Видео:#203. Правильные многогранники: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдрСкачать

Икосаэдр

Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Икоси» означает двадцать, «хедра» — означает грань (Икосаэдр – двадцатигранник).

Видео:5 класс, 21 урок, Объемы. Объем прямоугольного параллелепипедаСкачать

Поэтому на вопрос — «что такое икосаэдр?», можно дать следующее определение: » Икосаэдр это геометрическое тело из двадцати граней, каждая их которых — правильный треугольник «.

Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти Платоновых тел .
Икосаэдр имеет следующие характеристики:

• Тип грани – правильный треугольник;
• Число сторон у грани – 3;
• Общее число граней – 20;
• Число рёбер, примыкающих к вершине – 5;
• Общее число вершин – 12;
• Общее число рёбер – 30.

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300° (60° x 5).
Икосаэдр имеет центр симметрии — центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Видео:Формулы. Вычисление по формулам. 5 класс.Скачать

Математические характеристики икосаэдра

Икосаэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.

Радиус описанной сферы икосаэдра

где a — длина стороны.

Сфера может быть вписана внутрь икосаэдра.

Радиус вписанной сферы икосаэдра

Для наглядности площадь поверхности икосаэдра можно представить в виде площади развёртки.

Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон икосаэдра (это площадь правильного треугольника) умноженной на 20. Либо воспользоваться формулой:

Объем икосаэдра определяется по следующей формуле:

Видео:Платоновы тела: Тетраэдр, Куб, Октаэдр, Икосаэдр, ДодекаэдрСкачать

Вариант развертки

Икосаэдр можно изготовить самостоятельно. Бумага или картон самый подходящий вариант. Для сборки потребуется бумажная развёртка — единая деталь с линиями сгибов.

Древнегреческий философ Платон ассоциировал икосаэдр с «земным» элементом вода, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали голубой цвет.

Заметим, что это не единственный вариант развертки.

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf и распечатать на листе формата А4:
— если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере — цветная развертка
— если Вы предполагаете использовать для сборки цветной картон — развертка

Кроме того, существуют два классических варианта окраски многогранника, когда каждая из соседних граней окрашена в свой цвет. Либо используется определенное количество цветов раскраски, причем одинаковые цвета не граничат друг с другом.

Представляем Вашему вниманию два варианта окраски 20 граней икосаэдра с использованием пяти цветов.

Икосаэдр

Радиус описанной сферы Радиус вписанной сферы Элементы симметрии додекаэдра Правильный икосаэдр имеет 15 осей симметрии , каждая из которых проходит через середины противоположных параллельных ребер. Точка пересечения всех осей симметрии икосаэдра является его центром симметрии . Плоскостей симметрии также 15 . Плоскости симметрии проходят через четыре вершины, лежащие в одной плоскости, и середины противолежащих параллельных ребер. Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать Икосаэдр. Икосаэдр — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, один из тел Платона. Ранее мы писали о додекаэдре , сейчас поговорим о другом похожем двадцатиграннике – икосаэдре . Все 20 граней являются равносторонними треугольниками. количество ребер соответствует 30, количество вершин — 12. Икосаэдр состоит из 59 Все 12 вершин икосаэдра являются вершинами 5 равносторонних треугольников, значит, сумма углов у вершины = 300°.

У икосаэдра 30 ребер. Как и у всех правильных многогранников ребра икосаэдра имеют равную длину,

а грани — равную площадь.

У икосаэдра, как и додекаэдра, 15 осей симметрии, все проходят через

середины противолежащих параллельных ребер. Точка пересечения этих

осей икосаэдра – это и есть его центр симметрии.

Так же как и у додекаэдра, у икосаэдра 15 плоскостей симметрии.

Плоскости симметрии проходят через четыре вершины, которые лежат в

одной плоскости, и середины противоположных параллельных ребер.

Пусть длина ребра икосаэдра будет а тогда:

Сумма длин всех ребер:

Площадь икосаэдра:

Объем икосаэдра:

Радиус вписанной в икосаэдр сферы:

Радиус описанной вокруг икосаэдра сферы:

Свойства икосаэдра.

• Каждая из 12 вершин икосаэдра лежит по 3 в 4-х параллельных плоскостях, образуя во всех

• 10 вершин икосаэдра находятся в 2-х параллельных плоскостях, и образуют в них 2 правильных

5-ти угольника, а оставшиеся 2 — противоположны друг другу и находятся в 2-х концах диаметра

описанной вокруг икосаэдра сферы, который перпендикулярен параллельным плоскостям.

• Икосаэдр возможно вписать в куб, тогда 6 взаимо-перпендикулярных ребер икосаэдра будут

находиться соответственно на 6-ти гранях куба, оставшиеся 24 ребра находятся внутри куба, все 12

вершин икосаэдра будут находиться на ше6-ти гранях куба.

• В икосаэдр можно вписать тетраэдр, таким образом, чтобы 4 вершины тетраэдра станут

совмещены с 4-мя вершинами икосаэдра.

• Икосаэдр возможно вписать в додекаэдр, тогда вершины икосаэдра совместятся с центрами

• В икосаэдр возможно вписать додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней

• Усечённый икосаэдр можнополучить, срезав 12 вершин с образованием граней вида правильных

5-ти угольников. Тогда количество вершин нового многогранника увеличится в 5 раз (12×5=60), 20

треугольных граней становятся правильными шестиугольниками (количество граней

теперь 20+12=32), а рёбер — 30+12×5=90.

• Сделать икосаэдра можно из 20 тетраэдров.

• Нельзя сделать икосаэдр из правильных тетраэдров, потому что радиус описанной сферы вокруг

икосаэдра и длина бокового ребра (вершины-центр такой сборки) тетраэдра меньше ребра икосаэдра.

Усечённый икосаэдр.

Усечённый икосаэдр — это многогранник, который состоит из 12 правильных 5-ти угольников и 20

правильных 6-ти угольников. У усеченного икосаэдра икосаэдрический тип симметрии.

Примеры икосаэдров в мире:

• Обычный футбольный мяч является усечённым икосаэдром.

• Капсиды большинства вирусов (например, бактериофаги, мимивирус).

Молекула фуллерена C60 — усечённый икосаэдр.

Развертка икосаэдра.

Как сделать икосаэдр.

Способ № 1 Икосаэдр из заготовки

Распечатываем готовое изображение развертки икосаэдра, вырезаем и склеиваем по границам. Далее

на ваше усмотрение окрашиваете в любой цвет и украшаете.

Способ № 2 Икосаэдр своими руками

Вам понадобится бумага, карандаш, линейка (удобней будет циркуль), ножницы, клей ПВА (или другой).

При помощи линейки, циркуля и карандаша рисуем на бумаге несколько треугольников (как на рисунке

ниже). Чтоб было легче, можете нарисовать 5 параллелограммов, а после каждый прямоугольник

разделить на 4 равносторонних треугольника. Далее вырезаем, оставив места для склейки и

🌟 Видео

Вычисление площадей и объемов с помощью определённого интегралаСкачать

5 класс, 18 урок, Площадь. Формула площади прямоугольникаСкачать

Платоновы тела. Октаэдр. Додекаэдр. Икосаэдр | МатематикаСкачать

Пра́вильный икоса́эдр (от др.-греч. εἴκοσι «двадцать»; ἕδρον «основание») - одно из Платоновых телСкачать

Многогранники : Тетраэдр, Октаэдр, Икосаэдр, Гексаэдр, ДодекаСкачать

Математика 5 Объем Объем прямоугольного параллелепипедаСкачать

Площадь эллипсоида + вывод формулы площади поверхности вращенияСкачать

БРУТАЛЬНАЯ формула площади!Скачать

Icosahedron: find the volume and surface area #shortsСкачать

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ: Тетраэдр, Гексаэдр, Октаэдр, Додекаэдр, Икосаэдр // СТЕРЕОМЕТРИЯСкачать

Миникурс по геометрии. Куб, призма, цилиндр и конусСкачать

Формула Пика или Как найти площадь любой фигуры на клетчатой бумагеСкачать

Площадь в Автокаде как посчитать, измерить площадь фигур и штриховокСкачать

Solidworks. Правильный икосаэдрСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать