геометрия решение задач площади фигур (3 видео)

Содержание

Тренажер «Задачи на вычисление площадей плоских фигур». материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (8, 9, 10, 11 класс)
Скачать:
Предварительный просмотр:
Подборка задач по теме «Площади фигур»
Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения
Применение площадей
Метод площадей
Другие доказательства теоремы Пифагора
🔍 Видео

Видео:Площади фигур. Повторяем формулы и решаем задачи. Вебинар | МатематикаСкачать

Тренажер «Задачи на вычисление площадей плоских фигур».
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (8, 9, 10, 11 класс)

Подборка задач на вычисление площадей плоских фигур при подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Скачать:

Вложение	Размер
ploshchadi_figur.zip	304.89 КБ

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Предварительный просмотр:

Задачи на вычисление площадей плоских фигур

Для решения задач на вычисление площадей необходимо знать:

1. Формулы площадей фигур (квадрат, прямоугольник, треугольник, трапеция, параллелограмм, четырёхугольник, круг, сектор круга);

2. Теорему Пифагора;

3. Теорему косинусов;

4. Теорему о сумме углов треугольника;

5. Понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла в прямоугольном треугольнике;

6. Процесс решения квадратного уравнения (формулы дискриминанта и корней);

7. Формулы для решения треугольника (отношения высот, медиан, формулы связи радиусов вписанной и описанной окружности с его площадью).

Часть 1. Устные упражнения

Найдите площадь квадрата, если сторона квадрата равна 4 см.
Найдите площадь квадрата, если сторона квадрата равна 9 см.
Найдите площадь квадрата, если периметр равен 24 см.
Найдите площадь квадрата, если периметр равен 16 см.
Найдите сторону квадрата, если его площадь равна 1,44 см 2 .
Найдите сторону квадрата, если его площадь равна 2,89 см 2 .
Найдите площадь прямоугольника, если смежные стороны прямоугольника равны 2,5 см и 3,2 см.
Найдите площадь прямоугольника, если смежные стороны прямоугольника равны 2,5 см и 1,6 см.
Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со смежными сторонами 8 м и 18 м.
Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со смежными сторонами 6 м и 24 м.
Периметр прямоугольника равен 16 см, а длина в 3 раза больше ширины. Найдите его площадь.
Периметр прямоугольника равен 24 см, а длина в 2 раза больше ширины. Найдите его площадь.
Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 72 см 2 , а длины его сторон относятся как 1:2.
Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 50 см 2 , а длины его сторон относятся как 1:2.
Сторона параллелограмма равна 16см, а высота, проведенная к ней равна 5 см. Чему равна площадь параллелограмма?
Сторона параллелограмма равна 12см, а высота, проведенная к ней равна 5 см. Чему равна площадь параллелограмма?
Найдите площадь треугольника, если сторона равна 16 см, а высота, проведенная к ней равна 5см.
Найдите площадь треугольника, если сторона равна 20 см, а высота, проведенная к ней равна 6см.
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если катеты равны 4 см и 9 см.
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если катеты равны 5 см и 12 см.
Найдите площадь ромба, если длины диагоналей равны 8 м и 10 м .
Найдите площадь ромба, если длины диагоналей равны 12 м и 10 м .
Найдите площадь трапеции, если основания равны 8см и 12 см, а высота равна 4 см.
Найдите площадь трапеции, если основания равны 8 см и 4 см, а высота равна 9 см.
Найдите площадь квадрата, если диагональ равна 2 см.
Найдите площадь квадрата, если диагональ равна 2 см.
Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если катеты равны 6 см и 8 см.
Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если катеты равны 12 см и 5 см.
Сторона ромба равна 5 см, а одна из его диагоналей – 6 см. Чему равна площадь ромба.
Площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой 26 см, один из катетов которого равен 24 см, равна:

Часть 2. Задачи для фронтальной работы с классом.

Периметр прямоугольника равен 18 см, а одна из его сторон на 1 см больше другой. Чему равна площадь прямоугольника? (Ответ: 20 см 2 ).
Периметр прямоугольника равен 24 см, а одна из его сторон в 2 раза меньше другой. Чему равна площадь прямоугольника? (Ответ: 32 см 2 ).
В прямоугольнике ABCD сторона BС равна 18 см. Расстояние от точки пересечения диагоналей до этой стороны равно 7 см. Найдите площадь треугольника BCD. (Ответ: 126 см 2 ).
В прямоугольнике ABCD сторона AB равна 12 см. Расстояние от точки пересечения диагоналей до этой стороны равно 8 см. Найдите площадь треугольника ABC. (Ответ: 96 см 2 ).
Периметр прямоугольника равен 20 см, а одна из его сторон равна 8 см. Прямоугольник имеет такую же площадь, что и квадрат. Чему равен периметр квадрата? (Ответ: 16 см).
Периметр квадрата равен 24 см. Прямоугольник имеет такую же площадь, что и квадрат, а одна из его сторон равна 9 см. Чему равен периметр прямоугольника? (Ответ: 26 см).
Стороны параллелограмма равны 10 см и 6 см, а угол между ними равен 150 ° . Чему равна площадь этого параллелограмма? (Ответ: 30 см 2 ).
Стороны параллелограмма равны 12 см и 8 см, а угол между ними равен 30 ° . Чему равна площадь этого параллелограмма? (Ответ: 48 см 2 ).
Чему равна площадь ромба, диагонали которого равны 8 см и 6 см? (Ответ: 24 см 2 ).
Чему равна площадь ромба, диагонали которого равны 10 см и 12 см? (Ответ: 60 см 2 ).
Две стороны треугольника равны 12 см и 9 см, а угол между ними 30 ° . Чему равна площадь треугольника? (Ответ: 27 см 2 ).
Найдите площадь треугольника, две стороны треугольника равны 8 см и 6 см, а угол между ними 30 ° . (Ответ: 24 см 2 ).
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 6 см, а его гипотенуза – 10 см. Чему равна площадь треугольника? (Ответ: 24 см 2 ).
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 5 см, а его гипотенуза – 13 см. Чему равна площадь треугольника? (Ответ: 30 см 2 ).
Основания трапеции равны 5 см и 9 см, её высота – 6 см. Чему равна площадь трапеции? (Ответ: 42 см 2 ).
Основания трапеции равны 4 см и 8 см, её высота – 9 см. Чему равна площадь трапеции? (Ответ: 54 см 2 ).
В равнобедренной трапеции основания равны 6 см и 10 см, а угол при основании равен 45 ° . Чему равна площадь трапеции? (Ответ: 16 см 2 ).
В равнобедренной трапеции основания равны 8 см и 16 см, а угол при основании равен 45 ° . Чему равна площадь трапеции? (Ответ: 48 см 2 ).
В прямоугольной трапеции основания равны 5 см и 9 см, а меньшая боковая сторона — 4 см. Чему равна площадь трапеции? (Ответ: 28 см 2 ).
В прямоугольной трапеции основания равны 6 см и 10 см, а меньшая боковая сторона — 4 см. Чему равна площадь трапеции? (Ответ: 32 см 2 ).
Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 12 см и 18 см. Чему равна площадь трапеции? (Ответ: 108 см 2 ).
Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 14 см и 16 см. Чему равна площадь трапеции? (Ответ: 112 см 2 ).
В равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, больший из которых равен 18 см. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 12 см. (Ответ: 216 см 2 ).

Часть 3. Самостоятельные и контрольные работы.

Самостоятельная работа по теме
«Площади многоугольников»

1. В треугольнике ABC угол A равен 45°, ВС = 13 см, а высота BD отсекает на стороне AС отрезок DC , равный 12 см. Найдите площадь треугольника ABC и высоту, проведенную к стороне ВС .
2. Одна из диагоналей ромба на 4 см больше другой, а площадь ромба равна 96 см 2 . Найдите стороны ромба.

1. В треугольнике ABC угол В = 45°, высота AN делит сторону ВС на отрезки BN = 8 см и NC = 6 см. Найдите площадь треугольника ABC и сторону АС .
2. Найдите площадь ромба, если его сторона равна 20 см, а диагонали относятся как 3 : 4.

Вариант III (для более подготовленных учащихся)

1. В треугольнике ABC угол A равен 30°, а угол В равен 75°, высота ВО равна 6 см. Найдите площадь треугольника ABC .
2. Высота ВК ромба ABCD делит сторону AD на отрезки AK = 6 см и KD = 4 см. Найдите площадь ромба и его диагонали.

Самостоятельная работа по теме
«Площадь треугольника»

На рисунке АО = ОВ , OC = 2 OD , S AOC = 12 см 2 . Найдите S BOD .

На рисунке OB = ОC , OD = 3 OA , S AOC = 16 см 2 . Найдите S BOD .

Вариант III (для более подготовленных учащихся)

На рисунке OA = AB , АС || ВD . Докажите, что S OBC = S OAD .

Основания равнобедренной трапеции 12 см и 16 см, а ее диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.

Сторона треугольника равна 5см, а высота, проведенная к ней, в 2 раза больше стороны. Найдите площадь треугольника.
Стороны параллелограмма равны 6см и 8см, а угол между ними равен 30º. Найдите площадь параллелограмма.
В прямоугольной трапеции основания равны 7см и 11см, большая боковая сторона составляет с основанием угол45º. Найдите площадь трапеции.
В треугольнике ABC стороны AB и BC соответственно равны 14см и 18см. Сторона AB продолжена за точку А на отрезок AM, равный AB. Сторона BC продолжена за точку С на отрезок KC, равный половине BC. Найдите площадь треугольника MBK, если площадь треугольника ABC равна 126см 2 .

Сторона треугольника равна 18см, а высота, проведенная к ней, в 3 раза меньше стороны. Найдите площадь треугольника.
Стороны параллелограмма равны 4см и 7см, а угол между ними 150º. Найдите площадь параллелограмма.
В равнобедренной трапеции ABCM большее основание AMравно 20см, высота BH отсекает от AM отрезок AH, равный 6см. Угол BAM равен 45º. Найдите площадь трапеции.
В ромбе ABCD на стороне BC отмечена точка K такая, чтоKC:BK=3:1. Найдите площадь треугольника ABK, если площадь ромба равна 48см 2 .

Самостоятельная работа по теме «Площадь»

В параллелограмме ABCD угол B тупой. На продолжении стороны AD за вершину D отмечена точка E так, что ∠ ECD =60 °, ∠ CED =90 °, AD =10 см. Найдите площадь параллелограмма. (Ответ: 20 см 2 ).
Найдите углы параллелограмма, если его площадь равна 20 см 2 , а высота, проведенная из вершины тупого угла, делит одну из сторон на отрезки 2 см и 8 см, считая от вершины острого угла. (Ответ: 45 °, 135 °).
В прямоугольнике ABCD BD =12 см. Вершина В удалена от прямой АС на 4 см. Найдите площадь треугольника АВС. (Ответ: 24 см 2 ).
Периметр равнобедренной трапеции равен 32 см, боковая сторона 5 см, площадь 44 см 2 . Найдите высоту трапеции. (Ответ: 4 см).

В параллелограмме MPKT на стороне МТ отмечена точка E , ∠ РEМ =90 °, ∠ EРТ =45 °, МЕ =4 см, ЕТ =7 см. Найдите площадь параллелограмма. (Ответ: 77 см 2 ).
Найдите углы параллелограмма, если его площадь равна 20 см 2 , а высота, проведенная из вершины тупого угла, делит одну из сторон на отрезки 2 см и 8 см, считая от вершины острого угла. (Ответ: 45 °, 135 °).
Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 см. (Ответ: 25 см 2 ).
В прямоугольной трапеции площадь равна 30 см 2 , периметр 28 см, а меньшая боковая сторона 3 см. Найдите большую боковую сторону. (Ответ: 5 см).

Контрольная работа по теме
«Площади многоугольников»

1. Смежные стороны параллелограмма равны 32 см и 26 см, а один из его углов равен 150°. Найдите площадь параллелограмма.
2. Площадь прямоугольной трапеции равна 120 см 2 , а ее высота равна 8 см. Найдите все стороны трапеции, если одно из оснований больше другого на 6 см.
3. На стороне АС данного треугольника ABC постройте точку D так, чтобы площадь треугольника ABD составила одну треть площади треугольника ABC .

1. Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой и равна 9 см. Найдите стороны этого параллелограмма, если его площадь равна 108 см 2 .
2. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и ВС , если AB = 12 см, ВС = 14 см, AD = 30 см, угол B равен 150°.
3. На продолжении стороны KN данного треугольника KMN постройте точку P так, чтобы площадь треугольника NMP была в два раза меньше площади треугольника KMN .

Вариант III (для более подготовленных учащихся)

1. Стороны параллелограмма равны 12 см и 8 см, а угол между высотами, проведенными из вершины тупого угла, равен 30°. Найдите площадь параллелограмма.
2. Середина М боковой стороны CD трапеции ABCD соединена отрезками с вершинами A и В . Докажите, что площадь треугольника АВМ в два раза меньше площади данной трапеции.
3. Точки A 1 , B 1 , C 1 лежат соответственно на сторонах ВС , АС , АВ треугольника ABC , причем АВ 1 = 1/3 АС , СА 1 = 1/3 СВ , ВС 1 =1/3 BA . Найдите площадь треугольника A 1 B 1 C 1 , если площадь треугольника ABC равна 27 см 2 .

Контрольная работа по теме
«Площади многоугольников»

Вариант III (для более подготовленных учащихся)

Подборка задач из Открытого банка заданий по математике

В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен . Найдите площадь треугольника.
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а острый угол, прилежащий к нему, равен . Найдите площадь треугольника.
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен . Найдите площадь треугольника.
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а острый угол, прилежащий к нему, равен . Найдите площадь треугольника.
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 20, а угол, лежащий напротив него, равен . Найдите площадь треугольника.
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 30, а острый угол, прилежащий к нему, равен . Найдите площадь треугольника.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 62, а один из острых углов равен 30°. Найдите площадь треугольника.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 54, а один из острых углов равен 60° . Найдите площадь треугольника.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 24, а один из острых углов равен . Найдите площадь треугольника.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 52, а один из острых углов равен . Найдите площадь треугольника.
Сторона равностороннего треугольника равна 48. Найдите его площадь.
Сторона равностороннего треугольника равна 16. Найдите его площадь.
Периметр равностороннего треугольника равен 264. Найдите его площадь.
Высота равностороннего треугольника равна 7. Найдите его площадь.
В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 94, а угол, лежащий напротив основания, равен . Найдите площадь треугольника.
В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 14, а угол, лежащий напротив основания, равен . Найдите площадь треугольника.
Периметр равнобедренного треугольника равен 48, а боковая сторона — 15. Найдите площадь треугольника.
Периметр равнобедренного треугольника равен 324, а боковая сторона — 90. Найдите площадь треугольника.
Периметр равнобедренного треугольника равен 392, а основание — 192. Найдите площадь треугольника.
В треугольнике одна из сторон равна 27, а опущенная на нее высота — 11. Найдите площадь треугольника.
В треугольнике одна из сторон равна 2, а опущенная на нее высота — 17. Найдите площадь треугольника.
В треугольнике одна из сторон равна 2, другая равна , а угол между ними равен . Найдите площадь треугольника.
В треугольнике одна из сторон равна 28, другая равна , а угол между ними равен . Найдите площадь треугольника.
В ромбе сторона равна 44, одна из диагоналей — 44, а угол, из которого выходит эта диагональ, равен . Найдите площадь ромба.
Радиус круга равен 36, а длина ограничивающей его окружности равна . Найдите площадь круга.
В ромбе сторона равна 38, одна из диагоналей — , а угол, лежащий напротив этой диагонали, равен . Найдите площадь ромба.
В ромбе сторона равна 22, одна из диагоналей — , а угол, из которого выходит эта диагональ, равен . Найдите площадь ромба.
В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 47, основание — , а угол, лежащий напротив основания, равен . Найдите площадь треугольника.
В прямоугольнике диагональ равна 96, угол между ней и одной из сторон равен 30°, длина этой стороны . Найдите площадь прямоугольника.
В прямоугольнике диагональ равна 92, а угол между ней и одной из сторон равен 60°, длина этой стороны равна 46. Найдите площадь прямоугольника.
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен , острый угол, прилежащий к нему, равен , а гипотенуза равна 28. Найдите площадь треугольника.
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 4, угол, лежащий напротив него, равен , а гипотенуза равна 8. Найдите площадь треугольника.
Найдите площадь кругового сектора, если радиус круга равен 4, а угол сектора равен .
Найдите площадь кругового сектора, если длина ограничивающей его дуги равна , а угол сектора равен .
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 43, острый угол, прилежащий к нему, равен , а гипотенуза равна 86. Найдите площадь треугольника.
Основания трапеции равны 3 и 24, одна из боковых сторон равна 7, а тангенс угла между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.
Основания трапеции равны 2 и 16, одна из боковых сторон равна 6, а тангенс угла между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.
Радиус круга равен 41. Найдите его площадь.
Основания трапеции равны 10 и 100, одна из боковых сторон равна 5, а синус угла между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.
Основания трапеции равны 7 и 42, одна из боковых сторон равна 15, а косинус угла между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.
Основания трапеции равны 9 и 27, одна из боковых сторон равна 26, а косинус угла между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.
Основания трапеции равны 4 и 12, одна из боковых сторон равна , а угол между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.
Основания трапеции равны 9 и 24, одна из боковых сторон равна , а угол между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.
Основания трапеции равны 5 и 45, одна из боковых сторон равна 13, а синус угла между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.
Одна из сторон параллелограмма равна 15, другая равна 6, а тангенс одного из углов равен . Найдите площадь параллелограмма.
Основания трапеции равны 4 и 25, одна из боковых сторон равна , а угол между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.
Одна из сторон параллелограмма равна 50, другая равна 1, а косинус одного из углов равен . Найдите площадь параллелограмма.
Одна из сторон параллелограмма равна 8, другая равна 18, а тангенс одного из углов равен . Найдите площадь параллелограмма.
Одна из сторон параллелограмма равна 20, другая равна 29, а тангенс одного из углов равен . Найдите площадь параллелограмма.
Одна из сторон параллелограмма равна 21, другая равна 3, а один из углов — . Найдите площадь параллелограмма.
Одна из сторон параллелограмма равна 18, другая равна 25, а синус одного из углов равен . Найдите площадь параллелограмма.
Одна из сторон параллелограмма равна 13, другая равна 24, а один из углов — . Найдите площадь параллелограмма.
Одна из сторон параллелограмма равна 17, другая равна 10, а один из углов — . Найдите площадь параллелограмма.
Одна из сторон параллелограмма равна 30, другая равна 9, а один из углов — . Найдите площадь параллелограмма.
Периметр ромба равен 128, а тангенс одного из углов равен . Найдите площадь ромба.
Периметр ромба равен 20, а тангенс одного из углов равен . Найдите площадь ромба.
Одна из сторон параллелограмма равна 20, а опущенная на нее высота равна 23. Найдите площадь параллелограмма.
Одна из сторон параллелограмма равна 16, а опущенная на нее высота равна 25. Найдите площадь параллелограмма.
Одна из сторон параллелограмма равна 19, а опущенная на нее высота равна 27. Найдите площадь параллелограмма.
Периметр ромба равен 80, а косинус одного из углов равен . Найдите площадь ромба.
Периметр ромба равен 84, а косинус одного из углов равен . Найдите площадь ромба.
Периметр ромба равен 144, а косинус одного из углов равен . Найдите площадь ромба.
Периметр ромба равен 72, а тангенс одного из углов равен . Найдите площадь ромба.
Периметр ромба равен 28, а один из углов равен . Найдите площадь ромба.
Периметр ромба равен 128, а один из углов равен . Найдите площадь ромба.
Периметр ромба равен 108, а синус одного из углов равен . Найдите площадь ромба.
Периметр ромба равен 36, а синус одного из углов равен . Найдите площадь ромба.
Периметр ромба равен 32, а синус одного из углов равен . Найдите площадь ромба.
Сторона ромба равна 95, а диагональ равна 114. Найдите площадь ромба.
Сторона ромба равна 90, а диагональ равна 144. Найдите площадь ромба.
Периметр ромба равен 148, а один из углов равен . Найдите площадь ромба.
Периметр ромба равен 112, а один из углов равен . Найдите площадь ромба.
Периметр ромба равен 184, а один из углов равен . Найдите площадь ромба.
В прямоугольнике одна сторона равна 45, а диагональ равна 53. Найдите площадь прямоугольника.
В прямоугольнике одна сторона равна 15, а диагональ равна 17. Найдите площадь прямоугольника.
В прямоугольнике диагональ равна 42, а угол между ней и одной из сторон равен . Найдите площадь прямоугольника.
Сторона ромба равна 29, а диагональ равна 42. Найдите площадь ромба.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 52, а один из острых углов равен . Найдите площадь треугольника.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 24, а один из острых углов равен . Найдите площадь треугольника.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 52, а один из острых углов равен . Найдите площадь треугольника.
Сторона равностороннего треугольника равна 48. Найдите его площадь.
Сторона равностороннего треугольника равна 16. Найдите его площадь.
Периметр равнобедренного треугольника равен 48, а боковая сторона — 15. Найдите площадь треугольника.
Периметр равнобедренного треугольника равен 196, а боковая сторона — 53. Найдите площадь треугольника.
В прямоугольнике одна сторона равна 13, другая сторона равна 9. Найдите площадь прямоугольника.
В прямоугольнике одна сторона равна 13, периметр равен 62. Найдите площадь прямоугольника.
В прямоугольнике одна сторона равна 14, периметр равен 54. Найдите площадь прямоугольника.
В прямоугольнике одна сторона равна 84, а диагональ равна 91. Найдите площадь прямоугольника.
В прямоугольнике одна сторона равна 52, а диагональ равна 65. Найдите площадь прямоугольника.

1 Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

2 Найдите диагональ квадрата, если его площадь равна 2.

3 Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 4 и 9.

4 Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 18, и одна сторона на 3 больше другой.

5 Площадь прямоугольника равна 18. Найдите его большую сторону, если она на 3 больше меньшей стороны.

6 Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 18, а отношение соседних сторон равно 1:2.

Видео:КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | МатематикаСкачать

Подборка задач по теме «Площади фигур»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Площадь прямоугольника равна 75. Найдите стороны этого прямоугольника, если одна из них в 3 раза больше другой.

Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна5, а угол между диагоналями равен 60°.

Площадь параллелограмма равна 90. Найдите высоту параллелограмма, проведенную к стороне, равной 12.

Найдите площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна 12.

Вычислите площадь трапеции АВСД с основаниями АД и ВС, если АД=20, ВС=4, АВ=16 и угол А=30°.

Найдите площадь равнобедренной трапеции, основания которой равны 8 и 12, а боковая сторона равна 10.

Площадь прямоугольника равна 520 м 2 , а отношение его сторон равно 2: 5. Найдите периметр данного прямоугольника.

Стороны параллелограмма равны 5 см и 11 см. Найдите его площадь, если один из углов равен 30°.

Найдите площадь ромба со стороной 24 см и углом 120°.

Найдите площадь параллелограмма, периметр которого равен 42 см, а высоты равны 8 см и 6 см.

Найдите периметр ромба, площадь которого равна 48 см 2 а острый угол равен 30°.

Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 8 см и 18 см, а боковая сторона равна средней линии.

В прямоугольной трапеции большая боковая сторона равна сумме оснований, высота равна 12 см. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции.

Стороны треугольника относятся как З : 25 : 26. Его площадь равна 144 см 2 . Найдите периметр данного треугольника.

Основание равнобедренного треугольника равно 5 см. Медианы боковых сторон перпендикулярны. Найдите площадь данного треугольника.

В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна m , а гипотенуза равна с. Найдите площадь треугольника, не вычисляя его катетов.

В четырехугольнике АВС D диагонали перпендикулярны и равны 4 см и 11 см. Найдите его площадь.

Точка касания круга, вписанного в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на части, равные 4 см и 6 см. Найдите площадь этого круга.

1. Дано: прямоугольник ABCD , B C

Найти: все стороны A D

Пусть AB = x , тогда BC =3 x

Ответ: AB =5см, BC =15см B C

2. Дано: прямоугольник ABCD ,

Найти : S _ABCD A D

1) ∆ BOA -равносторонний, т.к. ВО=АО, как половины диагоналей прямоугольника,

BOA =60 ° , значит BOA = AOB =60 °.

2)Рассмотрим ∆ ABD , он прямоугольный,

BD =10, AB =5, по т.Пифагора:

BD 2 =AB 2 +AD 2 , AD 2 =100-25=75, AD=

3) S _ABCD =AB*AD=5* =25

Ответ : S _ABCD = 25

3. Дано : параллелограмм ABCD, B C

AD=12, S _ABCD =90c м 2

Найти: высоту BH

4. Дано: равносторонний ∆,

где одна из сторон равна 12

Решение :

Ответ: S =36 см 2

5. Дано: трапеция ABCD , B C

AB=16, AD=20, BC=4, BAD= З 0°

BH =8(т.к.катет, лежащий против угла в З0°)

Ответ: S _ABCD =96см 2

6. Дано: равнобедренная трапеция ABCD ( C м.рис.к задаче№5)

AB = CD =10см, ВС=8см, AD =12см

1)По т.Пифагора в ∆ ABH :

BH 2 =96 BH

2)S _ABCD

Ответ : S _ABCD см 2

7. Дано: прямоугольник ABCD , S _ABCD =520м 2 , AB : BC =2:5

Решение: B C

1)Пусть x -одна часть, тогда AB =2 x , BC =5 x , P =2( AB + BC ),

2)2x*5x=S, 2x*5x=520 A D

x 2 =52 x

3) P =

Ответ: P =см

8. Дано: параллелограмм ABCD ,

AB =5, BC =11, угол BAD =З0°

S _ABCD = ab *=5*11*=55*=27,5

Ответ: S _ABCD =27,5см 2

9. Дано: ромб ABCD , B

AB=AD=24, =120 °

Решение : A C

DAH=

2)по т.Пифагора: D

3)S _ABCD AH*DC

Ответ : S _ABCD см 2

10. Дано: параллелограмм ABCD ,

Решение: B C

AB+AD=21 см , т . к . P=42 см H

2) Пусть AD=x, CD=21-x

Ответ: S _ABCD =72см 2

11. Дано: ромб ABCD ,

_SABCD =48 c м 2 , ABC = B

Найти: P _ABCD H

1)Ромб-параллелограмм A C

2) S р= HC * AB =48

x 2 =24 x= =

3)P=4x=

Ответ : P _ABCD = см

12. Дано: равнобедренная трапеция ABCD ,

FH -средняя линия, AB = CD = FH B C

Найти: S _ABCD F H

169=25+

=144

3)S _ABCD

Ответ: S _ABCD =156см 2

13. Дано: прямоугольная трапеция ABCD ,

большая боковая сторона равна сумме оснований,

Найти: S прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции

1) BC = AH = x , HD = y , CD =2 x + y B C

S = x ( x + y )= x 2 + x

2)Из ∆ CHD по т.Пифагора:

СD 2 =CH 2 +HD 2

( 2x+y) 2 =144+y 2 A H D

4x 2 +4xy+y 2 =144+ y 2

Ответ : S=36 см 2

_SABC =144см 2 B

Решение:

1)По формуле Герона: A C

Ответ: P _ABC =108 c м

15. Дано: ∆ ABC -равнобедренный, B

АС –основание, АС=5см,

медианы боковых сторон перпендикулярны C ₁ A ₁

1)Рассмотрим ∆ AA ₁ C и ∆ CC ₁ A .У них:

AC -общая, C ₁ A = A ₁ C (как половины раных сторон),

угол A =угол C (т.к.углы при основании равнобедренного ∆-ка)

=>∆ AA ₁ C =∆ CC ₁ A (по углу и двум сторонам)

AA ₁= CC ₁,т.к.медианы в ∆-ке при пересечении делятся пополам

в отношении 2:1,считая от вершины,то CO = AO

2)Пусть CO = AO = x

x 2 = x=

3)OH

4) S ∆

Ответ: S ∆=18,75см 2

16. Дано: прямоугольный ∆

сумма катетов равна m,

гипотенуза равна с

Найти: S ∆, не вычисляя его катетов a c

S= b

a 2 +2ab+ b 2 =m 2

2ab=m 2 -c ab=

2) S∆=

Ответ: S ∆=

17. Дано: четырехугольник ABCD ,

AC , BD -диагонали, AC BD , AC =4см, BD =11см

S=S ₁ +S ₂ , где S ₁ =S _ABC , S ₂ =S _ADC B

S ₁

_S2 A C

S= + = ( )= =22 D

Ответ: S _ABCD =22см 2

18. Дано: ∆ ABC -прямоугольный,

точка касания круга, вписанного в ∆ ABC , B

делит гипотенузу на части, равные 4 см и 6 см

Найти: S _круга O

Решение: M R

1)Отрезки касательных, проведенных из одной точки

к одной окружности равны. C N A

4=AO=AN, 6*OB=MB, MC=CN=x

AB =10, AC =4+ x , BC =6+ x

(4+ x ) 2 +(6+ x ) 2 =100

16+8 x + x 2 +36+12 x + x 2 =100

3) S _круга = 2 =4

Ответ: S _круга = 4

Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Решение задач на вычисление площадей многоугольников чаще всего сводится к поиску величин отдельных элементов рассматриваемых фигур и дальнейшему применению соответствующих формул площадей.

Во многих задачах наряду с сугубо геометрическими приемами решения (дополнительные построения, применение равенства фигур и т. п.) используются и методы алгебры (составление уравнений или систем уравнений на основе метрических соотношений между элементами фигуры).

В ходе решения особое внимание следует уделить тому, однозначно ли данные задачи определяют взаимное расположение элементов фигуры.

Пример:

Найдите площадь трапеции, в которой одно из оснований равно 24 см, высота 12 см, а боковые стороны — 13 см и 20 см.

Решение:

Пусть

1) Для трапеции (рис. 152, а): из треугольника по теореме Пифагора имеем аналогично из треугольника имеем тогда

2) Для трапеции (рис. 152, б): из треугольника по теореме Пифагора имеем аналогично из треугольника имеем

3) Для трапеции (рис. 152, в): из треугольника по теореме Пифагора имеем аналогично из треугольника имеем

4) Для трапеции (рис. 152, г): из треугольника по теореме Пифагора имеем аналогично из треугольника имеем тогда т.е. точки расположены на прямой в указанном порядке.

Ответ:

Рассмотренная задача наглядно демонстрирует одну из причин, по которым в процессе решения геометрической задачи может возникать многовариантность. Но даже если такая ситуация не возникает, взаимное расположение элементов фигур нуждается в обосновании.

Пример:

Основания трапеции равны 10 см и 35 см, а боковые стороны — 15 см и 20 см. Найдите площадь трапеции.

Прежде всего заметим, что решение данной задачи фактически сводится к нахождению высоты трапеции. Итак, пусть дана трапеция

Естественно было бы провести, как в предыдущей задаче, высоты (рис. 153) и составить уравнение на основании теоремы Пифагора, примененной к треугольникам и

Такое решение позволит получить правильный ответ, но не будет полным, ведь принадлежность точек отрезку нужно обосновать. Попробуем избежать необходимости такого обоснования, применив для решения другое дополнительное построение.

Решение:

Проведем через вершину прямую параллельную (рис. 154).

Поскольку по построению — параллелограмм, то следовательно, Стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4, 5, следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, он является прямоугольным с гипотенузой

По формуле находим высоту этого треугольника, которая одновременно является и высотой трапеции: Следовательно,

Ответ: 270

Как видим, этот способ намного более рационален, в частности, с точки зрения вычислений. Рассмотрим еще одну задачу, для решения которой используется дополнительное построение.

Пример:

Диагонали трапеции равны 30 см и 40 см и пересекаются под прямым углом. Найдите площадь трапеции.

Попробуем решить эту задачу чисто геометрическими методами. Основная сложность заключается в том, что данные отрезки не являются сторонами одного треугольника. Попробуем «исправить» эту ситуацию.

Решение:

Пусть дана трапеция в которой Проведем через вершину прямую параллельную диагонали (рис. 155).

Очевидно, что по построению угол будет прямым, т.е. треугольник прямоугольный с гипотенузой С другой стороны, — параллелограмм, тогда

Обратим внимание на то, что треугольники равновеликие, поскольку а высоты, проведенные к этим сторонам, являются высотами трапеции. Таким образом, т.е. искомая площадь трапеции равна площади треугольника которая, в свою очередь, равна полупроизведению его катетов:

Ответ: 600

Видео:Площади фигур Решение задач по предмету ГеометрияСкачать

Применение площадей

Теорема (об отношении площадей подобных треугольников)

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Пусть с коэффициентом т.е. Докажем, что

Проведем в данных треугольниках высоты (рис. 161).

Прямоугольные треугольники подобны, поскольку Это означает, что т.е. Учитывая, что имеем:

Пример:

Средняя линия отсекает от данного треугольника треугольник с площадью 8 Найдите площадь данного треугольника.

Решение:

Пусть — средняя линия треугольника параллельная стороне (рис. 162),

Треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними, причем Тогда по доказанной теореме откуда
Ответ:

Метод площадей

Понятия площади и формулы ее вычисления могут применяться даже в тех задачах, в условиях которых площадь не упоминается. Рассмотрим такой пример.

Пример:

Стороны параллелограмма равны 16 см и 12 см. Высота параллелограмма, проведенная к большей стороне, равна 3 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне.

Решение:

Пусть дан параллелограмм со сторонами к которым проведены высоты длину которой необходимо найти (рис. 163).

По формуле площади параллелограмма откуда

Таким образом,

При решении этой задачи площадь параллелограмма вычислялась двумя разными способами. Поскольку площадь многоугольника независимо от способа ее вычисления определяется однозначно, то полученные выражения приравнивались, благодаря чему удалось связать известные величины с искомой. Такой метод, основанный на использовании площади как вспомогательной величины, называется методом вспомогательной площади или просто методом площадей.

Заметим, что из формул площади параллелограмма и площади треугольника следует важное утверждение: в параллелограмме (треугольнике) большей является высота, проведенная к меньшей стороне, меньшей — высота, проведенная к большей стороне.

Метод площадей используется как в задачах на вычисление, так и для доказательства утверждений.

Пример:

Сумма расстояний от точки, взятой внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от выбора точки и равна высоте треугольника. Докажите.

Решение:

Пусть точка лежит внутри равностороннего треугольника со стороной и — расстояния от данной точки до сторон треугольника (рис. 164).

Соединим точку с вершинами треугольника. Площадь треугольника равна сумме площадей треугольников и в которых отрезки являются высотами. Имеем:

Отсюда т.е. сумма рассматриваемых расстояний равна высоте треугольника и не зависит от выбора точки

Другие доказательства теоремы Пифагора

Исторически появление и доказательство теоремы Пифагора связаны с вычислением площадей. Поэтому в классической формулировке этой теоремы речь идет не о квадратах сторон прямоугольного треугольника, а о площадях соответствующих фигур:

площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

Рисунок 165, который наглядно воплощает эту формулировку, стал своеобразным символом геометрии и среди гимназистов позапрошлого столетия получил название «пифагоровы штаны».

Шутливый стишок про «пифагоровы штаны» школьники запоминали на всю жизнь.

Докажем теорему Пифагора с помощью площадей.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами и гипотенузой (рис. 166, а). Достроим его до квадрата со стороной так, как показано на рисунке 166, б. Площадь этого квадрата равна Построенный квадрат состоит из четырех равных прямоугольных треугольников площадью и четырехугольника со сторонами длиной который является квадратом (докажите это самостоятельно). Итак, имеем: ^

т.е.

На рисунках 166, в, г показаны другие способы доказательства теоремы Пифагора с помощью площадей. В трактатах индийского математика XII ст. Бхаскари один из них сопровождался только одним словом: «Смотри!». В целом сегодня известно более 150 разных способов доказательства этой знаменитой теоремы. Но каждый из вас может изобрести и свой собственный способ.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону

Сумма углов многоугольника
Сумма углов выпуклого -угольника равна

Сумма внешних углов выпуклого -угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна

Описанный многоугольник

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат в этой окружности.

Описанный многоугольник.

Многоугольником называют описанным около окружностей, если все его стороны касаются этой окружности.

Аксиомы площадей

Равные многоугольники имеют равные площади.
Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна единице площади

Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равные площади

где — стороны прямоугольника.

где — сторона квадрата

где — сторона параллелограмма,

— проведенная к ней высота

где — сторона треугольника, — проведенная к ней высота.

— катеты прямоугольного треугольника.

где — сторона треугольника.

где — диагонали ромба.

где основание трапеции, — высота трапеции.

Теорема об отношении площадей подобных треугольников Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

Историческая справка:

Вычисление площадей многоугольников — первая среди тех практических задач, благодаря которым появилась геометрия как наука. Но не всегда представление об измерении площадей было таким, как сегодня.

Например, древние египтяне при вычислении площади любого треугольника брали половину произведения двух его сторон. Так же пять столетий назад измеряли площадь треугольника и в Древней Руси. Чтобы найти площадь четырехугольника, который не является квадратом, в Вавилоне использовали формулу произведения полусумм его противолежащих сторон.

В Средние века для вычисления площади треугольника со стороной и проведенной к ней высотой, которые выражаются целым числом брали сумму членов натурального ряда от 1 до т.е. число

Кстати, в то время знали и правильную формулу площади этого треугольника Ее обосновал средневековый математик Герберт, который в X ст. даже занимал какое-то время престол Римского Папы под именем Сильвестра II.

Древние вавилоняне еще четыре тысячи лет назад умели правильно вычислять площадь квадрата, прямоугольника, трапеции. Немало формул площадей и объемов, с которыми вы познакомитесь в старших классах, открыл знаменитый греческий ученый Архимед (ок. 287-212 гг. до н. э.). И это все при том, что в те древние времена не было даже алгебраической символики!

Сегодня, благодаря значительно более широкому применению алгебры в геометрии, мы имеем возможность дать куда более простые и понятные решения многих задач, чем это было возможно в те далекие времена.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Тела вращения: цилиндр, конус, шар
Четырехугольник
Площади фигур в геометрии
Площади поверхностей геометрических тел
Эллипс
Гипербола
Парабола
Многогранник

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.