формула площади прямоугольника с доказательством

Видео:8 класс, 12 урок, Площадь прямоугольникаСкачать

Глоссарий. Алгебра и геометрия

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон: S = ab.

Видео:5 класс, 18 урок, Площадь. Формула площади прямоугольникаСкачать

Доказательство

Рассмотрим прямоугольник со сторонами a, b и площадью S. Докажем, что S = ab. Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a + b, как показано на рисунке 1.

Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, то площадь этого квадрата равна (a + b) 2 . С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S (так как, по свойству площадей, равные многоугольники имеют равные площади) и двух квадратов с площадями a 2 и b 2 . Так как четырехугольник составлен из нескольких четырехугольников, то, по свойству площадей, его площадь равна сумме площадей этих четырехугольников: (a + b) 2 = S + S + a 2 + b 2 , или a 2 + 2ab + b 2 = 2S + a 2 + b 2 . Отсуда получаем: S = ab, что и требовалось доказать.

Видео:49 Площадь прямоугольникаСкачать

Площадь прямоугольника — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Любой многоугольник ограничивает некоторую часть плоскости. Эту часть плоскости называют внутренней областью многоугольника. На рисунке 226 внутренняя область многоугольника закрашена. Будем рассматривать многоугольник вместе с его внутренней областью.

Видео:✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис ТрушинСкачать

Определение площади прямоугольника

Каждому многоугольнику можно поставить в соответствие значение его площади, считая, что площадь многоугольника — это та часть плоскости, которую занимает многоугольник. Понятие площади нам известно из повседневной жизни (площадь комнаты, площадь огорода, площадь страницы). С понятием площади вы также знакомились на уроках математики в 5-6-х классах.

Сформулируем основные свойства площади:

1. площадь каждого многоугольника является положительным числом;
2. равные многоугольники имеют равные площади;
3. если многоугольник разбит на несколько многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников;
4. единицей измерения площади является площадь квадрата со стороной, равной единице измерения длины (такой квадрат еще называют единичным квадратом).

Например, если за единицу измерения длины взять 1 см, то соответствующей единицей измерения площади будет площадь квадрата со стороной 1 см. Такой квадрат имеет площадь 1

Площадь фигуры принято обозначать буквой

Пример:

Найдите площадь многоугольника, изображенного на рисунке 227, если сторона клетки равна 1 см.

Решение:

Внутренняя область многоугольника состоит из шестнадцати клеток со стороной 1 см, площадь каждой из которых и четырех треугольников, площадь каждого из которых равна половине площади клетки. Следовательно, площадь фигуры

Ответ. 18

Площади некоторых фигур можно находить по формулам. Например, из курса математики предыдущих классов нам известны формулы для вычисления площадей прямоугольника, квадрата, круга.

Теорема (о площади прямоугольника). Площадь прямоугольника со сторонами и вычисляется по формуле

Доказательство этой теоремы достаточно громоздко, ознакомиться с ним можно в Приложении 2 (с. 194).

Если стороны прямоугольника и тогда а если и то

Следствие. Площадь квадрата со стороной вычисляется по формуле

Пример:

Квадрат и прямоугольник имеют равные площади. Сторона квадрата равна 6 см, а одна из сторон прямоугольника в 4 раза больше другой. Найдите периметр прямоугольника.

Решение:

Пусть — площадь квадрата, — площадь прямоугольника, — периметр прямоугольника.

1)

2) Пусть одна из сторон прямоугольника равна см, тогда вторая равна см. По формуле площади прямоугольника имеем уравнение:

то есть откуда

Учитывая, что имеем: Следовательно, стороны прямоугольника равны 3 см и 4 • 3 = 12 (см).

3) (см).

Геометрические знания, связанные с измерением площади, берут свое начало в глубине тысячелетий.

Еще за 2-3 тысячи лет до н. э. вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Эталоном при измерении площадей им служил квадрат со стороной, равной единице длины.

Древние египтяне 4000 лет назад для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции уже пользовались теми же формулами, что и мы сейчас.

В своих «Началах» Евклид не употреблял слово «площадь», так как он уже под самим словом «фигура» понимал часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линей, т. е. площадь. Евклид не выражал результат измерения площади числом, а сравнивал площади разных фигур между собой, употребляя слово «равновеликие». Как, например, в Задаче 16 из первой книги «Начал»: «Параллелограммы, находящиеся на равных основаниях и между теми же параллельными, равны между собой, т. е. равновелики. Докажите!».

Как и другие ученые древности, Евклид занимался вопросами превращения одних фигур в другие, им равновеликие. Так, в «Началах» решалась задача о построении квадрата, равновеликого любому данному многоугольнику.

Видео:Площадь. Формула площади прямоугольника | Математика 5 класс #18 | ИнфоурокСкачать

Теорема о площади прямоугольника

Теорема (о площади прямоугольника). Площадь прямоугольника со сторонами и вычисляется по формуле

Доказательство:

Пусть — произвольный прямоугольник, у которого (рис. 255). Докажем, что

1) Если длины отрезков и являются рациональными числами

(целыми или дробными), то существует отрезок такой длины которую можно отложить целое число раз и на отрезке и на отрезке

Приведем числа и к общему знаменателю Получим:

Тогда Имеем

Разобьем отрезок на равных частей длиной a — на равных частей длиной Через точки деления проведем прямые, параллельные сторонам прямоугольника (рис. 255). Эти прямые разобьют весь прямоугольник на pq равных квадратов со стороной (один из таких квадратов закрашен на рисунке 255). Так как единичный квадрат вмещает ровно квадратов со стороной то площадь одного квадрата с такой стороной равна Площадь прямоугольника равна сумме площадей всех квадратов. Имеем:

2) Рассмотрим случай, когда хоть одна из длин отрезков или является числом иррациональным (бесконечной десятичной дробью).

Пусть число получили из числа отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с Так как отличается от не более чем на то

Аналогично рассмотрим число такое, что На прямых

и отложим отрезки где

и построим прямоугольники и (рис. 256).

Будем неограниченно увеличивать число Тогда число станет очень малым, а потому число практически не будет отличаться от числа а число практически не будет отличаться от числа Поэтому произведение практически не будет отличаться от произведения Следовательно, из последнего двойного неравенства следует, что площадь прямоугольника практически не отличается от числа Поэтому

Но из неравенств и при неограниченном увеличении числа следует, что число практично не отличается от числа а число — от числа

Следовательно, число практически не отличается от числа

Окончательно имеем:

Видео:Доказательство теоремы о площади прямоугольникаСкачать

Площадь прямоугольника с доказательством

Самой простой фигурой с точки зрения вычисления площади является прямоугольник.

Теорема (формула площади прямоугольника)

Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон:

где — стороны прямоугольника.

Приведем рассуждения, на которых основывается доказательство этой теоремы.

Сначала необходимо рассмотреть прямоугольник со сторонами 1 и Поскольку в отрезке единица измерения длины укладывается раз, то в этом прямоугольнике единица измерения площади (единичный квадрат) будет укладываться также раз (рис. 144, а), т.е. площадь этого прямоугольника равна

В общем случае для прямоугольника со сторонами рассуждаем так: поскольку в отрезке единица измерения длины укладывается раз, то прямоугольник со сторонами будет укладываться в данном прямоугольнике также раз (рис. 144, б). Тогда единица измерения площади укладывается в данном прямоугольнике раз, т.е. площадь прямоугольника равна

Полное доказательство этой теоремы приводится в Приложении 1.

Следствие (формула площади квадрата)

Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

где — сторона квадрата.

• Объем пространственных фигур
• Объёмы поверхностей геометрических тел
• Фигуры вращения: цилиндр, конус, шар
• Объем фигур вращения
• Многоугольник
• Площадь многоугольника
• Правильные многоугольники
• Вписанные и описанные многоугольники

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника очень часто требуется найти в задачах по геометрии. И не только — в повседневной жизни очень многие плоскости имеют форму прямоугольника и надо найти площадь прямоугольника. Как это сделать? Давайте рассмотрим все формулы и примеры.

Мы учимся вычислять площадь прямоугольника или площадь прямоугольника в школе. Однако, когда вы станете старше, вполне возможно, что вы не будете помнить, как найти площадь прямоугольника. Для начала давайте вспомним, что такое прямоугольник.

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Что такое прямоугольник

Давайте не будем «срезать углы». Чтобы иметь возможность вычислить площадь прямоугольника, естественно, что мы сначала знаем, что это такое. Поэтому для начала необходимо помнить, что прямоугольник является четырехугольником. Другими словами, это геометрическая фигура, которая имеет четыре стороны и четыре прямых угла. Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину. Две самые длинные стороны представляют его длину, а две другие стороны представляют его ширину.

Не все четырехугольники являются прямоугольниками. Действительно, обязательно, чтобы они имели следующие свойства, чтобы мы могли сказать, что это действительно прямоугольник:

Видео:21. Площадь. Формула площади прямоугольника (Виленкин, 5 класс)Скачать

Характеристики прямоугольника

Противоположные стороны должны быть параллельны.

• Диагонали прямоугольника должны быть одинаковой длины. Они также пересекаются в своей середине.
• Точка пересечения диагоналей прямоугольника называется центром симметрии.
• Кроме того, прямоугольник также является параллелограммом, так как его стороны попарно параллельны. Однако это частный случай параллелограмма. На самом деле он имеет четыре прямых угла, и его две параллельные стороны не должны иметь одинаковую длину. В противном случае все четыре стороны имеют одинаковую длину — тогда мы говорим о квадрате.

Видео:5 класс - Математика - Площадь. Формула площади прямоугольникаСкачать

Формула площади прямоугольника

Как рассчитать площадь прямоугольника? Обратите внимание, что базовую формулу для вычисления площади (или площади) прямоугольника очень легко запомнить. Вы просто должны умножить его длину на ширину.

Например, площадь прямоугольника длиной 4 сантиметра и шириной 2 сантиметра равна 4 x 2 = 8 см².

Видео:8 класс, 13 урок, Площадь параллелограммаСкачать

Принцип расчета площади прямоугольника

Чтобы вычислить площадь прямоугольника, мы посчитаем количество единиц областей, которые содержит прямоугольник:

В прямоугольнике выше 12 квадратов по 1 см². Его площадь составляет 12 см² (4 х 3).

Примечание. В этом расчете длина L и ширина l прямоугольника должны быть выражены в одной и той же единице длины. Результат будет выражен в той же единице измерения, возведенной в квадрат. Например, если длина прямоугольника выражена в метрах, ширина также должна быть выражена в метрах, а результат формулы для расчета площади прямоугольника даст результат в квадратных метрах (м²).

Площадь прямоугольника эквивалентна его территории. Территория — это термин, используемый для обозначения меры площади земли (мы используем единицу измерения гектар, а не м²). Гектар — это метрическая мера земельной площади, равная 10 000 м 2 .

Видео:8 класс, 11 урок, Площадь квадратаСкачать

Пример расчета

Рассмотрим прямоугольник длиной L = 4 см и шириной l = 2 см. Площадь S его поверхности равна:
A = L x l = 4 x 2 = 8 см².

Видео:8 класс, 14 урок, Площадь треугольникаСкачать

Как рассчитать площадь прямоугольника, если мы знаем только одну сторону и диагональ

Можно определить площадь прямоугольника другим способом. Формула, которая была изложена ранее, не является единственным методом, который можно использовать. Действительно, вполне возможно сделать это по-другому. Для этого нам нужно будет, по крайней мере, измерить только одну сторону и необходимо знать длину диагонали. В этом случае мы делаем расчет, используя теорему Пифагора.

Что такое теорема Пифагора

Это формула, которая используется для определения длины третьей стороны прямоугольного треугольника, когда вы уже знаете значение двух других его сторон.

Обратите внимание, что прямоугольник состоит из двух прямоугольных треугольников. Действительно, диагональ представляет гипотенузу этого типа треугольника.

Теорема Пифагора

Кроме того, это также самая длинная сторона, которую можно найти на рисунке. Длина и ширина, с другой стороны, представляют две другие его стороны (скажем, смежные стороны). Это причина, почему можно использовать эту формулу для определения площади прямоугольника.

Теорема Пифагора основана на довольно простом уравнении, которое выглядит следующим образом: a² + b² = c². Где a и b используются для представления двух соседних сторон — катетов прямоугольного треугольника, а c представляет гипотенузу треугольника.

Чтобы полностью понять использование этой формулы, мы начнем с очень конкретного примера. Для этого предположим, что диагональ прямоугольника 10 см, а другая сторона 6 см. Если мы ссылаемся на формулу a² + b² = c², следовательно, сторона «a» составляет 6 см, а гипотенуза «c» — 10 см. Теперь нам нужно просто заменить буквенные значения числовыми значениями, которые у нас есть. Что дает нам:

a² + b² = c²
6² + b² = 10²
b² = 10² — 6²
b² = 100 — 36
b² = 64
b= 8
Мы получаем длину смежной стороны прямоугольника «b», которая равна 8 см. Теперь мы можем рассчитать площадь прямоугольника:

S = 8 см х 6 см
Следовательно, S = 48 см².

📺 Видео

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

Математика 5 Площадь Формулы площади прямоугольника и квадратаСкачать

21. Площадь. Формула площади прямоугольника. Математика 5 классСкачать

Площадь. Формула площади прямоугольника и квадратаСкачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать

Площадь треугольника. Формула площади. Геометрия 8 класс.Скачать