Определение
Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.
Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.
Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.
Признаки подобия треугольников
I признак подобия треугольников
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
II признак подобия треугольников
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Свойства подобных треугольников
- Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
- Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
- Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.
Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников
1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.
2. Треугольники 
и 
, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия – 
3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .
Отношение площадей подобных треугольников
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На данном уроке мы введем понятие подобных треугольников и рассмотрим теорему об отношении их площадей. Затем будет рассмотрен ряд примеров на применение этой теоремы.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Измерение»
Отношение площадей подобных треугольников – определение
Знание признаков подобия треугольников и умение эти признаки использовать открывает новые пути в решениях задач. Иногда ученики встают в ступор при необходимости определения отношения площадей подобных треугольников из-за новизны подхода к выводу формулы. Рассмотрим сам вывод для того, чтобы понять принцип и использовать его в дальнейшем для решения задач.
Подобие
Подобными треугольниками называются треугольники, все стороны которых пропорциональны друг другу. Отношение соответствующих сторон в подобных треугольниках всегда равняется одному и тому же числу, которое называется коэффициентом подобия.
Рис. 1. Подобные треугольники
Коэффициент подобия часто используется для решения задач на подобные треугольники, ведь можно через одно отношение найти коэффициент, после выразить неизвестную сторону через известную. Коэффициент подобия обозначают буквой k.
Не нужно зацикливаться только на треугольниках. Хотя признаки подобия выведены только для них, любая фигура в геометрии имеет подобную. То же касается и равенства фигур: любая фигура в геометрии имеет равную себе, ведь равенство это частный случай подобия с коэффициентом k=1
Рис. 2. Подобные фигуры
Признаки подобия
На сегодняшний день для произвольного треугольника существует 3 признака подобия.
- По двум углам. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
- По сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
- По трем сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Рис. 3. Признаки подобия треугольников
Для того, чтобы доказать пропорциональность сторон нужно посчитать отношение соответствующих сторон. У пропорциональных сторон результаты получатся одинаковыми.
У пропорциональны треугольников будут так же пропорциональны и все характеризующие отрезки: высота, медиана, биссектриса. Коэффициент подобия одинаков для всех отрезков треугольника. Этот факт нужно запомнить, он важен для решения многих задач и выведения формулы отношения площадей подобных треугольников.
Площади подобных треугольников
Рассмотрим два подобных треугольника АВС и $A_1B_1C_1$. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
$$S=<1over>h*AB$$, тогда площадь второго треугольника:
Если поделить одну площадь на вторую, то получится следующее отношение:
$$<Sover>=<over>$$ если вспомнить, что отношение сторон подобных треугольников равняется коэффициенту подобия, то получится следующий результат:
$$<Sover>=k*k=k^2$$ – то есть площади подобных треугольников относятся друг к другу с коэффициентом пропорциональности, равным коэффициенту подобия в квадрате
Что мы узнали?
Мы вспомнили, что такое подобные фигуры. Поговорили о подобных треугольниках. Выделили три признака подобия треугольников. Выяснили, что коэффициент подобия можно использовать не только для работы со сторонами треугольников, но и для любых характеризующих отрезков. Вывели формулу отношения площадей подобных треугольников.