геометрия решение задач площади фигур

Видео:Площади фигур. Повторяем формулы и решаем задачи. Вебинар | МатематикаСкачать

Площади фигур. Повторяем формулы и решаем задачи. Вебинар | Математика

Тренажер «Задачи на вычисление площадей плоских фигур».
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (8, 9, 10, 11 класс)

геометрия решение задач площади фигур

Подборка задач на вычисление площадей плоских фигур при подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭ

Скачать:

ВложениеРазмер
ploshchadi_figur.zip304.89 КБ

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

Предварительный просмотр:

Задачи на вычисление площадей плоских фигур

Для решения задач на вычисление площадей необходимо знать:

1. Формулы площадей фигур (квадрат, прямоугольник, треугольник, трапеция, параллелограмм, четырёхугольник, круг, сектор круга);

2. Теорему Пифагора;

3. Теорему косинусов;

4. Теорему о сумме углов треугольника;

5. Понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла в прямоугольном треугольнике;

6. Процесс решения квадратного уравнения (формулы дискриминанта и корней);

7. Формулы для решения треугольника (отношения высот, медиан, формулы связи радиусов вписанной и описанной окружности с его площадью).

Часть 1. Устные упражнения

  1. Найдите площадь квадрата, если сторона квадрата равна 4 см.
  2. Найдите площадь квадрата, если сторона квадрата равна 9 см.
  3. Найдите площадь квадрата, если периметр равен 24 см.
  4. Найдите площадь квадрата, если периметр равен 16 см.
  5. Найдите сторону квадрата, если его площадь равна 1,44 см 2 .
  6. Найдите сторону квадрата, если его площадь равна 2,89 см 2 .
  7. Найдите площадь прямоугольника, если смежные стороны прямоугольника равны 2,5 см и 3,2 см.
  8. Найдите площадь прямоугольника, если смежные стороны прямоугольника равны 2,5 см и 1,6 см.
  9. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со смежными сторонами 8 м и 18 м.
  10. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со смежными сторонами 6 м и 24 м.
  11. Периметр прямоугольника равен 16 см, а длина в 3 раза больше ширины. Найдите его площадь.
  12. Периметр прямоугольника равен 24 см, а длина в 2 раза больше ширины. Найдите его площадь.
  13. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 72 см 2 , а длины его сторон относятся как 1:2.
  14. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 50 см 2 , а длины его сторон относятся как 1:2.
  15. Сторона параллелограмма равна 16см, а высота, проведенная к ней равна 5 см. Чему равна площадь параллелограмма?
  16. Сторона параллелограмма равна 12см, а высота, проведенная к ней равна 5 см. Чему равна площадь параллелограмма?
  17. Найдите площадь треугольника, если сторона равна 16 см, а высота, проведенная к ней равна 5см.
  18. Найдите площадь треугольника, если сторона равна 20 см, а высота, проведенная к ней равна 6см.
  19. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если катеты равны 4 см и 9 см.
  20. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если катеты равны 5 см и 12 см.
  21. Найдите площадь ромба, если длины диагоналей равны 8 м и 10 м .
  22. Найдите площадь ромба, если длины диагоналей равны 12 м и 10 м .
  23. Найдите площадь трапеции, если основания равны 8см и 12 см, а высота равна 4 см.
  24. Найдите площадь трапеции, если основания равны 8 см и 4 см, а высота равна 9 см.
  25. Найдите площадь квадрата, если диагональ равна 2 см.
  26. Найдите площадь квадрата, если диагональ равна 2 см.
  27. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если катеты равны 6 см и 8 см.
  28. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если катеты равны 12 см и 5 см.
  29. Сторона ромба равна 5 см, а одна из его диагоналей – 6 см. Чему равна площадь ромба.
  30. Площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой 26 см, один из катетов которого равен 24 см, равна:

Часть 2. Задачи для фронтальной работы с классом.

  1. Периметр прямоугольника равен 18 см, а одна из его сторон на 1 см больше другой. Чему равна площадь прямоугольника? (Ответ: 20 см 2 ).
  2. Периметр прямоугольника равен 24 см, а одна из его сторон в 2 раза меньше другой. Чему равна площадь прямоугольника? (Ответ: 32 см 2 ).
  3. В прямоугольнике ABCD сторона BС равна 18 см. Расстояние от точки пересечения диагоналей до этой стороны равно 7 см. Найдите площадь треугольника BCD. (Ответ: 126 см 2 ).
  4. В прямоугольнике ABCD сторона AB равна 12 см. Расстояние от точки пересечения диагоналей до этой стороны равно 8 см. Найдите площадь треугольника ABC. (Ответ: 96 см 2 ).
  5. Периметр прямоугольника равен 20 см, а одна из его сторон равна 8 см. Прямоугольник имеет такую же площадь, что и квадрат. Чему равен периметр квадрата? (Ответ: 16 см).
  6. Периметр квадрата равен 24 см. Прямоугольник имеет такую же площадь, что и квадрат, а одна из его сторон равна 9 см. Чему равен периметр прямоугольника? (Ответ: 26 см).
  7. Стороны параллелограмма равны 10 см и 6 см, а угол между ними равен 150 ° . Чему равна площадь этого параллелограмма? (Ответ: 30 см 2 ).
  8. Стороны параллелограмма равны 12 см и 8 см, а угол между ними равен 30 ° . Чему равна площадь этого параллелограмма? (Ответ: 48 см 2 ).
  9. Чему равна площадь ромба, диагонали которого равны 8 см и 6 см? (Ответ: 24 см 2 ).
  10. Чему равна площадь ромба, диагонали которого равны 10 см и 12 см? (Ответ: 60 см 2 ).
  11. Две стороны треугольника равны 12 см и 9 см, а угол между ними 30 ° . Чему равна площадь треугольника? (Ответ: 27 см 2 ).
  12. Найдите площадь треугольника, две стороны треугольника равны 8 см и 6 см, а угол между ними 30 ° . (Ответ: 24 см 2 ).
  13. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 6 см, а его гипотенуза – 10 см. Чему равна площадь треугольника? (Ответ: 24 см 2 ).
  14. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 5 см, а его гипотенуза – 13 см. Чему равна площадь треугольника? (Ответ: 30 см 2 ).
  15. Основания трапеции равны 5 см и 9 см, её высота – 6 см. Чему равна площадь трапеции? (Ответ: 42 см 2 ).
  16. Основания трапеции равны 4 см и 8 см, её высота – 9 см. Чему равна площадь трапеции? (Ответ: 54 см 2 ).
  17. В равнобедренной трапеции основания равны 6 см и 10 см, а угол при основании равен 45 ° . Чему равна площадь трапеции? (Ответ: 16 см 2 ).
  18. В равнобедренной трапеции основания равны 8 см и 16 см, а угол при основании равен 45 ° . Чему равна площадь трапеции? (Ответ: 48 см 2 ).
  19. В прямоугольной трапеции основания равны 5 см и 9 см, а меньшая боковая сторона — 4 см. Чему равна площадь трапеции? (Ответ: 28 см 2 ).
  20. В прямоугольной трапеции основания равны 6 см и 10 см, а меньшая боковая сторона — 4 см. Чему равна площадь трапеции? (Ответ: 32 см 2 ).
  21. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 12 см и 18 см. Чему равна площадь трапеции? (Ответ: 108 см 2 ).
  22. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 14 см и 16 см. Чему равна площадь трапеции? (Ответ: 112 см 2 ).
  23. В равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, больший из которых равен 18 см. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 12 см. (Ответ: 216 см 2 ).

Часть 3. Самостоятельные и контрольные работы.

Самостоятельная работа по теме
«Площади многоугольников»

1. В треугольнике ABC угол A равен 45°, ВС = 13 см, а высота BD отсекает на стороне AС отрезок DC , равный 12 см. Найдите площадь треугольника ABC и высоту, проведенную к стороне ВС .
2. Одна из диагоналей ромба на 4 см больше другой, а площадь ромба равна 96 см 2 . Найдите стороны ромба.

1. В треугольнике ABC угол В = 45°, высота AN делит сторону ВС на отрезки BN = 8 см и NC = 6 см. Найдите площадь треугольника ABC и сторону АС .
2. Найдите площадь ромба, если его сторона равна 20 см, а диагонали относятся как 3 : 4.

Вариант III (для более подготовленных учащихся)

1. В треугольнике ABC угол A равен 30°, а угол В равен 75°, высота ВО равна 6 см. Найдите площадь треугольника ABC .
2. Высота ВК ромба ABCD делит сторону AD на отрезки AK = 6 см и KD = 4 см. Найдите площадь ромба и его диагонали.

Самостоятельная работа по теме
«Площадь треугольника»

На рисунке АО = ОВ , OC = 2 OD , S AOC = 12 см 2 . Найдите S BOD .

На рисунке OB = ОC , OD = 3 OA , S AOC = 16 см 2 . Найдите S BOD .

Вариант III (для более подготовленных учащихся)

На рисунке OA = AB , АС || ВD . Докажите, что S OBC = S OAD .

Основания равнобедренной трапеции 12 см и 16 см, а ее диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.

  1. Сторона треугольника равна 5см, а высота, проведенная к ней, в 2 раза больше стороны. Найдите площадь треугольника.
  2. Стороны параллелограмма равны 6см и 8см, а угол между ними равен 30º. Найдите площадь параллелограмма.
  3. В прямоугольной трапеции основания равны 7см и 11см, большая боковая сторона составляет с основанием угол45º. Найдите площадь трапеции.
  4. В треугольнике ABC стороны AB и BC соответственно равны 14см и 18см. Сторона AB продолжена за точку А на отрезок AM, равный AB. Сторона BC продолжена за точку С на отрезок KC, равный половине BC. Найдите площадь треугольника MBK, если площадь треугольника ABC равна 126см 2 .
  1. Сторона треугольника равна 18см, а высота, проведенная к ней, в 3 раза меньше стороны. Найдите площадь треугольника.
  2. Стороны параллелограмма равны 4см и 7см, а угол между ними 150º. Найдите площадь параллелограмма.
  3. В равнобедренной трапеции ABCM большее основание AMравно 20см, высота BH отсекает от AM отрезок AH, равный 6см. Угол BAM равен 45º. Найдите площадь трапеции.
  4. В ромбе ABCD на стороне BC отмечена точка K такая, чтоKC:BK=3:1. Найдите площадь треугольника ABK, если площадь ромба равна 48см 2 .

Самостоятельная работа по теме «Площадь»

  1. В параллелограмме ABCD угол B тупой. На продолжении стороны AD за вершину D отмечена точка E так, что ∠ ECD =60 °, ∠ CED =90 °, AD =10 см. Найдите площадь параллелограмма. (Ответ: 20 см 2 ).
  2. Найдите углы параллелограмма, если его площадь равна 20 см 2 , а высота, проведенная из вершины тупого угла, делит одну из сторон на отрезки 2 см и 8 см, считая от вершины острого угла. (Ответ: 45 °, 135 °).
  3. В прямоугольнике ABCD BD =12 см. Вершина В удалена от прямой АС на 4 см. Найдите площадь треугольника АВС. (Ответ: 24 см 2 ).
  4. Периметр равнобедренной трапеции равен 32 см, боковая сторона 5 см, площадь 44 см 2 . Найдите высоту трапеции. (Ответ: 4 см).
  1. В параллелограмме MPKT на стороне МТ отмечена точка E , ∠ РEМ =90 °, ∠ EРТ =45 °, МЕ =4 см, ЕТ =7 см. Найдите площадь параллелограмма. (Ответ: 77 см 2 ).
  2. Найдите углы параллелограмма, если его площадь равна 20 см 2 , а высота, проведенная из вершины тупого угла, делит одну из сторон на отрезки 2 см и 8 см, считая от вершины острого угла. (Ответ: 45 °, 135 °).
  3. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 см. (Ответ: 25 см 2 ).
  4. В прямоугольной трапеции площадь равна 30 см 2 , периметр 28 см, а меньшая боковая сторона 3 см. Найдите большую боковую сторону. (Ответ: 5 см).

Контрольная работа по теме
«Площади многоугольников»

1. Смежные стороны параллелограмма равны 32 см и 26 см, а один из его углов равен 150°. Найдите площадь параллелограмма.
2. Площадь прямоугольной трапеции равна 120 см 2 , а ее высота равна 8 см. Найдите все стороны трапеции, если одно из оснований больше другого на 6 см.
3. На стороне АС данного треугольника ABC постройте точку D так, чтобы площадь треугольника ABD составила одну треть площади треугольника ABC .

1. Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой и равна 9 см. Найдите стороны этого параллелограмма, если его площадь равна 108 см 2 .
2. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и ВС , если AB = 12 см, ВС = 14 см, AD = 30 см, угол B равен 150°.
3. На продолжении стороны KN данного треугольника KMN постройте точку P так, чтобы площадь треугольника NMP была в два раза меньше площади треугольника KMN .

Вариант III (для более подготовленных учащихся)

1. Стороны параллелограмма равны 12 см и 8 см, а угол между высотами, проведенными из вершины тупого угла, равен 30°. Найдите площадь параллелограмма.
2. Середина М боковой стороны CD трапеции ABCD соединена отрезками с вершинами A и В . Докажите, что площадь треугольника АВМ в два раза меньше площади данной трапеции.
3. Точки A 1 , B 1 , C 1 лежат соответственно на сторонах ВС , АС , АВ треугольника ABC , причем АВ 1 = 1/3 АС , СА 1 = 1/3 СВ , ВС 1 =1/3 BA . Найдите площадь треугольника A 1 B 1 C 1 , если площадь треугольника ABC равна 27 см 2 .

Контрольная работа по теме
«Площади многоугольников»

1. Смежные стороны параллелограмма равны 32 см и 26 см, а один из его углов равен 150°. Найдите площадь параллелограмма.
2. Площадь прямоугольной трапеции равна 120 см 2 , а ее высота равна 8 см. Найдите все стороны трапеции, если одно из оснований больше другого на 6 см.
3. На стороне АС данного треугольника ABC постройте точку D так, чтобы площадь треугольника ABD составила одну треть площади треугольника ABC .

1. Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой и равна 9 см. Найдите стороны этого параллелограмма, если его площадь равна 108 см 2 .
2. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и ВС , если AB = 12 см, ВС = 14 см, AD = 30 см, угол B равен 150°.
3. На продолжении стороны KN данного треугольника KMN постройте точку P так, чтобы площадь треугольника NMP была в два раза меньше площади треугольника KMN .

Вариант III (для более подготовленных учащихся)

1. Стороны параллелограмма равны 12 см и 8 см, а угол между высотами, проведенными из вершины тупого угла, равен 30°. Найдите площадь параллелограмма.
2. Середина М боковой стороны CD трапеции ABCD соединена отрезками с вершинами A и В . Докажите, что площадь треугольника АВМ в два раза меньше площади данной трапеции.
3. Точки A 1 , B 1 , C 1 лежат соответственно на сторонах ВС , АС , АВ треугольника ABC , причем АВ 1 = 1/3 АС , СА 1 = 1/3 СВ , ВС 1 =1/3 BA . Найдите площадь треугольника A 1 B 1 C 1 , если площадь треугольника ABC равна 27 см 2 .

Подборка задач из Открытого банка заданий по математике

  1. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен . Найдите площадь треугольника.
  2. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а острый угол, прилежащий к нему, равен . Найдите площадь треугольника.
  3. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен геометрия решение задач площади фигур. Найдите площадь треугольника.
  4. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а острый угол, прилежащий к нему, равен геометрия решение задач площади фигур. Найдите площадь треугольника.
  5. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 20, а угол, лежащий напротив него, равен . Найдите площадь треугольника.
  6. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 30, а острый угол, прилежащий к нему, равен геометрия решение задач площади фигур. Найдите площадь треугольника.
  7. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 62, а один из острых углов равен 30°. Найдите площадь треугольника.
  8. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 54, а один из острых углов равен 60° . Найдите площадь треугольника.
  9. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 24, а один из острых углов равен . Найдите площадь треугольника.
  10. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 52, а один из острых углов равен геометрия решение задач площади фигур. Найдите площадь треугольника.
  11. Сторона равностороннего треугольника равна 48. Найдите его площадь.
  12. Сторона равностороннего треугольника равна 16. Найдите его площадь.
  13. Периметр равностороннего треугольника равен 264. Найдите его площадь.
  14. Высота равностороннего треугольника равна 7. Найдите его площадь.
  15. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 94, а угол, лежащий напротив основания, равен . Найдите площадь треугольника.
  16. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 14, а угол, лежащий напротив основания, равен . Найдите площадь треугольника.
  17. Периметр равнобедренного треугольника равен 48, а боковая сторона — 15. Найдите площадь треугольника.
  18. Периметр равнобедренного треугольника равен 324, а боковая сторона — 90. Найдите площадь треугольника.
  19. Периметр равнобедренного треугольника равен 392, а основание — 192. Найдите площадь треугольника.
  20. В треугольнике одна из сторон равна 27, а опущенная на нее высота — 11. Найдите площадь треугольника.
  21. В треугольнике одна из сторон равна 2, а опущенная на нее высота — 17. Найдите площадь треугольника.
  22. В треугольнике одна из сторон равна 2, другая равна , а угол между ними равен . Найдите площадь треугольника.
  23. В треугольнике одна из сторон равна 28, другая равна , а угол между ними равен геометрия решение задач площади фигур. Найдите площадь треугольника.
  24. В ромбе сторона равна 44, одна из диагоналей — 44, а угол, из которого выходит эта диагональ, равен . Найдите площадь ромба.
  25. Радиус круга равен 36, а длина ограничивающей его окружности равна . Найдите площадь круга.
  26. В ромбе сторона равна 38, одна из диагоналей — , а угол, лежащий напротив этой диагонали, равен . Найдите площадь ромба.
  27. В ромбе сторона равна 22, одна из диагоналей — , а угол, из которого выходит эта диагональ, равен . Найдите площадь ромба.
  28. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 47, основание — , а угол, лежащий напротив основания, равен . Найдите площадь треугольника.
  29. В прямоугольнике диагональ равна 96, угол между ней и одной из сторон равен 30°, длина этой стороны . Найдите площадь прямоугольника.
  30. В прямоугольнике диагональ равна 92, а угол между ней и одной из сторон равен 60°, длина этой стороны равна 46. Найдите площадь прямоугольника.
  31. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен , острый угол, прилежащий к нему, равен , а гипотенуза равна 28. Найдите площадь треугольника.
  32. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 4, угол, лежащий напротив него, равен , а гипотенуза равна 8. Найдите площадь треугольника.
  33. Найдите площадь кругового сектора, если радиус круга равен 4, а угол сектора равен .
  34. Найдите площадь кругового сектора, если длина ограничивающей его дуги равна , а угол сектора равен .
  35. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 43, острый угол, прилежащий к нему, равен , а гипотенуза равна 86. Найдите площадь треугольника.
  36. Основания трапеции равны 3 и 24, одна из боковых сторон равна 7, а тангенс угла между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.
  37. Основания трапеции равны 2 и 16, одна из боковых сторон равна 6, а тангенс угла между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.
  38. Радиус круга равен 41. Найдите его площадь.
  39. Основания трапеции равны 10 и 100, одна из боковых сторон равна 5, а синус угла между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.
  40. Основания трапеции равны 7 и 42, одна из боковых сторон равна 15, а косинус угла между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.
  41. Основания трапеции равны 9 и 27, одна из боковых сторон равна 26, а косинус угла между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.
  42. Основания трапеции равны 4 и 12, одна из боковых сторон равна , а угол между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.
  43. Основания трапеции равны 9 и 24, одна из боковых сторон равна , а угол между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.
  44. Основания трапеции равны 5 и 45, одна из боковых сторон равна 13, а синус угла между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.
  45. Одна из сторон параллелограмма равна 15, другая равна 6, а тангенс одного из углов равен . Найдите площадь параллелограмма.
  46. Основания трапеции равны 4 и 25, одна из боковых сторон равна , а угол между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.
  47. Одна из сторон параллелограмма равна 50, другая равна 1, а косинус одного из углов равен . Найдите площадь параллелограмма.
  48. Одна из сторон параллелограмма равна 8, другая равна 18, а тангенс одного из углов равен . Найдите площадь параллелограмма.
  49. Одна из сторон параллелограмма равна 20, другая равна 29, а тангенс одного из углов равен . Найдите площадь параллелограмма.
  50. Одна из сторон параллелограмма равна 21, другая равна 3, а один из углов — . Найдите площадь параллелограмма.
  51. Одна из сторон параллелограмма равна 18, другая равна 25, а синус одного из углов равен . Найдите площадь параллелограмма.
  52. Одна из сторон параллелограмма равна 13, другая равна 24, а один из углов — геометрия решение задач площади фигур. Найдите площадь параллелограмма.
  53. Одна из сторон параллелограмма равна 17, другая равна 10, а один из углов — геометрия решение задач площади фигур. Найдите площадь параллелограмма.
  54. Одна из сторон параллелограмма равна 30, другая равна 9, а один из углов — геометрия решение задач площади фигур. Найдите площадь параллелограмма.
  55. Периметр ромба равен 128, а тангенс одного из углов равен . Найдите площадь ромба.
  56. Периметр ромба равен 20, а тангенс одного из углов равен . Найдите площадь ромба.
  57. Одна из сторон параллелограмма равна 20, а опущенная на нее высота равна 23. Найдите площадь параллелограмма.
  58. Одна из сторон параллелограмма равна 16, а опущенная на нее высота равна 25. Найдите площадь параллелограмма.
  59. Одна из сторон параллелограмма равна 19, а опущенная на нее высота равна 27. Найдите площадь параллелограмма.
  60. Периметр ромба равен 80, а косинус одного из углов равен . Найдите площадь ромба.
  61. Периметр ромба равен 84, а косинус одного из углов равен . Найдите площадь ромба.
  62. Периметр ромба равен 144, а косинус одного из углов равен . Найдите площадь ромба.
  63. Периметр ромба равен 72, а тангенс одного из углов равен . Найдите площадь ромба.
  64. Периметр ромба равен 28, а один из углов равен . Найдите площадь ромба.
  65. Периметр ромба равен 128, а один из углов равен . Найдите площадь ромба.
  66. Периметр ромба равен 108, а синус одного из углов равен . Найдите площадь ромба.
  67. Периметр ромба равен 36, а синус одного из углов равен . Найдите площадь ромба.
  68. Периметр ромба равен 32, а синус одного из углов равен . Найдите площадь ромба.
  69. Сторона ромба равна 95, а диагональ равна 114. Найдите площадь ромба.
  70. Сторона ромба равна 90, а диагональ равна 144. Найдите площадь ромба.
  71. Периметр ромба равен 148, а один из углов равен . Найдите площадь ромба.
  72. Периметр ромба равен 112, а один из углов равен геометрия решение задач площади фигур. Найдите площадь ромба.
  73. Периметр ромба равен 184, а один из углов равен геометрия решение задач площади фигур. Найдите площадь ромба.
  74. В прямоугольнике одна сторона равна 45, а диагональ равна 53. Найдите площадь прямоугольника.
  75. В прямоугольнике одна сторона равна 15, а диагональ равна 17. Найдите площадь прямоугольника.
  76. В прямоугольнике диагональ равна 42, а угол между ней и одной из сторон равен . Найдите площадь прямоугольника.
  77. Сторона ромба равна 29, а диагональ равна 42. Найдите площадь ромба.
  78. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 52, а один из острых углов равен . Найдите площадь треугольника.
  79. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 24, а один из острых углов равен . Найдите площадь треугольника.
  80. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 52, а один из острых углов равен геометрия решение задач площади фигур. Найдите площадь треугольника.
  81. Сторона равностороннего треугольника равна 48. Найдите его площадь.
  82. Сторона равностороннего треугольника равна 16. Найдите его площадь.
  83. Периметр равнобедренного треугольника равен 48, а боковая сторона — 15. Найдите площадь треугольника.
  84. Периметр равнобедренного треугольника равен 196, а боковая сторона — 53. Найдите площадь треугольника.
  85. В прямоугольнике одна сторона равна 13, другая сторона равна 9. Найдите площадь прямоугольника.
  86. В прямоугольнике одна сторона равна 13, периметр равен 62. Найдите площадь прямоугольника.
  87. В прямоугольнике одна сторона равна 14, периметр равен 54. Найдите площадь прямоугольника.
  88. В прямоугольнике одна сторона равна 84, а диагональ равна 91. Найдите площадь прямоугольника.
  89. В прямоугольнике одна сторона равна 52, а диагональ равна 65. Найдите площадь прямоугольника.

1 Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

2 Найдите диагональ квадрата, если его площадь равна 2.

3 Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 4 и 9.

4 Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 18, и одна сторона на 3 больше другой.

5 Площадь прямоугольника равна 18. Найдите его большую сторону, если она на 3 больше меньшей стороны.

6 Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 18, а отношение соседних сторон равно 1:2.

Видео:КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | МатематикаСкачать

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | Математика

Подборка задач по теме «Площади фигур»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Площадь прямоугольника равна 75. Найдите стороны этого прямоугольника, если одна из них в 3 раза больше другой.

Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна5, а угол между диагоналями равен 60°.

Площадь параллелограмма равна 90. Найдите высоту параллелограмма, проведенную к стороне, равной 12.

Найдите площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна 12.

Вычислите площадь трапеции АВСД с основаниями АД и ВС, если АД=20, ВС=4, АВ=16 и угол А=30°.

Найдите площадь равнобедренной трапеции, основания которой равны 8 и 12, а боковая сторона равна 10.

Площадь прямоугольника равна 520 м 2 , а отношение его сторон равно 2: 5. Найдите периметр данного прямоугольника.

Стороны параллелограмма равны 5 см и 11 см. Найдите его площадь, если один из углов равен 30°.

Найдите площадь ромба со стороной 24 см и углом 120°.

Найдите площадь параллелограмма, периметр которого равен 42 см, а высоты равны 8 см и 6 см.

Найдите периметр ромба, площадь которого равна 48 см 2 а острый угол равен 30°.

Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 8 см и 18 см, а боковая сторона равна средней линии.

В прямоугольной трапеции большая боковая сторона равна сумме оснований, высота равна 12 см. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции.

Стороны треугольника относятся как З : 25 : 26. Его площадь равна 144 см 2 . Найдите периметр данного треугольника.

Основание равнобедренного треугольника равно 5 см. Медианы боковых сторон перпендикулярны. Найдите площадь данного треугольника.

В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна m , а гипотенуза равна с. Найдите площадь треугольника, не вычисляя его катетов.

В четырехугольнике АВС D диагонали перпендикулярны и равны 4 см и 11 см. Найдите его площадь.

Точка касания круга, вписанного в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на части, равные 4 см и 6 см. Найдите площадь этого круга.

1геометрия решение задач площади фигур. Дано: прямоугольник ABCD , B C

Найти: все стороны A D

Пусть AB = x , тогда BC =3 x

Огеометрия решение задач площади фигургеометрия решение задач площади фигургеометрия решение задач площади фигуртвет: AB =5см, BC =15см B C

2. Дано: прямоугольник ABCD ,

Найти : S ABCD A D

1) ∆ BOA -равносторонний, т.к. ВО=АО, как половины диагоналей прямоугольника,

BOA =60 ° , значит BOA = AOB =60 °.

2)Рассмотрим ∆ ABD , он прямоугольный,

BD =10, AB =5, по т.Пифагора:

BD 2 =AB 2 +AD 2 , AD 2 =100-25=75, AD= геометрия решение задач площади фигур

3) S ABCD =AB*AD=5* геометрия решение задач площади фигур=25 геометрия решение задач площади фигур

Ответ : S ABCD = 25 геометрия решение задач площади фигур

3геометрия решение задач площади фигургеометрия решение задач площади фигур. Дано : параллелограмм ABCD, B C

AD=12, S ABCD =90c м 2

Найти: высоту BH

4. Дано: равносторонний ∆,

где одна из сторон равна 12

Решение : геометрия решение задач площади фигур

геометрия решение задач площади фигур

Ответ: S =36 геометрия решение задач площади фигурсм 2

5геометрия решение задач площади фигургеометрия решение задач площади фигур. Дано: трапеция ABCD , B C

AB=16, AD=20, BC=4, BAD= З 0°

геометрия решение задач площади фигур

BH =8(т.к.катет, лежащий против угла в З0°)

Ответ: S ABCD =96см 2

6. Дано: равнобедренная трапеция ABCD ( C м.рис.к задаче№5)

AB = CD =10см, ВС=8см, AD =12см

1)По т.Пифагора в ∆ ABH :

BH 2 =96 BH геометрия решение задач площади фигур

2)S ABCD геометрия решение задач площади фигур

Ответ : S ABCD геометрия решение задач площади фигурсм 2

7. Дано: прямоугольник ABCD , S ABCD =520м 2 , AB : BC =2:5

Ргеометрия решение задач площади фигурешение: B C

1)Пусть x -одна часть, тогда AB =2 x , BC =5 x , P =2( AB + BC ),

2)2x*5x=S, 2x*5x=520 A D

x 2 =52 x геометрия решение задач площади фигур

3) P =геометрия решение задач площади фигур

Ответ: P =геометрия решение задач площади фигурсм

8. Дано: параллелограмм ABCD ,

AB =5, BC =11, угол BAD =З0°

S ABCD = ab *геометрия решение задач площади фигур=5*11*геометрия решение задач площади фигур=55*геометрия решение задач площади фигур=27,5

Ответ: S ABCD =27,5см 2

9. Дано: ромб ABCD , B

Aгеометрия решение задач площади фигурB=AD=24, =120 °

Ргеометрия решение задач площади фигурешение : A C

DAH= геометрия решение задач площади фигур

2)по т.Пифагора: D

AH геометрия решение задач площади фигур

3)S ABCD геометрия решение задач площади фигурAH*DC геометрия решение задач площади фигур

Ответ : S ABCD геометрия решение задач площади фигурсм 2

10. Дано: параллелограмм ABCD ,

Ргеометрия решение задач площади фигургеометрия решение задач площади фигургеометрия решение задач площади фигурешение: B C

AB+AD=21 см , т . к . P=42 см H

2) Пусть AD=x, CD=21-x

Ответ: S ABCD =72см 2

11. Дано: ромб ABCD ,

Sгеометрия решение задач площади фигурABCD =48 c м 2 , ABC = геометрия решение задач площади фигурB

Нгеометрия решение задач площади фигурайти: P ABCD H

1)Ромб-параллелограмм A C

2) S р= HC * AB =48

x 2 =24 x= геометрия решение задач площади фигур= геометрия решение задач площади фигур

3)P=4x= геометрия решение задач площади фигур

Ответ : P ABCD = геометрия решение задач площади фигурсм

12. Дано: равнобедренная трапеция ABCD ,

Fгеометрия решение задач площади фигургеометрия решение задач площади фигургеометрия решение задач площади фигурH -средняя линия, AB = CD = FH B C

Нгеометрия решение задач площади фигурайти: S ABCD F H

геометрия решение задач площади фигур

геометрия решение задач площади фигур

169=25+ геометрия решение задач площади фигур

геометрия решение задач площади фигур=144 геометрия решение задач площади фигур

3)S ABCD геометрия решение задач площади фигур

Ответ: S ABCD =156см 2

13. Дано: прямоугольная трапеция ABCD ,

большая боковая сторона равна сумме оснований,

Найти: S прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции

1геометрия решение задач площади фигургеометрия решение задач площади фигур) BC = AH = x , HD = y , CD =2 x + y B C

S = x ( x + y )= x 2 + x

2)Из ∆ CHD по т.Пифагора:

Сгеометрия решение задач площади фигурD 2 =CH 2 +HD 2

( 2x+y) 2 =144+y 2 A H D

4x 2 +4xy+y 2 =144+ y 2

Ответ : S=36 см 2

Sгеометрия решение задач площади фигургеометрия решение задач площади фигурABC =144см 2 B

Ргеометрия решение задач площади фигурешение:

1)По формуле Герона: A C

p геометрия решение задач площади фигур

S геометрия решение задач площади фигур

геометрия решение задач площади фигур

геометрия решение задач площади фигургеометрия решение задач площади фигур

Ответ: P ABC =108 c м

1геометрия решение задач площади фигургеометрия решение задач площади фигур5. Дано: ∆ ABC -равнобедренный, B

АС –основание, АС=5см,

мгеометрия решение задач площади фигургеометрия решение задач площади фигуредианы боковых сторон перпендикулярны C 1 A 1

1)Рассмотрим ∆ AA 1 C и ∆ CC 1 A .У них:

AC -общая, C 1 A = A 1 C (как половины раных сторон),

угол A =угол C (т.к.углы при основании равнобедренного ∆-ка)

=>∆ AA 1 C =∆ CC 1 A (по углу и двум сторонам)

AA 1= CC 1,т.к.медианы в ∆-ке при пересечении делятся пополам

в отношении 2:1,считая от вершины,то CO = AO

2)Пусть CO = AO = x

x 2 = геометрия решение задач площади фигурx= геометрия решение задач площади фигур

3)OH геометрия решение задач площади фигур

OH геометрия решение задач площади фигур

4) S ∆ геометрия решение задач площади фигур

Ответ: S ∆=18,75см 2

16. Дано: прямоугольный ∆

сгеометрия решение задач площади фигурумма катетов равна m,

гипотенуза равна с

Найти: S ∆, не вычисляя его катетов a c

S= геометрия решение задач площади фигурb

a 2 +2ab+ b 2 =m 2

2ab=m 2 -c ab= геометрия решение задач площади фигур

2) S∆= геометрия решение задач площади фигур

Ответ: S ∆=геометрия решение задач площади фигур

17. Дано: четырехугольник ABCD ,

Aгеометрия решение задач площади фигургеометрия решение задач площади фигурC , BD -диагонали, AC BD , AC =4см, BD =11см

Sгеометрия решение задач площади фигургеометрия решение задач площади фигур=S 1 +S 2 , где S 1 =S ABC , S 2 =S ADC B

S 1 геометрия решение задач площади фигур

Sгеометрия решение задач площади фигургеометрия решение задач площади фигур2 геометрия решение задач площади фигурA C

геометрия решение задач площади фигур= геометрия решение задач площади фигур

S= геометрия решение задач площади фигур+ геометрия решение задач площади фигур= геометрия решение задач площади фигур( геометрия решение задач площади фигур)= геометрия решение задач площади фигур=22 D

Ответ: S ABCD =22см 2

18. Дано: ∆ ABC -прямоугольный,

тгеометрия решение задач площади фигурочка касания круга, вписанного в ∆ ABC , B

делит гипотенузу на части, равные 4 см и 6 см

Нгеометрия решение задач площади фигурайти: S круга O

Ргеометрия решение задач площади фигургеометрия решение задач площади фигурешение: M R

1)Отрезки касательных, проведенных из одной точки

к одной окружности равны. C N A

4=AO=AN, 6*OB=MB, MC=CN=x

AB =10, AC =4+ x , BC =6+ x

(4+ x ) 2 +(6+ x ) 2 =100

16+8 x + x 2 +36+12 x + x 2 =100

3) S круга = геометрия решение задач площади фигур2 =4 геометрия решение задач площади фигур

Ответ: геометрия решение задач площади фигурS круга = 4 геометрия решение задач площади фигур

Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | Математика

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Решение задач на вычисление площадей многоугольников чаще всего сводится к поиску величин отдельных элементов рассматриваемых фигур и дальнейшему применению соответствующих формул площадей.

Во многих задачах наряду с сугубо геометрическими приемами решения (дополнительные построения, применение равенства фигур и т. п.) используются и методы алгебры (составление уравнений или систем уравнений на основе метрических соотношений между элементами фигуры).

В ходе решения особое внимание следует уделить тому, однозначно ли данные задачи определяют взаимное расположение элементов фигуры.

Пример:

Найдите площадь трапеции, в которой одно из оснований равно 24 см, высота 12 см, а боковые стороны — 13 см и 20 см.

Решение:

Пусть геометрия решение задач площади фигур

1) Для трапеции геометрия решение задач площади фигур(рис. 152, а): из треугольника геометрия решение задач площади фигурпо теореме Пифагора имеем геометрия решение задач площади фигураналогично из треугольника геометрия решение задач площади фигуримеем геометрия решение задач площади фигуртогда геометрия решение задач площади фигур

геометрия решение задач площади фигур

2) Для трапеции геометрия решение задач площади фигур(рис. 152, б): из треугольника геометрия решение задач площади фигурпо теореме Пифагора имеем геометрия решение задач площади фигураналогично из треугольника геометрия решение задач площади фигуримеем геометрия решение задач площади фигур

геометрия решение задач площади фигур

геометрия решение задач площади фигур

3) Для трапеции геометрия решение задач площади фигур(рис. 152, в): из треугольника геометрия решение задач площади фигурпо теореме Пифагора имеем геометрия решение задач площади фигураналогично из треугольника геометрия решение задач площади фигуримеем геометрия решение задач площади фигур

геометрия решение задач площади фигур

4) Для трапеции геометрия решение задач площади фигур(рис. 152, г): из треугольника геометрия решение задач площади фигурпо теореме Пифагора имеем геометрия решение задач площади фигураналогично из треугольника геометрия решение задач площади фигуримеем геометрия решение задач площади фигуртогда геометрия решение задач площади фигурт.е. точки геометрия решение задач площади фигуррасположены на прямой в указанном порядке.

геометрия решение задач площади фигур
Ответ: геометрия решение задач площади фигур

геометрия решение задач площади фигур

Рассмотренная задача наглядно демонстрирует одну из причин, по которым в процессе решения геометрической задачи может возникать многовариантность. Но даже если такая ситуация не возникает, взаимное расположение элементов фигур нуждается в обосновании.

Пример:

Основания трапеции равны 10 см и 35 см, а боковые стороны — 15 см и 20 см. Найдите площадь трапеции.

Прежде всего заметим, что решение данной задачи фактически сводится к нахождению высоты трапеции. Итак, пусть дана трапеция геометрия решение задач площади фигургеометрия решение задач площади фигургеометрия решение задач площади фигур

Естественно было бы провести, как в предыдущей задаче, высоты геометрия решение задач площади фигур(рис. 153) и составить уравнение на основании теоремы Пифагора, примененной к треугольникам геометрия решение задач площади фигури геометрия решение задач площади фигур

геометрия решение задач площади фигур

Такое решение позволит получить правильный ответ, но не будет полным, ведь принадлежность точек геометрия решение задач площади фигуротрезку геометрия решение задач площади фигурнужно обосновать. Попробуем избежать необходимости такого обоснования, применив для решения другое дополнительное построение.

Решение:

Проведем через вершину геометрия решение задач площади фигурпрямую геометрия решение задач площади фигурпараллельную геометрия решение задач площади фигур(рис. 154).

геометрия решение задач площади фигур

Поскольку по построению геометрия решение задач площади фигур— параллелограмм, то геометрия решение задач площади фигурследовательно, геометрия решение задач площади фигурСтороны треугольника геометрия решение задач площади фигурпропорциональны числам 3, 4, 5, следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, он является прямоугольным с гипотенузой геометрия решение задач площади фигур

По формуле геометрия решение задач площади фигурнаходим высоту этого треугольника, которая одновременно является и высотой трапеции: геометрия решение задач площади фигурСледовательно, геометрия решение задач площади фигур

Ответ: 270 геометрия решение задач площади фигур

Как видим, этот способ намного более рационален, в частности, с точки зрения вычислений. Рассмотрим еще одну задачу, для решения которой используется дополнительное построение.

Пример:

Диагонали трапеции равны 30 см и 40 см и пересекаются под прямым углом. Найдите площадь трапеции.

Попробуем решить эту задачу чисто геометрическими методами. Основная сложность заключается в том, что данные отрезки не являются сторонами одного треугольника. Попробуем «исправить» эту ситуацию.

Решение:

Пусть дана трапеция геометрия решение задач площади фигурв которой геометрия решение задач площади фигур геометрия решение задач площади фигурПроведем через вершину геометрия решение задач площади фигурпрямую геометрия решение задач площади фигурпараллельную диагонали геометрия решение задач площади фигур(рис. 155).

геометрия решение задач площади фигур

Очевидно, что по построению угол геометрия решение задач площади фигурбудет прямым, т.е. треугольник геометрия решение задач площади фигурпрямоугольный с гипотенузой геометрия решение задач площади фигурС другой стороны, геометрия решение задач площади фигур— параллелограмм, тогда геометрия решение задач площади фигур

Обратим внимание на то, что треугольники геометрия решение задач площади фигурравновеликие, поскольку геометрия решение задач площади фигура высоты, проведенные к этим сторонам, являются высотами трапеции. Таким образом, геометрия решение задач площади фигурт.е. искомая площадь трапеции равна площади треугольника геометрия решение задач площади фигуркоторая, в свою очередь, равна полупроизведению его катетов:
геометрия решение задач площади фигур
Ответ: 600 геометрия решение задач площади фигур

Видео:Площади фигур Решение задач по предмету ГеометрияСкачать

Площади фигур  Решение задач по предмету Геометрия

Применение площадей

Теорема (об отношении площадей подобных треугольников)

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Пусть геометрия решение задач площади фигурс коэффициентом геометрия решение задач площади фигурт.е. геометрия решение задач площади фигурДокажем, что

геометрия решение задач площади фигур

Проведем в данных треугольниках высоты геометрия решение задач площади фигур(рис. 161).

геометрия решение задач площади фигур

Прямоугольные треугольники геометрия решение задач площади фигурподобны, поскольку геометрия решение задач площади фигурЭто означает, что геометрия решение задач площади фигурт.е. геометрия решение задач площади фигурУчитывая, что геометрия решение задач площади фигуримеем:

геометрия решение задач площади фигур

Пример:

Средняя линия отсекает от данного треугольника треугольник с площадью 8 геометрия решение задач площади фигурНайдите площадь данного треугольника.

Решение:

Пусть геометрия решение задач площади фигур— средняя линия треугольника геометрия решение задач площади фигурпараллельная стороне геометрия решение задач площади фигур(рис. 162), геометрия решение задач площади фигур

геометрия решение задач площади фигур

Треугольники геометрия решение задач площади фигурподобны по двум сторонам и углу между ними, причем геометрия решение задач площади фигурТогда по доказанной теореме геометрия решение задач площади фигуроткуда геометрия решение задач площади фигур
Ответ: геометрия решение задач площади фигур

Метод площадей

Понятия площади и формулы ее вычисления могут применяться даже в тех задачах, в условиях которых площадь не упоминается. Рассмотрим такой пример.

Пример:

Стороны параллелограмма равны 16 см и 12 см. Высота параллелограмма, проведенная к большей стороне, равна 3 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне.

Решение:

Пусть дан параллелограмм со сторонами геометрия решение задач площади фигурк которым проведены высоты геометрия решение задач площади фигурдлину которой необходимо найти (рис. 163).

геометрия решение задач площади фигур

По формуле площади параллелограмма геометрия решение задач площади фигуроткуда геометрия решение задач площади фигур

Таким образом, геометрия решение задач площади фигур

При решении этой задачи площадь параллелограмма вычислялась двумя разными способами. Поскольку площадь многоугольника независимо от способа ее вычисления определяется однозначно, то полученные выражения приравнивались, благодаря чему удалось связать известные величины с искомой. Такой метод, основанный на использовании площади как вспомогательной величины, называется методом вспомогательной площади или просто методом площадей.

Заметим, что из формул площади параллелограмма геометрия решение задач площади фигури площади треугольника геометрия решение задач площади фигурследует важное утверждение: в параллелограмме (треугольнике) большей является высота, проведенная к меньшей стороне, меньшей — высота, проведенная к большей стороне.

Метод площадей используется как в задачах на вычисление, так и для доказательства утверждений.

Пример:

Сумма расстояний от точки, взятой внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от выбора точки и равна высоте треугольника. Докажите.

Решение:

Пусть точка геометрия решение задач площади фигурлежит внутри равностороннего треугольника геометрия решение задач площади фигурсо стороной геометрия решение задач площади фигури геометрия решение задач площади фигур— расстояния от данной точки до сторон треугольника (рис. 164).

геометрия решение задач площади фигур

Соединим точку геометрия решение задач площади фигурс вершинами треугольника. Площадь треугольника геометрия решение задач площади фигурравна сумме площадей треугольников геометрия решение задач площади фигури геометрия решение задач площади фигурв которых отрезки геометрия решение задач площади фигурявляются высотами. Имеем:

геометрия решение задач площади фигур

Отсюда геометрия решение задач площади фигурт.е. сумма рассматриваемых расстояний равна высоте треугольника и не зависит от выбора точки геометрия решение задач площади фигур

Другие доказательства теоремы Пифагора

Исторически появление и доказательство теоремы Пифагора связаны с вычислением площадей. Поэтому в классической формулировке этой теоремы речь идет не о квадратах сторон прямоугольного треугольника, а о площадях соответствующих фигур:

  • площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

Рисунок 165, который наглядно воплощает эту формулировку, стал своеобразным символом геометрии и среди гимназистов позапрошлого столетия получил название «пифагоровы штаны».

геометрия решение задач площади фигур

Шутливый стишок про «пифагоровы штаны» школьники запоминали на всю жизнь.

Докажем теорему Пифагора с помощью площадей.

геометрия решение задач площади фигур

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами геометрия решение задач площади фигури гипотенузой геометрия решение задач площади фигур(рис. 166, а). Достроим его до квадрата со стороной геометрия решение задач площади фигуртак, как показано на рисунке 166, б. Площадь этого квадрата равна геометрия решение задач площади фигурПостроенный квадрат состоит из четырех равных прямоугольных треугольников площадью геометрия решение задач площади фигури четырехугольника со сторонами длиной геометрия решение задач площади фигуркоторый является квадратом (докажите это самостоятельно). Итак, имеем: ^

геометрия решение задач площади фигур

т.е. геометрия решение задач площади фигур

На рисунках 166, в, г показаны другие способы доказательства теоремы Пифагора с помощью площадей. В трактатах индийского математика XII ст. Бхаскари один из них сопровождался только одним словом: «Смотри!». В целом сегодня известно более 150 разных способов доказательства этой знаменитой теоремы. Но каждый из вас может изобрести и свой собственный способ.

геометрия решение задач площади фигур

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону

геометрия решение задач площади фигур
Сумма углов многоугольника
Сумма углов выпуклого геометрия решение задач площади фигур-угольника равна геометрия решение задач площади фигур

геометрия решение задач площади фигур
Сумма внешних углов выпуклого геометрия решение задач площади фигур-угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна геометрия решение задач площади фигур

геометрия решение задач площади фигур
Описанный многоугольник

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат в этой окружности.

геометрия решение задач площади фигур

Описанный многоугольник.

Многоугольником называют описанным около окружностей, если все его стороны касаются этой окружности.

геометрия решение задач площади фигур

Аксиомы площадей

  1. Равные многоугольники имеют равные площади.
  2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
  3. Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна единице площади

Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равные площади

геометрия решение задач площади фигур геометрия решение задач площади фигургде геометрия решение задач площади фигур— стороны прямоугольника.

геометрия решение задач площади фигур геометрия решение задач площади фигургде геометрия решение задач площади фигур— сторона квадрата

геометрия решение задач площади фигур геометрия решение задач площади фигургде геометрия решение задач площади фигур— сторона параллелограмма,

геометрия решение задач площади фигур— проведенная к ней высота

геометрия решение задач площади фигур геометрия решение задач площади фигургде геометрия решение задач площади фигур— сторона треугольника, геометрия решение задач площади фигур— проведенная к ней высота.

геометрия решение задач площади фигур геометрия решение задач площади фигургеометрия решение задач площади фигур— катеты прямоугольного треугольника.

геометрия решение задач площади фигур геометрия решение задач площади фигургде геометрия решение задач площади фигур— сторона треугольника.

геометрия решение задач площади фигур геометрия решение задач площади фигургде геометрия решение задач площади фигур— диагонали ромба.

геометрия решение задач площади фигур геометрия решение задач площади фигургде геометрия решение задач площади фигуроснование трапеции, геометрия решение задач площади фигур— высота трапеции.

Теорема об отношении площадей подобных треугольников Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

Историческая справка:

Вычисление площадей многоугольников — первая среди тех практических задач, благодаря которым появилась геометрия как наука. Но не всегда представление об измерении площадей было таким, как сегодня.

Например, древние египтяне при вычислении площади любого треугольника брали половину произведения двух его сторон. Так же пять столетий назад измеряли площадь треугольника и в Древней Руси. Чтобы найти площадь четырехугольника, который не является квадратом, в Вавилоне использовали формулу произведения полусумм его противолежащих сторон.

В Средние века для вычисления площади треугольника со стороной и проведенной к ней высотой, которые выражаются целым числом геометрия решение задач площади фигурбрали сумму членов натурального ряда от 1 до геометрия решение задач площади фигурт.е. число геометрия решение задач площади фигур

Кстати, в то время знали и правильную формулу площади этого треугольника геометрия решение задач площади фигурЕе обосновал средневековый математик Герберт, который в X ст. даже занимал какое-то время престол Римского Папы под именем Сильвестра II.

Древние вавилоняне еще четыре тысячи лет назад умели правильно вычислять площадь квадрата, прямоугольника, трапеции. Немало формул площадей и объемов, с которыми вы познакомитесь в старших классах, открыл знаменитый греческий ученый Архимед (ок. 287-212 гг. до н. э.). И это все при том, что в те древние времена не было даже алгебраической символики!

Сегодня, благодаря значительно более широкому применению алгебры в геометрии, мы имеем возможность дать куда более простые и понятные решения многих задач, чем это было возможно в те далекие времена.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар
  • Четырехугольник
  • Площади фигур в геометрии
  • Площади поверхностей геометрических тел
  • Эллипс
  • Гипербола
  • Парабола
  • Многогранник

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔍 Видео

геометрия ПЛОЩАДИ ФИГУР задачи 8 класс АтанасянСкачать

геометрия ПЛОЩАДИ ФИГУР задачи 8 класс Атанасян

Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shortsСкачать

Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shorts

Площади фигур. Решение задач на нахождение площади нестандартных фигур.Скачать

Площади фигур. Решение задач на нахождение площади нестандартных фигур.

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

8 класс Геометрия. Площади фигур Площади треугольников и четырехугольников Площадь трапеции Урок #12Скачать

8 класс Геометрия. Площади фигур Площади треугольников и четырехугольников Площадь трапеции Урок #12

Геометрия 8. Урок 13 - Площадь четырехугольников. ЗадачиСкачать

Геометрия 8. Урок 13 - Площадь четырехугольников. Задачи

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Самый простой способ нахождения площади

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.

Площадь фигурыСкачать

Площадь фигуры

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать

Запомни: все формулы для площади треугольника

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 класс

Как запомнить площади фигур в геометрии? #егэпрофиль #профиль #егэ #умскул #профильнаяматематикаСкачать

Как запомнить площади фигур в геометрии? #егэпрофиль #профиль #егэ #умскул #профильнаяматематика
Поделиться или сохранить к себе: