На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x).
Функция F(x) = x 3 + 21x 2 +151x — 1 — одна из первообразных функции f(x).
Найдите площадь закрашенной фигуры.
Площадь под графиком функции f(x) на отрезке [a; b] равна разности первообразных:
Нам необходимо найти площадь закрашенной фигуры на отрезке [-8; -6], то есть a = -8; b = -6. Значит S = F(-6) — F(-8).
F(-8) = (-8) 3 + 21⋅(-8) 2 +151⋅(-8) — 1
F(-8) = — 512 + 21⋅64 — 151⋅8 — 1
F(-8) = — 512 + 1344 — 1208 — 1
F(-6) = (-6) 3 + 21⋅(-6) 2 +151⋅(-6) — 1
F(-6) = — 216 + 21⋅36 — 151⋅6 — 1
F(-6) = — 216 + 756 — 906 — 1
Тогда площадь закрашенной фигуры равна:
S = F(-6) — F(-8) = -367 — (-377) = -367 + 377 = 10
Изображен график функции найдите площадь
На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (−3; 5). Найдите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [−2; 4].
По определению первообразной на интервале (−3; 5) справедливо равенство
Следовательно, решениями уравнения f(x)=0 являются точки экстремумов изображенной на рисунке функции F(x) На рисунке точки, в которых 
выделены красным и синим цветом. Из них на отрезке [−2;4] лежат 10 точек (синие точки). Таким образом, на отрезке [−2;4] уравнение имеет 10 решений.
На рисунке изображён график некоторой функции 
(два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции 
Поэтому
На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция 
— одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках 
и 
Приведем другое решение.
Вычисления можно было бы упростить, выделив полный куб:
что позволяет сразу же найти
Приведем ещё одно решение.
Можно было бы найти разность первообразных, используя формулы сокращенного умножения:
Приведем ещё одно решение.
Получим явное выражение для 
Поскольку
Этот подход можно несколько усовершенствовать. Заметим, что график функции 
получен сдвигом графика функции 
на 
единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции и отрезком 
оси абсцисс. Имеем:
На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция 
— одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Найдем формулу, задающую функцию 
график которой изображён на рисунке.
Следовательно, график функции 
получен сдвигом графика функции 
на 
единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции и отрезком оси абсцисс. Имеем:
Еще несколько способов рассуждений покажем на примере следующей задачи.
Ошибки, конечно, нет, но при таком подходе (сдвиг функции) гораздо легче найти уравнение параболы, проходящей через точки (-1;0), (0;3) и (1;0), а потом вычислить интеграл.
Во-первых, до того как была вычислена производная, мы не знали, является ли изображенный на рисунке график параболой. Во-вторых, на наш взгляд, выделить полный квадрат проще, чем решать систему уравнений с тремя переменными.
Но ведь ясно, что если первообразная — многочлен третьей степени, то производная — многочлен второй степени.
Согласны, если это объяснено, то всё в порядке.
Ошибки, конечно, нет. Но надо ли так подробно решать? Есть первообразная, есть границы интегрирования. S=F(-8)-F(-10)=4
В конце решения есть фраза «Еще несколько способов рассуждений покажем на примере следующей задачи» со ссылкой. Там есть разные варианты решения
На рисунке изображен график некоторой функции 
Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл 
Определенный интеграл от функции по отрезку 
дает значение площади подграфика функции на отрезке. Область под графиком разбивается на прямоугольный треугольник, площадь которого 
и прямоугольник, площадь которого 
Сумма этих площадей дает искомый интеграл 
На рисунке изображён график некоторой
323080. На рисунке изображён график некоторой функции y = f (x). Функция F (x) = –x 3 –27x 2 –240x–8 — одна из первообразных функции f (x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Задача сводится к вычислению определённого интеграла данной функции на интервале от –10 до –8: