формула площади трапеции примеры решения (8 видео)

Содержание

Нахождение площади трапеции: формула и примеры
Формулы вычисления площади
По длине оснований и высоте
Через длины всех сторон (Формула Герона)
Через диагонали и угол между ними
Примеры задач
Площадь трапеции
Спецприемы репетитора по математике.
Задачи на площадь трапеции:
Площадь трапеции: формулы с примерами
Что такое трапеция: типы и отличия
Площадь произвольной трапеции
Формула через основания и высоту
Формула через высоту и среднюю линию
Формула через четыре стороны
Формула через диагонали и угол между ними
Формула через основания и два угла
Обучающее видео
Видео «Трапеция: решение задач»
Видео «Площадь трапеции»
💡 Видео

Видео:Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Трапеция – это геометрическая фигура; четырехугольник, имеющий 2 параллельные и 2 непараллельные стороны.

Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

Формулы вычисления площади

По длине оснований и высоте

Площадь трапеции (S) равняется половине суммы ее оснований, умноженной на высоту, проведенную к ним.

Через длины всех сторон (Формула Герона)

Для вычисления площади трапеции необходимо знать длины всех ее сторон:

p – полупериметр трапеции, считается по формуле:

Через диагонали и угол между ними

Площадь трапеции равна половине произведения диагоналей и синуса угла между ними. Вычисляется по одной из двух формул ниже:

Видео:8 класс, 15 урок, Площадь трапецииСкачать

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 4 и 7 см, а высота – 4 см.

Решение:
Используем первую формулу, рассмотренную выше: S = 1 /₂ * (4 см + 7 см) * 4 см = 22 см 2 .

Задание 2
Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 6 и 12 см, а боковые стороны – 8 и 10 см.

Решение:
Т.к. нам известны длины всех сторон, применим формулу Герона:
S = (6+12) / |6-12| * √ (18-6)(18-12)(18-6-8)(18-6-10) = 18 / 6 * √ 576 = 72 см 2 .

Видео:Геометрия 8 класс. Площадь трапецииСкачать

Площадь трапеции

Существует множество способов найти площадь трапеции. Обычно репетитор по математике владеет несколькими приемами ее вычисления, остановимся на них подробнее:
1) , где AD и BC основания, а BH-высота трапеции. Доказательство: проведем диагональ BD и выразим площади треугольников ABD и CDB через полупроизведение их оснований на высоту:

, где DP – внешняя высота в

Сложим почленно эти равенства и учитывая, что высоты BH и DP равны, получим:

Вынесем за скобку

Что и требовалось доказать.

Следствие из формулы площади трапеции:
Так как полусумма оснований равна MN — средней линии трапеции, то

2) Применение общей формулы площади четырехугольника.
Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними
Для доказательства достаточно разбить трапецию на 4 треугольника, выразить площадь каждого через «половину произведения диагоналей на синус угла между ними» (в качестве угла берется , сложить получившиеся выражения, вынести за скобку и раскладываю эту скобку на множители методом группировки получить ее равенство выражению . Отсюда

3) Метод сдвига диагонали
Это мое название. В школьных учебниках репетитор по математике не встретит такого заголовка. Описание приема можно найти только в дополнительных учебных пособиях в качестве примера решения какой-нибудь задачи. Отмечу, что большинство интересных и полезных фактов планиметрии репетиторы по математике открывают ученикам в процессе выполнения практической работы. Это крайне неоптимально, ибо школьнику нужно выделять их в отдельные теоремы и называть «громкими именами». Одно из таких – «сдвиг диагонали». О чем идет речь? Проведем через вершину B прямую параллельную к АС до пересечения с нижним основанием в точке E. В таком случае четырехугольник EBCA будет параллелограммом (по определению) и поэтому BC=EA и EB=AC. Нам сейчас важно первое равенство. Имеем:

Заметим, что треугольник BED, площадь которого равна площади трапеции, имеет еще несколько замечательных свойств:
1) Его площадь равна площади трапеции
2) Его равнобедренность происходит одновременно с равнобедренность самой трапеции
3) Верхний его угол при вершине B равен углу между диагоналями трапеции (что очень часто используется в задачах)
4) Его медиана BK равна расстоянию QS между серединами оснований трапеции. С применением этого свойства я недавно столкнулся при подготовке ученика на мехмат МГУ по учебнику Ткачука, вариант 1973 года (задача приводится внизу страницы).

Спецприемы репетитора по математике.

Иногда я предлагаю задачи на весьма хитрый путь нахождении я площади трапеции. Я отношу его к спецприемам ибо на практике репетитор их использует крайне редко. Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике только в части B, можно про них и не читать. Для остальных рассказываю дальше. Оказывается площадь трапеции в два раза больше площади треугольника с вершинами в концах одной боковой стороны и серединой другой, то есть треугольника ABS на рисунке:
Доказательство: проведем высоты SM и SN в треугольниках BCS и ADS и выразим сумму площадей этих треугольников:

Так как точка S – середина CD, то (докажите это сами).Найдем cумму площадей треугольников:

Так как эта сумма оказалась равной половине площади трапеции, то — вторая ее половина. Ч.т.д.

В копилку спецприемов репетитора я бы отнес форму вычисления площади равнобедренной трапеции по ее сторонам: где p – полупериметр трапеции. Доказательство я приводить не буду. Иначе ваш репетитор по математике останется без работы :). Приходите на занятия!

Задачи на площадь трапеции:

Замечание репетитора по математике: Нижеприведенный список не является методическим сопровождением к теме, это только небольшая подборка интересных задач на вышерассмотренные приемы.

1) Нижнее основание равнобедренной трапеции равно 13, а верхнее равно 5. Найдите площадь трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.
2) Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 2см и 5см, а боковые стороны 2см и 3см.
3) В равнобокой трапеции большее основание равно 11, боковая сторона равна 5, а диагональ равна Найти площадь трапеции.
4) Диагональ равнобокой трапеции равна 5, а средняя линия равна 4. Найти площадь.
5) В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 20, а диагонали взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь трапеции
6) Диагональ равнобокой трапеции составляет с ее нижним основанием угол . Найти площадь трапеции, если ее высота равна 6см.
7) Площадь трапеции равна 20, а одна из ее боковых сторон равна 4 см. Найдите расстояние до нее от середины противоположной боковой стороны.
8) Диагональ равнобокой трапеции делит ее на треугольники с площадями 6 и 14. Найти высоту, если боковая сторона равна 4.
9) В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований равен 2. Найти площадь трапеции (Мехмат МГУ, 1970г).

Я выбирал не самые сложные задачи (не стоит пугаться мехмата!) с расчетом на возможность их самостоятельного решения. Решайте на здоровье! Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике, то без участия в этом процессе формулы площади трапеции могут возникнуть серьезные проблемы даже с задачей B6 и тем более с C4. Не запускайте тему и в случае каких-либо затруднений обращайтесь за помощью. Репетитор по математике всегда рад вам помочь.

Колпаков А.Н.
Репетитор по математике в Москве, подготовка к ЕГЭ в Строгино.

Спасибо Вам, Александр Николаевич! Вы мне очень помогли. Мой муж метролог, сейчас повышает квалификацию и мне пришлось помогать ему делать курсовик. Так вот формула вычисления площади равнобедренной трапеции по ее сторонам (а я уже многое забыла со школы) мне очень помогла, в интернете ничего подобного не нашла. Спасибо Вам большое.

Уважаемый Александр Николаевич!
Если Вам не трудно, помогите решить задачу №8 из предложеных Вами. Если я правильно поняла Вас, здесь нужно применить Ваш метод сдвига диагонали?
Буду очень признательна.
С уважением Водяева С В

Нет, диагональ трапеции трогать не нужно. Обозначьте буквой икс высоту трапеции и выразите с помощью площадей 6 и 14 ее основания. Затем проведите вторую высоту. От трапеции отсекутся два равных боковых треугольника. У каждого из них один из катетов — высота трапеции (то есть икс), а второй катет — полуразность оснований. Затем запишите теорему Пифагора для одного из боковых треугольников. Подставьте туда боковую строну 4, и полученные выражения для катетов. Ответом к задаче будет корень уравнения.

Уважаемый Александр Николаевич! Сын готовился к ГИА и не смог решить задачу, которая опубликована у Вас последней (№9). Натолкните на путь истинный, если можно, у нашего преподавателя математики пока тоже нет решения. Заранее спасибо.

Через вершину верхнего основания трапеции проведите параллельно диагонали отрезок до его пересечения с основанием. Образуется треугольник, две стороны которого будут равны диагоналям трапеции. Длина медианы, проведенной к третьей стороне данного треугольника, равна длине отрезка, соединяющего середины оснований (это не сложно доказать). Площадь треугольника, очевидно, равна площади трапеции (в моем справочнике этот факт назван теоремой о сдвиге диагонали трапеции).

Извините,Александр я не понимаю почему в 3-ем доказательстве площади трапеции площадь треугольника EBD равна площади трапеции ABCD, прежде чем такое утверждать, надо доказать что треугольник EBD=ABCD-трапеции. Не могли бы вы подсказать как это доказать?!

Не очень понял, что именно Вам не ясно. На странице опубликовано достаточно добротное доказательство. Я специально писал так, чтобы в нем можно было разобраться без всякого репетитора по математике, то есть самостоятельно. Равенство площадей следует из равенства выражений, отвечающих за площади. Изучите материал повнимательнее.

Откуда вы знаете что площадь треугольника BED равна площади трапеции ABCD? Нам формулу площади трапеции вывести надо, а выводится формула площади треугольника BED. Нет, конечно, мы знаем чему равна площадь трапеции по формуле, ну надо же формулу как-то вывести, а вы пишите,что площадь треугольника BED равна площади трапеции. Откуда вы это знаете? Вы же не доказали это! Поэтому и непонятно!

В третьем пункте не выводится ни площадь треугольника, ни площадь трапеции. Доказывается только равенство этих площадей. Формула же площади трапеции выведена в самом начале страницы. Читайте внимательнее. Советую найти хорошего репетитора по математике, чтобы он объяснил Вам все доказательства в отдельности, ибо в комментариях к странице не совсем удобно вести полноценную разъяснительную работу. Обучение математике — живой процесс!

Спасибо большое, помогла последняя формула, которую не доказывали. Буду и дальше к ГИА по математике (теперь уже к ЕГЭ) готовиться вместе с вашим сайтом.

Спасибо большое за такие подробные доказательства!

Диагональ равнобокой трапеции равна 5, а средняя линия равна 4. Найти площадь. Не могу решить. Подскажите какой формулой тут воспользоваться.

Базовой прямой формулы нет. Сделайте так: через любую вершину верхнего основания проведите прямую, параллельную одной из диагоналей до пересечения с нижним основанием. Образуется треугольник с площадью, равной площади трапеции. Легко найти все его стороны, а затем и площадь. Удачи!

Спасибо, очень пригодилось.

И как же выйти на площадь трапеции в 9 задаче? Подскажите, пожалуйста. Не могу сообразить. Заранее огромное спасибо репетитору по математике за помощь.

Воспользуйтесь методом «сдвига диагонали». Получится треугольник со сторонами, которые равны диагоналям трапеции и медианой, равной длине отрезка, соединяющего середины ее оснований. Правда последнее необходимо будет доказать. По двум сторонам и медиане найти площадь полученного треугольника несложно.

спасибо.Еще раз обращаюсь за помощью-заело с задачей:
Плот проплывает путь из А в В за 6 часов,а моторная лодка из В в А за 2 часа.За какое время моторная лодка преодолеет такое же расстояние в стоячей воде?Подскажите,пожалуйста,направление решения.Заранее признательна.

Александр, подскажите пожалуйста как во втором доказательстве площади трапеции мы можем выразить площадь 4-х треугольников? Ведь нам известны только две диагонали трапеции и угол между ними

Там вроде все внятно изложено. Выражать площади треугольников нужно через кусочки диагоналей. После всех преобразований они сложатся в полные диагонали.

Можно ли найти площадь неправильного четырёхугольника, если известны длины всех его сторон в отдельности (периметр)?

Нет, конструкция будет «плавающей». В случае правильного четырехугольника легко привести показательный пример — ромб. С неправильным ситуация аналогичная.

Уважаемый Александр Николаевич! Есть похожая на Вашу 6 задачу: Диагональ равнобокой трапеции составляет с ее нижним основанием угол 60. Найти площадь трапеции, если большее основание равно 6 см.
Натолкните, пожалуйста, на путь истинный.

Здравствуйте! Воспользуйтесь теоремой о сдвиге диагонали. Получится равносторонний треугольник (равнобедренный с углом 60 градусов), имеющий сторону 6 см. Его площадь равна площади трапеции.

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.Скачать

Площадь трапеции: формулы с примерами

Трапеция – четырехугольник у которого две стороны параллельны. Параллельные стороны – это основание, непараллельные стороны – боковые.

Существует несколько основных видов: криволинейная, равнобедренная, произвольная, прямоугольная. Вычисления площади трапеции по формуле разнятся в зависимости от конкретного типа геометрической фигуры.

Видео:Трапеция, решение задач. Вебинар | МатематикаСкачать

Что такое трапеция: типы и отличия

Всего существует четыре типа, отличающихся между собой не только вариативностью углов, но и возможным наличием криволинейных отрезков.

Произвольная – любой четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие – расположены произвольно (разные по длине и не под прямым углом относительно параллельных сторон).
Прямоугольная – трапеция, в которой один угол у основания равен 90⁰.
Равнобедренная (равнобокая) – фигура, обладающая одинаковыми по длине боковыми сторонами.
Криволинейная трапеция – четырехугольник с парой параллельных сторон и двумя сторонами, ограниченными графиком неотрицательной обязательно непрерывной функции.

Видео:ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

Площадь произвольной трапеции

Вариативность расчета площади произвольной трапеции невелика. Ее можно вычислить относительно заданных размеров основания и высоты; посчитать через обозначенные четыре стороны фигуры; решить пример, зная длину средней линии и высоты; по указанным диагоналям и углом между ними; высчитать через основания и два угла.

Формула через основания и высоту

Основная формула расчета данного способа:

Где а и b – параллельные стороны, а h – высота четырехугольника.

Пример задачи: Дана плоская геометрическая фигура, параллельные стороны которой соответствуют длине 12 и 20 см, а высота равна – 10 см. Как найти площадь?

Решение: Допустимое решение согласно вышеприведенной формуле S = (a + b)/2 x h: S = (12 + 20)/2 x 10 = 160 см².

Формула через высоту и среднюю линию

Зная длину средней линии и высоту плоской фигуры, всегда можно найти площадь трапеции, выполнив буквально одно действие:

Где h – высота четырехугольника, а m – средняя линия (прямая, соединяющая середины боковых сторон).

Пример решения задачи: Дана трапеция, в которой длина средней линии – 28 см, а высота фигуры – 19 см. Какова площадь плоского четырехугольника?

Решение: Используя формулу S = hm, подставляем вместо букв цифровые значения из условия задачки. Получаем S = 28 х 19 = 532 см².

Формула через четыре стороны

Этот метод не так прост, как предыдущие. Здесь взяты за основу основные теоремы геометрии, а потому принцип расчета площади трапеции выглядит следующим образом:

Где a, b, c, d – четыре стороны фигуры, причем сторона b в обязательном порядке должна быть длинней а.

Пример вычисления: Даны стороны – a = 2 см, b = 4 см, c = 8 см, d = 7 см. Как найти площадь трапеции?

Расчет:

Формула через диагонали и угол между ними

Вычислить площадь трапеции также можно, зная размеры обеих диагоналей и значения угла между ними.

Обозначения: d₁ и d₂ — первая и вторая диагонали, α – угол между диагоналями.

Пример: Вычислить площадь фигуры при следующих известных значениях — d₁ = 17 см, d₂ = 25 см, α = 35⁰.

Верное решение: S = ½ х 17 х 25 х sin35 = 212,5 х 0,57 = 121,125 см².

Формула через основания и два угла

Еще один вариант вычисления, основанный на расчете площади трапеции посредством длин двух оснований и двух углов.

Значения букв: b, a – длины оснований, α и β – углы.

Как посчитать (пример): Пускай угол α будет равен 67⁰, угол β = 106⁰, длина основания а равно 8 см, размер b = 11 см.

Решение:

Видео:Площадь трапецииСкачать

Обучающее видео

Отличным подспорьем в изучении основных типов вычислений площади являются видеоматериалы с доступным, легким языком изложения, подробными объяснениями и примерами решения задач.

Видео «Трапеция: решение задач»

Видео для новичков – доходчиво изложенная информация, содержащая основные формулы вычисления площади трапеции.

Видео «Площадь трапеции»

Видео содержит максимально полную информацию о видах трапеций, правильных буквенных обозначениях и вариантах решений разноплановых задач при помощи всех известных методов и принципов расчета.

Все перечисленные формулы и способы вычисления широко применимы во время изучения геометрии в школах и ВУЗах. Студенту, школьнику и абитуриенту предоставленная информация пригодится в качестве онлайн шпаргалки в период интенсивной подготовки к экзаменам, контрольным работам, написания рефератов, курсовых и подобных работ.