формула площади трапеции запись вывод

Видео:Площадь трапецииСкачать

Площадь трапеции

Глоссарий. Алгебра и геометрия

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

S = ((AD + BC) / 2) · BH,

где высота трапеции — это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

Видео:8 класс, 15 урок, Площадь трапецииСкачать

8 класс, 15 урок, Площадь трапеции

Доказательство.

формула площади трапеции запись вывод

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, высотой BH и площадью S.

Докажем, что S = ((AD + BC) / 2) · BH.
Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S = SABD + SBCD. Примем отрезки AD и BH за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки BC и DH1 за основание и высоту треугольника BCD. Тогда

Так как DH1 = BH, то SBCD = BC · BH / 2.
Таким образом,

S = AD · BH / 2 + BC · BH = ((AD + BC) / 2) · BH.

Так же площадь трапеции можно найти с помощью следующих формул:

  1. S = mh, где m — средняя линия, h — высота трапеции.
  2. Если трапеция равнобедренная, то S = 4r 2 / sinα, где r — радиус вписанной окружности, α — угол при основании.
  3. формула площади трапеции запись вывод,
    где a, b — основания, c и d — боковые стороны трапеции.

Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | Математика

Площадь трапеции

Существует множество способов найти площадь трапеции. Обычно репетитор по математике владеет несколькими приемами ее вычисления, остановимся на них подробнее:
1) формула площади трапеции запись выводформула площади трапеции запись вывод, где AD и BC основания, а BH-высота трапеции. Доказательство: проведем диагональ BD и выразим площади треугольников ABD и CDB через полупроизведение их оснований на высоту:

формула площади трапеции запись вывод

формула площади трапеции запись вывод, где DP – внешняя высота в формула площади трапеции запись вывод

формула площади трапеции запись выводСложим почленно эти равенства и учитывая, что высоты BH и DP равны, получим:

формула площади трапеции запись вывод

Вынесем за скобку формула площади трапеции запись вывод

формула площади трапеции запись вывод
Что и требовалось доказать.

Следствие из формулы площади трапеции:
Так как полусумма оснований равна MN — средней линии трапеции, то формула площади трапеции запись вывод

2) Применение общей формулы площади четырехугольника.
Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними формула площади трапеции запись вывод
Для доказательства достаточно разбить трапецию на 4 треугольника, выразить площадь каждого через «половину произведения диагоналей на синус угла между ними» (в качестве угла берется формула площади трапеции запись вывод, сложить получившиеся выражения, вынести формула площади трапеции запись выводза скобку и раскладываю эту скобку на множители методом группировки получить ее равенство выражению формула площади трапеции запись вывод. Отсюда формула площади трапеции запись вывод

3) Метод сдвига диагонали
Это мое название. В школьных учебниках репетитор по математике не встретит такого заголовка. Описание приема можно найти только в дополнительных учебных пособиях в качестве примера решения какой-нибудь задачи. Отмечу, что большинство интересных и полезных фактов планиметрии репетиторы по математике открывают ученикам в процессе выполнения практической работы. Это крайне неоптимально, ибо школьнику нужно выделять их в отдельные теоремы и называть «громкими именами». Одно из таких – «сдвиг диагонали». О чем идет речь? формула площади трапеции запись выводПроведем через вершину B прямую параллельную к АС до пересечения с нижним основанием в точке E. В таком случае четырехугольник EBCA будет параллелограммом (по определению) и поэтому BC=EA и EB=AC. Нам сейчас важно первое равенство. Имеем:
формула площади трапеции запись вывод

Заметим, что треугольник BED, площадь которого равна площади трапеции, имеет еще несколько замечательных свойств:
1) Его площадь равна площади трапеции
2) Его равнобедренность происходит одновременно с равнобедренность самой трапеции
3) Верхний его угол при вершине B равен углу между диагоналями трапеции (что очень часто используется в задачах)
формула площади трапеции запись вывод4) Его медиана BK равна расстоянию QS между серединами оснований трапеции. С применением этого свойства я недавно столкнулся при подготовке ученика на мехмат МГУ по учебнику Ткачука, вариант 1973 года (задача приводится внизу страницы).

Спецприемы репетитора по математике.

Иногда я предлагаю задачи на весьма хитрый путь нахождении я площади трапеции. Я отношу его к спецприемам ибо на практике репетитор их использует крайне редко. Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике только в части B, можно про них и не читать. Для остальных рассказываю дальше. Оказывается площадь трапеции в два раза больше площади треугольника с вершинами в концах одной боковой стороны и серединой другой, то есть треугольника ABS на рисунке:
формула площади трапеции запись выводДоказательство: проведем высоты SM и SN в треугольниках BCS и ADS и выразим сумму площадей этих треугольников:

формула площади трапеции запись вывод

формула площади трапеции запись вывод

Так как точка S – середина CD, то формула площади трапеции запись вывод(докажите это сами).Найдем cумму площадей треугольников:

формула площади трапеции запись вывод

формула площади трапеции запись вывод

Так как эта сумма оказалась равной половине площади трапеции, то формула площади трапеции запись вывод— вторая ее половина. Ч.т.д.

В копилку спецприемов репетитора я бы отнес форму вычисления площади равнобедренной трапеции по ее сторонам: формула площади трапеции запись выводгде p – полупериметр трапеции. Доказательство я приводить не буду. Иначе ваш репетитор по математике останется без работы :). Приходите на занятия!

Задачи на площадь трапеции:

Замечание репетитора по математике: Нижеприведенный список не является методическим сопровождением к теме, это только небольшая подборка интересных задач на вышерассмотренные приемы.

1) Нижнее основание равнобедренной трапеции равно 13, а верхнее равно 5. Найдите площадь трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.
2) Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 2см и 5см, а боковые стороны 2см и 3см.
3) В равнобокой трапеции большее основание равно 11, боковая сторона равна 5, а диагональ равна формула площади трапеции запись выводНайти площадь трапеции.
4) Диагональ равнобокой трапеции равна 5, а средняя линия равна 4. Найти площадь.
5) В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 20, а диагонали взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь трапеции
6) Диагональ равнобокой трапеции составляет с ее нижним основанием угол формула площади трапеции запись вывод. Найти площадь трапеции, если ее высота равна 6см.
7) Площадь трапеции равна 20, а одна из ее боковых сторон равна 4 см. Найдите расстояние до нее от середины противоположной боковой стороны.
8) Диагональ равнобокой трапеции делит ее на треугольники с площадями 6 и 14. Найти высоту, если боковая сторона равна 4.
9) В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований равен 2. Найти площадь трапеции (Мехмат МГУ, 1970г).

Я выбирал не самые сложные задачи (не стоит пугаться мехмата!) с расчетом на возможность их самостоятельного решения. Решайте на здоровье! Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике, то без участия в этом процессе формулы площади трапеции могут возникнуть серьезные проблемы даже с задачей B6 и тем более с C4. Не запускайте тему и в случае каких-либо затруднений обращайтесь за помощью. Репетитор по математике всегда рад вам помочь.

Колпаков А.Н.
Репетитор по математике в Москве, подготовка к ЕГЭ в Строгино.

Спасибо Вам, Александр Николаевич! Вы мне очень помогли. Мой муж метролог, сейчас повышает квалификацию и мне пришлось помогать ему делать курсовик. Так вот формула вычисления площади равнобедренной трапеции по ее сторонам (а я уже многое забыла со школы) мне очень помогла, в интернете ничего подобного не нашла. Спасибо Вам большое.

Уважаемый Александр Николаевич!
Если Вам не трудно, помогите решить задачу №8 из предложеных Вами. Если я правильно поняла Вас, здесь нужно применить Ваш метод сдвига диагонали?
Буду очень признательна.
С уважением Водяева С В

Нет, диагональ трапеции трогать не нужно. Обозначьте буквой икс высоту трапеции и выразите с помощью площадей 6 и 14 ее основания. Затем проведите вторую высоту. От трапеции отсекутся два равных боковых треугольника. У каждого из них один из катетов — высота трапеции (то есть икс), а второй катет — полуразность оснований. Затем запишите теорему Пифагора для одного из боковых треугольников. Подставьте туда боковую строну 4, и полученные выражения для катетов. Ответом к задаче будет корень уравнения.

Уважаемый Александр Николаевич! Сын готовился к ГИА и не смог решить задачу, которая опубликована у Вас последней (№9). Натолкните на путь истинный, если можно, у нашего преподавателя математики пока тоже нет решения. Заранее спасибо.

Через вершину верхнего основания трапеции проведите параллельно диагонали отрезок до его пересечения с основанием. Образуется треугольник, две стороны которого будут равны диагоналям трапеции. Длина медианы, проведенной к третьей стороне данного треугольника, равна длине отрезка, соединяющего середины оснований (это не сложно доказать). Площадь треугольника, очевидно, равна площади трапеции (в моем справочнике этот факт назван теоремой о сдвиге диагонали трапеции).

Извините,Александр я не понимаю почему в 3-ем доказательстве площади трапеции площадь треугольника EBD равна площади трапеции ABCD, прежде чем такое утверждать, надо доказать что треугольник EBD=ABCD-трапеции. Не могли бы вы подсказать как это доказать?!

Не очень понял, что именно Вам не ясно. На странице опубликовано достаточно добротное доказательство. Я специально писал так, чтобы в нем можно было разобраться без всякого репетитора по математике, то есть самостоятельно. Равенство площадей следует из равенства выражений, отвечающих за площади. Изучите материал повнимательнее.

Откуда вы знаете что площадь треугольника BED равна площади трапеции ABCD? Нам формулу площади трапеции вывести надо, а выводится формула площади треугольника BED. Нет, конечно, мы знаем чему равна площадь трапеции по формуле, ну надо же формулу как-то вывести, а вы пишите,что площадь треугольника BED равна площади трапеции. Откуда вы это знаете? Вы же не доказали это! Поэтому и непонятно!

В третьем пункте не выводится ни площадь треугольника, ни площадь трапеции. Доказывается только равенство этих площадей. Формула же площади трапеции выведена в самом начале страницы. Читайте внимательнее. Советую найти хорошего репетитора по математике, чтобы он объяснил Вам все доказательства в отдельности, ибо в комментариях к странице не совсем удобно вести полноценную разъяснительную работу. Обучение математике — живой процесс!

Спасибо большое, помогла последняя формула, которую не доказывали. Буду и дальше к ГИА по математике (теперь уже к ЕГЭ) готовиться вместе с вашим сайтом.

Спасибо большое за такие подробные доказательства!

Диагональ равнобокой трапеции равна 5, а средняя линия равна 4. Найти площадь. Не могу решить. Подскажите какой формулой тут воспользоваться.

Базовой прямой формулы нет. Сделайте так: через любую вершину верхнего основания проведите прямую, параллельную одной из диагоналей до пересечения с нижним основанием. Образуется треугольник с площадью, равной площади трапеции. Легко найти все его стороны, а затем и площадь. Удачи!

Спасибо, очень пригодилось.

И как же выйти на площадь трапеции в 9 задаче? Подскажите, пожалуйста. Не могу сообразить. Заранее огромное спасибо репетитору по математике за помощь.

Воспользуйтесь методом «сдвига диагонали». Получится треугольник со сторонами, которые равны диагоналям трапеции и медианой, равной длине отрезка, соединяющего середины ее оснований. Правда последнее необходимо будет доказать. По двум сторонам и медиане найти площадь полученного треугольника несложно.

спасибо.Еще раз обращаюсь за помощью-заело с задачей:
Плот проплывает путь из А в В за 6 часов,а моторная лодка из В в А за 2 часа.За какое время моторная лодка преодолеет такое же расстояние в стоячей воде?Подскажите,пожалуйста,направление решения.Заранее признательна.

Александр, подскажите пожалуйста как во втором доказательстве площади трапеции мы можем выразить площадь 4-х треугольников? Ведь нам известны только две диагонали трапеции и угол между ними

Там вроде все внятно изложено. Выражать площади треугольников нужно через кусочки диагоналей. После всех преобразований они сложатся в полные диагонали.

Можно ли найти площадь неправильного четырёхугольника, если известны длины всех его сторон в отдельности (периметр)?

Нет, конструкция будет «плавающей». В случае правильного четырехугольника легко привести показательный пример — ромб. С неправильным ситуация аналогичная.

Уважаемый Александр Николаевич! Есть похожая на Вашу 6 задачу: Диагональ равнобокой трапеции составляет с ее нижним основанием угол 60. Найти площадь трапеции, если большее основание равно 6 см.
Натолкните, пожалуйста, на путь истинный.

Здравствуйте! Воспользуйтесь теоремой о сдвиге диагонали. Получится равносторонний треугольник (равнобедренный с углом 60 градусов), имеющий сторону 6 см. Его площадь равна площади трапеции.

Видео:Площадь трапеции.  Быстрый способ запомнить формулуСкачать

Площадь трапеции.  Быстрый способ запомнить формулу

Площадь трапеции

Для вычисления площади произвольного многоугольника его разбивают на треугольники и находят площадь каждого из них. Площадь данного многоугольника равна сумме площадей этих треугольников.

формула площади трапеции запись вывод

Условимся называть высотой трапеции перпендикуляр, который проведен из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

Теорема

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту

Доказательство

Дано: ABCD — трапеция, BH и DH1 — высоты, S — площадь

Доказать: S = формула площади трапеции запись вывод(AD + BC) формула площади трапеции запись выводВН

Доказательство:

формула площади трапеции запись вывод

Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S = SABD + SBCD. Примем отрезки AD и ВН за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки BC и DH1 за основание и высоту треугольника BCD. Тогда

SABD = формула площади трапеции запись выводAD формула площади трапеции запись выводBH, SBCD = формула площади трапеции запись выводBC формула площади трапеции запись выводDH1.

Так как DH1 = BH, то SBCD = формула площади трапеции запись выводBC формула площади трапеции запись выводBH.

S = формула площади трапеции запись выводAD формула площади трапеции запись выводBH + формула площади трапеции запись выводBC формула площади трапеции запись выводBH = формула площади трапеции запись вывод(AD + BC) формула площади трапеции запись выводBH.

Теорема доказана.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

📽️ Видео

Геометрия 8 класс (Урок№11 - Площадь трапеции.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№11 - Площадь трапеции.)

Как выразить площадь трапеции через площади треугольников, ограниченных диагоналями и основаниями?Скачать

Как выразить площадь трапеции через площади треугольников, ограниченных диагоналями и основаниями?

Теорема о площади трапеции. Высота трапеции. Формула площади трапеции. Геометрия 8-9 классСкачать

Теорема о площади трапеции. Высота трапеции. Формула площади трапеции. Геометрия 8-9 класс

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 класс

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shorts

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

Площадь трапеции (формула) - геометрия 8 классСкачать

Площадь трапеции (формула) - геометрия 8 класс

Геометрия 8 класс. Площадь трапецииСкачать

Геометрия 8 класс. Площадь трапеции

ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ . §23 геометрия 8 классСкачать

ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ . §23 геометрия 8 класс

Геометрия. Площадь трапецииСкачать

Геометрия. Площадь трапеции

Замечательное свойство трапеции | ЕГЭ по математике 2020Скачать

Замечательное свойство трапеции | ЕГЭ по математике 2020

Площадь трапеции. Классические задачиСкачать

Площадь трапеции. Классические задачи

8 класс, 6 урок, ТрапецияСкачать

8 класс, 6 урок, Трапеция

Трапеция. 8 класс.Скачать

Трапеция. 8 класс.

8 класс, 13 урок, Площадь параллелограммаСкачать

8 класс, 13 урок, Площадь параллелограмма

Теорема о площади трапеции. 8 класс, геометрияСкачать

Теорема о площади трапеции. 8 класс, геометрия
Поделиться или сохранить к себе: