Видео:Усеченный конус ч.1 Развертка усечённого конуса.Скачать
Развертка усеченного конуса. Формула площади и пример решения задачи
Каждый школьник слышал о фигуре конус. Его свойства и характеристики изучает стереометрия. Из этой фигуры можно получить ее усеченный вариант. В данной статье рассмотрим вопрос, что такое развертка усеченного конуса и как найти ее площадь.
Видео:Усеченный конус. 11 класс.Скачать
Какую фигуру будем изучать?
Круглый прямой усеченный конус представляет собой два круга, имеющих разный диаметр, которые расположены в параллельных плоскостях. Окружности этих кругов соединены прямыми отрезками равной длины, именуемых образующими фигуры. Расстояние между круглыми основаниями называется высотой. Описанная фигура показана ниже на фото.
Получить ее можно двумя принципиально отличающимися геометрическими способами. Во-первых, можно взять обычный круглый конус и параллельной его основанию плоскостью отсечь верхнюю часть. Такое действие приведет к образованию верхнего (малого) основания усеченного конуса. Во-вторых, можно взять трапецию с двумя прямыми углами и вращать ее вокруг стороны, ограниченной этими углами. Сторона трапеции, вокруг которой будет происходить вращение, называется осью фигуры. Две параллельные стороны трапеции опишут круглые основания во время вращения, а четвертая наклонная сторона образует боковую поверхность фигуры.
Схема выше демонстрирует получение усеченного конуса с помощью сечения плоскостью.
Видео:Расчет развёртки усеченного конуса в Компас 3Д. Чертеж развертки усеченного конусаСкачать
Развертка усеченного конуса
Как мы видели, рассматриваемая фигура образована тремя поверхностями. Две из них представляют основания, а третья является боковой. Сумма площадей этих поверхностей является полной поверхностью усеченного конуса. В трехмерном пространстве ее площадь вычислять неудобно, поскольку сама величина является двумерной. В связи с этим при возникновении проблемы определения площади поверхности пространственных фигур, их принято представлять на плоскости.
В нашем случае развертку получить достаточно просто. Для этого следует мысленно отрезать по соответствующим окружностям основания от фигуры. Затем, необходимо разрезать вдоль образующей и раскрыть поверхность боковую. В итоге получится результат, показанный на фото.
Она представляет собой два разных круга и часть кругового сектора, у которого вырезан центр.
Видео:Построение развертки конусаСкачать
Формула площади поверхности фигуры
Для вычисления площади поверхности усеченного конуса необходимо определить эту величину для каждой части его развертки. Обозначим радиусы оснований буквами R и r. Тогда их площади будут равны:
Для вычисления площади боковой поверхности учтем, что ее развертка образована двумя одинаковыми генератрисами g и двумя дугами окружностей, которые имеют длину 2*pi*r и 2*pi*R. Опуская рассуждения и промежуточные математические формулы, приведем конечное выражение для площади этой части развертки фигуры. Оно имеет форму:
Получив площади для оснований и боковой поверхности, можно записать формулу развертки конуса усеченного. Ее общая площадь S равна:
Таким образом, площадь S фигуры однозначно определяется из знания радиусов ее оснований и длины генератрисы.
Видео:Усеченный конус. Практическая часть. 11 класс.Скачать
Геометрическая задача
Необходимо провести расчет развертки усеченного конуса, который имеет высоту 13 см и радиусы оснований 2 см и 7 см.
Решение данной задачи с помощью непосредственного применения формулы для S невозможно, поскольку не известна длина генератрисы g. Тем не менее, ее можно вычислить, используя такую формулу:
Это выражение можно самостоятельно получить, рассмотрев прямоугольный треугольник со сторонами g, h и (R-r), здесь h — высота усеченного конуса. Генератриса g будет равна 13,93 см (значение приведено с точностью до 0,01 см).
Осталось подставить значения генератрисы и радиусов в формулу для S, чтобы получить требуемый ответ:
S = 3,14*(7 2 + 2 2 + 13,93*(7 + 2)) ≈ 560,1 см 2 .
Следует не забывать, что записанная для S формула справедлива только для круглого прямого усеченного конуса.
Видео:Задание 42. УСЕЧЕННЫЙ КОНУС. Часть 2Скачать
Площадь усеченного конуса
Усеченный конус — это фигура, получающаяся в результате проведения сечения в конусе, причем сечение проводится параллельно основанию конуса.
Площадь усеченного конуса представляет собой сумму значений площадей боковой поверхности объемной геометрической фигуры, нижнего и верхнего имеющих форму круга оснований.
Исходными данными для расчета S усеченного конуса являются радиусы нижнего R1, верхнего R2 оснований и образующая l, значения которых вносятся в соответствующие поля формы онлайнового калькулятора. Образующая l боковой поверхности усеченного конуса — отрезок, соединяющий соответствующие точки верхней и нижней базисных окружностей геометрической фигуры. Площадь усеченного конуса вычисляется по формуле S = π х (R12 + (R1 + R2) х l + R22).
Усеченный конус чаще, чем обычный конус, является элементом задействуемых при проектировании сооружений. Форма данной объемной геометрической фигуры является очень подходящей для использования ее в проектировании надежных опор различных строительных конструкций.
Усеченный конус и цилиндр часто являются составляющими элементами вытачиваемых на токарных станках деталей различного оборудования. Вычисление площади усеченного конуса дает возможность конструкторам определиться с прочностными показателями и материалом инженерных конструкций.
Видео:Простой расчёт развёртки конусаСкачать
Площадь поверхности усеченного конуса
Усечённый конус или конический слой — часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием.
Усечённый конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг меньшей боковой стороны.
Формула площади боковой поверхности усеченного конуса: S = π l (R + r) ,
где R — радиус нижнего основания, r — радиус верхнего основания, l — образующая усеченного конуса.
Формула площади полной поверхности усеченного конуса: S = π (l R + l r + R 2 + r 2 ) ,
где R — радиус нижнего основания, r — радиус верхнего основания, l — образующая усеченного конуса.
Образующая усеченного конуса рассчитывается по формуле:
, где R — радиус нижнего основания, r — радиус верхнего основания, h — высота усеченного конуса.
📹 Видео
63. Усеченный конусСкачать
Задание 42. УСЕЧЕННЫЙ КОНУС. Часть 1Скачать
ГЕОМЕТРИЯ 11 класс: Конус Площадь конуса. Усеченный конусСкачать
11 класс, 18 урок, Усеченный конусСкачать
развертка конусаСкачать
Жестяные работы. Усечённый конус. Расчет усечённого конуса с онлайн калькулятора | ссылка⬇️Скачать
Геометрия. 11 класс. Усеченный конус и его элементы. Площадь поверхности конуса /23.02.2021/Скачать
Как сделать развертку усеченного конуса в SolidWorksСкачать
Развёртка усечённого конуса в Компас 3DСкачать
Геометрия. 11 класс. Усеченный конус и его элементы. Площадь поверхности усеченного конусаСкачать
Развертка усеченного конусаСкачать
Конус. Усечённый конус. #математикагеометрия #дистанционноеобучениеСкачать
Уроки Solidworks.Развёртка усечённого конусаСкачать