формула ньютона лейбница площадь криволинейной

п.1. Теорема о площади криволинейной трапеции

Доказательство:
Выберем на интервале (xin [a;b]). Площадь соответствующей криволинейной трапеции (S(x)) является функцией от (x). Дадим переменной (x) приращение (triangle x).
Площадь криволинейной трапеции на интервале (left[a;x+triangle xright]) равна сумме
(S(x+triangle x)=S(x)+S(triangle x)). Откуда приращение площади: $$ triangle S=S(triangle x)=S(x+triangle x)-S(x) $$ По теореме о среднем (см. ниже в этом параграфе) между (x) и (x+triangle x) всегда найдется такое (t), что приращение площади равно произведению: $$ triangle S=f(t)cdot (x+triangle x-x)=f(t)cdot triangle x $$ Если (triangle xrightarrow 0), то (trightarrow x), и в пределе получаем: begin S'(x)=lim_frac=lim_ frac=lim_f(t)=f(x) end Т.е. (S(x)) является первообразной для (f(x)) на [a;b]. В общем виде: $$ S(x)=F(x)+C $$ Найдем C. В точке a: $$ S(a)=0=F(a)+CRightarrow C=-F(a) $$ Тогда вся площадь: $$ S=S(b)=F(b)+C=F(b)-F(a) $$ Что и требовалось доказать.

п.2. Формула Ньютона-Лейбница

Например:
Найдем площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции $$ y=3-2x-x^2 $$

Построим график (см. §28 справочника для 8 класса). Это парабола. (alt 0) – ветки вниз. Координаты вершины: begin x_0=-frac=-frac=-1,\ y_0=3+2-1=4 end Точки пересечения с осью OX: begin 3-2x-x^2=0Rightarrow x^2+2x-3=0\ (x+3)(x-1)=0Rightarrow left[ begin x=-3,\ x=1 end right. end Точка пересечения с осью OY: $$ x=0, y=3 $$

Необходимо найти площадь заштрихованной фигуры.
Функция: (f(x)=3-2x-x^2)
Пределы интегрирования: (a=-3, b=1) begin S=int_^(3-2x-x^2)dx=left(3x-2cdotfrac-fracright)|_^=left(3x-x^2-fracright)|_^=\ =left(3-cdot 1-1^2-fracright)-left(3cdot(-3)-(-3)^2-fracright)=2-frac13+9=10frac23 end Ответ: (10frac23)

п.3. Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем

Теорема Лагранжа о среднем
Если функция (F(x)) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), то существует такая точка (muin(a;b)), что $$ F(b)-F(a)=F'(mu)(a-b) $$ Пусть (F'(x)=f(x)), т.е. функция (F(x)) является первообразной для (f(x)). Тогда: $$ F(b)-F(a)=int_^f(x)dx=f(mu)(b-a) $$

Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем в интегральной форме заключается в том, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием (d=b-a) и высотой (h=f(mu)), где (aleqmuleq b).
Теорема о среднем используется при доказательстве многих формул, связанных с использованием определенных интегралов (центра тяжести тела, площади поверхности и т.д.).

п.4. Площадь плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми

Например:
Найдем площадь фигуры, ограниченной двумя параболами (y=x^2) и (y=4x-x^2).

Найдем точки пересечения парабол: $$ x^2=4x-x^2Rightarrow 2x^2-4x=0Rightarrow 2x(x-2)=0Rightarrow left[ begin x=0\ x=2 end right. $$ Строим графики.

Необходимо найти площадь заштрихованной фигуры.
Функция сверху: (f(x)=4x-x^2)
Функция снизу: (g(x)=x^2)
Пределы интегрирования: (a=0, b=2) begin S=int_^left((4x-x^2)-x^2right)dx=int_^(4x-2x^2)dx=left(4cdotfrac-2cdotfracright)|_0^2=\ =left(2x^2-frac23 x^3right)|_0^2=2cdot 2^2-frac23cdot 2^3-0=8-frac=frac83=2frac23 end Ответ: (2frac23)

п.5. Примеры

Пример 2. Найдите площадь фигуры под кривой на заданном интервале:
a) (f(x)=x^3+3, xinleft[-1;1right])
$$ S=int_^(x^3+3)dx=left(frac+3xright)|_^=frac14+3-left(frac14-3right)=6 $$
б) (f(x)=sin2x, xinleft[0;fracpi 2right])
$$ S=int_^sin2xdx=-frac12cos2x|_^=-frac12left(cosleft(2cdotfracpi 2right)-cos0right)=-frac12(-1-1)=1 $$
в) (f(x)=frac4x+3, xinleft[2;6right])

(f(x)=frac4x+3) — гипербола с асимптотами (x=0, y=3)
Площадь под кривой: begin S=int_^left(frac4x+3right)dx=(4cdot ln|x|+3x)|_^=(4ln 6+18)-(4ln 2+6)=\ =4(ln 6-ln 2)+12=4lnfrac62+12=4ln 3+12=4(ln 3+3) end
г) (f(x)=frac<sqrt>, xinleft[1;4right])
$$ S=int_^frac<sqrt>=frac<x^>|_^=2sqrt|_^=2(sqrt-sqrt)=2 $$

Пример 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
a) (y=x-2, y=x^2-4x+2)
Найдем точки пересечения прямой и параболы: $$ x-2=x^2-4x+2Rightarrow x^2-5x+4=0Rightarrow (x-1)(x-4)=0Rightarrow left[ begin x=1,\ x=4 end right. $$
Функция сверху: (f(x)=x-2)
Функция снизу: (g(x)=x^2-4x+2)
Пределы интегрирования: (a=1, b=4) begin S=int_^left((x-2)-(x^2-4x+2)right)dx=int_^(-x^2+5x-4)dx=\ =left(-frac+frac-4xright)|_^=left(-frac+5cdotfrac-4cdot 4right)-left(-frac13+frac52-4right)=\ =-frac+24+1,5=4,5 end Ответ: 4,5
б) (y=e^, y=frac1x, x=2, x=3)

Функция сверху: (f(x)=e^)
Функция снизу: (g(x)=frac1x)
Пределы интегрирования: (a=2, b=3) begin S=int_^left(e^-frac1xright)dx=(2e^-ln|x|)|_^=left(2e^-ln 3right)-(2e-ln 2)=\ =2e^-2e-ln 3+ln 2=2e(sqrt-1)+lnfrac23 end Ответ: (2e(sqrt-1)+lnfrac23)
в*) (y=3-x^2, y=1+|x|)
Найдем точки пересечения ломаной и параболы: begin 3-x^2=1+|x|Rightarrow x^2+|x|-2=0Rightarrow left[ begin begin xgeq 0\ x^2+x-2=0 end \ begin xlt 0\ x^2-x-2=0 end end right. Rightarrow left[ begin begin xgeq 0\ (x+2)(x-1)=0 end \ begin xlt 0\ (x-2)(x+1)=0 end end right. Rightarrow \ left[ begin begin xgeq 0\ left[ begin x=-2\ x=1 end right. end \ begin xlt 0\ left[ begin x=2\ x=-1 end right. end end right. Rightarrow left[ begin x=1\ x=-1 end right. end
Функция сверху: (f(x)=3-x^2)
Функция снизу: (g(x)=1+|x|)
Пределы интегрирования: (a=-1, b=1)
Чтобы не раскрывать модуль под интегралом, заметим, что площади на интервалах [-1;0] и [0;1] равны, т.к. обе функции четные и симметричные относительно оси OY. Поэтому можно рассматривать только положительные (xinleft[0;1right]), найти для них интеграл (площадь) и умножить на 2: begin S=2int_^left((3-x^2)-(1+x)right)dx=2int_^(-x^2-x+2)dx=2left(-frac-frac+2xright)|_^=\ =2left(-frac13-frac12+2right)-0=frac73=2frac13 end Ответ: (2frac13)
г*) (y=3sinx, y=cosx, x=-frac, x=fracpi 4)

На отрезке (left[-frac;-fracright]) синус над косинусом, далее на (left[-frac;fracright]) — косинус над синусом.
Площадь фигуры, закрашенной голубым, в два раза больше площади фигуры, закрашенной сиреневым. Поэтому общая площадь будет равна трем площадям, закрашенным сиреневым: begin S=3int_<-frac>^<-frac>(sinx-cosx)dx=3(-cosx-sinx)|_<-frac>^<-frac>=-3(cosx+sinx)|_<-frac>^<-frac> end Прибавим полный период, он одинаков для обеих функций:
(-frac+2pi=frac; -frac+2pi=frac) begin -3(cosx+sinx)|_<-frac>^<-frac>=-3left(cosleft(fracright)+sinleft(fracright)-cosleft(fracright)-sinleft(fracright)right)=\ =-3left(-frac<sqrt>-frac<sqrt>+frac<sqrt>-frac<sqrt>right)=3sqrt end Ответ: (3sqrt)

Пример 4*. Пусть (S(k)) — это площадь фигуры, образованной параболой (y=x^2+2x-3) и прямой (y=kx+1). Найдите (S(-1)) и вычислите наименьшее значение (S(k)).

Точки пересечения прямой и параболы: begin -x+1=x^2+2x-3\ x^2+3x-4=0\ (x+4)(x-1)=0Rightarrow left[ begin x=-4,\ x=1 end right. end Функция сверху: (y=-x+1) Функция снизу: (y=x^2+2x-3) Пределы интегрирования: (a=-4, b=1)

begin S(-1)=int_^left((-x+1)-(x^2+2x-3)right)dx=int_^(-x-3x+4)dx=\ =left(-frac-frac+4xright)|_^=left(-frac13-frac32+4right)-left(frac-24-16right)=-21frac23+42frac12=20frac56 end
2) Решаем в общем виде.
Все прямые (y=kx+1) проходят через точку (0;1) и при образовании фигуры находятся над параболой.
Точки пересечения прямой и параболы: begin kx+1=x^2+2x-3Rightarrow x^2+(2-k)x-4=0\ D=(2-k)^2-4cdot (-4)=(k-2)^2+16gt 0 end Дискриминант (Dgt 0) при всех (k). Точки пересечения (пределы интегрирования): $$ x_=frac<-(2-k)pmsqrt>=frac<k-2pmsqrt> $$ Разность корней: $$ x_2-x_1=sqrt=sqrt $$ Минимальное значение разности корней будет при (k=2).
Площадь: begin S(k)=int_^left((kx+1)-(x^2+2x-3)right)dx=int_^(-x^2+(k-2)x+4)dx=\ =left(-frac+frac+4xright)|_^=-frac13(x_2^3-x_1^3)+frac(x_2^2-x_1^2)+4(x_2-x_1) end

begin S(k)_=S(2)\ x_=pm 2\ S(2)=-frac13cdot(2^3+2^3)+0+4sqrt=\ =-frac+16=frac=10frac23 end

Пример 5*. Фигура ограничена линиями (y=(x+3)^2, y=0, x=0). Под каким углом к оси OX надо провести прямые через точку (0;9), чтобы они разбивали фигуру на три равновеликие части?

Площадь криволинейной трапеции AOB: begin S_0=int_^(x+3)^2dx=frac|_^=\ =9-0=9 end Площадь каждой части: (S_i=frac13 S_0=3) Точки (C(x_1; 0)) и (D(x_2; 0)) c (-3lt x_1lt x_2lt 0) такие, что прямые AC и AD отсекают по 1/3 от фигуры. Площадь прямоугольного треугольника (triangle AOD): begin S_3=frac12|x_2|cdot 9=3Rightarrow |x_2|=frac69=frac23Rightarrow\ x_2=-frac23 end Площадь прямоугольного треугольника (triangle AOC): begin S_2+S_3=frac12|x_1|cdot 9=6Rightarrow |x_1|=frac=frac43Rightarrow\ x_1=-frac43 end

Находим углы соответствующих прямых.
Для (x_1: tgalpha=frac=frac=frac, alpha=arctgfrac)
Для (x_x: tgbeta=frac=frac=frac, beta=arctgfrac)

Определенный интеграл. Теорема Ньютона — Лейбница

Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

Теорема Ньютона — Лейбница

Примеры решения задач

Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции

Рассмотрим на плоскости прямоугольную систему координат Oty , ось абсцисс которой в данном разделе будем обозначать Ot , а не Ox (рис. 1).

Пусть y = f (t) – непрерывная на отрезке [a, b] функция, принимающая только положительные значения.

Определение 1. Фигуру, ограниченную графиком функции y = f (t) сверху, отрезком [a, b] снизу, а справа и слева отрезками прямых t = a и t = b (рис. 2), называют криволинейной трапецией.

Определение 2. Число, равное площади криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 2, называют определенным интегралом от функции f (t) в пределах от a до b и обозначают

(1)

Формула (1) читается так: «Интеграл от a до b от функции f (t) по dt »

Определение 3. В формуле (1) функцию f (t) называют подынтегральной функцией, переменную t называют переменной интегрирования, отрезок [a, b] называют отрезком интегрирования, число b называют верхним пределом интегрирования, а число a – нижним пределом интегрирования.

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

Если обозначить S (x) площадь криволинейной трапеции, ограниченной с боков отрезками прямых t = a и t = x (рис. 3),

то будет справедлива формула

(2)

Теорема 1. Производная от определенного интеграла по верхнему пределу интегрирования равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе интегрирования.

Другими словами, справедлива формула

Доказательство. Из формулы (2) следует, что

(3)

где через Δx обозначено приращение аргумента x (рис. 4)

Из формул (3) и (2) получаем, что

(4)

где через ΔS обозначено приращение функции S (x), соответствующее приращению аргумента Δx (рис. 5)

Если ввести обозначения

(см. раздел «Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке»), то можно заметить, что выполнено неравенство

(5)

смысл которого заключается в том, что площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 5, не может быть меньше, чем площадь прямоугольника с основанием Δx и высотой m, и не может быть больше, чем площадь прямоугольника с основанием Δx и высотой M.

Из неравенства (5) следует, что

В силу непрерывности функции y = f (t) выполнено равенство

(6)

что и завершает доказательство теоремы 1.

Следствие 1. Функция S (x) является первообразной подынтегральной функции f (x) .

Теорема Ньютона — Лейбница

Теорема Ньютона-Лейбница. Если F (x) – любая первообразная функции f (x), то справедливо равенство

(7)

Воспользовавшись равенством (8), из формулы (2) получаем, что

(9)

Подставив в формулу (9) значение x = a , получаем равенство

(10)

(11)

поскольку площадь криволинейной трапеции, «схлопнувшейся» в отрезок, лежащий на прямой t = a, равна 0 .

Из формул (10) и (11) следует, что

и формула (9) принимает вид

,

что и завершает доказательство теоремы Ньютона-Лейбница.

Замечание 1. Формулу (7) часто записывают в виде

(12)

и называют формулой Ньютона-Лейбница.

Замечание 2. Для правой части формулы Ньютона-Лейбница часто используют обозначение

Замечание 3. Формулу Ньютона-Лейбница (12) можно записывать, как с переменной интегрирования t , так и с любой другой переменной интегрирования, например, x :

Замечание 4. Все определения и теоремы остаются справедливыми не только в случае положительных непрерывных функций f (x), но и для гораздо более широкого класса функций, имеющих произвольные знаки и интегрируемых по Риману, однако этот материал уже выходит за рамки школьного курса математики.

Примеры решения задач

Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение. Рассматриваемая фигура является криволинейной трапеции (рис. 6)

Ответ.

Задача 2. График функции y = f (x) изображен на рисунке 7.

(13)

Решение. Интеграл (13) равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f (x), ограниченной снизу осью абсцисс Ox и ограниченной с боков отрезками прямых x = 2 и x = 9. Криволинейная трапеция состоит из квадрата, раскрашенного на рисунке 7 розовым цветом, и трапеции, раскрашенной на рисунке 7 зеленым цветом. Площадь квадрата равна 9, а площадь трапеции равна 20. Таким образом, интеграл (13) равен 29.

(14)

Решение. Поскольку одной из первообразных подынтегральной функции интеграла (14) является функция

то в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница получаем

Ответ.

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №23.Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его свойства.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение определенного интеграла

2) Нахождение площади криволинейной трапеции с помощью формулы Ньютона – Лейбница

3) Решение задач, с помощью формулы Ньютона – Лейбница

Формула Ньютона – Лейбница

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

ОрловаЕ. А., СеврюковП. Ф., СидельниковВ. И., СмоляковА.Н.Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [а;b] знака функции f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком [а;b].

Отрезок [a;b] называют основанием этой криволинейной трапеции

формула Ньютона – Лейбница

Если в задаче требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, то ответ всегда будет положительный. Если требуется, используя чертеж, вычислить интеграл, то его значение может быть любым(зависит от расположения криволинейной трапеции).

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1.Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке

Для вычисления площади криволинейной трапеции воспользуемся формулой Ньютона – Лейбница.

Ответ:

№2. Вычислить определенный интеграл:

Решение: Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

Сначала находим первообразную функцию F(x) . Далее подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b) .

Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а).

Рассчитываем разность F(b) — F(а), это и будет ответ.

№3. Найти площадь криволинейной трапеции (х-1) 2 , ограниченной линиями х=2 и х=1, осью 0х

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

Сначала находим первообразную функцию F(x). Далее подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b) .

Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а).

Рассчитываем разность F(b) — F(а), это и будет ответ.