формула площади круга через треугольник

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Как найти площадь окружности через треугольник

Видео:Лучший способ найти площадь кругаСкачать

Площадь круга: как найти, формулы

О чем эта статья:

площадь, 6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Определение основных понятий

Прежде чем погрузиться в последовательность расчетов и узнать, чему равна площадь круга, важно выяснить разницу между понятиями окружности и круга.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии, не превышающем радиус.

Если говорить простым языком, окружность — это замкнутая линия, как, например, кольцо и шина. Круг — плоская фигура, ограниченная окружностью, как монетка или крышка люка.

Видео:Площадь круга. Математика 6 класс.Скачать

Формула вычисления площади круга

Давайте разберем несколько формул расчета площади круга. Поехали!

Площадь круга через радиус

S = π × r 2 , где r — это радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она приблизительно равна 3,14.

Площадь круга через диаметр

S = d 2 : 4 × π, где d — это диаметр.

Площадь круга через длину окружности

S = L 2 ​ : (4 × π), где L — это длина окружности.

Популярные единицы измерения площади:

• квадратный миллиметр (мм 2 );
• квадратный сантиметр (см 2 );
• квадратный дециметр (дм 2 );
• квадратный метр (м 2 );
• квадратный километр (км 2 );
• гектар (га).

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Видео:ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия АтанасянСкачать

Задачи. Определить площадь круга

Мы разобрали три формулы для вычисления площади круга. А теперь тренироваться — поехали!

Задание 1. Как найти площадь круга по диаметру, если значение радиуса равно 6 см.

Диаметр окружности равен двум радиусам.

Используем формулу: S = π × d 2 : 4.

Подставим известные значения: S = 3,14 × 12 2 : 4.

Ответ: 113,04 см 2 .

Задание 2. Найти площадь круга, если известен диаметр, равный 90 мм.

Используем формулу: S = π × d 2 : 4.

Подставим известные значения: S = 3,14 × 90 2 : 4.

Ответ: 6358,5 мм 2 .

Задание 3. Найти длину окружности при радиусе 3 см.

Отношение длины окружности к диаметру является постоянным числом.

Получается: L = d × π.

Так как диаметр равен двум радиусам, то формула длины окружности примет вид: L = 2 × π × r.

Подставим значение радиуса: L = 2 × 3,14 × 3.

Ответ: 18,84 см 2 .

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник: решение

Содержание:

В геометрии встречаются понятия описанной и вписанной геометрических фигур. Описанным будет треугольник, через вершины которого проходит окружность, вписанным – если его стороны соприкасаются с кругом. Такое построение в обоих случаях обладает рядом особенностей, которые применяются на практике и упрощают решение задач. Рассмотрим свойства и формулы для расчёта описанного 3-угольника.

Видео:Длина окружности. Площадь круга, 6 классСкачать

Особенности явления

Окружность с центром O, проходящая через одну из точек: D, E либо F обязательно будет лежать и на двух остальных. Прямые, разделяющие углы пополам, или биссектрисы равностороннего треугольника пересекаются в общей точке – центре вписанной окружности, который находится на одинаковом удалении от сторон геометрической фигуры.

Из вышесказанного следуют свойства:

• В треугольник вписывается лишь один круг.
• Его центр находится на одинаковом расстоянии от ближайших точек на сторонах 3-угольника.
• Перпендикуляры, опущенные из центра O, и биссектрисы пересекаются в одной точке, называемой центром вписанной окружности.

Видео:Стереометрия первая часть профильного ЕГЭ по математике, задания реальных экзаменов прошлых лет.Скачать

Способ вычислить площадь круга, вписанного в треугольник

Для вычисления площади, если дан только размер стороны правильного треугольника, применяется ряд формул.
S=πr 2 .

a, где:

• a – длина стороны геометрической фигуры;
• r – радиус круга, расположенного внутри многоугольника с тремя равными сторонами.

После подстановки значения получается выражение для вычисления площади вписанной окружности:

.

В задачах могут давать длину сторон, тогда
Выражение для равностороннего треугольника можно записать в виде так как 3-угольник равносторонний. С иной стороны – это полупериметр рассматриваемой геометрической фигуры – p.

Зная это, формула записывается в виде: S = r * p.

Видео:Дикая площадь круга. #математика #площадь #круг #геометрия #теорема #доказательство #пи #репетиторСкачать

Задачи

В формулу подставим длину сторон треугольника, после вычислений получим результат.

Вычислить занимаемое вписанным в 3-угольник кругом пространство, если его сторона равна 10 см.

Для вычислений необходимо найти радиус r.

Известно, что он определяется по формуле:

После преобразований выражение упрощается до .

– полупериметр.

Начинаем проводить вычисления.

P = a + a + a = 10 +10 +10 или 10 * 3 = 30 см.

Видео:Площадь круга. 9 класс.Скачать

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

Видео:Площадь кругаСкачать

Площадь круга: как найти, формулы

О чем эта статья:

площадь, 6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Видео:Площадь круга. Практическая часть - решение задачи. 6 класс.Скачать

Определение основных понятий

Прежде чем погрузиться в последовательность расчетов и узнать, чему равна площадь круга, важно выяснить разницу между понятиями окружности и круга.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии, не превышающем радиус.

Если говорить простым языком, окружность — это замкнутая линия, как, например, кольцо и шина. Круг — плоская фигура, ограниченная окружностью, как монетка или крышка люка.

Видео:Площадь круга через интегралСкачать

Формула вычисления площади круга

Давайте разберем несколько формул расчета площади круга. Поехали!

Площадь круга через радиус

S = π × r 2 , где r — это радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она приблизительно равна 3,14.

Площадь круга через диаметр

S = d 2 : 4 × π, где d — это диаметр.

Площадь круга через длину окружности

S = L 2 ​ : (4 × π), где L — это длина окружности.

Популярные единицы измерения площади:

• квадратный миллиметр (мм 2 );
• квадратный сантиметр (см 2 );
• квадратный дециметр (дм 2 );
• квадратный метр (м 2 );
• квадратный километр (км 2 );
• гектар (га).

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Видео:Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решенияСкачать

Задачи. Определить площадь круга

Мы разобрали три формулы для вычисления площади круга. А теперь тренироваться — поехали!

Задание 1. Как найти площадь круга по диаметру, если значение радиуса равно 6 см.

Диаметр окружности равен двум радиусам.

Используем формулу: S = π × d 2 : 4.

Подставим известные значения: S = 3,14 × 12 2 : 4.

Ответ: 113,04 см 2 .

Задание 2. Найти площадь круга, если известен диаметр, равный 90 мм.

Используем формулу: S = π × d 2 : 4.

Подставим известные значения: S = 3,14 × 90 2 : 4.

Ответ: 6358,5 мм 2 .

Задание 3. Найти длину окружности при радиусе 3 см.

Отношение длины окружности к диаметру является постоянным числом.

Получается: L = d × π.

Так как диаметр равен двум радиусам, то формула длины окружности примет вид: L = 2 × π × r.

Подставим значение радиуса: L = 2 × 3,14 × 3.

Ответ: 18,84 см 2 .

Видео:👉 ФОРМУЛА ГЕРОНА. Площадь треугольника #shortsСкачать

Площадь круга ⁠

Площадь круга ради­уса $R$ равна $S = pi cdot R^2$. Убе­димся в этом, восполь­зо­вавшись уме­нием вычис­лять площадь прямо­уголь­ника и площадь тре­уголь­ника.

Раз­де­лим круг диамет­ром на две поло­вины. Каж­дую из них разо­бьём на оди­на­ко­вые сек­тора. «Рас­крыв» поло­вины и вста­вив их одна в другую, полу­чим фигуру, по площади рав­ную площади изна­чаль­ного круга. Эта фигура — почти прямо­уголь­ник. Почти — потому что длин­ные сто­роны не совсем прямые. Длина этих сто­рон равна поло­вине длины окруж­но­сти, т.е. $pi cdot R$. А длина корот­кой сто­роны полу­чившейся фигуры — в точ­но­сти радиус изна­чаль­ной окруж­но­сти. Площадь прямо­уголь­ника вычис­ля­ется пере­множе­нием длин его сто­рон: $S≈(pi cdot R)cdot R = pi cdot R^2$.

Исполь­зо­вана формула для площади прямо­уголь­ника, однако полу­чивша­яся фигура — не совсем прямо­уголь­ник, поэтому и был напи­сан знак при­ближён­ного равен­ства. При этом понятно, что если круг делить на большее коли­че­ство оди­на­ко­вых частей, то отли­чие от прямо­уголь­ника будет всё меньше и меньше. В пре­деле, фигура не будет отли­чаться от прямо­уголь­ника, а зна­чит, такая модель не только наглядна, но и вполне законна.

Модель можно изго­то­вить из дерева и полоски кожи. Кожу стоит под­би­рать отлич­ного от дерева цвета, чтобы явно выде­ля­лась окруж­ность в круге и длин­ные сто­роны в почти прямо­уголь­нике. В одной из поло­ви­нок круга один из сек­то­ров стоит раз­бить на две части — так, чтобы внеш­ние детали были поло­вин­ками стан­дарт­ных сек­то­ров. Тогда полу­чивша­яся после сложе­ния фигура будет больше похо­дить на прямо­уголь­ник. В про­тив­ном слу­чае — на парал­ле­лограмм.

Чтобы восполь­зо­ваться форму­лой площади тре­уголь­ника собе­рём круг из концен­три­че­ски рас­по­ложен­ных поло­сок, напри­мер, кожи. Внеш­няя должна быть самой длин­ной, сле­дующая чуть короче и т.д. Длину стоит под­би­рать так, чтобы при сги­ба­нии полу­чался круг. На одном из ради­у­сов схо­дятся концы поло­сок.

Раз­вер­нём одно­временно все полоски и круг пре­вра­тится в почти тре­уголь­ник. «Почти», потому что боко­вые сто­роны — не прямые линии, а состоят из ступе­нек. В школе про­хо­дится несколько формул для вычис­ле­ния площади тре­уголь­ника (и все они дают оди­на­ко­вый результат!). Восполь­зу­емся одной из них — площадь тре­уголь­ника равна поло­вине про­из­ве­де­ния длины сто­роны (напри­мер, осно­ва­ния) на длину высоты, про­ве­ден­ной к этой сто­роне. Длина осно­ва­ния в нашем слу­чае равна в точ­но­сти длине окруж­но­сти изна­чаль­ного круга, т.е. $2 cdot pi cdot R$. А длина высоты есть про­сто радиус круга. Таким обра­зом площадь полу­чившейся фигуры $S ≈ (1/2) cdot (2 cdot pi cdot R) cdot R ≈ pi cdot R^2$.

📹 Видео

КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ КРУГА, ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ДИАМЕТР? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Формула Площади Круга. Доказательство АрхимедаСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Как найти площадь круга?Скачать