искажение площадей в проекции гаусса

Видео:43 Виды проекций по характеру искаженийСкачать

Искажение площадей в проекции гаусса

Применяемая в настоящее время в Украине для карт масштабов 1 : 500 000 и крупнее равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция названа именем знаменитого немецкого математика Гаусса, разработавшего в 1825 году общую теорию равноугольного изображения одной поверхности на другой.

Проекция Гаусса является проекцией эллипсоида на плоскость, и ее определяют следующие условия:

— изображение осевого (среднего) меридиана в виде прямой, по отношению к которой все меридианы и параллели располагаются симметрично;

— сохранение длины осевого меридиана.

Рабочие формулы равноугольной проекции эллипсоида без промежуточного перехода на шар дал Л Крюгер в 1912 году, вследствие чего эту проекцию в литературе также называют проекцией Гаусса Крюгера.

В поперечно-цилиндрической проекции Гаусса в отличие от равноугольной цилиндрической проекции Меркатора проектирование производится на поверхность цилиндра, касающегося поверхности земного эллипсоида (а не шара) не по экватору, а по меридиану (рис. 1). Поэтому и масштаб сохраняется не по экватору НОН1, а по меридиану касания РОР1. При проектировании цилиндр берется с эллиптическим поперечным сечением.

Рис. 1. Цилиндр, касающийся земного эллипсоида по меридиану

Искажения в проекции Гаусса

Искажения в проекции Гаусса нарастают с удалением от осевого меридиана к западу и востоку, а изоколы имеют вид прямых, параллельных меридиану касания (осевому меридиану).

Взаимно — перпендикулярными прямыми в проекции Гаусса изображаются не меридианы и параллели, а дуги малых кругов ABC и DEP (альмукантараты) и дуги больших кругов HQ, НК, НО, HL, перпендикулярные к осевому меридиану (вертикалы). Если альмукантараты ABC, DEF проведены на эллипсоиде через одинаковые промежутки, а вертикалы делят осевой меридиан на равные отрезки LO=OK=KQ, то они, по аналогии с проекцией Меркатора, образуют на карте координатную сеть прямоугольников, как показано на рис. 2. Линиями абсцисс здесь являются изображения альмукантаратов, а линиями ординат изображения вертикалов.

Также по аналогии с проекцией Меркатора с известным допуском можно утверждать, что масштаб в равноугольной поперечно-цилиндрической проекции Гаусса в любой точке карты по любому направлению выражается формулой

Рис. 2 Координаты точки в проекции Гаусса

φ’- центральный угол, измеряющий альмукантарат данной точки.

Угол , выраженный в радианной мере, равен длине стягивающей его дуги вертикала, деленной на радиус шара (в данном случае эллипсоид можно приравнять к шару). Если стягивающую дугу угла обозначить через у0, то

Где R — радиус земного шара. Разложив В ряд, получим

(41)

Эта формула, так же как и формула , показывает, что в проекции Гаусса искажения нарастают с удалением от осевого меридиана, т. е. с увеличением на карте ординаты у.

Меридианы и параллели, за некоторыми исключениями, имеют в проекции Гаусса вид сложных кривых (рис. 3). Экватор, средний осевой) меридиан и меридианы, удаленные от среднего на 90° долготы, являются прямыми линиями.

Рис. 3. Картографическая сетка в проекции Гаусса

Проекция Гаусса при сплошном изображении больших территорий, вытянутых по долготе, дает большие искажения (точки, удаленные по экватору от осевого меридиана на 90° долготы, уходят в бесконечность). Поэтому в целях уменьшения искажений она применяется по зонам, ограниченным линиями меридианов. Каждая зона изображается на плоскости в отдельности, причем за ось X принимается изображение среднего (осевого) меридиана каждой зоны, а за ось У — изображение экватора. Протяженность зон по долготе берется такой, чтобы искажения на их краях были пренебрегаемо малы.

При удалении к западу или востоку от осевого меридиана на 3° относительное искажение длин достигает на экваторе 1/750, а на широте 45° — 1/1500. Такое искажение допустимо для карт масштабов 1: 25 000 и мельче. Однако с удалением от осевого меридиана зоны больше чем на 3° линейные искажения начинают, быстро расти, и становятся недопустимыми. Исходя из этого, в СНГ протяженность зон по долготе установлена в 6°.

Нумерация шестиградусных зон в проекции Гаусса приведена в таблице 5.

Нумерация шестиградусных зон в проекции Гаусса.

Долгота осевого меридиана от Гринвича

Номер колонны листов миллионной карты

Долгота осевого меридиана от Гринвича

Номер колонны листов миллионной карты

Примечание: При выполнении специальных съемок в масштабах 1: 25 000 и крупнее техническими инструкциями допускается применение трехградусных и даже более узких зон, в зависимости от масштаба съемки и предъявляемых к ней требований.

Рис 50. Изображение зон в проекции Гаусса

Изображение зон на плоскости показано на рис. 4. Зная номер зоны, можно определить долготу ее осевого (среднего) меридиана по формуле

Где П — номер зоны,

L0— долгота осевого меридиана.

Наоборот, зная долготу осевого меридиана, легко определить номер зоны по формуле

Абсциссы х в каждой зоне отсчитываются от экватора к северу со знаком плюс, а к югу—со знаком минус. Для всей территории Украины абсциссы х положительны, поэтому знак плюс перед ними не ставится. Ординаты у отсчитываются от осевого меридиана каждой зоны со знаком плюс к востоку и со знаком минус к западу. Чтобы избежать отрицательных значений ординат, их условно увеличивают путем алгебраического прибавления на 500000 м. Кроме того, впереди полученной суммы ставят номер зоны, чтобы знать, в какой зоне находится данная точка. Например, некоторая точка находится в зоне 7 и имеет ординату

У = — 243 435,15 м.

Согласно указанному правилу преобразованное, условное значение ординаты будет

У = 7 256 564,85 м.

Таким образом, для вычисления условной ординаты любой точки должен быть известен номер зоны, в которой точка находится.

Рис. 5,6 Основные обозначения на эллипсоиде и плоскости в проекции Гаусса.

Номер зоны можно определить, зная долготу данной точки или номенклатуру листа какой-либо топографической или обзорно-топографической карты, на котором она расположена.

Для проекции Гаусса приняты следующие основные обозначения (рис. 5 —на эллипсоиде и рис. 6 — на плоскости):

В — геодезическая широта произвольной точки М на эллипсоиде;

L — геодезическая долгота от Гринвича той же точки на эллипсоиде;

L0 — долгота от Гринвича осевого меридиана;

L = L — L0 — разность долгот меридиана данной точки и осевого меридиана;

А — азимут геодезической линии на эллипсоиде;

Хв — длина меридиана от экватора до параллели с широтой данной точки;

х и у — прямоугольные координаты Гаусса соответствующей

Точки М1 на плоскости;

— гауссово сближение меридианов;

— дирекционный угол хорды геодезической линии M1N1´ На плоскости;

Рис. 7. Связь между азимутом, дирекционным углом и сближением меридианов в проекции Гаусса.

— поправка за кривизну изображения геодезической линии M1N1´ (кривой) на плоскости;

N—радиус кривизны первого вертикала в точке с широтой В.

Прямоугольными координатами Гаусса любой точки земного эллипсоида называются плоские прямоугольные координаты изображения соответствующей точки на плоскости в проекции Гаусса.

Гауссовым сближением меридианов в данной точке называется угол, образованный на плоскости меридианом, проходящим через данную точку, и линией, параллельной осевому меридиану.

Геодезической линией между двумя точками на эллипсоиде называется линия кратчайшего расстояния на поверхности эллипсоида между этими точками. Геодезическая линия в проекции Гаусса изображается в виде кривой, образующей со своей хордой некоторый угол 5, называемый поправкой за кривизну кривой. Угол 3 мал и учитывается лишь при обработке триангуляции.

Дирекционным углом какого-либо направления на плоскости называется угол между положительным направлением оси X и данным направлением. Этот угол изменяется от 0 до 360° и отсчитывается от положительного направления оси X по ходу часовой стрелки. Связь между азимутом, дирекционным углом и гауссовым сближением меридианов произвольной точки М1 на плоскости легко определяется из рис. 53.

Когда точка М1 расположена к востоку от осевого меридиана

Когда точка М1 расположена к западу от осевого меридиана

и

Ниже без вывода приводятся формулы, определяющие проекцию Гаусса

(42)

(43)

В этих формулах

, где

L« — разность долгот, выраженная в секундах.

Формулы для вычисления гауссова сближения меридианов И масштаба изображения m по геодезическим координатам данной точки имеют вид

(44)

(45)

Исследования формул (42) и (43) показывают, что при вычислении х и у в шестиградусных зонах для широт в пределах территории СССР члены формул, содержащие L«6, L«5 и L«4 не превышают соответственно 0,005, 0,05 и 3,0 м. Следовательно, при вычислениях х и у для картографических целей (составления карт масштабов 1:100000 и мельче) в правых частях этих формул достаточно удерживать лишь первые два члена.

Исходя из этих же соображений, гауссово сближение меридианов можно вычислять по приближенной формуле

А масштаб изображения в любой точке карты по формуле

(4б)

Формула (46) получается из формулы (41), если в ней отбросить третий и последующие члены и заменить дугу у0 на шаре ординатой у на плоскости; в пределах шестиградусной зоны

Трапеция в проекции Гаусса

Рис.8 Трапеция в проекции Гаусса

Значение Отличается от значения На весьма незначительную величину.

Обычно прямоугольные координаты Гаусса вычисляют не по формулам (42) и (43), а с помощью специальных таблиц. Таблицы для логарифмического вычисления координат Гаусса-Крюгера издания 1946 года, таблицы координат Гаусса-Крюгера издания 47 года. В вводных частях этих таблиц дается подробное их описание, приводятся пояснения к пользованию таблицами и примеры вычисления координат.

В отличие от многогранной проекции, ранее применявшейся у нас для топографических карт, в проекции Гаусса вследствие увеличения искажений в оба направления от осевого меридиана трапеция топографической или обзорно-топографической карты, сторонами которой являются отрезки меридианов и параллелей, не представляет собой геометрически правильной фигуры. Вогнутость меридианов в ней направлена в сторону осевого меридиана (рис. 8). Однако уклонение меридианов от прямой значительно меньше графической точности, которая требуется при построении трапеций карт масштабов 1:500 000 и крупнее. Поэтому боковые стороны трапеций этих карт в проекции Гаусса изображаются прямыми линиями.

Уклонение параллелей от прямой начинает практически ощущаться на трапециях карт масштабов 1:100000 и мельче (с разностью долгот крайних меридианов в 30′ и больше). Исходя из этого, каждая параллель (северная или южная сторона) трапеции наносится: для карты масштаба 1:100 000 по координатам трех точек, для карты масштаба 1:200 000 по координатам пяти точек и для карты масштаба 1:500 000 по координатам семи точек. В соответствии с этим для построения трапеций карт масштабов 1:100000, 1:200 000 и 1:500 000 необходимо знать координаты соответственно шести, десяти и четырнадцати точек. Трапеции карт масштабов 1: 50 000 и крупнее строятся по координатам четырех точек (вершин углов).

На рис. 9 показаны схематические изображения трапеций карт масштабов 1 : 10000—1:500000. Для трапеций карт масштабов 1:100000, 1:200000 и 1:500000 указаны промежуточные точки, по координатам которых наносятся параллели, и приведены размеры трапеций в градусной мере (И—размеры трапеции соответственно по широте и долготе).

Рис. 55. Схематические изображения трапеций с указанием промежуточных точек, по координатам которых наносятся параллели на картах в проекции Гаусса.

Прямоугольные координаты Гаусса вершин углов трапеций и промежуточных точек выбираются из специальных таблиц (Таблицы координат Гаусса-Крюгера издания 1947 года). Построение трапеции производится путем нанесения этих точек обычным способом

На координатографе или с помощью штангенциркуля и масштабной линейки. В последнем случае вначале строится квадрат или прямоугольник, а затем от его сторон по координатам наносятся вершины углов трапеции и промежуточные точки, если последние необходимы.

Для удобства обработки геодезических измерений, выполненных на стыке двух смежных зон, установлено взаимное перекрытие координатных зон, по долготе. При этом западная зона перекрывает восточную на 30′, а восточная перекрывает западную на 7′,5. В соответствии с этим в каталогах геодезических пунктов для всех пунктов, находящихся в полосе перекрытия, приводятся прямоугольные координаты для обеих зон. В отдельных случаях может возникнуть необходимость в координатах смежной зоны для пунктов, находящихся за пределами полосы перекрытия зон. В этих случаях производится преобразование прямоугольных координат пунктов из одной шестиградусной зоны в другую, смежную шестиградусную зону. Обычно выполняется с помощью специальных таблиц (Таблицы для перевычисления прямоугольных координат Гаусса-Крюгера из одной шестиградусной зоны в другую шестиградусную зону издания 1947 года). Таблицы для перевычисления прямоугольных координат Гаусса-Крюгера из одной шестиградусной зоны в смежную шестиградусную зону издания 1946 года ) и т. д. В вводных частях этих таблиц даются пояснения к пользованию ими и приводятся примеры перевычисления координат.

Для решения ряда практических задач, в частности военных, на топографических картах наносится сетка прямоугольных координат Гаусса, или координатная сетка. Она представляет собой сеть квадратов, образуемых линиями, параллельными осевому меридиану зоны, и линиями, перпендикулярными к нему. В каждой зоне координатная сетка наносится от экватора и осевого меридиана данной зоны. Наличие координатной сетки значительно облегчает определение координат точек по карте и нанесение точек на карту по координатам.

Применяемая для карт масштабов 1:10000 — 1:500 000 проекция Гаусса имеет ряд преимуществ по сравнению с применявшейся ранее у нас многогранной проекцией. Первым преимуществом этой проекции является ее связь на картах с координатной сеткой и прямоугольными координатами геодезических пунктов. Нанесению вершин углов трапеции и геодезических пунктов в проекции Гаусса предшествует построение координатной сетки. При применении многогранной проекции сначала строится трапеция, а затем уже от вершин ее углов наносится сетка прямоугольных координат Гаусса. Это снижает графическую точность нанесения геодезических пунктов.

Вторым преимуществом проекции Гаусса является теоретическая возможность склейки какого угодно большого количества листов карт в пределах шестиградусной зоны.

Наконец, третьим преимуществом проекции Гаусса является ее равноугольность. В сравнении с другими проекциями, применяемыми для топографических и обзорно-топографических карт, проекция Гаусса имеет то преимущество, что в ней искажения учитываются по довольно простым формулам.

Кроме Украины проекция Гаусса применяется для топогеодезических и картографических работ в странах (Финляндия, Англия, Турция и т. д.). Однако она не является единой и применяется, как правило, в трехградусных зонах.

Видео:Аналитический способ определения площадей. Формула землемера, геодезиста, Гаусса.Алгоритм шнурованияСкачать

Искажение линий и площадей в проекции ГАУССА-КРЮГЕРА.

Формула Белорусской СХА (кафедра геодезии)

(6)

равна: для масштаба 1 : 1000 – 0,08 м; 1 : 2000 – 0,11 м; 1 : 5000 – 0,13 м.

Если точка находится между горизонталями и ее высота определяется интерполированием, то погрешность высоты точки близка к погрешности положения горизонтали, и, следовательно, может быть вычислена по приведенным выше формулам.

Ср. квадр. погрешности превышения h между т. 1 и 2 с высотами Н1 и Н2, равного h = Н2 – Н1 можно вычислить по формуле

(7)

получим (7)

Среднюю квадратическую погрешность уклона, определяемого по горизонталям плана, можно получить, исходя их хорошо известной формулы

Для этого можно найти полный дифференциал функции і по аргументам h и S.

и перейти к ср.квадр. погрешностям

относительная погрешность определяет расстояние по плану значительно меньше относительной погрешности превышения, поэтому можно принять

, откуда следует вывод – с какой относительной погрешностью определяется превышение, с такой же погрешностью получается и уклон. Из этой полученной формулы с учетом находим (8)

Из этой формулы видно, что точность определения уклона обратно пропорциональна расстоянию S.

Пример: уклон определяется по плану между соседними горизонталями с сечением рельефа 2,5 м на расстоянии 50 м. Ср.кв.погр. определяется превышения m_h = 0,5 м. тогда і = 0,05 + 0,01, или в градусной мере угол наклона местности 0,05 х 57 + 0,01 х 57 = 2,8° + 0,6° (т.е. точность 20%).

Если уклон однородный, то при увеличении расстояния S (через 1 – 2 горизонтали) относительная погрешность определения уклона будет пропорционально уменьшаться.

(самостоятельно для S = 100 и 150 м и h_c = 5,0 + 0,5 и 7,5 + 0,5 м

Искажение линий и площадей в проекции ГАУССА-КРЮГЕРА.

Если карта составлена в проекции Гаусса-Крюгера, то длины линий и значений площадей участков, измеренных на плане, или вычисленных по координатам точек, всегда больше соответствующих горизонтальных проложений этих линий и площадей на местности. Искажение увеличивается с удалением от осевого меридиана.

Линия, измеренная на местности, при перенесении ее на плоскость проекции Гаусса-Крюгера, должна быть увеличена , т.е. ,

где S – горизонтальное проложение

у – ордината ( расстояние от осевого меридиана) середины этой линии

R – средний радиус правого Земного сфероида 6370 км.

Величина — называют относительным искажением линии. Для наших широт на краю шестиградусной зоны у 250 км, отсюда

Следовательно, если по плану (или вычислением по координатам) в проекции Гаусса-Крюгера получено горизонтальное проложение линии длиной 1000 м , то на местности оно будет короче на 0,8 м.

По мере приближения к осевому меридиану относительное искажение будет уменьшаться пропорционально квадрату расстояния от осевого меридиана. При у = 100 км оно составит

Следовательно, искажением длин линий можно пренебречь, за исключением краев зон. Искажение длин линий, соответственно вызывает и искажение площадей участков (землепользователей, контуров угодий).

Т.к. проекция Гаусса-Крюгера конформная (равноугольная), для участка площадью в несколько тысяч до первых десятков тысяч га, его изображение в проекции Г-Кр. можно считать подобным горизонтальному проложению.

Поэтому значение площади этого участка на местности (Р) и полученное по карте в проекции Г-Кр. (Рr) будут относиться как квадраты сходственных сторон т.е.

, или

Умножив числитель и знаменатель правой части на , и пренебрегая малыми значениями порядка и меньше, получим:

Где — относительное искажение площади, которая в 2 раза больше относительного искажения линии, Если у = 200 км, то искажении линии , а площади , то площадь в 1000 га измеренную на карте или вычисленную. по координатам. надо уменьшить на 1 га.

Для небольших площадей эту поправку можно не учитывать, а для больших только по краям 6-ти градусных зон.

3. Деформация плана и ее учет при планиметрических работах.

При определении линий и площадей по плану графическим или механическим способом (измеритель, планиметры, палетки) учитывают деформацию бумаги. Величина деформации характеризуется коэффициентами деформации, определяется по двум взаимно перпендикулярным направлениям по формуле

Где l₀ — теоретическая длина линии

l — практическая длина линии

Например: l₀= 4000 м; l = 3980 м

Тогда

(на практических работах пусть посчитают для разных планов)

Коэффициент деформации может быть 1:400; 1:200; 1:100 и даже 1:50. Зависит от сорта бумаги, условий хранения, погоды возраста плана и т.д.(рассказать подробнее). При машинном печатании – растягивается в продольном и сжимается в поперечном направлениях.

В связи с необходимостью учета деформации бумаги приходится в линии, определенной по плану, вводить поправки. Пусть l — раз. измерения линии на деформированном плане, Требуется определить соответствие ей горизонтального проложения на местности l₀ , т.е. ввести исправления

Умножив числитель и знаменатель на 1 = g, и не учитывая по малости l₀ , получим

Где l_g — поправка, обусловленная деформацией бумаги.

Пример: l = 323,0 м; g = +

l₀ = 323,0 + = 324,6 м

Если поправка в линию меньше точности масштаба, то ее не вводят. По линиям, исправленным за деформацию бумаги, вычисляют площади фигур. Целесообразнее вычислять поправки в площади фигур, определенные по результатам измерений линий на деформированном плане.

Пусть по неисправленным за деформацию результатам измерений на плане основание lи высоты h треугольника получена площадь , значение площади P₀ , неисправленное за деформацию будет

Согласно напишем

В итоге получим:

Эта формула справедлива для фигуры любой формы. Если в 2-х взаимно перпендикулярных направлениях (вдоль осей координат) коэффициент g не одинаковы и часто с противоположным знаком (g_x=+1/200; g_y= -1/300), то можно вычислить среднее значение коэффициента деформации

(подсчитать самостоятельно)

Пример га; ;

га.

Видео:42 Картографические проекцииСкачать

Лекция №6. Координаты и проекции (стр. 3 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3

Максимальное искажение площади Vp находится в середине листа, оно имеет знак минус и может достигать -0,14 %. Изоколы нулевых искажений площади имеют вид кривых, проходящих через точки, в которых отсутствуют искажения, и вытянутых вдоль крайних меридианов.

Достоинством видоизмененной простой поликонической проекции, применяемой как многогранная, является небольшая величи­на искажений. Анализ в пределах листа карты показал, что искажения длин не превышают 0,10 %, площади -0,15 %, углов — 5′ и являются практически неощутимыми. Недостаток этой проекции — появле­ние разрывов при соединении листов по меридианам и параллелям.

Псевдоцилиндрические проекции. В прямых псевдоцилиндрических проекциях параллели изображаются в виде прямых параллельных линий, меридианы — в виде кривых (дуг, синусоид, гипербол, парабол, эллипсов и т. д.) , симметричных относительно среднего прямолиней­ного меридиана (рис.5.5).

Промежутки между параллелями определяются принятым законом изображения земной поверхности на плоскости. Промежутки между меридианами в равновеликих проекциях пропорциональны разностям долгот, в других проекциях они могут убывать или, значительно реже, воз­растать от среднего меридиана к востоку и западу.

Полюс в псевдоцилиндрических проекциях изображается точкой или полярной линией, длина которой устанавливается или получается из зада­ния. Поэтому сетка меридианов и параллелей не ортогональна, в силу чего эти проекции не могут быть равноугольными.

При рассмотрении цилиндрических проекций как частного случая псевдоцилиндрических проекций, когда меридианы изображаются пря­мыми параллельными линиями, ортогональными к параллелям, цилин­дрическую равноугольную проекцию Меркатора можно считать равно­угольной псевдоцилиндрической проекцией.

Из-за неортогональности сетки экстремальные масштабы не совпа­дают с направлением меридианов и параллелей, за исключением сред­него меридиана и экватора.

Псевдоцилиндрические проекции в основном применяются для изображения всей земной поверхности или значительных ее частей в мелких масштабах, поэтому земная поверхность принимается за по­верхность шара с радиусом R. Эти проекции имеют две оси симмет­рии — экватор и средний меридиан нормальной сетки. Косые и попе­речные псевдоцилиндрические проекции используются крайне редко.

Проекция Гаусса-Крюгера. в 1гг. разра­ботал «двойную» равноугольную проекцию, сохраняющую длины на среднем меридиане. Л. Крюгер в 1912и 1919 гг. предложил способ непосредственного отображения эллипсоида взамен определения, указанного двойной проекцией, и эту проекцию стали называть про­екцией Гаусса-Крюгера (Gauss — Kruger projection). Она была приня­та в СССР ( на эллипсоиде Бесселя) в 1928 г. для всех геодезических и топографических работ. В ней создавали топографические карты масштабов крупнее 1:, а с 1939 г. проекция Гаусса-Крюгера стала применяться и для карты масштаба 1:

В апреле 1946 г. постановлением правительства были утверждены размеры референц-эллипсоида Красовского и новые исходные даты, характеризующие систему координат 1942 г.

Проекция Гаусса-Крюгера не является строго равноугольной, так как при ее получении использовано разложение в такой ряд, для которо­го выполняется только одно из условий Коши-Римана.

При введении в уравнение проекции еще одного дополнительного члена ряда начинает выполняться второе условие, а первое, которое со­хранялось ранее, не выполняется.

Проекция при сохранении в ее формулах достаточного количества (7-8) членов является практически равноугольной, поэтому можно счи­тать, что в ней соблюдаются условия ортогональности сетки и равен­ства масштабов.

В проекции Гаусса-Крюгера поверхность эллипсоида на плоскости отображается по меридианным зонам, ширина которых равна 6° (для карт масштабов 1:500000-1:10 000) и 3° (для карт масштабов 1:5 000 -1: 2 000) (рис. 5.6, a).

Меридианы и параллели изображаются кривыми, симметричными относительно осевого меридиана зоны и экватора, однако их кривизна настолько мала, что западная и восточная рамки карты показаны пря­мыми линиями.

Параллели, совпадающие с северной и южной рамками карт, изоб­ражаются прямыми на картах крупных масштабов (1:2 :50 000), на картах мелких масштабов — кривыми. Начало прямоугольных коор­динат каждой зоны находится в точке пересечения осевого меридиана зоны с экватором (рис. 5.6, б).

В России принята нумерация зон, отличающаяся от нумерации колонн карты масштаба 1:1 на тридцать единиц, т. е. крайняя западная зона с долготой осевого меридиана 1=21° имеет номер 4, к востоку номера зон возрастают. Номер зоны N и долгота осевого меридиана 1° в градусах свя­заны между собой равенством L°= 6N-3.

Территория России находится в северном полушарии, поэтому ко­ординаты Х всех точек имеют положительное значение. Координаты Y имеют отрицательные значения левее осевого меридиана и положитель­ные правее его (рис. 5.6, б ). Чтобы исключить из обращения отрица­тельные координаты и облегчить пользование прямоугольными коорди­натами на топографических картах, ко всем координатам Y добавляют постоянное число м (см. рис. 5.6, б). Для указания зоны, к кото­рой относятся координаты, к значению Y слева приписывают номер зоны. Например, запись координаты Y»м означает, что точка нахо­дится в 30-й зоне, ее реальная координата равна 0 = м, т. е она расположена правее осевого меридиана 30-й зоны. Запись координаты Y= 8 м означает, что точка находится в 8-й зоне, ее реальная координата равна 0 = м, она расположена левее осевого меридиана 8-й зоны.

Изоколы в проекции Гаусса-Крюгера имеют вид овалов, вытянутых вдоль осевого меридиана; в пределах отдельных листов карт они имеют вид прямых. Максимальные искажения в каждой зоне будут при значе­ниях широт 0° и ±3°, в этих точках они достигают ^пи»=0,14 %.

На расстоянии около 200 км по обе стороны от осевого меридиа­на и параллельно ему находятся две изоколы с нулевыми иска­жениями длин. При дальнейшем удалении от осевого меридиана масштаб длин становится больше единицы и достигает максиму­ма на пересечении крайних меридианов зоны с экватором (Vmax = +0,05 %).

Осевые меридианы трехградусных зон совпадают попеременно то с осевыми меридианами шестиградусных зон, то с крайними меридиана­ми этих зон.

Во многих странах применяют для составления топографичес­ких карт универсальную поперечно-цилиндрическую проекцию Меркатора (UTM) в шестиградусных зонах. Эта проекция близка по сво­им свойствам и распределению искажений к проекции Гаусса-Крюгера, но на осевом меридиане каждой зоны масштаб М=0,9996, а не единица. Проекция UTM получается двойным проектированием: эллипсоида на шар, а затем шара — на плоскость в проекции Меркатора.

Достаточно полное описание перечня проекций приведено в [2] . Важно отметить, что существует различие между проекцией, с которой работает пользователь, и проекцией исходной карты. Для мелкомасш­табных карт существенно различие картографических проекций. Про­цесс трансформации картографических данных из одной проекции в другую требует знания параметров проекции источника и производной проекции, известных из курсов математической картографии и теории картографических проекций и справочных изданий.

Пересчет координат может быть представлен как решение обратной задачи математической картографии, т. е. преобразования прямоуголь­ных координат в географические, а вслед за нею — прямой задачи с ис­пользованием уравнения производной проекции либо непосредствен­ного пересчета данных из проекции в проекцию, минуя приведение к системе географических координат.

При неизвестных функциональных зависимостях, определяющих соответствие географических и условных координат, можно воспользо­ваться методами трансформации по сети опорных точек с известными координатами. В этом случае возникает проблема оптимального выбора аппроксимирующей функции. Наличие координатной основы — обяза­тельное требование трансформационных преобразований.

Программные средства ГИС содержат различные блоки преобразо­вания, включающие различные проекции: равновеликую коническую Алберса, азимутальную равнопромежуточную, коническую равнопромежуточную, гномоническую, равновеликую азимутальную Ламберта, кони­ческую равноугольную Ламберта, Меркатора, цилиндрическую Милле­ра, косую Меркатора (Hotine), ортографическую, полярную стереогра­фическую, поликоническую, синусоидальную, стереографическую, поперечную Меркатора, универсальную поперечную Меркатора (UTM), Гринтена.

На практике использование модулей трансформации проекций может быть осложнено отсутствием параметров проекции карты-источника.

При определении проекций исходной карты рекомендуют пользо­ваться атласом для отечественных карт [4] и для зарубежных [17].

Для топографических карт в отличие от мелкомасштабных нет тако­го разнообразия проекций, однако имеется разнообразие моделей Зем­ли и географических систем координат.

Специфика российского рынка геоинформационных технологий определяет проблемы проекционных преобразований в России. Одна из серьезных проблем связана с использованием отечественной картогра­фической информации, имеющей значительные отличия от аналогич­ной иностранной. Как правило, иностранные программные средства не поддерживают напрямую распространенные в нашей стране проекции, а информацию о типе проекции и ее параметрах получить довольно сложно.

Другая проблема состоит в том, что широко распространенные в России разнообразные методы работы с пространственными данными не получили признания или не имеют аналогов за рубежом и нуждаются в анализе и классификации.

Видео:Проекция Меркатора искажает изображение: почему Гренландия такая большая на картеСкачать

6.6. Система реальных географических координат

Большинство карт изображают координатные данные, используя одну из принятых глобальных систем координат, например, Универсальную поперечную Меркатора (UTM), Коническую равноплощадную Альберта или полярную стереографическую. Проекция используется для обеспечения взаимосвязи между местоположением на карте и истинным местоположением на земной поверхности.

Наиболее привычной системой описания положения в пространстве является система широт и долгот. Эта система может использоваться для определения местоположения точек в любом месте на земной поверхности.

Широта и долгота являются угловыми величинами, измеренными от центра земли до точки на земной поверхности. Широта может быть северная и южная, долгота – западная и восточная. Картографическая сетка (сетка широт и долгот) может быть наложена на земную поверхность, чтобы географически описать местоположение. Линии долготы называются меридианами и начинаются и заканчиваются на Северном и Южном полюсе. Линии широты называются параллелями и охватывают земной шар параллельными кольцами.

Широта и долгота традиционно измеряются в градусах, минутах и секундах. Широта равная 0 гр. Располагается на экваторе, +90 гр. — На Северном полюсе, -90 гр. – на Южном полюсе. На долготе, равной 0, расположен начальный меридиан, который начинается на Северном полюсе, проходит через Гринвич и заканчивается на Южном. Долгота положительна до 180 гр., если двигаться к востоку от Гринвича, и отрицательна, если двигаться к Западу от. Гринвича.

Однако широта и долгота являются географической описательной системой, а не двумерной (плоской) системой координат. Меридианы в этой системе сходятся в полюсах и расходятся при движении к экватору. Т. о., длина одного градуса долготы будет различной в зависимости от широты, на которой она измерена. Например, 1 гр. Долготы на экваторе по длине равен 111 км, но длина 1 гр. На полюсах стремится к нулю. Итак, в этой системе координат измеряются углы от центра земли, а не расстояние на земной поверхности, она не является плоской системой координат.

Видео:Как выглядят страны по проекции Меркатора.Скачать

6.7. Плоские системы координат

Плоские системы координат (частот называемые Декартовыми) обладают некоторыми свойствами, которые делают их пригодными для представления реальных географических координат на карте:

· Имеется два измерения: x измеряет расстояние в горизонтальном направлении, а y измеряет расстояние в вертикальном направлении

· Меры длин, углов и площадей остаются постоянными по всем измерениям

· Существуют различные математические формулы для отображения сферической поверхности земли на плоскую двумерную поверхность.

ГИС, как и плоские карты, используют различные плоские координатные системы для картографирования земной поверхности. Каждая из используемых координатных систем базируется на определенной картографической проекции.

Видео:Забудь про Карту Мира, в которую все тыкали с детстваСкачать

6.8. Картографические проекции

Поскольку поверхность земли является сфероидом, для создания плоской карты сферической поверхности необходимо использовать математические преобразования. Эти математические преобразования обычно называют картографическими проекциями.

. Поскольку каждая базовая карта хранится в конкретной проекции, необходимо определить проекцию базовой карты перед вводом ее в систему.

Необходимо иметь в виду:

· Любое двумерное представление земной поверхности всегда вносит искажения в некоторые параметры либо в форму, площадь, расстояние или направление.

· Различные проекции вносят различные искажения

· Характеристики каждой проекции делают ее удобной для некоторых приложений и непригодной для других.

Площадь: Определенные искажения

Расстояния: Искажения возрастают по направлению к полюсам

Направление: Некоторые искажения

Карты часовых поясов

UTM не используется для изображения очень больших территорий

Площадь: Искажения возрастают при удалении от центрального меридиана

Расстояния: то же, что и для площади

Направление: некоторые искажения

Серия трапецеидальных карт в масштабе 1:зоны в 1гр. по широте и 2 гр. по долготе)

Площадь: Определенные искажения

Расстояния: некоторые искажения

Направление: некоторые искажения

Коническая равноплощадная Альбера

Форма: Некоторые искажения

Расстояния: некоторые искажения

Направление: некоторые искажения

Коническая равноугольная Ламберта

Площадь: некоторые искажения

Расстояния: некоторые искажения

Направление: некоторые искажения

Базовые государственные карты

Конформные проекции сохраняют локальную форму. Линии градусной сетки на глобусе – перпендикулярны. Чтобы сохранить углы, описывающие пространственные отношения, конформное проекция должна представить сетку линий, пересекающихся под 90 градусов.

Равноплощадные проекции сохраняют область.

Эквидистатные карты сохраняют расстояния между некоторыми точками.

Проекции истинного направления

Наикратчайший путь между двумя точками на кривой поверхности (Земля) – это единственный сферический эквивалент прямой линии на плоскости.

Математическое выражение, которое систематически проецирует место с поверхности сферы на соответствующую позицию на плоской поверхности называется картографической проекцией.

Первый шаг в проецировании с одной поверхности на другую состоит в создании одной или более контактных точек. Каждая точка называется точкой касательной. Плоская проекция касается глобуса только в одной точке. Касание глобуса конусом или цилиндром происходит по линии.

Искажение проекции увеличивается с увеличением расстояния от точки контакта.

Большинство конических проекций касаются глобуса вдоль линии широты. Эта линия называется стандартной параллелью для данной проекции. Меридианы проецируются на коническую поверхность, соединясь в вершине.

Цилиндрическая проекция должна иметь одну линию касания или две секущих линии. Меркаторская проекция – одна из наиболее общих цилиндрических проекций. Экватор – обычно линия его касания. Меридины геометрически проецируются на цилиндрическую поверхность

💡 Видео

Системы координат в геодезии. Зональная система прямоугольных координат. Гаусса-КрюгераСкачать

Россия на самом деле МЕНЬШЕ чем мы думаем. Создана ТОЧНАЯ карта мираСкачать

Военная топография определение полных прямоугольных координатСкачать

Урок 223. Теорема ГауссаСкачать

Распределение Гаусса.Скачать

§1 "Карта и её математическая основа", География 8 класс, ДомогацкихСкачать

Короткий урок географии: Картографические проекции #ShortsСкачать

Местные системы координат. Вебинар #15Скачать

Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса. 10 класс.Скачать

ГЕО_Видеоурок 6_Свойства карт_Зарубин ОлегСкачать

Демонстрация картографической проекции 🌎 #shorts #тайныземлиСкачать

Свойства проекций катетов | Геометрия 8-9 классыСкачать

Встреча с Путиным в общежитии МГУ на Воробьевых горах!Скачать

Евсеева О., Кувшинников Г. Проекции и картографические трансформации ArcGIS в РоссииСкачать