей жизни»

Выполнила: учащаяся 8«а» класса

МОУ «СОШ с.Сторожевка»

Руководитель: учитель математики

Жогаль Марина Александровна

Глава ΙІ. Основная часть ……………………………………………..4

2.1 История измерения площадей……………………………………..4

2.3 Площади некоторых многоугольников……………………………7

2.4 Примеры решения задач……………………………………………9

ГлаваΙΙΙ. Практическая работа

Площади в нашей жизни………………………………………………12

Мы с мамой решили сделать ремонт в квартире. Так как мама воспитывает нас с сестрой одна, то мы стараемся экономить. Мне предстояло выполнить необходимые измерения и вычисления, чтобы не покупать лишние обои и линолеум.

Формулы вычисления многоугольников мы не учили. Пришлось вспомнить математику за 5-6 класс и применить навыки конструирования.

Мне стало интересно, как измеряли и вычисляли площади в древности?

Основная цель данного проекта – применить конструирование при вычислении площадей на практике; применить математику для экономии материалов и семейного бюджета.

Мы считаем, что выбранная тема нашей работы является актуальной, так как, приходя в магазин или на рынок, наши глаза разбегаются от многообразия вида и цен товаров. Но материальные возможности разные и любой человек стремится экономить и уложиться в определенную сумму.

Цель моей работы:

— Найти в научных источниках и изучить, как вычисляли и измеряли площади раньше и в наше время;

— Изучить применение умения вычисления площадей в нашей жизни и при решении задач из ЕГЭ по математике

-Провести практическую работу.

В связи с поставленной целью мною была изучена история развития измерения площадей, и предложены способы вычисления многоугольников и т.п.

ΙΙ. Основная часть

2.1. Из истории измерения площадей и землемерия

Из информационных источников я познакомилась с историей измерения площадей.

Необходимость измерять площадь возникла у человека тогда, когда он стал переходить от кочевого образа жизни к оседлому. Занятие земледелием, строительством жилищ, другие виды деятельности потребовали измерения площади.

Вначале людей удовлетворяли субъективные меры, общие для жителей некоторой территории. Так, например, в Южной Индии единицей измерения площади был участок земли, который занимал загон овец. В России такой мерой был «плуг» — часть поля, которую можно было вспахать на паре волов за день. В Америке — индейцы при покупке земли в качестве единиц измерения принимали территорию, которую человек мог обежать за один день. Поэтому покупатели обычно нанимали для этой цели самого быстрого бегуна.

В притче «Много ли человеку земли надо» Л. Н. Толстой рассказывает необычную историю . Герой ее — мужик Пахом — покупает землю. За 1000 рублей ему передается во владение участок, который он сможет обойти за день. Конечно, мужику хочется получить за свои деньги как можно больше земли. Он торопится, спешит и загоняет себя до смерти. В результате Пахом получает, как и любой покойник три аршина земли. «Поднял работник скребку, выкопал Пахому могилу, ровно насколько он от ног до головы захватил — три аршина, и закопал его». Так кончает писатель свой рассказ.

То, что в разных странах существовали различные меры длины, веса, площади и т. п., было неудобно. Это мешало развитию торговли, ремесел, и в 1791 году Национальное собрание Франции по предложению Комиссии по мерам и весам Академии наук утвердило новую систему мер, которая, по мнению ее создателей, годилась «на все времена и для всех народов». В соответствии с этой системой длина измерялась в метрах, вес — в килограммах, а площадь земельных участков — в арах.

В 1875 году 17 стран, в том числе и Россия, подписали Метрическую конвенцию, по которой обязывались ввести в своих странах систему мер, разработанную французскими учеными. Но еще долго всюду употреблялись местные меры. В России это были старинные меры, узаконенные еще Петром 1. Рассмотрим их перевод в современные единицы измерения :

Квадратная (кв.) верста = 250000 кв. саженей = 1,1381 км2;

десятина = 2400 кв. саженям =1,0925 га = 10925 м2; кв. сажень = 9 кв. аршинам =4,5522 м2; кв. аршин = 256 кв. вершкам = 0,5058 м2; кв. вершок = 19,758 см2.

14 сентября 1918 года был принят декрет «О введении международной метрической десятичной системы мер и весов». Только после Великой Октябрьской социалистической революции метрическая система стала обязательной на всей территории России. Окончательно же эта система вошла в употребление в СССР с 1927 года.

2.2. Измерение площадей

Площадь — это величина показывающая размер той части плоскости, которая очерчена соединенными между собой отрезками.

Исторически вычисление площади называлось квадратурой. Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой.

Но ведь землю нельзя разделить на равные куски, как лист бумаги: берега реки извилисты, границы участка будут ломаными линиями. И люди научились измерять площади таких участков ,разбивая их на части в виде прямоугольников и треугольников.

Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими.

Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит.

Вспомним мультфильм «38 попугаев», где удава измеряли попугаями, мартышками, слонами…, следовательно измерить — сравнить с какой-либо единицей измерения.

Измерить площадь фигуры — подсчитать сколько раз единичный квадрат (и его части) поместится в данной фигуре.

За единицу измерения площадей принимают квадрат .

Принято, что площадь квадрата со сторонами равными 1 тоже равна 1. Если стороны измерены в метрах , то площадь будет измеряться в м 2, если в см , то и площадь в см 2.

Площадь квадрата со стороной а равна S = а 2 .

2.3. Площади некоторых многоугольников.

2.3.1. Площадь прямоугольника

Для нахождения площади нам надо найти, сколько единичных квадратов умещается в нашем прямоугольнике, а для этого надо умножить длину на ширину.

а — длина; b — ширина; S — площадь;

Площадь прямоугольника S=а· b ,

2.3.2. Площадь прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника — половина площади достроенного прямоугольника .S=(а· b ) : 2, где а — ширина, b -длина достроенного прямоугольника или стороны , образующие прямой угол треугольника

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения сторон, образующих прямой угол – катетов.

2.3.3. Площадь треугольника

S=S1+S2 , S=(a·b1):2+(a·b2):2= а ·(b1+b2):2=( а ·b):2

получим S =(а· b ):2

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к данной стороне.

2.3.4. Площадь многоугольника

Для вычисления площади многоугольника используем свойство:

Площадь фигуры равна сумме площадей всех её частей

Многоугольник можно разрезать на части, представляющие собой прямоугольники и прямоугольные треугольники.

S = S 1 + S 2 + S 3 + S 4

2.4. Примеры решения задач

Рассмотрим разнообразные задачи на определение площади фигуры.

– «разрезаем» фигуру на части, площади которых вычисляем и суммируем;

— достраиваем фигуру до прямоугольника и «отрезаем» лишние части (из площади прямоугольника вычитаем площади «отрезаемых» частей)

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Решение. От квадрата со стороной 6 см отрежем три прямоугольных треугольника с катетами 4 и 5см, 2 и 6 см, 1 и 6 см. Получим искомый треугольник. Вычисляем площадь 62_ 4·5:2 — 2·6:2 -1·6:2=36- 10 -6-3=17 см2

Видео:5 класс, 19 урок, Единицы измерения площадейСкачать

Измерение площади полей. Измерение площадей и расстояний
Замер полей. Системы параллельного вождения

Видео:Что такое площадь. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

История измерения площадей

Иногда в разговоре можно, услышать: «У меня садовый участок — семь соток» — и всем ясно, о чем идет речь. Сотка — это сотая часть гектара или сто квадратных метров. Но можно сказать и иначе: «У меня участок семь аров». Ведь ар (происходит от латинского «ареа» — площадь) как раз и составляет 100 м2. Ар — единица измерения площади в метрической системе мер, которая применялась до введения Международной системы (СИ). Известное всем слово «гектар» образовано из слова «ар» при помощи приставки «гекто», означающей «сто». Следовательно, вместо «сотки» можно говорить «ар», правда, в этом случае вас могут не понять, настолько прочно это слово вышло из употребления, чего не скажешь о других единицах старой системы мер. Нам по-прежнему привычнее выражать атмосферное, давление в миллиметрах ртутного столба, а не в паскалях, мощность автомобильного мотора — в лошадиных силах, а не в ваттах т.д.

Необходимость измерять площадь возникла у человека тогда, когда он стал переходить от кочевого образа жизни к оседлому. Занятие земледелием, строительством жилищ, другие виды деятельности потребовали измерения площади.

Вначале людей удовлетворяли субъективные меры, общие для жителей некоторой территории. Так, например, в Южной Индии единицей измерения площади был участок земли, который занимал загон овец. В России такой мерой был «плуг» — часть поля, которую можно было вспахать на паре волов за день. В Америке — индейцы при покупке земли в качестве единиц измерения принимали территорию, которую человек мог обежать за один день. Поэтому покупатели обычно нанимали для этой цели самого быстрого бегуна.

Похожую историю рассказывает Л.Н. Толстой в притче «Много ли человеку земли надо». Герой ее — мужик Пахом — покупает землю. За 1000 рублей ему передается во владение участок, который он сможет обойти за день. Конечно, мужику хочется получить за свои деньги как можно больше земли. Он торопится, спешит и загоняет себя до смерти. В результате Пахом получает, как и любой покойник три аршина земли. «Поднял работник скребку, выкопал Пахому могилу, ровно насколько он от ног до головы захватил — три аршина, и закопал его». Так кончает писатель свой рассказ.

То, что в разных странах существовали различные меры длины, веса, площади и т. п., было неудобно. Это мешало развитию торговли, ремесел, и в 1791 году Национальное собрание Франции по предложению Комиссии по мерам и весам Академии наук утвердило новую систему мер, которая, по мнению ее создателей, годилась «на все времена и для всех народов». В соответствии с этой системой длина измерялась в метрах, вес — в килограммах, а площадь земельных участков — в арах.

В 1875 году 17 стран, в том числе и Россия, подписали Метрическую конвенцию, по которой обязывались ввести в своих странах систему мер, разработанную французскими учеными. Но еще долго всюду употреблялись местные меры. В России это были старинные меры, узаконенные еще Петром 1. Вот они и их перевод в современные единицы измерения.

Квадратная (кв.) верста = 250000 кв. саженей = 1,1381 км2; десяти на = 2400 кв. саженям =1,0925 га = 10925 м2; кв. сажень = 9 кв. аршинам =4,5522 м2; кв. аршин = 256 кв. вершкам = 0,5058 м2; кв. вершок = 19,758 см2.

Только после Великой Октябрьской социалистической революции метрическая система стала обязательной на всей территории России. 14 сентября 1918 года был принят декрет «О введении международной метрической десятичной системы мер и весов». Окончательно же эта система вошла в употребление в СССР с 1927 года.

На рисунке показаны различные известные и неизвестные вам площади: поверхностей Солнца и Земли, Мирового океана и Черного моря, человеческого тела и эритроцита. Чтобы изобразить все это многообразие на одном рисунке, применена логарифмическая шкала: два соседних деления отличаются друг от друга по величине в десять раз. Слова «площадь Солнца» надо понимать как «площадь поверхности Солнца». В верхней части рисунка даны точные значения площадей и территорий, а в нижней — приведены средние значения (и горошины, и ягоды черешни, и люди бывают разных размеров) и порядок величин (для поверхностей атома и его ядра).

На рисунке отмечены ар, гектар и другие единицы измерения площади. Рассматривая рисунок, вы найдете площадь футбольного поля и поверхности футбольного мяча, узнаете, что площадь поверхности Луны всего в 1,7 раза больше территории Советского Союза, определите размеры Москвы и крошечного государства Науру, которое меньше Лихтенштейна в 7 раз, а Сингапура — в 28. На рисунке много также других данных для сопоставлений и размышлений.

💥 Видео

Как найти площадь фигуры?Скачать

Математика 2 класс. Что такое площадь фигуры и единицы измерения площади. ВидеоурокиСкачать

Способы сравнения фигур по площадиСкачать

Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shortsСкачать

Методика ознакомления с площадью и её измерением.Скачать

Математика 3 класс. «Площадь. Единицы измерения площади»Скачать

Как измерить площадьСкачать

Площадь фигурыСкачать

Математика 5 класс (Урок№30 - Площадь прямоугольника. Единицы площади.)Скачать

Измерение площади фигуры с помощью палеткиСкачать

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Математика 3 класс (Урок№21 - Площадь. Способы сравнения фигур по площади. Единица площади — кв.см.)Скачать

Как найти площадь фигуры#математика #площадьфигуры #геометрия #формулапика #репетиторСкачать

Ребенок путает периметр и площадь фигуры. Как объяснить?Скачать