измерение площадей фигур неправильной формы (7 видео)

Содержание

Измерение площадей фигур неправильной формы
Конспект интегрированного урока по предметам — физика и математика по теме «Различные способы вычисления площади фигуры неправильной формы» (7-9 класс)
4. Актуализация теоретических знаний
5. Открытие новых знаний
6. Практическая значимость изученного материала (Эксперимент)
7. Подведение итогов.
Площадь неправильного четырехугольника
Как найти площадь неправильного четырехугольника?
📽️ Видео

Видео:Нахождение площади фигуры неправильной формы | Физика | TutorOnlineСкачать

Измерение площадей фигур неправильной формы

Введение

Работа посвящена исследованию и сравнению методов измерения площадей фигур произвольной формы.

Актуальность и практическая значимость исследования.

В школьном курсе математики мы в основном имеем дело с многоугольниками. С проблемой вычисления площади фигур я столкнулся при решении различных задач, суть которых сводилась к тому, что требовалось найти площадь различных многоугольников, которых мы не рассматривали на уроках математики. Ведь до 8 класса мы знакомимся только с формулами для вычисления площади квадрата, прямоугольника и прямоугольного треугольника. Так как на уроке мы обычно выполняем решение в тетради, то я обратил внимание, что вычислить площадь того же квадрата помогают клетки, изображенные в тетради. Просматривая различную информацию в интернете, я натолкнулся на формулу, которая позволяет вычислить площадь фигуры, но только не по клеткам, а по их узлам. Между тем, на практике часто возникает необходимость найти площадь фигуры неправильной формы. Например, необходимость определить площадь территории по плану или карте. Но для площадей сложных фигур отсутствуют общие формулы, аналогичные формулам для многоугольников. Впоследствии мне захотелось узнать, есть ли другие способы для вычисления площади различных фигур на клетчатой бумаге, какой из них проще, менее затратен по времени.

Гипотеза: площадь сложной фигуры может быть измерена приближенными методами с точностью, достаточной для практических целей.

Цель работы: исследовать различные способы вычисления площадей фигур, сравнить полученные результаты.

Задачи исследования:

изучить литературу по исследуемой теме;

отобрать интересную и понятную информацию для исследования;

найти различные методы и приёмы вычисления площади фигур на клетчатой бумаге.

изучение методов нахождения площади с помощью взвешивания.

измерение с помощью методов взвешивания площадей контрольных фигур: прямоугольника, квадрата, выявление погрешностей измерения

провести сравнительный анализ «плюсов» и «минусов» найденных способов.

провести эксперимент в 8В классе об выявлении математических знаний у учащихся при вычислении площади фигур;

Поиск интересных задач на нахождение площади фигуры.

проанализировать и систематизировать полученную информацию.

Объектом исследования являются методы измерения площади фигур произвольной формы:

1) метод взвешивания;

2) использование клетчатой бумаги;

3) применение точных формул.

Предметом исследования является площадь фигур произвольной формы.

Из истории возникновения понятия «Площадь».

В повседневной жизни мы часто встречаемся с понятием площади. Мы говорим: площадь квартиры, площадь садового участка и т.д.

Необходимость в понятии «площадь» возникла из жизненных потребностей. В древности люди использовали для измерения длин те измерительные приборы, которые всегда были при себе.

Позже возникла потребность в измерении и сравнении разнообразных «фигур» (н.п. земельных участков). Было необходимо ввести величину, которая характеризовала бы величину той части плоскости, которую занимает фигура. Эту величину назвали площадью.

Измерение площадей является одним из самых древних разделов геометрии. В частности, название “геометрия” означает “землемерие”, т.е. связано именно с измерением площадей. Основы этой науки были заложены в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным илом, т. е. вычислять их площади.

Вавилоняне, так же как и египтяне измеряли большей частью простейшие фигуры, встречающиеся при межевании земель, возведении стен и насыпей, строительстве плотин и каналов и т.п.

Сохранилось немало планов земельных угодий, разделенных на прямоугольники, трапеции и треугольники, а также планов различных строений, свидетельствующих, что вавилонский землемер или архитектор должен был хорошо чертить и проводить геометрические расчеты.

Многие ученые решали проблему вычисления площади фигуры. В историю с понятием площади вошли имена Евклида, Архимеда, Пифагора, Герона Александрийского, Рене Декарта, Пьера Ферма, Георга Пика и др. Ими открыто большое количество различных формул и способов для вычисления площади фигуры.

Способы вычисления площади фигуры на клетчатой бумаге.

При изучении вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге я заметил, что все задачи строятся на понятии узла. Узел напоминает узел в рыболовной сетке — пересечение горизонтальных и вертикальных линий. Все задачи достаточно разнообразны и занимательны, они заставляют думать, размышлять, анализировать, искать аналогии.

Рис.1. фотография рыбацкой сетки

Рассмотрим вычисление площади одной и той же фигуры тремя способами и сравним результат вычисления. [1, с.36]

Три способа вычисления площади выпуклого многоугольника.

Разбиение. Смысл данного способа состоит в том, что многоугольник разрезается на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.

Тогда площадь фигуры можно сосчитать по формуле:

Дополнение до прямоугольника. Смысл данного способа – это дополнение многоугольника до прямоугольника так, чтобы его стороны проходили через вершины четырехугольника, а затем вычитание лишних частей. Получим, что площадь фигуры равна:

Формула Пика. Любая фигура изображенная на листе бумаги делит его на внутреннюю область и внешнюю, а еще есть граничные точки многоугольника. Нас интересуют внутренние узлы и узлы, которые лежат на границе многоугольника. Тогда формула выглядит так S = В + Г/2 — 1, где В — количество внутренних узлов, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Эта формула получила название формула Пика в честь австрийского математика Георга Пика которая появилась в его восьмистраничной работе 1899 года, опубликованной в Праге.

Используя рисунок В= 17, Г = 14, получаем

S = 17 + 14/2 — 1 = 23.

Вычисляя площадь выпуклого многоугольника тремя способами, я получил один и тот же результат.

Три способа вычисления площади невыпуклого многоугольника.

Способ разбиенияне подходит для данной фигуры, т.к. невозможно разбить ее на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.

Дополнение до прямоугольника.

Достраивая многоугольник до прямоугольника, и отсекая лишние части, найдем площадь фигуры

При подсчете внутренних узлов многоугольника и узлов, лежащих на границе получим, что

В = 5; Г = 4; S = 5 + 4/2 — 1 = 6.

И опять я получил один и тот же результат.

Вычисление площади кольца по формуле Пика.

А если взять не многоугольник, а, например, кольцо и перенести его на клетчатую бумагу? Понятно, что первый и второй способы не удастся использовать. Применим формулу Пика и сравним полученный результат с результатом, полученным используя формулу для вычисления площади круга.

Возьмем кольцо, которое построим с помощью двух окружностей с радиусами R=4 и r = 2.

Вычислим площадь кольца с помощью формулы Пика:

В = 32, Г = 8, S= 32 + 4 — 1 = 35.

Вычислим площадь кольца по формуле площади круга, округлив число π до единиц.

S = πR 2 — πr 2 = 3* 16 — 3*4 = 48 — 12 = 36.

Округлим теперь π до десятых:

S = πR 2 — πr 2 = 3,1* 16 — 3,1*4 = 49,6 — 12,4 = 37,2.

А если округлить число π до сотых, то получим:

S = πR 2 — πr 2 = 3,14* 16 — 3,14*4 = 50, 24 — 12,56 = 37,68.

Сравнив результаты можно сделать вывод, что существует погрешность в вычислении площади по формуле Пика и чем точнее число π, тем она больше. Следовательно, данную формулу можно применять только для вычисления площадей многоугольников. [2, с.17], [4]

Метод взвешивания

Метод измерения вспомогательной величины придуман еще в древности и заключается в измерении массы плоской копии измеряемой фигуры. Если толщина листа, из которого изготовлены взвешиваемая фигура, постоянна, то масса фигуры прямо пропорциональна ее площади. Нужно нанести на плотную бумагу квадрат, площадь которого S₀ точно известна, вырезать его и определить на весах его массу m₀. На такую же бумагу перенести фигуру с искомой площадью S. Вырезать фигуру и определите её массу m. Затем, пользуясь правилом пропорции – S/S₀ = m/m₀, вычислить искомую площадь. [3, с.65]

Вычисление площади клинового листа

Для решения задачи была взят фотография кленового листа (рис. 2).

Рисунок 2. Фотография листа клена

Окантовка листа была перенесена на лист бумаги и была разбита (разрезана) на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники. (Рисунок 3).

Рисунок 3. Разбиение листа клена на прямоугольники и прямоугольные треугольники

После чего произведен расчет площади каждого прямоугольника и прямоугольного треугольника в см 2

Тогда общая площадь листа будет равна:

см 2

2. Дополнение до прямоугольника.

Окантовка листа была перенесена на лист бумаги и была дополнена до прямоугольника. (Рисунок 4).

Рисунок 4. Дополнение листа клена на прямоугольника

После чего произведен расчет площади общего прямоугольника и каждого прямоугольника и прямоугольного треугольника в см 2

Общий прямоугольник имеет размеры 18,2 см на 15 см, т. Е. его площадь прямоугольника составляет S=18,2∙15=273 см 2

см 2

Окантовка листа была перенесена на миллиметровую бумагу. (Рисунок 5).

Рисунок 5. Разбиение листа клена на узлы

В (внутренние точки) =13353 шт.

Г (граничные точки) = 725 шт.

Тогда по формуле S = В + Г/2 – 1

S=13353+362,5-1=13714,5мм 2 =137,145 см 2

4. Метод взвешивания

Для проведения взвешивания взяли лист бумаги SvetoCopy. По ее плотности определили вес бумаги при помощи таблицы и путем взвешивания. Результаты сошлись. Вес одного листа бумаги А4 =5г. Размеры листа А4 равны 210х297мм, т.е. площадь одного листа равна S₀ = 623,7 см 2

Рис. 6. Фотография оборотной стороны упаковки бумаги SvetoCopy

Рис. 7. Таблицы дляболее точного измерения массы листа по его плотности.

Для определения погрешности вычислений вырезали в качестве эталонов несколько геометрических фигур (прямоугольник (эталон 1) и квадрат (эталон 2)), площадь которых можно сравнить вычислив ее по формуле.

Прямоугольник имеет размеры: 7см на 5 см, а квадрат: 5см на 5см.

Видео:Площадь фигурыСкачать

Конспект интегрированного урока по предметам — физика и математика по теме «Различные способы вычисления площади фигуры неправильной формы» (7-9 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Конспект интегрированного урока по предметам — физика и математика по теме « Различные способы вычисления площади фигуры неправильной формы»

Учитель физики и математики: Абаимова Т.А.

Цель : создание условий для выявления и осмысления способов для нахождения площади фигур неправильной формы.
Задачи:

1. Выявить фигуры, для вычисления площадей которых нельзя применить стандартные формулы площадей.

2. Рассмотреть различные способы и методы измерения площадей плоских фигур неправильной формы.

3. Показать на практике способы и методы измерения площадей плоских фигур неправильной формы.

1.активизация познавательной деятельности учащихся через решение практических, экспериментальных задач, умение выбирать правильное решение, лаконично излагать свои мысли, анализировать и делать выводы;

2. развитие умений самостоятельно работать с дополнительными материалами, провести самооценку учебной деятельности на уроке;

3. Развивать правильную математическую речь, логическое мышление, умение аргументировать ответ, быстроту вычислительных навыков.

4. развивать умение решать задачи на нахождение площади различных фигур на практике; содействовать формированию УУД:

— Личностные : способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.
— Регулятивные УУД: умение определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке; работать по коллективно составленному плану; оценивать правильность выполнения действия; планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок; высказывать своё предположение.
— Коммуникативные УУД: умение оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; совместно договариваться о правилах поведения и общения на уроке и следовать им.
— Познавательные УУД: умение ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного; добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке, уметь преобразовывать информацию из одной формы в другую.

1. организация совместной деятельности, воспитание у учащихся интереса к предмету, доброжелательности, умения выслушивать ответы; настойчивости и трудолюбия;

2. формирования представлений о геометрии как способе познания, сохранения и гармоничного развития мира, как части общечеловеческой культуры.

1. Организационный момент

2. Вводная часть

3. Создание проблемной ситуации

4. Актуализация теоретических знаний

5. Открытие новых знаний

6. Практическая значимость изученного материала (Эксперимент)

7. Подведение итогов.

Учитель: Здравствуйте, ребята, садитесь

Уч-ль: Перед вами 2 фигуры: чем они отличаются и что общего у них?

Уч-ся: Они разной формы?

УЧ-ся: Одна-правильной формы, другая-неправильной?

Уч-ль: А что значит фигура правильной, неправильной формы? Кто даст определение?

Уч-ль: Хорошо, Что вы еще можете о фигурах сказать?

Уч-ся: Из одного материала сделаны!

Уч-ль : Хорошо. Еще? Если у них разная форма, то какая ВЕЛИЧИНА характеризует Форму?

Уч-ль: А как найти площадь этих фигур?

Уч-ся: Говорят как найти площадь треугольника.

Уч-ль: А как найти площадь другой фигуры? Почему не можем сказать как найти площадь другой фигуры? Почему мы испытываем затруднения?

Уч-ся: фигура нестандартной, неправильной формы

Уч-ль: Сегодня мы рассмотрим разные способы вычисления площади фигуры неправильной формы.

Тема урока : «Различные способы вычисления площади фигуры неправильной формы» (слайд). ЗАПИСЬ В ТЕТРАДЬ.

Сегодня на уроке:

4. Рассмотрим (вспомним) различные способы и методы измерения площадей плоских фигур неправильной формы.

5. Покажем на практике (проведем эксперимент) способы и методы измерения площадей плоских фигур неправильной формы, проведем эксперимент, получим результаты, и сделаем выводы: какой из способов наиболее точный, доступный.

Уч-лб: Давайте вспомним, что такое площадь, ее определение

Уч-ль: корректирует, обобщает (слайд)

n Площадь – величина, характеризующая размеры различных фигур.

Например, мы знаем, что земельный участок имеет длину и ширину. Но, сравнивая различные земельные участки, мы не говорим об их длине и ширине? Чаще всего мы сравниваем их площади.

Какие формулы вычисления площадей фигур вы знаете? Назовите формулы находждения площади различных фигур, которые вы знаете?

Уч-ся: площадь квадрата со стороной а равна:

S = 2

Площадь прямоугольника со сторонами а и b равна произведению длин сторон:

S =

Площадь круга радиуса R равна:

S = R 2 , где = 3,14…

S = а* h , где а — основание треугольника, h -высота , проведенная к основанию треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения основания a на высоту h :

Площадь параллелограмма – произведению его основания a на высоту h :

Площадь трапеции – произведение полусуммы ее оснований a b на высоту h :

Уч-ль: Что такое измерить площадь? Единицы Площади?

ответ + слайд, Найти площадь квадрата со стороной 1м, 1см, 1мм. Отсюда,

Единицами площади являются 1 мм 2 , 1 см 2 , 1 дм 2 , 1 м 2 и т.д. Один квадратный сантиметр — это площадь квадрата со стороной 1см.

Существуют единицы площади, имеющие отличные названия?

Уч-ся: Например, площадь земельных участков измеряют в гектарах (га). УЧ-ль: Один гектар – это сколько?

Уч-ся: ответ — Один гектар – площадь квадрата со стороной 100м.

Уч-ль: Давайте вспомним, Мы на уроке используем элементы физики и математики. В какой теме в физике мы встречаемся с формулой площади, от чего она зависит? Подсказка: площадь опоры- Р= F / S – сила действ перп-но пов-ти разделить на пл-дь Какае давление производит при ходьбе или стоя на месте. Помните как находили площадь опоры.

Уч-ся: Ответ. С помощью палетки.

Уч-ль: что такое палетка и как находить же площадь фигуры с помощью палетки?

Уч-ль: корректирует по ходу, добавляет.

РАЗДАЕМ палетку. Пишем на доске 1. ПАЛЕТКА

Палетка — это очень простой прибор. Она представляет собой лист прозрачной бумаги, разграфленной на одинаковые квадраты. Площадь одного такого квадрата называется ценой деления палетки. (слайд).

Далее: Вычислите площадь данной фигуры

Уч-ки: Площадь 1 клетки – 1см2. Рассмотрим прямоегольники., посчитем площадь, АВ –диогпнпль, делим площадь прямоугольника на половину и т..д.

16—4,5-2-2= 16-8,5= 7,5 см

Уч-ль: Сможем ли мы этим приемом воспользоваться для вычисления площади фигуры неправильной формы. Если нет, то каким?

n Уч-ль : формула : S = ( N + n : 2) * C = (см2) N — число полных квадратов, попавших полностью в контур фигуры, n /2 — половина от числа квадратов, через которые прошла граница фигуры. С-цена деления палетки. (ЗАПИСЬ)

n Посморите какая цена деления у нашей палетки – площадь одного квадрата.( 2 палетки) =1см2, 2см2

Для измерения площади фигуры мы накладываем на нее палетку. Теперь посчитаем, сколько квадратов попало в площадь фигуры. При этом к числу полных квадратов, попавших полностью в контур фигуры, прибавляют половину от числа квадратов, через которые прошла граница фигуры. После этого полученное число нужно умножить на цену деления палетки, то есть на площадь одного квадрата.=2см2 (слайд)

Если лист школьной тетради, то S квадратика = 1/4 см2

Уч-ль: Записываем на доске справа 1. Палетка и что получилось.

Уч-ль: А еще можете назвать способы? (Другим способом можете найти площадь)

Скажите, от чего зависит площадь?

А еще? От каких физических величин зависит площадь тела? Ведь площадь-хар-ка тела?!

Какие еще есть хар-ки тела?

Уч-ся: объем, масса?

Уч-ль: т.е. m = p * v = h * S * d , d — толщина, т.е масса прямопропорциональна силе.

Если масса, то используем весы,

2 СПОСОБ: Определение площади плоских фигур взвешиванием.

Взвешивание (ЗАПИСЬ СПРАВА)

Запишем Формулу соотнощения площадей и масс, площади известной и известной фигуры ( квадрат)

S ф/ S кв = m ф/ m кв, выражаем S ф= m ф/ m кв * S кв =

ВЫДАЮ квадрат, площадь квадрата 100см2

Находим массы: 1. Уравновешиваеим весы, взвешиваем

Получаем ответ, записываю на доске, считаем, подставляя в формулу. Сравниваем два метода.

Суть метода: (рассказ)

Вырезаем из картона две фигуры неправильной формы и квадрат со стороной 10 см.
Определяем площадь квадрата: = 100 см 2 .
Определяем массу фигур: масса фигуры неправильной формы: = г;

масса квадрата: = г.

Определяем площадь фигуры неправильной формы:

= = = 195 (см 2 )

Вывод: определили с помощью взвешивания площади двух плоских фигур неправильной формы: см 2 и см 2 .

Уч-ль: Есть еще один способ определение площади плоских фигур.

3 способ: Метод Монте-Карло. (слайд) (запись на доске в тетрадях). Монте-Карло – что за название?

Название метода связано с названием города Монте-Карло, где в игорных домах (казино) играют в рулетку – одно из простейших устройств для получения случайных чисел, на использовании которых основан этот метод.

Раздала материал, посмотрели с чем работать.

Уч-ль: СУТЬ метода:

Фигура вписывается в другую фигуру с известной площадью (лист А4). Случайным образом на последнюю ставятся произвольное количество точек (горошин). Площадь определяется по

формуле S = S лист* k = S лист* S / N , где S — количество горошин, попавших на фигуру, N — количество горошин, попавших на лист.

Внимание. Но бросаем на лист и фигуру 50 горошин. Не попало ни на лист, ни на фигуру 10 горошин. 50-для статистики. Чем больше горошин, тем больше попадет на лист, больше точность.

Достоинство данного метода заключается в простоте реализации, сложность состоит только в определении попадания точки внутрь заданной фигуры. Очевидно, что точность вычисленной площади зависит от количества точек. Приемлемая точность может быть достигнута только при большом их количестве. В этом заключается один из недостатков метода. Точность также сильно зависит от качества генератора случайных чисел.

Метод Монте-Карло используют для вычисления интегралов, в особенности многомерных, для решения систем алгебраических уравнений высокого порядка, для исследования различного рода сложных систем (автоматического управления, экономических, биологических и т. д.), широкое внедрение метода во многие области науки и техники (статистическая физика, теория массового обслуживания, теория игр и другие).

Приступаем к работе: (Оформляют ход, результаты)

Ход работы, делают уч-ся, учитель помогает, подходит, контролирует работу. Уч-ся сообщают результат, уч-ль записывает на доске ( несколько) результатов.

Вычислили, получили результат. Записали на доске справа. Сравниваем.

1. Накладываем первую фигуру неправильной формы на лист формата А4.

2. Бросаем на лист и фигуру 50 горошин. Не попало ни на лист, ни на фигуру 10 горошин. Количество горошин, попавших на фигуру, S = 13. Количество горошин, попавших на лист, N = 40.

3. Найдем отношение k = = .

4. Считаем площадь листа: S = 21 = 609 (см 2 ).

5. Находим площадь фигуры: S = S = 609 = 197,925 (см 2 )

6. Накладываем вторую фигуру неправильной формы на лист формата А4.

7. Бросаем на лист и фигуру 50 горошин. Не попало ни на лист, ни на фигуру 8 горошин. Количество горошин, попавших на фигуру, S = 9. Количество горошин, попавших на лист, N = 42.

8. Найдем отношение k = = .

9. Находим площадь второй фигуры: S = S = 609 = 130,5 (см 2 )

Вывод: определили методом Монте-Карло площадь плоской фигуры неправильной формы: 130,5 см 2 .

Уч-ль: Приступаем к работе: (Оформляют ход, результаты)

Уч-ль: Мы свами измерили площадь фигуры з способами, результаты перед вами, кто-готов сделать вывод, исходя из полученных результатов.

Уч-ся: вывод : полный

Мы измеряли площади двух фигур неправильной формы тремя разными способами: взвешиванием, палеткой и методом Монте-Карло. Несмотря на то, что во всех трех случаях наши фигуры были одни и те же, результаты мы получили отличными друг от друга:

Это происходит из-за погрешностей: в первом и во втором случае из-за неточности измерений, вычислений и оборудования (весов и палетки). А в случае с методом Монте-Карло, мне кажется, точность измерений зависит от того, сколько мы производим опытов: чем больше, тем точнее результат. Даже 50 горошин маловато, чтобы получить более или менее точный результат. А если мы бросим миллион горошин? Результат будет точным, но удобно ли это? И еще, события, которые заключаются в том, что попадет горошина на фигуру или не попадет, должны быть равновозможны. Если горошины бросает человек, то эти события не равновозможны. А если случайные числа генерируются с помощью компьютера, то эти события получаются равновозможными.

Метод Монте-Карло – приближенный, т.е. результат получается с какой-либо погрешностью. Но чем больше испытаний мы проводим, тем меньше погрешность, тем точнее результат. Для проведения большого количества испытания требуется компьютер.

В заключение: самый точный результат мы получили с помощью взвешивания, т.к. мы нашли довольно точный вес фигур и сравнили с весом третьей фигуры, площадь которой нашли с помощью простой формулы (конечно, тут тоже играет роль погрешность весов и измерений). А метод Монте-Карло в нашем случае наиболее приближенный, ведь мы не можем произвести миллион испытаний для большей точности, а пятидесяти недостаточно. Расхождение получилось такое: см 2 и см 2 .

Уч-ль: На уроке познакомились с 3 способами вычисления площади фигур неправильной формы. Рассмотрели различные способы и методы измерения площадей плоских фигур неправильной формы.

Показали на практике (проведем эксперимент) способы и методы измерения площадей плоских фигур неправильной формы, проведем эксперимент, получим результаты, и сделаем выводы: какой из способов наиболее точный, доступный.

Подъитоживает вывод, сопровождая слайдами.

Уч-ль : остается время:

Сегодня урок был насыщенным разной информацией и деятельностью и теперь наступил момент истины, каким он был для вас?

Прошу подумать и ответить на вопросы:

— какое задание для вас оказалось самым лёгким…,

— напишите, где в жизни вы сможете применить полученные знания?

Применение способов в науке, жизни, при решении задач.

Розетки прессуют из специальной массы, действуя на неё силой 37500 Н. Площадь розетки 0,0075 м 2 . Под каким давлением прессуют розетки?

 Определите давление человека на землю: а) при ходьбе; б) в положении стоя на двух ногах. Сила давления 600 Н, площадь подошвы одного ботинка 200 см 2 .

 Токарный станок массой 300 кг опирается на фундамент четырьмя ножками. Определите давление станка на фундамент, если площадь каждой ножки 50 см 2 .

Видео:Измерение площади фигур с помощью палетки. Математика Моро и другиеСкачать

Площадь неправильного четырехугольника

Узнайте чему равна площадь неправильного четырехугольника с помощью онлайн-калькулятора или по формулам — расчет по сторонам, диагоналям, углам.

С помощью данного калькулятора вы можете легко и быстро рассчитать площадь неправильного четырехугольника в условных единицах. Инструмент позволяет определить площадь выпуклой фигуры тремя разными способами: по сторонам, сторонам и углам, диагоналям и углам (первые два вычисления выполняются с ограничениями). Теоретическое обоснование расчета и формулы представлены ниже. Чтобы получить результат — выберите наиболее подходящий метод расчета, заполните поля калькулятора и нажмите кнопку «Рассчитать».

Видео:Как найти площадь неправильной фигуры? Метод палетки.Скачать

Как найти площадь неправильного четырехугольника?

Первый способ расчета основан на формуле Брахмагупты (рис. 1), которая выражает площадь вписанного в окружность четырёхугольника как функцию длин его сторон. Эта формула является обобщением формулы Герона для площади треугольника.

где P — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон четырехугольника.

Вторая формула также основывается на формуле Брахмагупты, но на ее расширенной версии (рис. 2), когда необходимо найти площадь произвольного четырехугольника.

где P — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон, θ — полусумма противоположных углов четырёхугольника.

В формулах Брахмагупты есть одно ограничение — любая из сторон не может превышать полупериметр. В противном случае стороны четырехугольника не замкнутся. Математически, в формуле появится отрицательное значение.

Последняя формула позволяет найти площадь не самопересекающейся фигуры по проведенным диагоналям и синусу угла между ними (рис. 3). По сути, формула основывается на сумме площадей треугольников, которые образуются диагоналями четырехугольника.