формула площади боковой поверхности наклонной призмы

Формулы площади боковой поверхности треугольной призмы правильной, прямой, наклонной и отсеченной

При изучении стереометрии в старших классах школ рассматривают свойства фигур в пространстве. Одним из основных свойств является объем, однако иногда возникают геометрические проблемы, которые требуют вычисления площадей поверхностей фигур. В данной статье рассмотрим конкретный вопрос: по какой формуле площадь боковой поверхности треугольной призмы можно найти?

Треугольная призма

Для начала разберемся, какая фигура будет рассмотрена в статье. Призма — это такой геометрический объект, который состоит из двух одинаковых и параллельных многоугольных граней и нескольких произвольных параллелограммов, которые указанные грани соединяют между собой. Построить призму несложно. Для этого достаточно взять n-угольник плоский и параллельно самому себе перенести его в другую плоскость. В процессе переноса стороны n-угольника опишут все параллелограммы фигуры, совокупность которых образует боковую поверхность призмы. Сами же n-угольники называются ее основаниями.

Здесь мы не будем рассматривать все возможные виды призм, а сосредоточим свое внимание на треугольной фигуре. Несложно догадаться, что под ней понимают такую призму, n-угольные основания которой являются треугольниками. Причем треугольники могут быть самой разной формы, включая равнобедренные и равносторонние.

Таким образом, треугольная призма образована пятью гранями (2 треугольника и 3 параллелограмма). Фигура имеет 6 равноправных вершин и 9 ребер двух видов: ребра основания и ребра боковой поверхности. Выше показан пример такой призмы.

Виды призм треугольных

Рассматриваемая фигура является самой простой среди призм, поскольку треугольник — это основание с наименьшим возможным количеством сторон. Любая треугольная призма является выпуклой. В общем случае можно выделить три вида этой геометрической фигуры:

Чтобы понимать разницу между указанными видами, следует обратить внимание на тип основания и боковых сторон. Так, если боковые стороны являются параллелограммами общей формы или ромбами, то призма однозначно будет наклонной. Если же боковые все грани образованы прямоугольниками или квадратами, то перед нами прямая призма. Последняя может быть также правильной, если все три прямоугольника являются одинаковыми. Другой критерий правильности прямой фигуры состоит в том, что у нее правильным является основание, то есть оно образовано треугольником с равными сторонами.

Далее рассмотрим формулы площади боковой поверхности треугольной призмы правильной, прямой, наклонной и отсеченной.

Наклонная призма

Речь идет о треугольной фигуре произвольного вида. Вычислить площадь боковой поверхности для нее сложнее всего, поскольку высота h фигуры (дистанция между основаниями) не совпадает с длиной бокового ребра b.

Если возникает задача определения площади поверхности (боковой) такой призмы, то поступают следующим образом: сначала делают воображаемый срез фигуры, который должен быть перпендикулярен всем боковым ребрам и граням. Затем рассчитывают периметр этого среза. В данном случае речь идет о периметре треугольника. Предположим, что он равен P_sr. Площадь боковой поверхности определяется путем умножения величины P_sr на сторону b, то есть имеет место следующая формула:

Прямая призма

Как выше было сказано, поверхность боковая этой призмы образована тремя прямоугольниками. Две стороны этих прямоугольников являются одинаковыми, они равны длине бокового ребра b, которое также является высотой h фигуры. Что касается оставшихся двух сторон, то они могут отличаться. Эти стороны являются сторонами оснований. Обозначим их символом a_i, где i = 1, 2, 3. Тогда формула площади поверхности боковой прямой треугольной призмы запишется так:

Многие могли заметить, что данное выражение не отличается от аналогичного для призмы наклонной, ведь сумма трех сторон a_i является периметром основания. Это связано с тем, что для прямой фигуры основание является перпендикулярным боковым граням срезом.

Правильная фигура

Формула площади поверхности боковой призмы треугольной правильной является самой простой по сравнению с выражениями выше. У правильной фигуры все боковые грани являются не просто прямоугольниками (квадратами в некоторых случаях), но еще они равны между собой. Эти геометрические факты позволяют записать формулу площади поверхности боковой призмы треугольной правильной в таком виде:

Здесь a — сторона основания (треугольника). Цифра 3 появляется потому, что боковая поверхность представлена тремя равными гранями. Напомним, что в данном выражении сторона b может быть заменена высотой h.

Очевидно, если боковые стороны представляют собой квадраты, то формула для S_b запишется так:

Отсеченная фигура

Такая призма образуется, если с помощью плоскости отсечь ее часть. Если секущая плоскость параллельна основаниям, то формула площади боковой поверхности треугольной призмы отсеченной примет один из записанных в предыдущих пунктах вид. Действительно, при параллельном сечении мы получим аналогичную по форме исходной призме фигуру.

Если же секущая плоскость не будет параллельна основаниям, тогда для определения площади отсеченной призмы необходимо будет проводить специальный геометрический анализ, поскольку ее боковая поверхность будет представлена неправильными четырехугольниками.

Наклонная призма: список видов, описание формул, примеров и решений

Содержание:

Призмой зовётся объёмный многогранник, состоящий из двух одинаковых основ – многоугольников, расположенных в перпендикулярных плоскостях. Её боковые грани – прямоугольники или параллелограммы, имеют с ними общие грани. Наклонная призма – геометрическое тело с рёбрами, расположенными к основаниям под углом, отличным от прямого. Её верхняя и нижняя плоскости остаются параллельными.

Разновидности

Полная поверхность – сумма боковых поверхностей, нижней и верхней. Боковая – представлена параллелограммами. Расстояние между плоскостями оснований зовётся высотой геометрического тела.

Наклонная трехгранная или треугольная призма представлена пятигранником с равными основаниями в виде треугольников, которые смещены друг относительно друга. Боковые ребра наклонены к основанию.

Объём вычисляется по классической формуле:

Полная площадь: S = S_бок + 2S_осн или P_оснh + 2S_осн.

Сечения

Сечением тела называется фигура, представленная всеми его точками, расположенными на плоскости α. Перпендикулярное сечение наклонной призмы пересекает её боковые рёбра под углом 90°.

• Перпендикулярные сечения геометрического тела равны один другому.
• Сечение будет перпендикулярным боковым ребрам.

Если под углом 90° к боковым граням проходит плоскость сечения, геометрическая фигура называется усечённой. Периметр перпендикулярного сечения такой призмы равен:

• P – периметр фигуры сечения;
• l – боковое ребро, например, dD.

Задача

Перпендикулярным сечением наклонной четырехугольной призмы является ромб с диагоналями BD = 24 см, AC = 18 см. Боковая поверхность – 780 см2. Вычислить боковое ребро геометрической фигуры.

Начнём с рассмотрения перпендикулярного сечения. Стороной призмы является высота пересекающей плоскости. Сторона ромба вычисляется благодаря прямоугольному треугольнику AOB, где катеты равны половине диагонали (особенность рассматриваемого многоугольника).

Половины диагоналей OB и AO равны 9 и 12 см.

Воспользуемся теоремой Пифагора:

Дана наклонная призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник. Катеты равны 7 и 24 см. Вершина A₁ находится на одинаковом удалении от вершин треугольника. Вычислить высоту призмы, где ребро AA₁ находится под углом 45° к основанию.

Проекция точки A1 на сторону BC △АВС представлена точкой O – это центр окружности, описанной вокруг нижнего основания △АВС. Отсюда следует: O делит гипотенузу ВС на равные отрезки BO = OC. Причём BC ⊥ А₁О – высота геометрического тела.

ΔА₁ОА является равнобедренным прямоугольным, а отрезки А₁О и АО равны.

Воспользуемся теоремой Пифагора.

Расстояния от вершин до точки O равны 25 : 2 = 12,5 см.

Нахождение площади правильной призмы: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности правильной призмы разных видов (треугольной, четырехугольной и шестиугольной), а также, разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. А прямой фигура является в том случае, если ее боковые грани перпендикулярны основаниям.

Формула площади правильной призмы

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и двух площадей основания.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равняется произведению периметра ее основания на высоту.

Формула периметра и площади основания правильной призмы зависит от вида многогранника. Ниже мы рассмотрим самые популярные виды.

2. Площадь правильной треугольной призмы

Основание: равносторонний треугольник.

<table data-id="97" data-view-id="97_79105" data-title="Площадь правильной треугольной призмы" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

ПлощадьФормулаоснование

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value="» data-order=»«> боковая поверхностьполная

<td data-cell-id="B4" data-x="1" data-y="4" data-db-index="4" data-cell-type="text" data-original-value="» data-order=»«>

3. Площадь правильной четырехугольной призмы

Основание: квадрат.

<table data-id="98" data-view-id="98_52245" data-title="Площадь правильной четырехугольной призмы" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

ПлощадьФормулаоснованиебоковая поверхностьполная

Примечание: Если высота правильной четырехугольной призмы равняется длине стороны ее основания, значит мы имеем дело с кубом, площадь одной грани которого равна a 2 . А так как все шесть граней куба равны, то полная площадь его поверхности равняется 6a 2 .

4. Площадь правильной шестиугольной призмы

Основание: правильный шестиугольник

<table data-id="99" data-view-id="99_96678" data-title="Площадь правильной шестиугольной призмы" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

ПлощадьФормулаоснование

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value="» data-order=»«> боковая поверхностьполная

<td data-cell-id="B4" data-x="1" data-y="4" data-db-index="4" data-cell-type="text" data-original-value="» data-order=»«>

Примеры задач

Задание 1:
Сторона правильной треугольной призмы равна 6 см, а ее высота – 8 см. Найдите полную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные нам значения:

Задание 2:
Площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы составляет 400 см 2 . Найдите ее высоту, если известно, что сторона основания равна 5 см.

Решение:
Выведем выражение для нахождения высоты призмы из формулы ее полной площади:

📸 Видео