формула ньютона площадь криволинейной трапеции

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Криволинейная трапеция и ее площадь. Практическая часть. 11 класс.

Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции

п.1. Теорема о площади криволинейной трапеции

формула ньютона площадь криволинейной трапеции

Теорема
Площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции (y=f(x)) на интервале [a;b], равна (F(b)-F(a)), где (F(x)) — первообразная функции (f(x)) на [a;b].

формула ньютона площадь криволинейной трапеции

Доказательство:
Выберем на интервале (xin [a;b]). Площадь соответствующей криволинейной трапеции (S(x)) является функцией от (x). Дадим переменной (x) приращение (triangle x).
Площадь криволинейной трапеции на интервале (left[a;x+triangle xright]) равна сумме
(S(x+triangle x)=S(x)+S(triangle x)). Откуда приращение площади: $$ triangle S=S(triangle x)=S(x+triangle x)-S(x) $$ По теореме о среднем (см. ниже в этом параграфе) между (x) и (x+triangle x) всегда найдется такое (t), что приращение площади равно произведению: $$ triangle S=f(t)cdot (x+triangle x-x)=f(t)cdot triangle x $$ Если (triangle xrightarrow 0), то (trightarrow x), и в пределе получаем: begin S'(x)=lim_frac=lim_ frac=lim_f(t)=f(x) end Т.е. (S(x)) является первообразной для (f(x)) на [a;b]. В общем виде: $$ S(x)=F(x)+C $$ Найдем C. В точке a: $$ S(a)=0=F(a)+CRightarrow C=-F(a) $$ Тогда вся площадь: $$ S=S(b)=F(b)+C=F(b)-F(a) $$ Что и требовалось доказать.

п.2. Формула Ньютона-Лейбница

Например:
Найдем площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции $$ y=3-2x-x^2 $$

формула ньютона площадь криволинейной трапецииПостроим график
(см. §28 справочника для 8 класса).
Это парабола. (alt 0) – ветки вниз.
Координаты вершины: begin x_0=-frac=-frac=-1,\ y_0=3+2-1=4 end Точки пересечения с осью OX: begin 3-2x-x^2=0Rightarrow x^2+2x-3=0\ (x+3)(x-1)=0Rightarrow left[ begin x=-3,\ x=1 end right. end Точка пересечения с осью OY: $$ x=0, y=3 $$

Необходимо найти площадь заштрихованной фигуры.
Функция: (f(x)=3-2x-x^2)
Пределы интегрирования: (a=-3, b=1) begin S=int_^(3-2x-x^2)dx=left(3x-2cdotfrac-fracright)|_^=left(3x-x^2-fracright)|_^=\ =left(3-cdot 1-1^2-fracright)-left(3cdot(-3)-(-3)^2-fracright)=2-frac13+9=10frac23 end Ответ: (10frac23)

п.3. Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем

Теорема Лагранжа о среднем
Если функция (F(x)) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), то существует такая точка (muin(a;b)), что $$ F(b)-F(a)=F'(mu)(a-b) $$ Пусть (F'(x)=f(x)), т.е. функция (F(x)) является первообразной для (f(x)). Тогда: $$ F(b)-F(a)=int_^f(x)dx=f(mu)(b-a) $$

формула ньютона площадь криволинейной трапеции

Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем в интегральной форме заключается в том, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием (d=b-a) и высотой (h=f(mu)), где (aleqmuleq b).
Теорема о среднем используется при доказательстве многих формул, связанных с использованием определенных интегралов (центра тяжести тела, площади поверхности и т.д.).

п.4. Площадь плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми

Например:
Найдем площадь фигуры, ограниченной двумя параболами (y=x^2) и (y=4x-x^2).

Найдем точки пересечения парабол: $$ x^2=4x-x^2Rightarrow 2x^2-4x=0Rightarrow 2x(x-2)=0Rightarrow left[ begin x=0\ x=2 end right. $$ Строим графики.
формула ньютона площадь криволинейной трапеции
Необходимо найти площадь заштрихованной фигуры.
Функция сверху: (f(x)=4x-x^2)
Функция снизу: (g(x)=x^2)
Пределы интегрирования: (a=0, b=2) begin S=int_^left((4x-x^2)-x^2right)dx=int_^(4x-2x^2)dx=left(4cdotfrac-2cdotfracright)|_0^2=\ =left(2x^2-frac23 x^3right)|_0^2=2cdot 2^2-frac23cdot 2^3-0=8-frac=frac83=2frac23 end Ответ: (2frac23)

п.5. Примеры

Пример 2. Найдите площадь фигуры под кривой на заданном интервале:
a) (f(x)=x^3+3, xinleft[-1;1right])
формула ньютона площадь криволинейной трапеции$$ S=int_^(x^3+3)dx=left(frac+3xright)|_^=frac14+3-left(frac14-3right)=6 $$
б) (f(x)=sin2x, xinleft[0;fracpi 2right])
формула ньютона площадь криволинейной трапеции$$ S=int_^sin2xdx=-frac12cos2x|_^=-frac12left(cosleft(2cdotfracpi 2right)-cos0right)=-frac12(-1-1)=1 $$
в) (f(x)=frac4x+3, xinleft[2;6right])
формула ньютона площадь криволинейной трапеции
(f(x)=frac4x+3) — гипербола с асимптотами (x=0, y=3)
Площадь под кривой: begin S=int_^left(frac4x+3right)dx=(4cdot ln|x|+3x)|_^=(4ln 6+18)-(4ln 2+6)=\ =4(ln 6-ln 2)+12=4lnfrac62+12=4ln 3+12=4(ln 3+3) end
г) (f(x)=frac<sqrt>, xinleft[1;4right])
формула ньютона площадь криволинейной трапеции$$ S=int_^frac<sqrt>=frac<x^>|_^=2sqrt|_^=2(sqrt-sqrt)=2 $$

Пример 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
a) (y=x-2, y=x^2-4x+2)
Найдем точки пересечения прямой и параболы: $$ x-2=x^2-4x+2Rightarrow x^2-5x+4=0Rightarrow (x-1)(x-4)=0Rightarrow left[ begin x=1,\ x=4 end right. $$ формула ньютона площадь криволинейной трапеции
Функция сверху: (f(x)=x-2)
Функция снизу: (g(x)=x^2-4x+2)
Пределы интегрирования: (a=1, b=4) begin S=int_^left((x-2)-(x^2-4x+2)right)dx=int_^(-x^2+5x-4)dx=\ =left(-frac+frac-4xright)|_^=left(-frac+5cdotfrac-4cdot 4right)-left(-frac13+frac52-4right)=\ =-frac+24+1,5=4,5 end Ответ: 4,5
б) (y=e^, y=frac1x, x=2, x=3)
формула ньютона площадь криволинейной трапеции
Функция сверху: (f(x)=e^)
Функция снизу: (g(x)=frac1x)
Пределы интегрирования: (a=2, b=3) begin S=int_^left(e^-frac1xright)dx=(2e^-ln|x|)|_^=left(2e^-ln 3right)-(2e-ln 2)=\ =2e^-2e-ln 3+ln 2=2e(sqrt-1)+lnfrac23 end Ответ: (2e(sqrt-1)+lnfrac23)
в*) (y=3-x^2, y=1+|x|)
Найдем точки пересечения ломаной и параболы: begin 3-x^2=1+|x|Rightarrow x^2+|x|-2=0Rightarrow left[ begin begin xgeq 0\ x^2+x-2=0 end \ begin xlt 0\ x^2-x-2=0 end end right. Rightarrow left[ begin begin xgeq 0\ (x+2)(x-1)=0 end \ begin xlt 0\ (x-2)(x+1)=0 end end right. Rightarrow \ left[ begin begin xgeq 0\ left[ begin x=-2\ x=1 end right. end \ begin xlt 0\ left[ begin x=2\ x=-1 end right. end end right. Rightarrow left[ begin x=1\ x=-1 end right. end формула ньютона площадь криволинейной трапеции
Функция сверху: (f(x)=3-x^2)
Функция снизу: (g(x)=1+|x|)
Пределы интегрирования: (a=-1, b=1)
Чтобы не раскрывать модуль под интегралом, заметим, что площади на интервалах [-1;0] и [0;1] равны, т.к. обе функции четные и симметричные относительно оси OY. Поэтому можно рассматривать только положительные (xinleft[0;1right]), найти для них интеграл (площадь) и умножить на 2: begin S=2int_^left((3-x^2)-(1+x)right)dx=2int_^(-x^2-x+2)dx=2left(-frac-frac+2xright)|_^=\ =2left(-frac13-frac12+2right)-0=frac73=2frac13 end Ответ: (2frac13)
г*) (y=3sinx, y=cosx, x=-frac, x=fracpi 4)
формула ньютона площадь криволинейной трапеции
На отрезке (left[-frac;-fracright]) синус над косинусом, далее на (left[-frac;fracright]) — косинус над синусом.
Площадь фигуры, закрашенной голубым, в два раза больше площади фигуры, закрашенной сиреневым. Поэтому общая площадь будет равна трем площадям, закрашенным сиреневым: begin S=3int_<-frac>^<-frac>(sinx-cosx)dx=3(-cosx-sinx)|_<-frac>^<-frac>=-3(cosx+sinx)|_<-frac>^<-frac> end Прибавим полный период, он одинаков для обеих функций:
(-frac+2pi=frac; -frac+2pi=frac) begin -3(cosx+sinx)|_<-frac>^<-frac>=-3left(cosleft(fracright)+sinleft(fracright)-cosleft(fracright)-sinleft(fracright)right)=\ =-3left(-frac<sqrt>-frac<sqrt>+frac<sqrt>-frac<sqrt>right)=3sqrt end Ответ: (3sqrt)

Пример 4*. Пусть (S(k)) — это площадь фигуры, образованной параболой (y=x^2+2x-3) и прямой (y=kx+1). Найдите (S(-1)) и вычислите наименьшее значение (S(k)).

формула ньютона площадь криволинейной трапецииТочки пересечения прямой и параболы: begin -x+1=x^2+2x-3\ x^2+3x-4=0\ (x+4)(x-1)=0Rightarrow left[ begin x=-4,\ x=1 end right. end Функция сверху: (y=-x+1)
Функция снизу: (y=x^2+2x-3)
Пределы интегрирования: (a=-4, b=1)

begin S(-1)=int_^left((-x+1)-(x^2+2x-3)right)dx=int_^(-x-3x+4)dx=\ =left(-frac-frac+4xright)|_^=left(-frac13-frac32+4right)-left(frac-24-16right)=-21frac23+42frac12=20frac56 end
2) Решаем в общем виде.
Все прямые (y=kx+1) проходят через точку (0;1) и при образовании фигуры находятся над параболой.
Точки пересечения прямой и параболы: begin kx+1=x^2+2x-3Rightarrow x^2+(2-k)x-4=0\ D=(2-k)^2-4cdot (-4)=(k-2)^2+16gt 0 end Дискриминант (Dgt 0) при всех (k). Точки пересечения (пределы интегрирования): $$ x_=frac<-(2-k)pmsqrt>=frac<k-2pmsqrt> $$ Разность корней: $$ x_2-x_1=sqrt=sqrt $$ Минимальное значение разности корней будет при (k=2).
Площадь: begin S(k)=int_^left((kx+1)-(x^2+2x-3)right)dx=int_^(-x^2+(k-2)x+4)dx=\ =left(-frac+frac+4xright)|_^=-frac13(x_2^3-x_1^3)+frac(x_2^2-x_1^2)+4(x_2-x_1) end

формула ньютона площадь криволинейной трапецииbegin S(k)_=S(2)\ x_=pm 2\ S(2)=-frac13cdot(2^3+2^3)+0+4sqrt=\ =-frac+16=frac=10frac23 end

Пример 5*. Фигура ограничена линиями (y=(x+3)^2, y=0, x=0). Под каким углом к оси OX надо провести прямые через точку (0;9), чтобы они разбивали фигуру на три равновеликие части?

формула ньютона площадь криволинейной трапецииПлощадь криволинейной трапеции AOB: begin S_0=int_^(x+3)^2dx=frac|_^=\ =9-0=9 end Площадь каждой части: (S_i=frac13 S_0=3)
Точки (C(x_1; 0)) и (D(x_2; 0)) c (-3lt x_1lt x_2lt 0) такие, что прямые AC и AD отсекают по 1/3 от фигуры.
Площадь прямоугольного треугольника (triangle AOD): begin S_3=frac12|x_2|cdot 9=3Rightarrow |x_2|=frac69=frac23Rightarrow\ x_2=-frac23 end Площадь прямоугольного треугольника (triangle AOC): begin S_2+S_3=frac12|x_1|cdot 9=6Rightarrow |x_1|=frac=frac43Rightarrow\ x_1=-frac43 end

Находим углы соответствующих прямых.
Для (x_1: tgalpha=frac=frac=frac, alpha=arctgfrac)
Для (x_x: tgbeta=frac=frac=frac, beta=arctgfrac)

Видео:Алгебра 11 класс (Урок№23 - Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его свойства.)Скачать

Алгебра 11 класс (Урок№23 - Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его свойства.)

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №23.Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его свойства.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение определенного интеграла

2) Нахождение площади криволинейной трапеции с помощью формулы Ньютона – Лейбница

3) Решение задач, с помощью формулы Ньютона – Лейбница

формула ньютона площадь криволинейной трапеции

Формула Ньютона – Лейбница

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

ОрловаЕ. А., СеврюковП. Ф., СидельниковВ. И., СмоляковА.Н.Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [а;b] знака функции f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком [а;b].

Отрезок [a;b] называют основанием этой криволинейной трапеции

формула ньютона площадь криволинейной трапеции

формула ньютона площадь криволинейной трапеции

формула Ньютона – Лейбница

Если в задаче требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, то ответ всегда будет положительный. Если требуется, используя чертеж, вычислить интеграл, то его значение может быть любым(зависит от расположения криволинейной трапеции).

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1.Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке

формула ньютона площадь криволинейной трапеции

Для вычисления площади криволинейной трапеции воспользуемся формулой Ньютона – Лейбница.

формула ньютона площадь криволинейной трапеции

Ответ: формула ньютона площадь криволинейной трапеции

№2. Вычислить определенный интеграл:

Решение: Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

формула ньютона площадь криволинейной трапеции

Сначала находим первообразную функцию F(x) . Далее подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b) .

Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а).

Рассчитываем разность F(b) — F(а), это и будет ответ.

формула ньютона площадь криволинейной трапеции

№3. Найти площадь криволинейной трапеции (х-1) 2 , ограниченной линиями х=2 и х=1, осью 0х

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

формула ньютона площадь криволинейной трапеции

Сначала находим первообразную функцию F(x). Далее подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b) .

Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а).

Рассчитываем разность F(b) — F(а), это и будет ответ.

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.Скачать

Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.

Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. Задание 7

В этой статье мы будем учиться решать задачи на нахождение площади криволинейной трапеции.

Как всегда, начнем с теории. Как вы помните, неопределенный интеграл от функции формула ньютона площадь криволинейной трапеции— это множество всех первообразных формула ньютона площадь криволинейной трапеции:

формула ньютона площадь криволинейной трапеции

В неопределенном интеграле не заданы границы интегрирования, и в результате нахождения неопределенного интеграла от функции формула ньютона площадь криволинейной трапециимы получаем множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянную величину С.

Если заданы границы интегрирования, то мы получаем определенный интеграл:

формула ньютона площадь криволинейной трапеции

Здесь число формула ньютона площадь криволинейной трапеции— нижний предел интегрирования, число формула ньютона площадь криволинейной трапеции— верхний предел интегрирования. Определенный интеграл — это ЧИСЛО, значение которого вычисляется по формуле Ньютона — Лейбница :

формула ньютона площадь криволинейной трапеции.

формула ньютона площадь криволинейной трапеции— это значение первообразной функции формула ньютона площадь криволинейной трапециив точке формула ньютона площадь криволинейной трапеции, и, соответственно, формула ньютона площадь криволинейной трапеции— это значение первообразной функции формула ньютона площадь криволинейной трапециив точке формула ньютона площадь криволинейной трапеции.

Для нас с точки зрения решения задач важное значение имеет геометрический смысл определенного интеграла.

Рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке:

формула ньютона площадь криволинейной трапеции

Зеленая фигура, ограниченая сверху графиком функции формула ньютона площадь криволинейной трапеции, слева прямой формула ньютона площадь криволинейной трапеции, справа прямой формула ньютона площадь криволинейной трапеции, и снизу осью ОХ называется криволинейной трапецией.

Геометрический смысл определенного интеграла:

Определенный интеграл формула ньютона площадь криволинейной трапеции— это число, равное площади криволинейной трапеции — фигуры, ограниченой сверху графиком положительной на отрезке формула ньютона площадь криволинейной трапециифункции формула ньютона площадь криволинейной трапеции, слева прямой формула ньютона площадь криволинейной трапеции, справа прямой формула ньютона площадь криволинейной трапеции, и снизу осью ОХ.

Решим задачу из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

Прототип Задания 7 (№ 323080)

На рисунке изображён график некоторой функции формула ньютона площадь криволинейной трапеции. Функция формула ньютона площадь криволинейной трапеции— одна из первообразных функции формула ньютона площадь криволинейной трапеции. Найдите площадь закрашенной фигуры.

формула ньютона площадь криволинейной трапеции

Закрашенная фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции формула ньютона площадь криволинейной трапеции, слева прямой формула ньютона площадь криволинейной трапеции, справа прямой формула ньютона площадь криволинейной трапеции, и снизу осью ОХ.

Площадь этой криволинейной трапеции вычисляется по формуле :

формула ньютона площадь криволинейной трапеции, где формула ньютона площадь криволинейной трапеции— первообразная функции формула ньютона площадь криволинейной трапеции.

По условию задачи формула ньютона площадь криволинейной трапеции, поэтому, чтобы найти площадь фигуры, нам нужно найти значение первообразной в точке -8, в точке -10, и затем из первого вычесть второе.

Замечу, что в этих задачах очень часто возникают ошибки именно в вычислениях, поэтому советую аккуратно и подробно их записывать, и ничего не считать «в уме».

формула ньютона площадь криволинейной трапеции=формула ньютона площадь криволинейной трапеции

формула ньютона площадь криволинейной трапеции=формула ньютона площадь криволинейной трапеции

формула ньютона площадь криволинейной трапеции

Ответ: 4

Посмотрите небольшую видеолекцию, в которой решены все типы задач на первообразную:

  • 🎬 Видео

    Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать

    Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.

    ИНТЕГРАЛ | площадь криволинейной трапецииСкачать

    ИНТЕГРАЛ | площадь криволинейной трапеции

    Математика. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона Лейбница. ПовторениеСкачать

    Математика. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона Лейбница. Повторение

    ✓ Формула Ньютона-Лейбница. Что такое первообразная и интеграл | Осторожно, спойлер! | Борис ТрушинСкачать

    ✓ Формула Ньютона-Лейбница. Что такое первообразная и интеграл | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин

    Урок 17. Площадь криволинейной трапеции. Алгебра 11 класс.Скачать

    Урок 17. Площадь криволинейной трапеции. Алгебра 11 класс.

    Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его свойстваСкачать

    Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его свойства

    Площадь криволинейной трапецииСкачать

    Площадь криволинейной трапеции

    11 класс, 21 урок, Определённый интегралСкачать

    11 класс, 21 урок, Определённый интеграл

    Определенный интеграл. 11 класс.Скачать

    Определенный интеграл. 11 класс.

    Криволинейная трапеция и ее площадь. Практическая часть. 11 класс.Скачать

    Криволинейная трапеция и ее площадь. Практическая часть. 11 класс.

    Найти площадь криволинейной трапеции #1Скачать

    Найти площадь криволинейной трапеции #1

    Площадь криволинейной трапеции | Интегралы | Математический анализСкачать

    Площадь криволинейной трапеции | Интегралы | Математический анализ

    Площадь криволинейной трапеции, 11 классСкачать

    Площадь криволинейной трапеции, 11 класс

    §56 Площадь криволинейной трапеции и интегралСкачать

    §56 Площадь криволинейной трапеции и интеграл

    Площадь криволинейной трапецииСкачать

    Площадь криволинейной трапеции

    Определённый интеграл — понятие и вычислениеСкачать

    Определённый интеграл — понятие и вычисление

    Алгебра 11 класс 16 неделя Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычислениеСкачать

    Алгебра 11 класс 16 неделя Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление
  • Поделиться или сохранить к себе: