формула площади правильного додекаэдра

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Додекаэдр – это. Определение, формулы, свойства и история

Додекаэдр – это объемная геометрическая фигура, которая имеет 12 граней. Это основная его характеристика, поскольку количество вершин и число ребер могут изменяться. Рассмотрим в статье свойства этой фигуры, ее использование в настоящее время, а также некоторые интересные исторические факты, связанные с ней.

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Общие понятия о фигуре

Додекаэдр – это слово взято из языка древних греков, которое буквально означает «фигура с 12-ю гранями». Его грани представляют собой многоугольники. Учитывая свойства пространства, а также определение додекаэдра, можно сказать, что его многоугольники могут иметь 11 сторон и меньше. Если грани фигуры образованы правильными пентагонами (многоугольник, имеющий 5 сторон и 5 вершин), то такой додекаэдр называется правильным, он входит в число 5-ти платоновских объектов.

Видео:#203. Правильные многогранники: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдрСкачать

Геометрические свойства правильного додекаэдра

Рассмотрев вопрос о том, что такое додекаэдр, можно перейти к характеристике основных свойств правильной объемной фигуры, то есть образованной одинаковыми пятиугольниками.

Поскольку рассматриваемая фигура является объемной, выпуклой и состоит из многоугольников (пентагонов), то для нее справедливо правило Эйлера, которое устанавливает однозначную зависимость между числом граней, ребер и вершин. Оно записывается в виде: Г + В = Р + 2, где Г – количество граней, В – вершин, Р – ребер. Зная, что правильный додекаэдр – это двенадцатигранник, число вершин которого составляет 20, то, используя правило Эйлера, получаем: Р = Г + В — 2 = 30 ребер. Углы между соседними гранями этой платоновской фигуры являются одинаковыми, они равны 116,57 o .

Видео:Видеоурок по математике "Понятие правильного многогранника"Скачать

Математические формулы для правильного додекаэдра

Ниже приведем основные формулы додекаэдра, который состоит из правильных пятиугольников. Эти формулы позволяют вычислить площадь его поверхности, объем, а также определить радиусы сфер, которые можно вписать в фигуру или описать вокруг нее:

• Площадь поверхности додекаэдра, которая представляет собой произведение 12-ти площадей пятиугольников со стороной «a», выражается следующей формулой: S = 3*√(25 + 10*√5)*a 2 . Для приблизительных расчетов можно пользоваться выражением: S = 20,65*a 2 .
• Объем правильного додекаэдра, как и его суммарная площадь граней, однозначно определяется из знания стороны пятиугольника. Эта величина выражается следующей формулой: V = 1/4*(15 + 7*√5)*a 3 , что приблизительно равно: V = 7,66*a 3 .
• Радиус вписанной окружности, которая касается внутренней стороны граней фигуры в их центре, определяется так: R₁ = 1/4*a*√((50 + 22*√5)/5), или приблизительно R₁ = 1,11*a.
• Описанную окружность проводят через 20 вершин правильного додекаэдра. Ее радиус определяется формулой: R₂ = √6/4*a*√(3 + √5), или приблизительно R₂ = 1,40*a. Приведенные цифры говорят, что радиус внутренней сферы, вписанной в додекаэдр, составляет 79 % от такового для описанной сферы.

Видео:Додекаэдр, что это такое? Рассказываю в описании!Скачать

Симметрия правильного додекаэдра

Как видно из рисунка выше, додекаэдр – это достаточно симметричная фигура. Для описания этих свойств в кристаллографии вводят понятия об элементах симметрии, главными из которых являются поворотные оси и плоскости отражения.

Идея использования этих элементов проста: если установить ось внутри рассматриваемого кристалла, а затем повернуть его вокруг этой оси на некоторый угол, то кристалл полностью совпадет сам с собой. То же самое относится к плоскости, только операцией симметрии здесь является не поворот фигуры, а ее отражение.

Для додекаэдра характерны следующие элементы симметрии:

• 6 осей пятого порядка (то есть поворот фигуры осуществляется на угол 360/5 = 72 o ), которые проходят через центры расположенных напротив друг друга пятиугольников;
• 15 осей второго порядка (симметричный угол поворота равен 360/2 = 180 o ), которые соединяют середины противоположных ребер октаэдра;
• 15 плоскостей отражения, проходящих через расположенные напротив ребра фигуры;
• 10 осей третьего порядка (операция симметрии осуществляется при повороте на угол 360/3 = 120 o ), которые проходят через противоположные вершины додекаэдра.

Видео:Платоновы тела. Октаэдр. Додекаэдр. Икосаэдр | МатематикаСкачать

Современное использование додекаэдра

В настоящее время геометрические объекты в форме додекаэдра находят применение в некоторых сферах деятельности человека:

• Игральные кости для настольных игр. Так как додекаэдр – это платоновская фигура, обладающая высокой симметрией, то объекты этой формы можно использовать в играх, где продолжение событий имеет вероятностный характер. Игральные кости в своем большинстве изготавливают кубической формы, поскольку их сделать проще всего, однако современные игры становятся все сложнее и разнообразнее, а значит, требуют костей с большим количеством возможностей. Кости в форме додекаэдра применяются в ролевой настольной игре Dungeons and Dragons. Особенностью этих костей является то, что сумма цифр, расположенных на противоположных гранях, всегда равна 13.

• Источники звука. Современные звуковые колонки часто изготавливают в форме додекаэдра, поскольку они распространяют звук во всех направлениях и защищают его от окружающего шума.

Видео:10 класс, 12 урок, ТетраэдрСкачать

Историческая справка

Как выше было сказано, додекаэдр – это одно из пяти платоновых тел, которые характеризуются тем, что образованы одинаковыми правильными многогранниками. Остальными четырьмя платоновыми телами являются тетраэдр, октаэдр, куб и икосаэдр.

Упоминания о додекаэдре относятся еще к вавилонской цивилизации. Однако первое подробное изучение его геометрических свойств сделали древнегреческие философы. Так, Пифагор в качестве эмблемы своей школы использовал пятиконечную звезду, построенную на вершинах пентагона (грани додекаэдра).

Платон подробно охарактеризовал правильные объемные фигуры. Философ считал, что они представляют главные стихии: тетраэдр – это огонь; куб – земля; октаэдр – воздух; икосаэдр – вода. Поскольку додекаэдру не досталась никакая стихия, то Платон предположил, что он описывает развитие всей Вселенной.

Мысли Платона многие могут посчитать примитивными и псевдонаучными, однако вот что любопытно: современные исследования наблюдаемой Вселенной показывают, что приходящее на Землю космическое излучение обладает анизотропией (зависимостью от направления), и симметрия этой анизотропии хорошо согласуется с геометрическими свойствами додекаэдра.

Видео:Правильные и полуправильные многогранникиСкачать

Додекаэдр и сакральная геометрия

Священная геометрия представляет собой совокупность псевдонаучных (религиозных) знаний, которые приписывают различным геометрическим фигурам и символам определенное сакральное значение.

Значение многогранника додекаэдра в сакральной геометрии заключается в совершенности его формы, которую наделяют способностью приводить окружающие тела в гармонию и равномерно распределять энергию между ними. Додекаэдр считается идеальной фигурой для практики медитации, поскольку он играет роль проводника сознания в иную реальность. Ему приписывают способность снимать стресс у человека, восстанавливать память, улучшать внимание и концентрационные способности.

Видео:Как строить сечения тетраэдра и пирамидыСкачать

Римский додекаэдр

В середине XVIII века в результате некоторых археологических раскопок на территории Европы был найден странный предмет: он имел форму додекаэдра, сделанного из бронзы, его размеры составляли несколько сантиметров, и он был пустым внутри. Однако любопытно следующее: в каждой его грани было сделано отверстие, причем диаметр всех отверстий был различным. В настоящее время найдено более 100 таких объектов в результате раскопок во Франции, Италии, Германии и других стран Европы. Все эти предметы датируются II-III веком нашей эры и относятся к эпохе господства Римской Империи.

Как римляне использовали эти предметы — не известно, поскольку не найдено ни одного письменного источника, который бы содержал точное объяснение их назначения. Лишь в некоторых трудах Плутарха можно встретить упоминание, что эти объекты служили для понимания характеристик 12-ти знаков Зодиака. Современное объяснение тайны римских додекаэдров имеет несколько версий:

• предметы использовались в качестве подсвечников (внутри них найдены остатки воска);
• они применялись как игральные кости;
• додекаэдры могли служить календарем, который указывал на время посадки сельскохозяйственных культур;
• могли они применяться в качестве основы для крепления римского военного штандарта.

Существуют и другие версии использования римских додекаэдров, тем не менее ни одна из них не имеет точных доказательств. Известно лишь одно: древние римляне высоко ценили эти предметы, поскольку в раскопках они часто обнаруживаются в тайниках вместе с золотом и драгоценностями.

Видео:Римский додекаэдр в геометрииСкачать

Додекаэдр

Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Додека» означает двенадцать, «хедра» — означает грань (додекаэдр – двенадцатигранник).

Видео:Платоновы тела: Тетраэдр, Куб, Октаэдр, Икосаэдр, ДодекаэдрСкачать

Поэтому на вопрос — «что такое додекаэдр?», можно дать следующее определение: » Додекаэдр это геометрическое тело из двенадцати граней, каждая их которых — правильный пятиугольник «.

Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти Платоновых тел .
Додекаэдр имеет следующие характеристики :

• Тип грани – правильный пятиугольник;
• Число сторон у грани – 5;
• Общее число граней – 12;
• Число рёбер, примыкающих к вершине – 3;
• Общее число вершин – 20;
• Общее число рёбер – 30.

Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.
Додекаэдр имеет центр симметрии — центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Видео:Ст 11, на 02 04 2020, Правильные многогранники на русском, Купеева ТСкачать

Математические характеристики додекаэдра

Додекаэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.

Радиус описанной сферы додекаэдра

где a — длина стороны.

Сфера может быть вписана внутрь додекаэдра.

Радиус вписанной сферы додекаэдра

Площадь поверхности додекаэдра.

Для наглядности площадь поверхности додекаэдра можно представить в виде площади развёртки.

Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон додекаэдра (это площадь правильного пятиугольника) умноженной на 12. Либо воспользоваться формулой:

Объем додекаэдра определяется по следующей формуле:

Видео:Построение додекаэдра в первом дочернем кубеСкачать

Вариант развертки

Додекаэдр можно изготовить самостоятельно. Бумага или картон самый подходящий вариант. Для сборки потребуется бумажная развёртка — единая деталь с линиями сгибов.

Древнегреческий философ Платон по одной из версий не относил додекаэдр ни к одному из земных элементов, а по другой из версий ассоциировал додекаэдр с эфиром (пустотой). Для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали желтый цвет.

Заметим, что это не единственный вариант развертки.

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf и распечатать на листе формата А4:
— если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере — цветная развертка
— если Вы предполагаете использовать для сборки цветной картон — развертка

Кроме того, существуют два классических варианта окраски многогранника, когда каждая из соседних граней окрашена в свой цвет. Либо используется определенное количество цветов раскраски, причем одинаковые цвета не граничат друг с другом.

Представляем Вашему вниманию два варианта окраски додекаэдра с использованием шести и четырех цветов.

Видео:Задача 12. Правильные многогранники | Стереометрия #13 | ИнфоурокСкачать

Додекаэдр.

Додекаэдр — 1 из 5ти вероятных правильных многогранников.

Додекаэдр состоит из 12 пятиугольников. Равносторонних. У додекаэдра 12 граней с 30 ребрами, 20

вершин, при каждой вершине по 3 грани, таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине

Элементы симметрии додекаэдра.

У додекаэдра центр симметрии состоит из 15 осей симметрии. Все оси проходят через середины

противоположных параллельных ребер.

У додекаэдра 15 плоскостей симметрии. Каждая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани

через вершину и середину противолежащего ребра.

Оси симметрии додекаэдра.

Плоскости симметрии додекаэдра.

Развертка додекаэдра.

Основные формулы додекаэдра.

Если за длину ребра принять a, то:

Сумма ребер додекаэдра:

Площадь поверхности додекаэдра:

Объём додекаэдра:

Радиус описанной сферы вокруг додекаэдра:

Радиус вписанной сферы в додекаэдр:

Свойства додекаэдра.

• 20 вершин додекаэдра лежат по 5 в 4-х плоскостях параллельных, и образуют в каждой

параллельных плоскостях по правильному пятиугольнику.

• Двугранный угол, который лежит между 2-мя смежными гранями додекаэдра

• Ʃ плоских углов у любой из двадцати вершин = 324°, телесный (3-х гранный) угол

• Внутрь додекаэдра возможно вписать куб таким образом, что стороны вписанного куба станут

• У додекаэдра 3 звёздчатые формы.

• Внутрь додекаэдра возможно вписать 5 кубов. Если поменять 5-ти угольные грани додекаэдра

плоскими 5-ти угольными звездами таким образом, что исчезнет каждая из ребер додекаэдра, значит

получится пространство 5-ти кубов, которые пересекаются. Додекаэдр перестанет существовать.

Вместо замкнутого многогранника появится открытая геометрическая система 5-ти ортогональностей.

Или симметричное пересечение 5-ти 3-х мерных пространств.

🔍 Видео

Какой формы солнце???ДОДЕКАЭДРСкачать

10 класс, 14 урок, Задачи на построение сеченийСкачать

10 Класс. Геометрия. Абдурахманова З.М. Тема: "Понятие правильного многогранника...".Скачать

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ: Тетраэдр, Гексаэдр, Октаэдр, Додекаэдр, Икосаэдр // СТЕРЕОМЕТРИЯСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

Геометрия 10 класс (Урок№16 - Правильные многогранники.)Скачать