интересные факты о площади трапеции (4 видео)

Содержание

Площадь трапеции: как вычислить, формула
Площадь трапеции
Площадь равнобедренной трапеции
Площадь криволинейной трапеции
Площадь трапеции
Трапеция. Свойства трапеции
Свойства трапеции
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
Вписанная окружность
Площадь
🎥 Видео

Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

Площадь трапеции: как вычислить, формула

В математике известно несколько видов четырехугольников: квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм. Среди них и трапеция — вид выпуклого четырехугольника, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Параллельные противоположные стороны называются основаниями, а две другие – боковыми сторонами трапеции. Отрезок, который соединяет середины боковых сторон, называется средней линией. Существует несколько видов трапеций: равнобедренная, прямоугольная, криволинейная. Для каждого вида трапеции есть формулы для нахождения площади.

Видео:Площадь трапецииСкачать

Площадь трапеции

Чтобы найти площадь трапеции, нужно знать длину ее оснований и высоту. Высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный основаниям. Пусть верхнее основание — a, нижнее основание — b, а высота — h. Тогда вычислить площадь S можно по формуле:

т.е. взять полусумму оснований, умноженную на высоту.

Трапеция

Также удастся вычислить площадь трапеции, если известно значение высоты и средней линии. Обозначим среднюю линию — m. Тогда

Решим задачу посложнее: известны длины четырех сторон трапеции — a, b, c, d. Тогда площадь отыщется по формуле:

Если известны длины диагоналей и угол между ними, то площадь ищется так:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

где d с индексами 1 и 2 — диагонали. В данной формуле в расчете приводится синус угла.

При известных длинах оснований a и b и двух углах при нижнем основании площадь вычисляется так:

S = ½ * (b2 — a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Видео:ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

Площадь равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция — это частный случай трапеции. Ее отличие в том, что такая трапеция — это выпуклый четырехугольник с осью симметрии, проходящей через середины двух противоположных сторон. Ее боковые стороны равны.

Равнобедренная трапеция

Найти площадь равнобедренной трапеции можно несколькими способами.

Через длины трех сторон. В этом случае длины боковых сторон будут совпадать, поэтому обозначены одной величиной — с, а и b — длины оснований:

Если известна длина верхнего основания, боковой стороны и величина угла при нижнем основании, то площадь вычисляется так:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

где а — верхнее основание, с — боковая сторона.

Если вместо верхнего основания известна длина нижнего – b, площадь рассчитывается по формуле:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

Если когда известны два основания и угол при нижнем основании, площадь вычисляется через тангенс угла:

S = ½ * (b2 – a2) * tg α

Также площадь рассчитывается через диагонали и угол между ними. В этом случае диагонали по длине равны, поэтому каждую обозначаем буквой d без индексов:

Вычислим площадь трапеции, зная длину боковой стороны, средней линии и величину угла при нижнем основании.

Пусть боковая сторона — с, средняя линия — m, угол — a, тогда:

Иногда в равностороннюю трапецию можно вписать окружность, радиус которой будет — r.

Круг в трапеции

Известно, что в любую трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин ее боковых сторон. Тогда площадь найдется через радиус вписанной окружности и угол при нижнем основании:

Такой же расчет производится и через диаметр D вписанной окружности (кстати, он совпадает с высотой трапеции):

Зная основания и угол, площадь равнобедренной трапеции вычисляется так:

(эта и последующие формулы верны только для трапеций с вписанной окружностью).

Трапеция в круге

Через основания и радиус окружности площадь ищется так:

Если известны только основания, то площадь считается по формуле:

Через основания и боковую линию площадь трапеции с вписанным кругом и через основания и среднюю линию — m вычисляется так:

Площадь прямоугольной трапеции

Прямоугольной называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. В этом случае боковая сторона по длине совпадает с высотой трапеции.

Прямоугольная трапеция представляет из себя квадрат и треугольник. Найдя площадь каждой из фигур, сложите полученные результаты и получите общую площадь фигуры.

Прямоугольная трапеция

Также для вычисления площади прямоугольной трапеции подходят общие формулы для расчета площади трапеции.

Если известны длины оснований и высота (или перпендикулярная боковая сторона), то площадь рассчитывается по формуле:

В качестве h (высоты) может выступать боковая сторона с. Тогда формула выглядит так:

Другой способ рассчитать площадь — перемножить длину средней линии на высоту:

или на длину боковой перпендикулярной стороны:

Следующий способ вычисления — через половину произведения диагоналей и синус угла между ними:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Прямоугольная трапеция с перпендикулярными диагоналями

Если диагонали перпендикулярны, то формула упрощается до:

Еще один способ вычисления — через полупериметр (сумма длин двух противоположных сторон) и радиус вписанной окружности.

Эта формула действительна для оснований. Если брать длины боковых сторон, то одна из них будет равна удвоенному радиусу. Формула будет выглядеть так:

Если в трапецию вписана окружность, то площадь вычисляется так же:

где m — длина средней линии.

Видео:Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейная трапеция представляет из себя плоскую фигуру, ограниченную графиком неотрицательной непрерывной функции y = f(x), определенной на отрезке [a;b], осью абсцисс и прямыми x = a, x = b. По сути, две ее стороны параллельны друг другу (основания), третья сторона перпендикулярна основаниям, а четвертая представляет из себя кривую, соответствующую графику функции.

Криволинейная трапеция

Площадь криволинейной трапеции ищут через интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

Так вычисляются площади различных видов трапеций. Но, помимо свойств сторон, трапеции обладают одинаковыми свойствами углов. Как у всех существующих четырехугольников, сумма внутренних углов трапеции равна 360 градусов. А сумма углов, прилежащих к боковой стороне, — 180 градусам.

Видео:Площадь трапецииСкачать

Площадь трапеции

Разделы: Математика

Тип урока: совершенствование знаний, умений и навыков.

Цель обучающая:
доказать теорему о площади трапеции разными способами, отрабатывать применение данной формулы при решении задач различного уровня сложности.

Цель воспитательная:
воспитывать трудолюбие, уважение друг к другу, активность на уроке.

Цель развивающая:
развивать логическое мышление, интерес к предмету, умение работать в группах.

Цель методическая:
Показать применение методов дифференцированной работы при проверке домашнего задания.

Оборудование: интерактивная доска, раздаточный материал, учебники, чертежные принадлежности.

Актуализация знаний учащихся.

Дать определение трапеции.
Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Виды трапеций: прямоугольная(Рисунок1), равнобедренная (Рисунок2).

Равные многоугольники имеют равные площади.
Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
Формулы площади прямоугольника, квадрата, прямоугольного треугольника, треугольника, параллелограмма.

Проверка домашнего задания:

Уровень А	Уровень Б	Уровень В
1.	4 см и 10 см	h=5 см, а=15 см, b=25 см	22 см 2
2.	24 см 2	32 см 2	81 см 2

Дано:
АВСD-трапеция (Рисунок8)
AD-ВС=6 см
h=8 см; Sтрап.=56 см 2
Найти: ВС и АD
Решение:
Пусть ВС=х, тогда АD=6+х
Sтрап.=((х+6+х):2)*8
(х+3)*8=56
x=4
ВС=4см; АD=10 см
Ответ: 4 см; 10 см.
Дано:
АВСD — прямоугольная трапеция (Рисунок9)
ABCH — квадрат
Sкв=16 см 2
2
Ответ: 24.

Различные способы доказательства теоремы о площади трапеции:

Sтрап=

Достроим трапецию до параллелограмма.
Sтрап=Sпар–Sтр
Sпаp=bh
Sтр=1/2h*(b–a)=1/2bh-1/2ah
Sпар–Sтр=bh-1/2bh+1/2ah=1/2bh+1/2ah=1/2h(a+b), ч.т.д.

В трапеции ABCD (Рисунок15) BC и AD – основания. BC:AD=3:4. Площадь трапеции 70 см 2 . Найдите площадь треугольника ABC.
Решение:
1. Sтрап=7xh/2=70
  xh=20
2. S_ACD=4xh/2
  2xh=2*20
  S_ACD=40
3. S_ABC=70–40
  S_ABC=30 (см 2 )
Ответ: 30 см 2 .
Высота больше меньшего основания на 6 см, разность оснований 12 см. Найти основания трапеции, если ее площадь 64 см 2 (Рисунок17).

Решение:
Пусть BC=x; тогда BH=(6+x) см
AD=(12+x) см
Sтрап=

(x+6) 2 =64
x+6=8 или x+6=-8
x=2 или x=-14, x>0
BC=2 см
AD=14 см
Ответ: 2 см, 14 см.

Рефлексия деятельности на уроке.

Что нового узнали, самооценка учениками собственной деятельности.
Д/з: А.П.Ершова стр.142-143, задачи уровня А2, Б2, В2.

Интересные факты:история трапеции.

«Трапеция» — слово греческое, означавшее в древности «столик» (по-гречески, «трапедзион» — столик, обеденный стол). В начале термин «трапеция» применяется не в современном, в другом смысле — любой четырехугольник. Трапеция в нашем смысле слова встречается впервые у древнегреческого математика Пасидона. В средние века трапецией называли, по Евклиду, любой четырехугольник (кроме трапеции), лишь в XVIII веке слово приобретает современный смысл.

Четыре яркие звезды созвездия α, β, γ и δ располагаются в вершинах трапеции – туловища льва. А голову льва образуют звезды, располагающиеся в виде серпа. Поэтому этот астеризм и называется «серп».

Итог урока: подведение итогов, выставление оценок.

Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений./ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадюмцев и др.- 5-е изд. — М.: Просвешение, 1995.- 335 с.
Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Илекса, — 2007,- 208 с.
Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразоват. учреждений/ Б.Г.Зив, В.М.Мейлер, А.Г.Баханский. — 4-е изд. — М.: Просвещение, 2001.- 271 с.
Шарыгин И.Ф. 2200 задач по геометрии. – М. Дрофа, 1999г.
Атанасян Л.С. Изучение геометрии в 7-9 кл.: Просвещение, 2005.- 384 с.

Видео:Как найти площадь трапеции? #умскул_профильнаяматематика #умскул #никитасалливан #егэпрофильСкачать

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .