формула симпсона для вычисления площади

Видео:Формула СимпсонаСкачать

Формула симпсона для вычисления площади

Главная
• Список секций
• Математика
• Уникальность формулы Симпсона

Видео:Метод СимпсонаСкачать

Уникальность формулы Симпсона

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Введение

Уже в 10 классе я задумываюсь о том, мне нужно будет сдавать профильный ЕГЭ по математике. Решая задания ЕГЭ, я столкнулся с заданиями на нахождение объема многогранников и тел вращения, хотя это задания из программы 11 класса. Заинтересовавшись этим вопросом, я узнал, что в связи с многообразием геометрических фигур тел существует огромное количество формул для нахождения площадей и объёма (на каждуюфигуруи каждое тело приходится своя формула). Рассматривая формулы по геометрии, я убедился, что огромное количество формул связано с площадями и объемами фигур. Таких формул более двенадцати по площадям плоских фигур и более десяти по объемам пространственных тел.

И я задался вопросом: а существует ли такая универсальная формула для нахождения площади и объёма геометрических фигур и тел?

Я считаю тему данного проекта актуальной не только среди учащихся, но и среди взрослых, т.к. школьная программа со временем забывается, и мало кому известно о том, что существует такая формула, которая объединила в себе все другие многочисленные и тяжело запоминающие формулы для нахождения объёма.

Проблема

Необходимо ввести в преподавание геометрии универсальную формулу, позволяющую заменить большое количество формул площадей плоских фигур и объемов пространственных тел.

Гипотеза

В XYIII веке английский математик Томас Симпсон вывел формулу для нахождения некоторых площадей плоских фигур и объемов пространственных тел через вычисление площадей нижнего, верхнего и среднего основания.

Я предполагаю, что данная универсальная формула позволит заменить все названные формулы и позволит легко их запомнить.

Цель работы: доказать, что универсальная формула Симпсона может заменить все изучаемые формулы площадей и объемов в школьном курсе геометрии и ей можно пользоваться не только на практике, но и на экзаменах, в том числе и на ЕГЭ.

Задачи работы:

Изучить основные характеристики геометрических тел стереометрии: призмы, пирамиды, конуса, цилиндра, шара;

Изучить имеющуюся литературу по данной теме.

Используя универсальную формулу, вывести формулы площадей и объемов для всех фигур и тел.

Сравнить полученные формулы с формулами, предлагаемыми в учебнике.

Ознакомить учащихся старших классов с этой формулой и выяснить с помощью анкетирования, удобно ли применять её при подготовкек экзаменам.

Практическая значимость моей работы: Результаты данной работы могут иметь применение в школьной практике, а именно использоваться на занятиях по геометрии и алгебре, при подготовке и сдаче ЕГЭ.

Глава 1 Краткие характеристики свойств геометрических тел

Школьный курс геометрии делится на планиметрию и стереометрию. С 7 по 9 класс я изучал свойства фигур на плоскости, в том числе и формулы для нахождения их площадей (Приложение 1-2).

В курсе 10 класса я начал изучать раздел геометрии–стереометрия, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. При написании работы, я рассмотрел геометрические тела и их поверхности. Объёмные геометрические тела делятся на многогранники и тела вращения.

Многогранник – поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.

Тела вращения – геометрические тела, полученные путём вращения вокруг своей оси. Тела вращения: цилиндр, конус, шар.

Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Выпуклые многогранники — расположены по одну сторону от плоскости каждой грани. Невыпуклые многогранники – расположены по обе стороны от плоскости хотя бы одной грани.

Цилиндр – геометрическое тело, ограниченноецилиндрической поверхностьюи двумя параллельнымиплоскостями, пересекающими её под прямым углом.

Конус — тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.

Пирамида –многогранник, одна из граней которого (называемаяоснованием)— произвольныймногоугольник, а остальные грани (называемыебоковыми гранями)—треугольники, имеющие общую вершину.

Шар –геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра нарасстоянии, не больше заданного.

Призма – многогранник, две грани которого являютсяконгруэнтными(равными)многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками

Параллелепипед – призма, основанием которой служитпараллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них – параллелограмм.

Глава 2. Формула Симпсона

Томас Симпсон(20 августа1710 – 14 мая1761) – английскийматематик. В 1746 году Симпсон избран в членыЛондонского королевского общества, а ранее – в члены основанного в 1717 году в Лондоне Математического общества. В 1758 избран иностранным членомШведской королевской академии наук. Назначенный профессором вКоролевскую военную академиювВулидже, Симпсон составил учебники поэлементарной математике. В особых отделахгеометриирассматриваются задачи о наибольших и наименьших величинах, решаемые с помощью элементарной геометрии,правильные многогранники, измерение поверхностей, объёмы тел и, наконец, смешанные задачи.

Замечательная формула существует; более того: она пригодна не только для вычисления объема цилиндра, полного конуса и усеченного конуса, но также и для всякого рода призм, пирамид полных и усеченных и даже для шара, а так же для вычисления площадей плоских фигур. Вот эта формула, известная в математике под названием формулы Симпсона:

где b₁ – площадь (длина) нижнего основания

b₂ – площадь (длина) среднего основания

b₃ – площадь (длина) верхнего основания

2.1 Применение формулы Симпсона для вывода формул площадей плоских фигур.

Задача 1.Площадь параллелограмма.

Дано: АВСД – параллелограмм;

АД = b₁ – длина нижнего основания;

РQ = b₂ – длина среднего основания;

ВС = b₃ – длина верхнего основания.

Найти: S параллелограмма.

– наша универсальная формула.b₁ = b₂ =b₃, тогда получаем:

Вывод. Действительно, площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Задача 2. Площадь трапеции.

Дано: АВСД – трапеция;

АД = b₁ – длина нижнего основания;

РQ = b₂ – длина среднего основания;

ВС = b₃ – длина верхнего основания.

Так какАВСД–трапеция, то b₂–ее средняя линия, значит

Вывод. Действительно, площадь трапеции равна половине произведения двух оснований на высоту.

Проведя аналогичные доказательства (Приложение 3-4) для формул площадей треугольника, прямоугольника, квадрата и ромба, я пришел к выводу, что универсальная формула Симпсона подошла для вычисления площадей таких плоских фигур как: параллелограмм, трапеция, треугольник, квадрат, ромб, прямоугольник.

2.2. Применение формулы Симпсона для вывода формул объемов пространственных тел.

Задача 1. Объем призмы.

Применение формулы Симпсона

b₁–площадь нижнего основания:

b₂–площадь среднего сечения:

b₃–площадь верхнего основания.

Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна в Приложении 6.

Вывод. Действительно, объем призмы равен произведению площади основания на высоту. Аналогично проводится доказательство выведения формулы объема цилиндра (Приложение 5)

Задача 4. Объем конуса

b₁ — площадь нижнего основания:

b₂–площадь среднего сечения:

b₃ –площадь верхнего основания.

Решение:Так как b₁=0, а,то тогда получаем:

Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна в Приложении 9.

Вывод. Действительно, объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.Аналогично проводится доказательство выведения формулы объема пирамиды (Приложение 5)

Задача 5.Объем усеченного конуса

Дано: усеченный конус.

b₁ — площадь нижнего основания:

b₂–площадь среднего сечения:

b₃ –площадь верхнего основания.

(Рис. 10.Усеченный конус)

Вывод. Выведенная формула полностью совпадает с формулой, предложенной в учебнике

Задача 6. Объем шара.

b₁— площадь нижнего основания:

b₂–площадь среднего сечения:

b₃– площадь верхнего основании

Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна в Приложении 10

Вывод: Формулы объемов всех пространственных тел, изучаемые в 11-м классе, также легко выводятся с помощью универсальной формулы Симпсона.

2.3 Практическое применение формулы

Следующим этапом моего исследования является практическое применение (см.Приложение 11-12)

Вывод. Объемы для каждой модели геометрических тел, найденные двумя способами, оказались равны. Формула Симпсона универсальна для таких тел, как пирамида, цилиндр, шар, куб и конус.

Я располагаю формулой, по которой можно приближенно вычислить объем ствола дерева, не задаваясь вопросом о том, на какое геометрическое тело оно похоже: на цилиндр, на полный конус или на усеченный конус. Зная плотности различных пород древесины, можно вычислить вес дерева на корню. Я решил эту задачу с помощью вычисления объема ствола, как объем цилиндра, диаметр основания которого равен диаметру ствола посредине длины: при этом результат получается, однако, преуменьшенный, иногда на 12 %. Без большой ошибки можно принимать объем дерева на корню половину объема цилиндра той же высоты с диаметром, равным поперечнику дерева на высоте груди.

Проделав расчеты, по известным нам ранее формулам, я вычислил объем ствола дерева на корню (см. Приложение 13)

Вывод. Из всего исследования можно сделать вывод о том, что я располагаю формулой, по которой можно приближённо вычислить объём ствола дерева и, зная плотность различных пород древесины, можно определить вес дерева на корню.

Глава 3. Анкетирование учащихся

3.1 Исследование и опрос

Среди учащихся 11-х классов я провел исследование (см.Приложение 13).

Цель исследования: определение количества формул, которые учащиеся могут воспроизвести без повторения за 10 минут, т.е. объема «остаточных» формул.

Результаты оказались следующими (см.Приложение 14):

Наибольшее количество воспроизведенных формул – 41, наименьшее – 5. Учитывая то, что количество формул могло достигать 500 за неограниченное время, я пришел к выводу, что огромное количество формул, изучаемых в школе, учащиеся не помнят. Воспроизведенные формулы составляют лишь 8,2 % от общего количества изученных формул. Чаще всего учащиеся воспроизводили формулы по алгебре (формулы тригонометрии, логарифмические формулы, формулы сокращенного умножения, формула корней квадратного уравнения, производные); по геометрии (формулы площадей плоских фигур, некоторые объемы пространственных тел); несколько формул по физике (формула кинетической энергии, силы тяжести, силы трения и МКТ); по информатике () Это было естественно, т.к. в математике формул больше, чем в любой другой науке.

Увидев полученные результаты, я решил определить причины столь низкого результата. Мною был проведен опрос (см. приложение 14-15) учащихся 11-х классов, в котором предлагалось ответить на следующие вопросы:

Как Вы считаете, сколько примерно формул должен знать выпускник школы?

Какой способ для запоминания формул Вы используете?

В) метод ассоциаций

Считаете ли Вы, что количество формул для заучивания соответствует уровню памяти среднего ученика?

Считаете ли Вы, что для лучшего запоминания многих формул нужно использовать какую-нибудь одну универсальную формулу?

Результаты оказались следующими (см.Приложение 15).

Вопрос 1. От 60 до 250 формул

Вопрос 2. Из полученных ответов можно сделать вывод, что учащиеся 11-х классов при заучивании формул стараются их понять или применяют зазубривание.

Вопрос 3.Мнение учащихся по данному вопросу разошлись, хотя по диаграмме видно, что в основном отвечали «да», т.е. учащиеся считают, что количество формул для запоминания соответствуют уровню памяти среднего ученика.

Вопрос 4.Почти все учащиеся 11-х классов хотели бы использовать вместо множества формул только одну – универсальную.

3.2 Тестирование

Теперь я знаю, что формула Симпсона действительно универсальна, и её вполне можно применять в жизни. Но действительно ли она так необходима? Чтобы ответить на этот вопрос, я представил формулу на уроке 11 классу, после чего провел тестирование (см. приложение 16-17), и получил следующие результаты:

Тест № 1

23% признались, что им трудно запомнить все формулы.

17% сказали, что выучить все формулы им не составляет труда, в том числе и формулу Симпсона.

60% учащихся применяли формулу Симпсона у некоторых геометрических тел, и она им помогла в решении задач.

Тест № 2

100% утверждают, что формула Симпсона запоминается им легко.

0% признались, что испытывают некоторые трудности в её запоминании.

Тест № 3

76% будут применять эту формулу в дальнейшем.

24% признались, что она им вряд ли понадобится.

Тест № 4

82% считают, что формулу Симпсона стоит включить в школьную программу.

0% считают, что формулу не стоит включать в школьную программу.

18% утверждают, что формулу стоит включить в школьную программу, но только в профильных классах.

Тест № 5

35% считают, что помнить одну формулу для определения объёма сразу нескольких геометрических тел гораздо проще.

59% считают, что следует помнить все формулы, включая формулу Симпсона, ведь никогда не знаешь, какие условия будут даны.

6% считают, что достаточно помнить только формулы, включённые в школьную программу.

Эту формулу так же можно применить в решении задач, в том числе и на ЕГЭ. Приведу примеры задач, которые были даны в 11 классе, и которые были решены учениками без труда:

Задача1 Правильная шестиугольная призма с высотой 18см вписана в цилиндр, с радиусом основания 4см. Найдите объём призмы.

Задача2 Правильная четырехугольная пирамида, с высотой 24см и стороной основания 5см, вписана в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

Вывод: Из результатов анкетирования я убедился, что формула Симпсона достаточно проста для запоминания, и её стоит включить в школьную программу.

Эту формулу так же можно применять на экзаменах, включая ЕГЭ.

Заключение

За время обучения в школе, учащиеся должны знать огромное количество формул по разным предметам. Проведенный мной опрос показал, что не все учащиеся могут запомнить все эти формулы. Я столкнулсяс проблемой: необходимо ввести в преподавание геометрии универсальную формулу, позволяющую заменить большое количество формул площадей плоских фигур и объемов пространственных тел, т.е формулу, пригодную для многих целей, выполняющую разнообразные функции.

Я предположил, что формула английского математика Томаса Симпсона

позволит заменить формулы площадей фигур и объемов тел одной формулой.

Я поставил перед собой цель: доказать, что универсальная формула Симпсона может заменить все изучаемые формулы площадей и объемов в школьном курсе геометрии. Эту цель я раскрыл в нескольких задачах.

В результате своей работы я убедился, что формула Симпсона позволяет легко и быстро доказать теоремы об объемах тел, не применяя определенный интеграл.

Для того, чтобы облегчить работу по запоминанию и выводу формул, я предлагаю перед изучением темы «Площади фигур» учителю познакомить учащихся с формулой Симпсона, и предложить самостоятельно вывести изучаемые формулы. Доказательство, предложенное в учебнике, можно использовать учителю как дополнительный материал для урока или в качестве домашней работы.

Теперь прогуливаясь по лесу, вам наверно будет, вероятно, интересно определить объём любого дерева. Вычислить сколько в нём кубических метров древесины, а заодно и взвесить его – узнать, можно ли было бы, например, увезти такой ствол на одной телеге.

Я располагаю формулой, по которой можно приближенно вычислить объем ствола дерева, не задаваясь вопросом о том, на какое геометрическое тело оно похоже: на цилиндр, на полный конус или на усеченный конус.

Считаю, свою работу полезной, т.к. мною были выведены все формулы площадей и объемов изучаемых в школе.

Из результатов анкетирования я убедился, что формула Симпсона достаточно проста для запоминания, и её стоит включить в школьную программу.

Эту формулу так же можно применять на экзаменах, включая ЕГЭ.

Список использованной литературы:

Я.И.Перельман. Занимательная алгебра. Занимательная геометрия. — М., «АСТ»,1999.

CD-ROM. Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия, 2002.

Л.С. Атанасян и др. Геометрия 10-11 . Учебник для общеобразовательных учреждений,- М., «Просвещение», 2002.

Краткие характеристики свойств геометрических тел

Параллелограмм– эточетырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Трапеция – выпуклыйчетырёхугольник, у которого две стороныпараллельны.

Треугольник – геометрическаяфигура, образованная тремяотрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на однойпрямой.

Квадрат – правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Прямоугольник – четырехугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

Ромб – этопараллелограмм, у которого все стороны равны.

Задача 3.Площадь треугольника.

Дано: АВС – треугольник;

АС= b₁— длина нижнего основания;

PQ=b₂— длина среднего основания:

b₃— длина верхнего основания.

Решение: – универсальная формула.

b₃=0, так как верхнее основание является точкой.

Так как b₂— является в треугольнике средней линией, то , тогда получаем:

Вывод. Действительно, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Задача 4.Площадь квадрата.

Дано: АВСД – квадрат:

АД = b₁ – длина нижнего основания;

РQ = b₂ – длина среднего основания;

ВС = b₃ – длина верхнего основания.

Найти: Sквадрата АВСД.

Решение: – универсальная формула.

Так как АВСД- квадрат, то b₁=b₂=b₃=h, тогда получаем

Вывод. Действительно, площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Задача 5. Площадь прямоугольника.

Дано: АВСД – прямоугольник;

АД = b₁– длина нижнего основания;

РQ = b₂ – длина среднего основания;

ВС = b₃ – длина верхнего основания.

Найти: Sпрямоугольника АВСД.

(Рис. 20. Прямоугольник)

Решение: – универсальная формула.

Так как АВСД – прямоугольник, то b₁=b₂=b₃, тогда получаем:

Вывод. Действительно, площадь прямоугольника равна двух смежных сторон.

Задача 6. Площадь ромба.

Дано: АВСД – ромб;

СД= b₁ — длина нижнего основания;

PQ= b₂— длина среднего основания;

АВ= b₃— длина верхнего основания;

Найти: Sромба АВСД.

Решение: – универсальная формула.

Задача 2. Объем цилиндра.

b₁— площадь нижнего основания:

b₂–площадь среднего сечения:

b₃– площадь верхнего основания.

Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна в Приложении 7.

Вывод. Действительно, объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Задача 3. Объем пирамиды.

b₁— площадь нижнего основания:

b₂–площадь среднего сечения:

b₃– площадь верхнего основания.

(Рис. 23. Пирамида)

Решение:Так как b₃=0, а , то тогда получаем:

Ответ: Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна в Приложении 8.

Задача № 1. Вычисляем объём модели куба по обычной формуле. Для этого измеряем ребро модели куба: а = 10,5 см. V=a 3 = 1157,625 cм 3

Вычисляем объем модели куба по формуле Симпсона

V = h/6(S_{нижнего основания}+ S_{верхнего основания} + 4S_{среднего сечения}):

площади верхнего, нижнего основания и среднего сечения равны между собой а*а = 10,5*10,5 = 110,67 см 2 , h= а.

Задача № 2. Вычисляем объём модели правильной шестиугольной пирамиды по обычной формуле. Для этого измеряем высоту модели h = 17,2 см и сторону основания а = 6,5 см.

Вычисляем S _{основания}= ½(Р_{основания}* r) = 1/2(6*6,5*5,6) = 109,2 см 2 ,

r = Rcos(180/n) = 6,5 *cos(180/6) = 5,6 см,

R = а = 6,5 см, V =1/3(S*h) = 1/3(109,2*17,2) = 626 cм 3

Вычисляем объем модели по формуле Симпсона

V = h/6(S_{нижнего основания} + S_{верхнего основания} + 4S_{среднего сечения}):

площадь нижнего основания = 109,2 см 2 ,

площадь верхнего основания = 0

и площадь среднего сечения =27,72 см 2

S _{сечения}= ½(Р_{сечения}* r) = 1/2(6*3,3*2,8) = 27,72 см 2 ,

r = Rcos(180/n) = 3,3 *cos(180/6) = 2,8 см,

R = а = 6,5/2 = 3,3 см, h= 17,2 см.

V =17,2/6*(4*27,72+109,2)630 = 626 см 3

Задача № 3. Вычисляем объём модели цилиндра по обычной формуле. Для этого измеряем высоту модели h = 20,4 см и радиус основания R = 14 см.

Вычисляем S = π *R 2 = 3,14* 14 2 см 2 ,

V =S*h = 3,14*196*20,4 = 12554,976 cм 3

Вычисляем объем модели по формуле Симпсона

V = h/6(S_{нижнего основания} + S_{верхнего основания} + 4S_{среднего сечения}):

Площади верхнего, нижнего основания и среднего сечения равны между собой S = π *R 2 = 3,14* 14 2 = 615,44см 2 , h= 20,4 см.

V =20,4/6*(20,4+20,4)=12554,976 см 3

Задача № 4. Вычисляем объём модели конуса по обычной формуле. Для этого измеряем высоту модели h = 21 см и радиус основания R = 6 см.

ВычисляемS = π *R 2 = 3,14* 6 2 см 2 ,

V =1/3(S*h) = 1/3(3,14*36*21) = 791,28 cм 3

Вычисляем объем модели по формуле Симпсона

V = h/6(S_{нижнего основания} + S_{верхнего основания} + 4S_{среднего сечения}):

площадь нижнего основания = 3,14* 6 2 = 113,04 см 2 ,

площадь верхнего основания = 0

и площадь среднего сечения S = π *(R/2) 2 = 3,14* 3 2 = 28,26 см 2 , h= 21 см.

V =21/6*(113,04+4*28,26) = 791,28 см 3

Задача № 5. Вычисляем объём модели шара по обычной формуле. Для этого измеряем радиус шара R = 7 см.

Вычисляем V =4/3(π *R 3 ) = 4/3(3,14*343) = 1436 cм 3

Вычисляем объем модели по формуле Симпсона

V = h/6(S_{нижнего основания} + S_{верхнего основания} + 4S_{среднего сечения}): площадь нижнего и верхнего оснований= 0,

площадь среднего сечения S = π *R 2 = 3,14* 7 2 = 153,86 см 2 , h= 2*R = 14 см.V =14/6*(4*153,86) = 1436 см 3

Результаты исследования «Определение объема «остаточных» формул»

Диаграмма 1. Определение количества «остаточных» формул.

Диаграмма 2. Предметы, по которым указаны формулы.

Какой способ для запоминания формул Вы используете?

В) метод ассоциаций

Диаграмма 3. Методы запоминания формул

Считаете ли Вы, что количество формул для заучивания соответствует уровню памяти среднего ученика?

Диаграмма 4. Соответствие количества формул уровню памяти среднего ученика

Считаете ли Вы, что для лучшего запоминания многих формул нужно использовать какую-нибудь одну универсальную формулу?

Диаграмма 5. Необходимость применения универсальной формулы

Старт в науке

Учредителями Конкурса являются Международная ассоциация учёных, преподавателей и специалистов – Российская Академия Естествознания, редакция научного журнала «Международный школьный научный вестник», редакция журнала «Старт в науке».

Видео:Формула СимпсонаСкачать

Метод Симпсона (парабол)

При вычислении определенного интеграла не всегда получаем точное решение. Не всегда удается представление в виде элементарной функции. Формула Ньютона-Лейбница не подходит для вычисления, поэтому необходимо использовать методы численного интегрирования. Такой метод позволяет получать данные с высокой точностью. Метод Симпсона является таковым.

Для этого необходимо дать графическое представление выведению формулы. Далее идет запись оценки абсолютной погрешности при помощи метода Симпсона. В заключении произведем сравнение трех методов: Симпсона, прямоугольников, трапеций.

Видео:Численное интегрирование: Методы Левых Правых прямоугольников, Трапеций, Симпсона c++Скачать

Метод парабол – суть, формула, оценка, погрешности, иллюстрации

Задана функция вида y = f ( x ) , имеющая непрерывность на интервале [ a ; b ] , необходимо произвести вычисление определенного интеграла ∫ a b f ( x ) d x

Необходимо разбить отрезок [ a ; b ] на n отрезков вида x 2 i — 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n с длиной 2 h = b — a n и точками a = x 0 x 2 x 4 . . . x 2 π — 2 x 2 π = b . Тогда точки x 2 i — 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i — 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Видео:Как приближённо вычислить интеграл? Формула прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона)Скачать

Суть метода парабол

Каждый интервал x 2 i — 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n подынтегральной функции приближен при помощи параболы, заданной y = a i x 2 + b i x + c i , проходящей через точки с координатами x 2 i — 2 ; f ( x 2 i — 2 ) , x 2 i — 1 ; x 2 i — 1 , x 2 i ; f ( x 2 i ) . Поэтому метод и имеет такое название.

Данные действия выполняются для того, чтобы интеграл ∫ x 2 i — 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x взять в качестве приближенного значения ∫ x 2 i — 2 x 2 i f ( x ) d x . Можем вычислить при помощи формулы Ньютона-Лейбница. Это и есть суть метода парабол. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона)

При помощи красной линии изображается график функции y = f ( x ) , синей – приближение графика y = f ( x ) при помощи квадратичных парабол.

Видео:16. Формула Симпсона ( практический курс по сопромату )Скачать

Вывод формулы метода Симпсона (парабол)

Исходя из пятого свойства определенного интеграла получаем ∫ a b f ( x ) d x = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i — 2 x 2 i f ( x ) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i — 2 x 2 i ( a i x 2 + b i x + c i ) d x

Для того чтобы получить формулу методом парабол, необходимо произвести вычисление:

∫ x 2 i — 2 x 2 i ( a i x 2 + b i x + c i ) d x

Пусть x 2 i — 2 = 0 . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Изобразим, что через точки с координатами x 2 i — 2 ; f ( x 2 i — 2 ) , x 2 i — 1 ; x 2 i — 1 , x 2 i ; f ( x 2 i ) может проходить одна квадратичная парабола вида y = a i x 2 + b i x + c i . Иначе говоря, необходимо доказать, что коэффициенты могут определяться только единственным способом.

Имеем, что x 2 i — 2 ; f ( x 2 i — 2 ) , x 2 i — 1 ; x 2 i — 1 , x 2 i ; f ( x 2 i ) являются точками параболы, тогда каждое из представленных уравнений является справедливым. Получаем, что

a i ( x 2 i — 2 ) 2 + b i · x 2 i — 2 + c i = f ( x 2 i — 2 ) a i ( x 2 i — 1 ) 2 + b i · x 2 i — 1 + c i = f ( x 2 i — 1 ) a i ( x 2 i ) 2 + b i · x 2 i + c i = f ( x 2 i )

Полученная система разрешается относительно a i , b i , c i , где необходимо искать определитель матрицы по Вандермонду. Получаем, что

( x 2 i — 2 ) 2 x 2 i — 2 1 x 2 i — 1 ) 2 x 2 i — 1 1 ( x 2 i ) 2 x 2 i 1 , причем он считается отличным от нуля и не совпадает с точками x 2 i — 2 , x 2 i — 1 , x 2 i . Это признак того, что уравнение имеет только одно решение, тогда и выбранные коэффициенты a i ; b i ; c i могут определяться только единственным образом, тогда через точки x 2 i — 2 ; f ( x 2 i — 2 ) , x 2 i — 1 ; x 2 i — 1 , x 2 i ; f ( x 2 i ) может проходить только одна парабола.

Можно переходить к нахождению интеграла ∫ x 2 i — 2 x 2 i ( a i x 2 + b i x + c i ) d x .

f ( x 2 i — 2 ) = f ( 0 ) = a i · 0 2 + b i · 0 + c i = c i f ( x 2 i — 1 ) = f ( h ) = a i · h 2 + b i · h + c i f ( x 2 i ) = f ( 0 ) = 4 a i · h 2 + 2 b i · h + c i

Для осуществления последнего перехода необходимо использовать неравенство вида

∫ x 2 i — 2 x 2 i ( a i x 2 + b i x + c i ) d x = ∫ 0 2 h ( a i x 2 + b i x + c i ) d x = = a i x 3 3 + b i x 2 2 + c i x 0 2 h = 8 a i h 3 3 + 2 b i h 2 + 2 c i h = = h 3 8 a i h 2 + 6 b i h + 6 c i = h 3 f x 2 i — 2 + 4 f 2 2 i — 1 + f x 2 i

Значит, получаем формулу, используя метод парабол:

∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i — 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x = = ∑ i = 1 n h 3 ( f ( x 2 i — 2 ) + 4 f ( x 2 i — 1 ) + f ( x 2 i ) ) = = h 3 f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + f ( x 2 ) + f ( x 2 ) + 4 f ( x 3 ) + f ( x 4 ) + . . . + + f ( x 2 n — 2 ) + 4 f ( x 2 n — 1 ) + f ( x 2 n ) = = h 3 f ( x 0 ) + 4 ∑ i = 1 n f ( x 2 i — 1 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x 2 i ) + f ( x 2 n )

Формула метода Симпсона имеет вид ∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 f ( x 0 ) + 4 ∑ i = 1 n f ( x 2 i — 1 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x 2 i ) + f ( x 2 n ) .

Формула оценки абсолютной погрешности имеет вид δ n ≤ m a x [ a ; b ] f ( 4 ) ( x ) · ( b — a ) 5 2880 n 4 .

Видео:Метод Симпсона - ВизуализацияСкачать

Примеры приближенного вычисления определенных интегралов методом парабол

Метод Симпсона предполагает приближенное вычисление определенных интегралов. Чаще всего имеются два типа задач, для которых применим данный метод:

• при приближенном вычислении определенного интеграла;
• при нахождении приближенного значения с точностью δ n .

На точность вычисления влияет значение n , чем выше n , тем точнее промежуточные значения.

Вычислить определенный интеграл ∫ 0 5 x d x x 4 + 4 при помощи метода Симпсона, разбивая отрезок интегрирования на 5 частей.

По условию известно, что a = 0 ; b = 5 ; n = 5 , f ( x ) = x x 4 + 4 .

Тогда запишем формулу Симпсона в виде

∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 f ( x 0 ) + 4 ∑ i = 1 n f ( x 2 i — 1 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x 2 i ) + f ( x 2 n )

Чтобы применить ее в полной мере, необходимо рассчитать шаг по формуле h = b — a 2 n , определить точки x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n и найти значения подынтегральной функции f ( x i ) , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Промежуточные вычисления необходимо округлять до 5 знаков. Подставим значения и получим

h = b — a 2 n = 5 — 0 2 · 5 = 0 . 5

Найдем значение функции в точках

i = 0 : x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · 0 . 5 = 0 ⇒ f ( x 0 ) = f ( 0 ) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1 : x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f ( x 1 ) = f ( 0 . 5 ) = 0 . 5 0 . 5 4 + 4 ≈ 0 . 12308 . . . i = 10 : x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · 0 . 5 = 5 ⇒ f ( x 10 ) = f ( 5 ) = 5 5 4 + 4 ≈ 0 . 00795

Наглядность и удобство оформляется в таблице, приведенной ниже

Необходимо подставить результаты в формулу метода парабол:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 ≈ h 3 f ( x 0 ) + 4 ∑ i = 1 n f ( x 2 i — 1 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x 2 i ) + f ( x 2 n ) = = 0 . 5 3 0 + 4 · 0 . 12308 + 0 . 16552 + 0 . 05806 + + 0 . 02272 + 0 . 01087 + 2 · 0 . 2 + 0 . 1 + + 0 . 03529 + 0 . 01538 + 0 . 00795 ≈ ≈ 0 . 37171

Для вычисления мы выбрали определенный интеграл, который можно вычислить по Ньютону-Лейбницу. Получим:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d ( x 2 ) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≈ 0 . 37274

Ответ: Результаты совпадают до сотых.

Вычислить неопределенный интеграл ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x при помощи метода Симпсона с точностью до 0 , 001 .

По условию имеем, что а = 0 , b = π , f ( x ) = sin 3 x 2 + 1 2 , δ n ≤ 0 . 001 . Необходимо определить значение n . Для этого используется формула оценки абсолютной погрешности метода Симпсона вида δ n ≤ m a x [ a ; b ] f ( 4 ) ( x ) · ( b — a ) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001

Когда найдем значение n , то неравенство m a x [ a ; b ] f ( 4 ) ( x ) · ( b — a ) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001 будет выполняться. Тогда, применив метод парабол, погрешность при вычислении не превысит 0 . 001 . Последнее неравенство примет вид

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f ( 4 ) ( x ) · ( b — a ) 5 2 . 88

Теперь необходимо выяснить, какое наибольшее значение может принимать модуль четвертой производной.

f ‘ ( x ) = sin 3 x 2 + 1 2 ‘ = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f » ( x ) = 3 2 cos 3 x 2 ‘ = — 9 4 sin 3 x 2 ⇒ f ‘ ‘ ‘ ( x ) = — 9 4 sin 3 x 2 ‘ = — 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f ( 4 ) ( x ) = — 27 8 cos 3 x 2 ‘ = 81 16 sin 3 x 2

Область определения f ( 4 ) ( x ) = 81 16 sin 3 x 2 принадлежит интервалу — 81 16 ; 81 16 , а сам отрезок интегрирования [ 0 ; π ) имеет точку экстремума, из этого следует, что m a x [ 0 ; π ] f ( 4 ) ( x ) = 81 16 .

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f ( 4 ) ( x ) · ( b — a ) 5 2 . 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 · π — 0 5 2 . 88 ⇔ ⇔ n 4 > 537 . 9252 ⇔ n > 4 . 8159

Получили, что n – натуральное число, тогда его значение может быть равным n = 5 , 6 , 7 … для начала необходимо взять значение n = 5 .

Действия производить аналогично предыдущему примеру. Необходимо вычислить шаг. Для этого

h = b — a 2 n = π — 0 2 · 5 = π 10

Найдем узлы x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n , тогда значение подынтегральной функции будет иметь вид

i = 0 : x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · π 10 = 0 ⇒ f ( x 0 ) = f ( 0 ) = sin 3 · 0 2 + 1 2 = 0 . 5 i = 1 : x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · π 10 = π 10 ⇒ f ( x 1 ) = f ( π 10 ) = sin 3 · π 10 2 + 1 2 ≈ 0 . 953990 . . . i = 10 : x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · π 10 = π ⇒ f ( x 10 ) = f ( π ) = sin 3 · π 2 + 1 2 ≈ — 0 . 5

Для объединения результатов запишем данные в таблицу.

Осталось подставить значения в формулу решения методом парабол и получим

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 ≈ h 3 f ( x 0 ) + 4 ∑ i = 1 n f ( x 2 i — 1 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x 2 i ) + f ( x 2 n ) = = π 30 · 0 , 5 + 4 · 0 . 953990 + 1 . 487688 + 1 . 207107 + + 0 . 343566 — 0 . 391007 + 2 · 1 . 309017 + 1 . 451056 + + 0 . 809017 — 0 . 87785 — 0 . 5 = = 2 . 237650

Метод Симпсона позволяет нам получать приближенное значение определенного интеграла ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237 с точностью до 0 , 001 .

При вычислении формулой Ньютона-Лейбница получим в результате

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x = — 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = — 3 2 cos 3 π 2 + π 2 — — 2 3 cos 0 + 1 2 · 0 = π 2 + 2 3 ≈ 2 . 237463

Ответ: ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237

Видео:Численное интегрирование. Метод СимпсонаСкачать

Замечание

В большинстве случаях нахождение m a x [ a ; b ] f ( 4 ) ( x ) проблематично. Поэтому применяется альтернатива – метод парабол. Его принцип подробно разъясняется в разделе метода трапеций. Метод парабол считается предпочтительным способом для разрешения интеграла. Вычислительная погрешность влияет на результат n . Чем меньше его значение, тем точнее приближенное искомое число.

Видео:Универсальная формула СимпсонаСкачать

Исследовательская работа по математике «Универсальная формула Симпсона» (11 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Универсальная формула Симпсона.doc

Видео:Метод прямоугольников для нахождения определенного интегралаСкачать

Российская Федерация

Ханты-Мансийский автономный округ — Югра

Видео:Метод Симпсона (временное видео)Скачать

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

САРАНПАУЛЬСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

Тел.45-888

Исследовательская работа по геометрии

Автор: Селяева Евгенья,

ученица 11А класса

Руководитель: Петренко А.В.,

Применение формулы Симпсона для вывода формул площадей плоских фигур…7

Задача 1. Площадь параллелограмма ……………………………………………………. 7

Задача 3. Площадь треугольника …………………………………………………………. 8

Задача 4. Площадь квадрата ………………………………………………………………. 9

Задача 5. Площадь прямоугольника ……………………………………………………. 10

Применение формулы Симпсона для вывода формул объемов

Задача 3. Объем пирамиды ……… ……………………………………………………… 15

Задача 5. Объем усеченного конуса . ……………………………………………………18

Учащиеся школы на протяжении всех лет учебы на уроках алгебры, геометрии, физики, химии сталкиваются с огромным количеством различных формул. По моим подсчетам их более 500.

Среди учащихся 11 классов я провела исследование и опрос.

Цель исследования: определение количества формул, которые учащиеся могут воспроизвести без повторения за 10 минут, т.е. объема «остаточных» формул.

Результаты оказались следующими:

Определение количества «остаточных» формул

Наибольшее количество воспроизведенных формул – 33, наименьшее – 3. Учитывая то, что количество формул могло достигать 500 за неограниченное время, я пришла к выводу, что огромное количество формул, изучаемых в школе, учащиеся не помнят. Воспроизведенные формулы составляют лишь 3,6 % от общего количества изученных формул. Чаще всего учащиеся воспроизводили формулы по алгебре (формулы тригонометрии, логарифмические формулы, формулы сокращенного умножения, формула корней квадратного уравнения, производные); по геометрии (формулы площадей плоских фигур, некоторые объемы пространственных тел); несколько формул по физике (формула кинетической энергии, силы тяжести) и химии (молярная масса вещества). Это было естественно, т.к. в математике формул больше, чем в любой другой науке.

Увидев полученные результаты, я решила определить причины столь низкого результата. Мною был проведен опрос учащихся 11 классов, в котором предлагалось ответить на следующие вопросы:

Как Вы считаете, сколько примерно формул должен знать выпускник школы?

Какой способ для запоминания формул Вы используете?

В) метод ассоциаций

3. Считаете ли Вы, что количество формул для заучивания соответствует уровню памяти среднего ученика?

4. Считаете ли Вы, что для лучшего запоминания многих формул нужно использовать какую-нибудь одну универсальную формулу?

Результаты оказались следующими.

Вопрос 1. От 30 до 1000

Методы запоминания формул

Из полученных ответов можно сделать вывод, что учащиеся 11 классов при заучивании формул стараются их понять или применяют зазубривание.

Соответствие количества формул уровню памяти среднего ученика

Мнение двух классов по данному вопросу разошлись, хотя по диаграмме видно, что в основном отвечали «нет», т.е. учащиеся считают, что количество формул для запоминания не соответствуют уровню памяти среднего ученика.

Необходимость применения универсальной формулы

Ответы на четвертый вопрос оказались практически одинаковыми: учащиеся 11-х классов хотели бы использовать вместо множества формул только одну — универсальную.

Я во многом согласна с мнением одиннадцатиклассников, считаю, что замена многих формул по какой-то одной теме универсальной формулой поможет лучше запомнить данную формулу и при необходимости ее применить.

Например, рассматривая формулы по геометрии, я убедилась, что огромное количество формул связано с площадями и объемами фигур. Таких формул более двенадцати по площадям плоских фигур и более десяти по объемам пространственных тел.

Необходимо ввести в преподавание геометрии универсальную формулу, позволяющую заменить большое количество формул площадей плоских фигур и объемов пространственных тел.

В XYIII веке английский математик Томас Симпсон вывел формулу для нахождения некоторых площадей плоских фигур и объемов пространственных тел через вычисление площадей нижнего, верхнего и среднего основания.

Я предполагаю, что данная универсальная формула позволит заменить все названные формулы и позволит легко их запомнить.

Цель работы: доказать, что универсальная формула Симпсона может заменить все изучаемые формулы площадей и объемов в школьном курсе геометрии.

Изучить имеющуюся литературу по данной теме.

Используя универсальную формулу, вывести формулы площадей и объемов для всех фигур и тел.

Сравнить полученные формулы с формулами, предлагаемыми в учебнике.

Показать, что универсальная формула позволяет легко, в отличие от приведенных в учебнике доказательств, выводить сложные формулы объемов тел вращения, не применяя определенный интеграл.

Применение формулы Симпсона для вывода формул площадей плоских фигур.

Задача 1.Площадь параллелограмма.

Дано: АВСД – параллелограмм;

АД = b ₁ – длина нижнего основания;

Р Q = b ₂ – длина среднего основания;

ВС = b ₃ – длина верхнего основания.

Найти: S параллелограмма.

Решение:

Наша универсальная формула.

Вывод. Действительно, площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Задача 2. Площадь трапеции.

Дано: АВСД – трапеция;

АД = b ₁ – длина нижнего основания;

Р Q = b ₂ – длина среднего основания;

ВС = b ₃ – длина верхнего основания.

Найти: S трапеции.

Решение:

Т.к АВСД-трапеция, то b ₂ – ее средняя линия, значит

Тогда получаем:

Вывод. Действительно, площадь трапеции равна половине произведения двух оснований на высоту.

Задача 3.Площадь треугольника.

Дано: АВС – треугольник;

АС= b ₁— длина нижнего основания;

PQ = b ₂— длина среднего основания:

b ₃— длина верхнего основания.

Решение:

b ₃=0, так как верхнее основание является точкой.

Т.к. b ₂— является в треугольнике средней линией, то ,

Вывод. Действительно, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Задача 4.Площадь квадрата.

Дано: АВСД – квадрат:

АД = b ₁ – длина нижнего основания;

Р Q = b ₂ – длина среднего основания;

ВС = b ₃ – длина верхнего основания.

Найти: S квадрата АВСД.

Решение:

Т.к. АВСД — квадрат, то b ₁= b ₂= b ₃= h , тогда получаем

Ответ:

Вывод. Действительно, площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Задача 5. Площадь прямоугольника.

Дано: АВСД – прямоугольник;

АД = b ₁– длина нижнего основания;

Р Q = b ₂ – длина среднего основания;

ВС = b ₃ – длина верхнего основания.

Найти: S прямоугольника АВСД.

Решение:

Т.к. АВСД – прямоугольник, то b ₁= b ₂= b ₃, тогда получаем:

Вывод. Действительно, площадь прямоугольника равна двух смежных сторон.

Задача 6. Площадь ромба.

Дано: АВСД – ромб;

СД= b ₁ — длина нижнего основания;

PQ = b ₂— длина среднего основания;

АВ= b ₃— длина верхнего основания;

Найти: S ромба АВСД.

Решение: Универсальная формула.

Ответ:

Вывод. Действительно, площадь ромба, как и параллелограмма, равна произведению его стороны на высоту, проведенной к этой стороне.

адача 7. Площадь круга.

. Универсальная формула.

Сравнивая полученный результат S ≈ 0,67 D 2 с результатом, полученным по известной формуле S =П R 2 ≈0,785 D 2 , можно сделать вывод. Так как площадь круга всегда значение приближенное, то полученная формула может дать практически тот же результат с некоторой погрешностью.

Вывод: Универсальная формула Симпсона подошла для вычисления площадей таких плоских фигур как: параллелограмм, трапеция, треугольник, квадрат, ромб, прямоугольник, а площадь круга по ней можно вычислить только с некоторой погрешностью.

Применение формулы Симпсона для вывода формул объемов пространственных тел.

Задача 1. Объем призмы.

b ₁— площадь нижнего основания:

b ₂ –площадь среднего сечения:

b ₃ – площадь верхнего основания.

Т.к. b ₁= b ₂= b ₃, тогда получаем:

Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна

Вывод. Действительно, объем призмы равен произведению площади основания на высоту.

Задача 2. Объем цилиндра.

Дано: Цилиндр

b ₁— площадь нижнего основания:

b ₂ –площадь среднего сечения:

b ₃ – площадь верхнего основания.

Найти: V цилиндр.

Решение:

Т.к. b ₁= b ₂= b ₃, тогда получаем:

Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна

Вывод. Действительно, объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Задача 3. Объем пирамиды.

b ₁— площадь нижнего основания:

b ₂ –площадь среднего сечения:

b ₃ – площадь верхнего основания.

Найти: V пирамиды.

Решение:

Т.к b ₃=0, а , то тогда получаем:

Ответ:

Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна

Вывод. Действительно, объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Задача 4. Объем конуса

b ₁ — площадь нижнего основания:

b ₂ –площадь среднего сечения:

b ₃ –площадь верхнего основания.

Решение:

Т.к b ₁=0, а ,то тогда получаем:

Ответ:

Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна

Вывод. Действительно, объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Задача 5.Объем усеченного конуса

Дано: усеченный конус.

b ₁ — площадь нижнего основания:

b ₂ –площадь среднего сечения:

b ₃ –площадь верхнего основания.

Найти: V усеченного.конуса.

Решение:

Вывод. Выведенная формула полностью совпадает с формулой, предложенной в учебнике.

Задача 6. Объем шара.

b ₁— площадь нижнего основания:

b ₂ –площадь среднего сечения:

b ₃ – площадь верхнего основании

Решение: Т.к. b ₁= b ₃=0,

H=2R

Тогда получаем:

Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна

Вывод: Формулы объемов всех пространственных тел, изучаемые в 11-м классе, также легко выводятся с помощью универсальной формулы Симпсона.

За время обучения в школе, учащиеся должны знать огромное количество формул по разным предметам. Проведенный мной опрос показал, что не все учащиеся могут запомнить все эти формулы. Я столкнулась с проблемой: необходимо ввести в преподавание геометрии универсальную формулу, позволяющую заменить большое количество формул площадей плоских фигур и объемов пространственных тел, т.е формулу, пригодную для многих целей, выполняющую разнообразные функции.

Я предположила, что формула английского математика Томаса Симпсона

позволит заменить 13 формул площадей фигур и объемов тел одной формулой.

Я поставила перед собой цель: доказать, что универсальная формула Симпсона может заменить все изучаемые формулы площадей и объемов в школьном курсе геометрии. Эту цель я раскрыла в нескольких задачах.

В результате своей работы я убедилась, что формула Симпсона позволяет легко и быстро доказать теоремы о площадях и объемах тел, не применяя определенный интеграл.

Для того, чтобы облегчить работу по запоминанию и выводу формул, я предлагаю перед изучением темы «Площади фигур» учителю познакомить учащихся с формулой Симпсона, и предложить самостоятельно вывести изучаемые формулы. Доказательство, предложенное в учебнике, можно использовать учителю как дополнительный материал для урока или в качестве домашней работы.

Считаю, свою работу полезной, т.к. мною были выведены все формулы площадей и объемов изучаемых в школе.

Я.И.Перельман. Занимательная алгебра. Занимательная геометрия. — М., «АСТ»,1999.

CD — ROM . Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия, 2002.

Л.С. Атанасян и др. Геометрия 10-11 . Учебник для общеобразовательных учреждений,- М., «Просвещение», 2002.

📺 Видео

Дополнение к задаче 4.2 - Метод Симпсона. Более подробное объяснениеСкачать

Интеграл Мора 3 Формулы Симпсона и трапецийСкачать

М-ды вычисления интеграла Мора (ч.2): "комбинированный" способ, формула СимпсонаСкачать

Формула СимпсонаСкачать

3. Численные методы расчета определенного интеграла: прямоугольников, трапеции, парабол (Симпсона)Скачать

Приближенное вычисление интеграла Формула Симпсона Приближенное вычисление производнойСкачать

"Перемножение" эпюр для вычисления интеграла Мора с использованием формулы Симпсона (начало)Скачать

Интегралы №12 Вычисление площадейСкачать

Задача 20-4. Применение Правила Верещагина и Формулы СимпсонаСкачать