как измерить площадь криволинейной фигуры (2 видео)

Содержание

Урок математики «Измерение площадей криволинейных фигур. Палетка». 4-й класс
Новое в блогах
Определение площади плоских криволинейных структур произвольной конфигурации
Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y)
Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)
Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)
Итоги
📸 Видео

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.Скачать

Урок математики «Измерение площадей криволинейных фигур. Палетка». 4-й класс

Класс: 4

Оборудование. Учебник Э.И.Александровой (изд-во ВИТА-ПРЕСС), на каждого ученика листочки четырёх цветов, листочки с четырьмя вариантами заданий, непрозрачные конверты с палетками из целлофана, два больших демонстрационных листа с рисунками 2 и 3, 6 листов для работы (по количеству групп) с фигурой на рисунке 2, 12 листов с фигурой на рисунке 3.

Тема. Измерение площадей криволинейных фигур. Палетка.

Образовательная: познакомить с способом измерения площадей криволинейных фигур; с устройством для измерения площадей — палеткой; закреплять умение находить площади прямолинейных фигур.

Развивающая: развивать внимание, наблюдательность, умение рассуждать, обобщать и делать выводы.

Воспитательная: воспитывать умение общаться, аккуратность, внимательность.

1. Учебная ситуация успеха

Учитель. Чем мы занимались на вчерашнем уроке?

Ученики. Находили площади и периметры фигур.

Учитель. Как найти площадь геометрической фигуры?

Ученики. Площадь прямоугольника и треугольника находят по формуле. Если это не прямоугольник и не треугольник, то сначала многоугольник надо разбить или достроить до фигур, площади которых мы уже знаем как находить.

Учитель. Я предлагаю вам выполнить эти задания. Здесь 4 варианта заданий. Посмотрите на них и выберите себе любое. Все 4 варианта лежат у вас на партах.

На доске четыре варианта заданий. Каждое записано своим цветом. У детей на партах кроме карточек с фигурами четырёх цветов, квадраты соответствующих цветов.

Дети, решив задание, поднимают карточку с соответствующим заданию цветом. По цвету они находят группу, сверяют решение, выбирают одного представителя от группы, который записывает решение на доске. Остальные сверяют свои ответы с доской.

Учитель. Ребята, научились мы находить площади геометрических фигур?

2. Постановка учебной задачи

Учитель. А теперь найдите площадь этой фигуры.

Показывает и вывешивает на доску

Учитель. Почему вы не можете выполнить задание?

Ученики. Это не прямоугольник и не треугольник. Это не многоугольник.

Учитель. Чем эта фигура отличаются от нам известных фигур, многоугольников?

Ученики. Непонятно, где длина, ширина. Нет углов. Фигуры некрасивые, какие-то кривые.

Учитель. Да, все многоугольники состоят из прямых линий. Поэтому их называют прямолинейными фигурами. А из каких линий состоят эти фигуры?

Как бы вы их назвали?

Учитель. В математике такие фигуры называют криволинейными.

Учитель. Чем же мы будем заниматься сегодня на уроке?

Ученики. Учиться находить площади криволинейных фигур.

Учитель фиксирует проблему на доске:

3. Поиск решения поставленной задачи

Учитель. Как же мы будем решать эту задачу? Как вы находили площадь прямоугольника, когда ещё не знали формулу его площади?

Ученики. Мы измеряли площадь прямоугольника с помощью мерки.

Учитель. А для криволинейной фигуры такой способ можно попробовать?

Учитель. Как можно узнать площадь криволинейной фигуры с помощью мерки в одну клетку?

Ученики. Разбить на мерки, продолжив линии клеток-мерок.

Учитель. Что будете делать, когда разобьёте фигуру на мерки, чтобы узнать площадь фигуры?

Ученики. Посчитаем количество мерок в фигуре.

Учитель. Работаем в группах.

Представители от групп записывают свои ответы на доске. Ответы оказываются разными.

Учитель. Почему ответы оказались разными? Наши ребята не умеют считать?

Группа, у которой количество мерок меньше, объясняют: “Мы не считали нецелые мерки”.

Учитель. Правильно будет вообще не считать неполные мерки?

Учитель. А считать половинку как полную мерку-квадрат можно?

Учитель. Что же делать с неполными мерками, ребята? Как их считать?

Ученики. Складывать по две мерки.

Учитель. Да, в математике договорились считать всё количество неполных мерок и делить на 2.

Учитель. Посчитайте ещё раз количество полных мерок. Неполных мерок.

Ученики работают в группах.

Учитель. Скольким квадратным меркам равна площадь фигуры?

Представители от групп называют ответы. Все сверяют со своими ответами.

Учитель. Что мы сейчас нашли?

Ученики. Мы узнали площадь криволинейной фигуры.

Учитель. Давайте вспомним, как мы это делали.

Дети говорят, учитель записывает на доске.

1. Разбить на мерки.

1. Посчитать полные мерки.

2. Посчитать неполные мерки и разделить на 2.

Учитель. Так можно найти площадь только этой криволинейной фигуры?

Ученики. Можно найти площадь и другой фигуры.

Учитель. Как записать, чтобы было понятно, что таким способом можно воспользоваться для вычисления площади любой криволинейной фигуры?

Как обозначить полные мерки? Неполные мерки?

Дети предлагают разные варианты. Учитель сообщает, что в математике договорились полные мерки обозначать буквой n, а неполные мерки буквой m.

Учитель. Кто закончит запись S_o = ?

На доске появляется запись: S_o = n + m : 2

Учитель. Откройте учебники на стр. 61. Найдите № 88. Работая в парах, узнайте площади криволинейных фигур: 1 ряд – площадь первой фигуры, 2 ряд – площадь второй фигуры, 3 ряд – площадь третьей фигуры.

Представители от пар, выполнивших задание первыми, записывают на доске ответы. Остальные сравнивают свои ответы с их записями.

Учитель. По какой формуле вы находили площадь криволинейной фигуры?

Ученики. S = n + m : 2

Учитель. При таком способе нахождения площади (путём разбиения фигуры на мерки-квадраты) измерения получаются неточными.

Какие единицы измерения площадей вы знаете?

Ученики. Кв.см, кв.мм, кв.м, кв.км.

Учитель. Откройте учебник на с. 62 , № 89.

Одну и ту же фигуру измеряли сначала в кв.см, потом в кв. мм

Как вы думаете, в каком случае измерения выполнены более точно: в кв. см или в кв.мм?

Ученики. Более точно измерили квадратными мм .

6. Конкретизация способа нахождения площади криволинейной фигуры

Учитель. Мы научились измерять площади криволинейных фигур, разбивая их на клетки – мерки.

А сейчас посмотрите вот на эту фигуру:

Надо узнать площадь этой фигуры с помощью мерки в 1 кв. см.

Чем отличается данное задание от предыдущего?

Ученики. Нет клеточек, по которым можно провести линии мерок.

Учитель. Да, здесь нет сетки из квадратов. Как же узнать, сколько полных и неполных кв. см поместилось в данной фигуре?

Все задумались и молчат. Один ученик предлагает свою версию – накинуть сверху какую-нибудь сетку из квадратиков.

Учитель. Да, можно изготовить специальное устройство (показываю). Это палетка.

Достаньте из конверта палетку. Кто догадался, как её сделали?

Ученики. Расчертили на квадраты со стороной в 1 см.

Учитель. А как ей пользоваться?

Ученики. Наложить на фигуру и посчитать количество клеток.

Посчитайте в парах площадь этой криволинейной фигуры.

Учитель. Выполните задание в учебнике № 90.Каждый самостоятельно.

Три первых ученика, выполнивших задание, выходят к доске и записывают свои ответы

Класс сверяет ответы.

Учитель. Дома вам надо найти площади фигур из № 91. Что вам для этого понадобится?

Учитель. Кто сможет сделать её сам?

Как это сделать?

Думаю, что все справятся с этой работой.

Если вы увидите фигуру, площадь которой можно найти другим способом, то вычислите площадь такой фигуры двумя способами: с помощью палетки и без неё.

8. Итоговая рефлексия

Учитель. Какую задачу решали на уроке?

Ученики. Учились находить площадь криволинейной фигуры.

Учитель. Кто сможет дома рассказать родителям ,как найти площадь криволинейной фигуры?

Как это сделать?

Учитель. А как вы думаете, чем мы будем заниматься на следующих уроках?

Ученики. Будем решать задачи на нахождение площадей фигур.

Будем находить новые формулы для нахождения площадей фигур.

Учитель. Да, на следующих уроках мы будем использовать полученные знания в решении задач.

Видео:ИНТЕГРАЛ | площадь криволинейной трапецииСкачать

Новое в блогах

Видео:Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать

Определение площади плоских криволинейных структур произвольной конфигурации

Вениамин Маркуц

Определение площади плоских криволинейных структур произвольной конфигурации (практические рекомендации)

Существует множество методов определения площади плоских криволинейных фигур, главным образом криволинейных трапеций. Методы довольно сложны и малопригодны для практического применения. Предложенный метод сравнительно прост и в тоже время достаточно точен. Любая плоская фигура, образованная прямыми линиями, может быть преобразована в комбинацию из известных геометрических фигур типа треугольника, прямоугольника, квадрата, трапеции. Тогда её площадь определится как сумма площадей этих фигур по известным геометрическим формулам. Аналогичным способом можно преобразовать любую плоскую криволинейную фигуру произвольной конфигурации, вписав её в многоугольник, либо описав его. Однако, в таком случае образуются сегменты, состоящие из прямолинейного участка и кривой линии (рис1).

Рис 1 Плоская криволинейная фигура произвольной конфигурации, вписанная в многоугольник Площадь многоугольника можно определить, разделив его на треугольники, площадь которых вычисляется по известным формулам, например по формуле: Sтреуг. = [p(p — a) + p(p — b) + p(p — c)]0.5 Здесь p полупериметр треугольника, a, b и c – длины его сторон. Площадь криволинейной фигуры, вписанной в многоугольник, определиться как разность площади многоугольника и сумме площадей криволинейных сегментов. Площадь криволинейного сегмента можно определить, описав кривую уравнениями вида: y = ax2 – bx ………………………………………………………… (1), y = bx — ax2 ………………………………………………………… (1-a), y = ax3 – bx2 …..…………………………………………………… (2), y = bx2 — ax3 …. …………………………………………………… (2-a), y = ax4 – bx3 …,,…………………………………………………… (3), y = bx3 — ax4 …. …………………………………………………… (3-a), и т.д., или в общем виде: y = axn – bxn-1 …. ………………………………………………… (4). y = bxn-1 — axn …. ………………………………………………… (4-a). Уравнения (1, (1-a)) описывают симметричный криволинейный сегмент, все другие уравнения описывают несимметричный криволинейный сегмент. Уравнения (1 — 4) описывают криволинейный сегмент с вершиной, расположенной ниже оси абсцисс, равнения (1а – 4а) описывают криволинейный сегмент с вершиной, расположенной выше оси абсцисс. Площадь криволинейного сегмента S определяется интегрированием из уравнения: S = ʃ (axn – bxn-1)dx. S = ʃ (bxn-1 — axn)dx. Интегрируя первое уравнение, получаем: S = a * 1/(n+1) * xn+1 – b * 1/n * xn S = a * [1/(n+1)] * xn+1 – b * (1/n) * xn ……………………. (5). Уравнения (1-4), описывающее криволинейный сегмент, имеют нулевое значение в его начале при x = 0 и в конце сегмента: y = xn-1 (ax – b) = 0. ax – b = 0. ax = b, отсюда x = b/a x = b/a = l. Здесь l длина криволинейного сегмента, ордината которого в начале и конце равна 0. Покажем на примере y = ax2 – bx как определить площадь криволинейного сегмента. y = ax2 – bx; y = x (ax – b); При x1 = 0 y = 0 это – начальный участок криволинейного сегмента. С другой стороны y = 0, когда ax – b = 0. Тогда ax = b и x2 = b/a = l. x2 = b/a = l. При любом значении показателя степени уравнений типа (1- 4) длина криволинейного сегмента равна отношению параметров b и a. Дифференцируем уравнение (1): yꞋ = 2ax – b. При yꞋ = 0 функция имеет экстремум. Тогда: 2ax = b. При этом x, а это расстояние от начала координат (начало криволинейного участка), имеет значение: x = ½ b/a; x = ½ b/a = ½ l.; Если криволинейный сегмент симметричен, то вершина криволинейного сегмента от его начала находится на расстоянии половины его длины x = ½ l. Высота h криволинейного сегмента определяется из уравнения: y = a* [½ b/a]2 — b * [½ b/a] y = a* [½l2] — b*[½l]; y = ½l * [½l * a — b ]; так как l * a = b, то y = ½ l * [½b — b ]; y = ½ l * [- ½b ]; y = — 1/4lb или: y = — 1/4 l * l * a; y = — 1/4 * l 2* a. В общем виде высота криволинейного сегмента: h = (n — 1)^(n — 1)/n^n * a *l^n так как a = b/l то: h = b/l l^n* (n — 1)^(n — 1)/n^n h = (n — 1)^(n — 1)/n^n * b *l^(n-1) h = (n — 1)^(n — 1)/n^n * a *l^n h = * [ (a*l n) ] …………………. (6). h = (n — 1)^(n — 1)/n^n * b *l^(n-1) h = * [ (b *l n-1) ] ………………. (7). Здесь n – показатель степени уравнения криволинейного сегмента, определяющий его форму (вид). Параметры a и b уравнения криволинейного сегмента можно определить следующим образом: Из уравнений (6) и (7 получаем: a = n^n/(n — 1)^(n — 1) * h/〖 l〗^n a = [(nn / (n-1)(n-1)] * [(h / l n ] ………………………. (8). b = n^n/(n — 1)^(n — 1) * h/〖 l〗^(n — 1) b = [(nn / (n-1)(n-1)] * [(h / l n-1 ] …………………………. (9). Тогда переписываем уравнение (5) в виде: S = a/(n+1) * ln+1 — b/n * ln S = [a/n+1] * ln+1 – [b /n] * ln Далее проводим преобразования: S = ln * a/(n+1) * l — b/n * ln S = ln [a/n+1] * l – [b /n] * ln; S = ln * [a/(n+1) l — b/n ] S = ln [ (a/n+1) * l – (b /n)]; Так как b = a * l, то S = ln * [b/(n+1) — b/n ] S = ln [ (b/(n+1) – (b /n)]; S = ln * (bn — bn — b)/(n (n+1)) S = ln ; S = l^n/(n (n+1)) b S = [b * ln ] / [ n* (n+1)]; В последнее уравнение подставляем выражение для b тогда при: b = n^n/(n — 1)^(n — 1) * h/〖 l〗^(n — 1) S = l^n/(n (n+1)) * n^n/(n — 1)^(n — 1) * h/〖 l〗^(n — 1) S = (l * h)/( (n+1)) * n^(n-1)/(n — 1)^(n — 1) S = 1/( (n+1)) * [n/(n-1)]^(n-1) *(l *h) …………………. (10). S = * h l. Обозначим первые два члена полученного уравнения как коэффициент формы (вида) уравнения — Kf. Kf = 1/( (n+1)) * [n/(n-1)]^(n-1) ………………………. (11). Kf = [1/(n+1)] * [n/(n-1)]]n-1 тогда S = Kf* h*l. ………………………. (12). При n = 1 Kf = ½, криволинейное уравнение превращается в уравнение прямой, а формула площади становится площадью треугольника. При n = 2 Kf = 2/3 (0,666..6); при n = 3 Kf = 9/16 (0,5625) и т.д. При n стремящемся к бесконечности Kf приближается к нулю, и площадь криволинейного сегмента также стремится к нулю. Полученное уравнение можно использовать для определения площадей лесных пожаров, нефтяных разливов в море и на суше, для вычисления объёмов грунтов, потребных при возведении насыпей на болотах и переувлажнённых глинистых грунтах, в швейном деле и пр. Покажем на примере возможность применения предложенного метода для вычисления объёмов земляных работ при возведении насыпей на болотах.

Рис 2 Поперечный профиль земляного полотна на болоте с использованием торфа в основании насыпи (размеры указаны в см) На рис.2 показана кривая консолидации основания насыпи с указанием величины осадки насыпи в поперечном сечении, вычисленной согласно формулам механики грунтов. Посмотрим, насколько предлагаемые формулы совпадают с кривой консолидации. Поскольку осадка основания насыпи в большинстве случаев симметрична относительно её оси, в расчётах используем формулу 1: y = ax2 – bx. Определяем параметры уравнения а и в. Исходные данные: n = 2 h = 0,6567м l = 20м. b = n^n/(n — 1)^(n — 1) * h/〖 l〗^(n — 1) b = 4 * (0,6567 / 20) = 0,13134 b = a * l a = 0,13134 / 20/= 0,006567 Используя уравнение y = ax2 – bx, вычисляем значения y в точках А, С и О и сравниваем полученные значения с осадкой насыпи, вычисленные ранее по известным формулам механики грунтов. в точке А: y = 0,006567 * 12 — 0,13134* 1 = — 0,124773 м. ( факт. 9,1 см.) в точке С: y = 0,006567 * 42 — 0,13134* 4 = 0,10572 – 0,52536 = — 0,41788 м. ( факт. 56,74 см.) в точке О: y = 0,006567 * 102 — 0,13134*10 = 0,6567 – 1,3134 = -0,6567 м. (факт. 65,67 см.) Расчёты показали адекватность предложенного аналитического метода определения площади плоских криволинейных фигур для расчётов земляных работ при возведении насыпей на болотах. Для других случаев требуется дополнительная верификация. Второй способ определения параметров математической кривой возможно получить воспользовавшись уравнениями типа: y = axα – bxβ, y = bxβ — axα. Параметры уравнения a, α, b, β можно определить аналитико-эмпирическим методом. Вышеприведённые уравнения, описывающее криволинейный сегмент, имеют нулевое значение в его начале при x = 0 и в конце сегмента: При y = axα – bxβ = 0. axα – bxβ = 0. axα = bxβ, отсюда 〖 ax/〖bx〗^β 〗^α = 1, (axα)/( bxβ ) = 1 (a/b) xα-β = 1 a/b xα — β = 1, xα-β = b/a xα – β = b/a , логарифмируем последнее уравнение: (α – β) lnx = lnb — lna. lnx = (lnb-lna)/(a-β) , lnx = (lnb — lna)/(α – β ) отсюда x = e(lnb – lna)/( α-β ) x = e^((lnb-lna)/(a-β)). Обозначим (lnb-lna)/(a-β) как ψ . Тогда x = eψ. При таком значении x (на другом конце криволинейного сегмента) y = 0, а сама величина x определяет длину такого сегмента l. Тогда длина криволинейного сегмента: l = eψ . l = e(lnb – lna)/( α-β ) l = e^( ψ)= e^((lnb-lna)/(a-β)) Достоверность вычислений можно проверить контрольными формулами. y = axα – bxβ, На конце криволинейного сегмента) y = 0, поэтому правильность вычисления и параметры можно проверить. y = aeαψ — beβψ Поскольку y = 0 aeαψ = beβψ , aeαψ/beβψ = 1, 〖ae〗^(αψ )/〖be〗^βψ = 1, (a/b) eα ψ -βψ = 1 a/b eαψ — βψ = 1, eα ψ -βψ = b/a eαψ — βψ = b/a Подставляем в вышеприведённые формулы значения параметров, тем самым контролируем правильность вычислений. Другой контрольной точкой является экстремум функции y = axα – bxβ. Дифференцируем вышеприведённое уравнение: yꞋ = aαxα-1 – bβxβ-1. При yꞋ = 0 aαxα-1 = bβxβ-1. aαxα-1 / bβxβ- 1= 1 . 〖aαx〗^(α-1)/〖bβx〗^(β-1) = 1. (aα/bβ)*xα-β=1. aα/bβ x^(α-β) = 1 xα-β= bβ/aα. x^(α-β )= bβ/aα Здесь x расстояние от начала криволинейного участка до экстремума. x = [bβ/aα]1/(α-β) x = [bβ/aα]^( 1/((α – β) )) Логарифмируем: lnx = [1/(α – β)]* [ln (bβ) – ln (aα)] lnx = 1/((α – β) ) [ln(bβ)- ln(aα)] lnx=[ln(bβ)–ln(aα)]/(α–β)] lnx = (ln(bβ)- ln(aα))/((α — β)) x = [bβ/aα]1/(α-β) x = e^( (ln(bβ)- ln(aα))/((α — β))) Здесь x расстояние от начала криволинейного участка до экстремума. Подставляем это значение в исходное уравнение и определяем y — высоту криволинейного сегмента h: Обозначим параметром γ = (ln(bβ)- ln(aα))/((α — β)). γ = [ln(bβ)–ln(aα)]/(α–β)] Тогда: x = eγ и h = aeγα — beγβ h = ae^γα – be^γβ. Параметры a, b, α, β нетрудно получить, составив простейшую программу для компьютера на алгоритмическом языке. сентябрь – ноябрь 2020 г. Вениамин Маркуц

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y)

В предыдущем разделе, посвященном разбору геометрического смысла определенного интеграла, мы получили ряд формул для вычисления площади криволинейной трапеции:

S ( G ) = ∫ a b f ( x ) d x для непрерывной и неотрицательной функции y = f ( x ) на отрезке [ a ; b ] ,

S ( G ) = — ∫ a b f ( x ) d x для непрерывной и неположительной функции y = f ( x ) на отрезке [ a ; b ] .

Эти формулы применимы для решения относительно простых задач. На деле же нам чаще придется работать с более сложными фигурами. В связи с этим, данный раздел мы посвятим разбору алгоритмов вычисления площади фигур, которые ограничены функциями в явном виде, т.е. как y = f ( x ) или x = g ( y ) .

Видео:Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Пример 1.Скачать

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Пусть функции y = f 1 ( x ) и y = f 2 ( x ) определены и непрерывны на отрезке [ a ; b ] , причем f 1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) для любого значения x из [ a ; b ] . Тогда формула для вычисления площади фигуры G , ограниченной линиями x = a , x = b , y = f 1 ( x ) и y = f 2 ( x ) будет иметь вид S ( G ) = ∫ a b f 2 ( x ) — f 1 ( x ) d x .

Похожая формула будет применима для площади фигуры, ограниченной линиями y = c , y = d , x = g 1 ( y ) и x = g 2 ( y ) : S ( G ) = ∫ c d ( g 2 ( y ) — g 1 ( y ) d y .

Разберем три случая, для которых формула будет справедлива.

В первом случае, учитывая свойство аддитивности площади, сумма площадей исходной фигуры G и криволинейной трапеции G 1 равна площади фигуры G 2 . Это значит, что

Поэтому, S ( G ) = S ( G 2 ) — S ( G 1 ) = ∫ a b f 2 ( x ) d x — ∫ a b f 1 ( x ) d x = ∫ a b ( f 2 ( x ) — f 1 ( x ) ) d x .

Выполнить последний переход мы можем с использованием третьего свойства определенного интеграла.

Во втором случае справедливо равенство: S ( G ) = S ( G 2 ) + S ( G 1 ) = ∫ a b f 2 ( x ) d x + — ∫ a b f 1 ( x ) d x = ∫ a b ( f 2 ( x ) — f 1 ( x ) ) d x

Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Если обе функции неположительные, получаем: S ( G ) = S ( G 2 ) — S ( G 1 ) = — ∫ a b f 2 ( x ) d x — — ∫ a b f 1 ( x ) d x = ∫ a b ( f 2 ( x ) — f 1 ( x ) ) d x . Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Перейдем к рассмотрению общего случая, когда y = f 1 ( x ) и y = f 2 ( x ) пересекают ось O x .

Точки пересечения мы обозначим как x i , i = 1 , 2 , . . . , n — 1 . Эти точки разбивают отрезок [ a ; b ] на n частей x i — 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , где α = x 0 x 1 x 2 . . . x n — 1 x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S ( G i ) = ∫ x i — 1 x i ( f 2 ( x ) — f 1 ( x ) ) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

S ( G ) = ∑ i = 1 n S ( G i ) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 ( x ) — f 1 ( x ) ) d x = = ∫ x 0 x n ( f 2 ( x ) — f ( x ) ) d x = ∫ a b f 2 ( x ) — f 1 ( x ) d x

Последний переход мы можем осуществить с использованием пятого свойства определенного интеграла.

Проиллюстрируем на графике общий случай.

Формулу S ( G ) = ∫ a b f 2 ( x ) — f 1 ( x ) d x можно считать доказанной.

А теперь перейдем к разбору примеров вычисления площади фигур, которые ограничены линиями y = f ( x ) и x = g ( y ) .

Видео:Алгебра 11 класс (Урок№23 - Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его свойства.)Скачать

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Рассмотрение любого из примеров мы будем начинать с построения графика. Изображение позволит нам представлять сложные фигуры как объединения более простых фигур. Если построение графиков и фигур на них вызывает у вас затруднения, можете изучить раздел об основных элементарных функциях, геометрическом преобразовании графиков функций, а также построению графиков во время исследования функции.

Необходимо определить площадь фигуры, которая ограничена параболой y = — x 2 + 6 x — 5 и прямыми линиями y = — 1 3 x — 1 2 , x = 1 , x = 4 .

Решение

Изобразим линии на графике в декартовой системе координат.

На отрезке [ 1 ; 4 ] график параболы y = — x 2 + 6 x — 5 расположен выше прямой y = — 1 3 x — 1 2 . В связи с этим, для получения ответа используем формулу, полученную ранее, а также способ вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

S ( G ) = ∫ 1 4 — x 2 + 6 x — 5 — — 1 3 x — 1 2 d x = = ∫ 1 4 — x 2 + 19 3 x — 9 2 d x = — 1 3 x 3 + 19 6 x 2 — 9 2 x 1 4 = = — 1 3 · 4 3 + 19 6 · 4 2 — 9 2 · 4 — — 1 3 · 1 3 + 19 6 · 1 2 — 9 2 · 1 = = — 64 3 + 152 3 — 18 + 1 3 — 19 6 + 9 2 = 13

Ответ: S ( G ) = 13

Рассмотрим более сложный пример.

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y = x + 2 , y = x , x = 7 .

Решение

В данном случае мы имеем только одну прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс. Это x = 7 . Это требует от нас найти второй предел интегрирования самостоятельно.

Построим график и нанесем на него линии, данные в условии задачи.

Имея график перед глазами, мы легко можем определить, что нижним пределом интегрирования будет абсцисса точки пересечения графика прямой y = x и полу параболы y = x + 2 . Для нахождения абсциссы используем равенства:

y = x + 2 О Д З : x ≥ — 2 x 2 = x + 2 2 x 2 — x — 2 = 0 D = ( — 1 ) 2 — 4 · 1 · ( — 2 ) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ О Д З x 2 = 1 — 9 2 = — 1 ∉ О Д З

Получается, что абсциссой точки пересечения является x = 2 .

Обращаем ваше внимание на тот факт, что в общем примере на чертеже линии y = x + 2 , y = x пересекаются в точке ( 2 ; 2 ) , поэтому такие подробные вычисления могут показаться излишними. Мы привели здесь такое подробное решение только потому, что в более сложных случаях решение может быть не таким очевидным. Это значит, что координаты пересечения линий лучше всегда вычислять аналитически.

На интервале [ 2 ; 7 ] график функции y = x расположен выше графика функции y = x + 2 . Применим формулу для вычисления площади:

S ( G ) = ∫ 2 7 ( x — x + 2 ) d x = x 2 2 — 2 3 · ( x + 2 ) 3 2 2 7 = = 7 2 2 — 2 3 · ( 7 + 2 ) 3 2 — 2 2 2 — 2 3 · 2 + 2 3 2 = = 49 2 — 18 — 2 + 16 3 = 59 6

Ответ: S ( G ) = 59 6

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена графиками функций y = 1 x и y = — x 2 + 4 x — 2 .

Решение

Нанесем линии на график.

Определимся с пределами интегрирования. Для этого определим координаты точек пересечения линий, приравняв выражения 1 x и — x 2 + 4 x — 2 . При условии, что x не равно нулю, равенство 1 x = — x 2 + 4 x — 2 становится эквивалентным уравнению третьей степени — x 3 + 4 x 2 — 2 x — 1 = 0 с целыми коэффициентами. Освежить в памяти алгоритм по решению таких уравнений мы можете, обратившись к разделу «Решение кубических уравнений».

Корнем этого уравнения является х = 1 : — 1 3 + 4 · 1 2 — 2 · 1 — 1 = 0 .

Разделив выражение — x 3 + 4 x 2 — 2 x — 1 на двучлен x — 1 , получаем: — x 3 + 4 x 2 — 2 x — 1 ⇔ — ( x — 1 ) ( x 2 — 3 x — 1 ) = 0

Оставшиеся корни мы можем найти из уравнения x 2 — 3 x — 1 = 0 :

x 2 — 3 x — 1 = 0 D = ( — 3 ) 2 — 4 · 1 · ( — 1 ) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3 ; x 2 = 3 — 13 2 ≈ — 0 . 3

Мы нашли интервал x ∈ 1 ; 3 + 13 2 , на котором фигура G заключена выше синей и ниже красной линии. Это помогает нам определить площадь фигуры:

S ( G ) = ∫ 1 3 + 13 2 — x 2 + 4 x — 2 — 1 x d x = — x 3 3 + 2 x 2 — 2 x — ln x 1 3 + 13 2 = = — 3 + 13 2 3 3 + 2 · 3 + 13 2 2 — 2 · 3 + 13 2 — ln 3 + 13 2 — — — 1 3 3 + 2 · 1 2 — 2 · 1 — ln 1 = 7 + 13 3 — ln 3 + 13 2

Ответ: S ( G ) = 7 + 13 3 — ln 3 + 13 2

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривыми y = x 3 , y = — log 2 x + 1 и осью абсцисс.

Решение

Нанесем все линии на график. Мы можем получить график функции y = — log 2 x + 1 из графика y = log 2 x , если расположим его симметрично относительно оси абсцисс и поднимем на одну единицу вверх. Уравнение оси абсцисс у = 0 .

Обозначим точки пересечения линий.

Как видно из рисунка, графики функций y = x 3 и y = 0 пересекаются в точке ( 0 ; 0 ) . Так получается потому, что х = 0 является единственным действительным корнем уравнения x 3 = 0 .

x = 2 является единственным корнем уравнения — log 2 x + 1 = 0 , поэтому графики функций y = — log 2 x + 1 и y = 0 пересекаются в точке ( 2 ; 0 ) .

x = 1 является единственным корнем уравнения x 3 = — log 2 x + 1 . В связи с этим графики функций y = x 3 и y = — log 2 x + 1 пересекаются в точке ( 1 ; 1 ) . Последнее утверждение может быть неочевидным, но уравнение x 3 = — log 2 x + 1 не может иметь более одного корня, так как функция y = x 3 является строго возрастающей, а функция y = — log 2 x + 1 строго убывающей.

Дальнейшее решение предполагает несколько вариантов.

Вариант №1

Фигуру G мы можем представить как сумму двух криволинейных трапеций, расположенных выше оси абсцисс, первая из которых располагается ниже средней линии на отрезке x ∈ 0 ; 1 , а вторая ниже красной линии на отрезке x ∈ 1 ; 2 . Это значит, что площадь будет равна S ( G ) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 ( — log 2 x + 1 ) d x .

Вариант №2

Фигуру G можно представить как разность двух фигур, первая из которых расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке x ∈ 0 ; 2 , а вторая между красной и синей линиями на отрезке x ∈ 1 ; 2 . Это позволяет нам найти площадь следующим образом:

S ( G ) = ∫ 0 2 x 3 d x — ∫ 1 2 x 3 — ( — log 2 x + 1 ) d x

В этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида S ( G ) = ∫ c d ( g 2 ( y ) — g 1 ( y ) ) d y . Фактически, линии, которые ограничивают фигуру, можно представить в виде функций от аргумента y .

Разрешим уравнения y = x 3 и — log 2 x + 1 относительно x :

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = — log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 — y ⇒ x = 2 1 — y

Получим искомую площадь:

S ( G ) = ∫ 0 1 ( 2 1 — y — y 3 ) d y = — 2 1 — y ln 2 — y 4 4 0 1 = = — 2 1 — 1 ln 2 — 1 4 4 — — 2 1 — 0 ln 2 — 0 4 4 = — 1 ln 2 — 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 — 1 4

Ответ: S ( G ) = 1 ln 2 — 1 4

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y = x , y = 2 3 x — 3 , y = — 1 2 x + 4 .

Решение

Красной линией нанесем на график линию, заданную функцией y = x . Синим цветом нанесем линию y = — 1 2 x + 4 , черным цветом обозначим линию y = 2 3 x — 3 .

Отметим точки пересечения.

Найдем точки пересечения графиков функций y = x и y = — 1 2 x + 4 :

x = — 1 2 x + 4 О Д З : x ≥ 0 x = — 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 — 4 x + 16 ⇔ x 2 — 20 x + 64 = 0 D = ( — 20 ) 2 — 4 · 1 · 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 — 144 2 = 4 П р о в е р к а : x 1 = 16 = 4 , — 1 2 x 1 + 4 = — 1 2 · 16 + 4 = — 4 ⇒ x 1 = 16 н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я x 2 = 4 = 2 , — 1 2 x 2 + 4 = — 1 2 · 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н и н и я ⇒ ( 4 ; 2 ) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = x и y = — 1 2 x + 4

Найдем точку пересечения графиков функций y = x и y = 2 3 x — 3 :

x = 2 3 x — 3 О Д З : x ≥ 0 x = 2 3 x — 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 — 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 — 45 x + 81 = 0 D = ( — 45 ) 2 — 4 · 4 · 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9 , x 2 45 — 729 8 = 9 4 П р о в е р к а : x 1 = 9 = 3 , 2 3 x 1 — 3 = 2 3 · 9 — 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я ⇒ ( 9 ; 3 ) т о ч к а п е р е с е ч а н и я y = x и y = 2 3 x — 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 — 3 = 2 3 · 9 4 — 3 = — 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я

Найдем точку пересечения линий y = — 1 2 x + 4 и y = 2 3 x — 3 :

— 1 2 x + 4 = 2 3 x — 3 ⇔ — 3 x + 24 = 4 x — 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 — 1 2 · 6 + 4 = 2 3 · 6 — 3 = 1 ⇒ ( 6 ; 1 ) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = — 1 2 x + 4 и y = 2 3 x — 3

Дальше мы можем продолжить вычисления двумя способами.

Способ №1

Представим площадь искомой фигуры как сумму площадей отдельных фигур.

Тогда площадь фигуры равна:

S ( G ) = ∫ 4 6 x — — 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x — 2 3 x — 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 — 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 — x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 · 6 3 2 + 6 2 4 — 4 · 6 — 2 3 · 4 3 2 + 4 2 4 — 4 · 4 + + 2 3 · 9 3 2 — 9 2 3 + 3 · 9 — 2 3 · 6 3 2 — 6 2 3 + 3 · 6 = = — 25 3 + 4 6 + — 4 6 + 12 = 11 3

Способ №2

Площадь исходной фигуры можно представить как сумму двух других фигур.

Тогда решим уравнение линии относительно x , а только после этого применим формулу вычисления площади фигуры.

y = x ⇒ x = y 2 к р а с н а я л и н и я y = 2 3 x — 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 ч е р н а я л и н и я y = — 1 2 x + 4 ⇒ x = — 2 y + 8 с и н я я л и н и я

Таким образом, площадь равна:

S ( G ) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 — — 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 — y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y — 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 — y 2 d y = = 7 4 y 2 — 7 4 y 1 2 + — y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 · 2 2 — 7 4 · 2 — 7 4 · 1 2 — 7 4 · 1 + + — 3 3 3 + 3 · 3 2 4 + 9 2 · 3 — — 2 3 3 + 3 · 2 2 4 + 9 2 · 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Как видите, значения совпадают.

Ответ: S ( G ) = 11 3

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Итоги

Для нахождения площади фигуры, которая ограничена заданными линиями нам необходимо построить линии на плоскости, найти точки их пересечения, применить формулу для нахождения площади. В данном разделе мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся варианты задач.