две фигуры имеющие равные площади (5 видео)

Содержание

§21. Площадь. Площадь прямоугольника — Ответы (ГДЗ) рабочая тетрадь (Мерзляк Полонский Якир) 5 класс часть 1
VIII класс: Тема 3. Площади фигур. Теорема Пифагора
Площадь. Площадь прямоугольника
📸 Видео

Видео:Свойства площадейСкачать

§21. Площадь. Площадь прямоугольника — Ответы (ГДЗ) рабочая тетрадь (Мерзляк Полонский Якир) 5 класс часть 1

ПОВТОРЯЕМ ТЕОРИЮ

243. Заполните пропуски.

1) Равные фигуры имеют равные площади.
2) Площадь фигуры равна сумме площадей фигур , из которых она состоит.
3) За единицу измерения площади выбирают квадрат , сторона которого равна единичному отрезку .
4) Измерить площадь фигуры — значит подсчитать, сколько единичных квадратов в ней помещается.
5) 1 см 2 — это площадь квадрата со стороной 1 см .
6) 1 дм 2 — это площадь квадрата со стороной 1 дм .
7) Площадь прямоугольника вычисляют по формуле S= a*b , где S — его площадь , a и b — длины соседних сторон, выраженные в одних и тех же единицах .
8) Площадь квадрата вычисляют по формуле S= a 2 , где S — его площадь , a — его сторона .
9) 1 м 2 = 10000 см 2
10) 1 км 2 = 1000000 м 2
11) 1 а = 100 м 2
12) 1 га = 10000 м 2 = 100 а

РЕШАЕМ ЗАДАЧИ

244. Если стороны прмоугольника равны 12 см и 8 см, то его площадь

S = 12*8 = 96 см 2

245. Если сторона квадрата равна 9 дм, то его площадь

S = 9 2 = 81 дм 2

246. Заполните пропуски.

1) 6 а = 600 м 2
12 га = 120000 м 2
3 га 42 а = 34200 м 2

2) 7 га = 700 а
6 га 5 а = 605 а
72 000 м 2 = 720 а

3) 4 дм 2 = 400 см 2
4 м 2 = 40000 см 2
2 м 2 35 дм 2 = 23500 см 2

4) 270000 м 2 = 27 га
8000 а = 80 га
2 км 2 = 200 га

247. Сравните величины.

248. Заполните таблицу, где S — площадь прямоугольника, a и b — длины его соседних сторон.

а	3 дм	8 дм	40 см	5 км	36 см	30 м
b	6 см	5 дм	9 дм	4 м	6 дм	4 км
S	180 см 2	40 дм 2	36 дм 2	20 га	2160 см 2	12 а

1) 30 см*6 см = 180 см 2
2) 8 дм*5 дм = 40 дм 2
3) 40 см (4 дм)*9 дм = 36 дм 2
4) 5 км (5000 м)*4 м = 20000 км = 20 га
5) 36 см*6 дм (60 см) = 2160 см 2
6) 30 м*4 км(4000 м) = 120000 м = 12 а

249. Найдите площадь квадрата, периметр которого равен 64 см.

Решение:
1) 64:4 = 16 (см) длина сторон квадрата
2) 16*16 = 256 (см 2 ) площадь квадрата

Ответ: Площадь квадрата 256 см 2 .

250. Поле прмоугольной формы имеет площадь 42 а, его длина равна 70 м. Вычислите периметр поля.

Решение:
42 а = 42000 м 2
1) 42000:70 = 600 (м) ширина поля
2) 2*(70*600) = 2600 (м) периметр поля

Ответ: периметр поля равен 2600 м.

251. На рисунке изображен прямоугольник ABCD, у которого АD=8 см, АВ=4 см. Точка К — середина отрезка АD, точка М — середина отрезка АК, точка F — середина отрезка АВ, точка Е — середина отрезка АF. Чему равна площадь закрашенного прямоугольника?

Ответ: Площадь закрашенного прямоугольника равна 2 см 2 .

252. На рисунке изображены три квадрата. Середины сторон большого квадрата являются вершинами среднего квадрата, а середины сторон среднего квадрата — вершинами маленького квадрата. Площадь маленького квадрата равна 25 см 2 . Чему равна площадь квадрата?

Ответ: площадь квадрата равна 100 см 2

253. Вычислите площадь фигуры, изображенной на рисунке (размеры даны в сантиметрах).

Решение:
(12+3)*6-(2*2*3+2*2) = 74 (см 2 ) или
12*6+2*3-2*2 = 74 (см 2 )

Ответ: площадь фигуры равна 74 см 2 .

254. Заполните цепочку вычислений.

1) 600 а : 300 = 2 а
2) 2 а + 4 а = 6 а
3) 600 м 2 — 120 м 2 = 480 м 2
4) 48000 дм 2 : 800 = 60 дм 2
5) 60 дм 2 — 28 дм 2 = 32 дм 2

255. Сколько надо рулонов обоев, чтобы оклеить ими стену длиной 7 м и высотой 4 м, если длина рулона равна 10 м, а ширина — 50 см?

Решение:
1) 7*4 = 28 (м 2 ) площадь стены
2) 50*1000 = 50000 (см 2 ) = 5 (м 2 ) содержит улон обоев
3) 28:5 = 5 ост.3 (рулоны)

Ответ: 6 рулонов

256. С огорода, который имеет форму приямоугольника со сторонами 50 м и 30 м, собрали 180 ведер картофеля. В одно ведро помещается 8 кг картофеля. Сколько килограммов картофеля собрали с 1 а?

Решение:
1) 50*30 = 1500 (м 2 ) = 15 а — площадь огорода.
2) 180:15 = 12 (ведер) с одного а
3) 12*8 = 96 (кг) с одного а

Ответ: 96 кг с одного а.

257. Длина прямоугольника равна 28 см. На сколько квадратных сантиметров увеличится его площадь, если ширину этого прямоугольника увеличить на 3 см?

Решение:
28*(х+3)-28*х = 28х+28*3-28х = 28*3 = 84 (см 2 )

Ответ: площадь увеличится на 84 см 2 .

258. Во сколько раз увеличится периметр и во сколько раз увеличится площадь прямоугольника, если каждую его сторону увеличить в 3 раза?

Решение:
1) 2*(3а+3b):2(а+b) = 6а+6b:2а+2b = 6(а+b):2(а+b) = 6:2 = 3
2) (3а*3b):(а*b) = 9аb аb = 9

Ответ: в 3 раза; в 9 раз.

259. На рисунке изображен квадрат, разбитый на шесть прямоугольников, сумма периметров которых равна 80 см. Чему равна площадь квадрата?

S = а 2 = 10 2 = 100 (см 2 )

Ответ: площадь квадрата равна 100 см 2 .

Видео:Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

VIII класс: Тема 3. Площади фигур. Теорема Пифагора

VIII класс: Тема 3. Площади фигур. Теорема Пифагора.

1. Понятие площади. Равновеликие фигуры.

Если длина – это числовая характеристика линии, то площадь – это числовая характеристика замкнутой фигуры. Несмотря на то, что с понятием площади мы хорошо знакомы из повседневной жизни, строгое определение этому понятию дать непросто. Оказывается, что площадью замкнутой фигуры можно назвать любую неотрицательную величину, обладающую следующими свойствами измерения площадей фигур:

Равные фигуры имеют равные площади. Если данную замкнутую фигуру разбить на несколько замкнутых фигур, то площадь фигуры равна сумме площадей составляющих ее фигур (фигура на рисунке 1 разбита на n фигур; в этом случае площадь фигуры , где Si – площадь i-ой фигуры).

В принципе, можно было бы придумать множество величин, обладающих сформулированными свойствами, а значит, характеризующих площадь фигуры. Но наиболее привычной и удобной является величина, характеризующая площадь квадрата как квадрат его стороны. Назовем эту «договоренность» третьим свойством измерения площадей фигур:

Площадь квадрата равна квадрату его стороны (рисунок 2).

При таком определении площадь фигур измеряют в квадратных единицах (см2, км2, га=100м2).

Фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими.

Замечание: Равные фигуры имеют равные площади, то есть равные фигуры равновелики. Но равновеликие фигуры далеко не всегда равны (например, на рисунке 3 изображены квадрат и равнобедренный треугольник, составленные из равных прямоугольных треугольников (кстати, такие фигуры называют равносоставленными); понятно, что квадрат и треугольник равновелики, но не равны, поскольку не совмещаются наложением).

Далее выведем формулы для вычисления площадей всех основных видов многоугольников (в том числе всем известную формулу для нахождения площади прямоугольника), опираясь на сформулированные свойства измерения площадей фигур.

2. Площадь прямоугольника. Площадь параллелограмма.

Формула для вычисления площади прямоугольника: Площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон (рисунок 4).

AD=a, AB=b.

1. Удлиним сторону AB на отрезок BP=a, а сторону AD – на отрезок DV=b. Построим параллелограмм APRV (рисунок 4). Поскольку ÐA=90°, APRV – прямоугольник. При этом AP=a+b=AV, Þ APRV – квадрат со стороной (a+b).

2. Обозначим BCÇRV=T, CDÇPR=Q. Тогда BCQP – квадрат со стороной a, CDVT – квадрат со стороной b, CQRT – прямоугольник со сторонами a и b.

3. . #

Формула для вычисления площади параллелограмма: Площадь параллелограмма равна произведению его высоты на основание (рисунок 5).

Замечание: Основанием параллелограмма принято называть ту сторону, к которой проведена высота; понятно, что основанием может служить любая сторона параллелограмма.

BH^AD, HÎAD.

Доказательство:

1. Проведем к основанию AD высоту CF (рисунок 5).

2. BCïêHF, BHïêCF, Þ BCFH — п/г по определению. ÐH=90°, ÞBCFH – прямоугольник.

3. BCFH – п/г, Þ по свойству п/г BH=CF, Þ DBAH=DCDF по гипотенузе и катету (AB=CD по св-ву п/г, BH=CF).

3. Площадь треугольника.

Формула для вычисления площади треугольника: Площадь треугольника равна половине произведения его высоты на основание (рисунок 6).

Замечание: Основанием треугольника в данном случае называют сторону, к которой проведена высота. Любая из трех сторон треугольника может служить его основанием.

Дано:

BD^AC, DÎAC.

Доказать: .

1. Достроим DABC до п/г ABKC путем проведения через вершину B прямой BKïêAC, а через вершину C – прямой CKïêAB (рисунок 6).

2. DABC=DKCB по трем сторонам (BC – общая, AB=KC и AC=KB по св-ву п/г), Þ . #

Следствие 1 (формула для вычисления площади прямоугольного треугольника): Поскольку в п/у D‑ке один из катетов является высотой, проведенной ко второму катету, площадь п/у D-ка равна половине произведения его катетов (на рисунке 7 ).

Следствие 2: Если рассмотреть п/у DABC с высотой AH, проведенной к гипотенузе BC, то . Таким образом, в п/у D-ке высота, проведенная к гипотенузе, равна отношению произведения его катетов к гипотенузе. Это соотношение достаточно часто используется при решении задач.

4. Следствия из формулы для нахождения площади треугольника: отношение площадей треугольников с равными высотами или основаниями; равновеликие треугольники в фигурах; свойство площадей треугольников, образованных диагоналями выпуклого четырехугольника.

Из формулы для вычисления площади треугольника элементарным образом вытекают два следствия:

1. Отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению их оснований (на рисунке 8 ).

2. Отношение площадей треугольников с равными основаниями равно отношению их высот (на рисунке 9 ).

Замечание: При решении задач очень часто встречаются треугольники с общей высотой. При этом, как правило, их основания лежат на одной прямой, а вершина, противолежащая основаниям – общая (к примеру, на рисунке 10 S1:S2:S3=a:b:c). Следует научиться видеть общую высоту таких треугольников.

Также из формулы для вычисления площади треугольника вытекают полезные факты, позволяющие находить равновеликие треугольники в фигурах:

1. Медиана произвольного треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника (на рисунке 11 у DABM и DACM высота AH – общая, а основания BM и CM равны по определению медианы; отсюда следует, что DABM и DACM равновелики).

2. Диагонали параллелограмма разбивают его на четыре равновеликих треугольника (на рисунке 12 AO – медиана треугольника ABD по свойству диагоналей п/г, Þ в силу предыдущего св-ва треугольники ABO и ADO равновелики; т. к. BO – медиана треугольника ABC, треугольники ABO и BCO равновелики; т. к. CO – медиана треугольника BCD, треугольники BCO и DCO равновелики; таким образом, SDADO=SDABO=SDBCO=SDDCO).

3. Диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника; два из них, прилежащие к боковым сторонам, равновелики (рисунок 13).

BCïêAD; ACÇBD=O.

1. Проведем высоты BF и CH (рисунок 13). Тогда у DABD и DACD основание AD – общее, а высоты BF и CH равны; Þ SDABD=SDACD.

Если провести диагонали выпуклого четырехугольника (рисунок 14), образуется четыре треугольника, площади которых связаны очень простым для запоминания соотношением. Вывод этого соотношения опирается исключительно на формулу для вычисления площади треугольника; однако, в литературе оно встречается достаточно редко. Будучи полезным при решении задач, соотношение, которое будет сформулировано и доказано ниже, заслуживает пристального внимания:

Свойство площадей треугольников, образованных диагоналями выпуклого четырехугольника: Если диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O, то (рисунок 14).

ABCD – выпуклый четырехугольник;

ACÇBD=O.

Доказать: .

3. . #

5. Отношение площадей треугольников, имеющих по равному углу.

Теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу: Площади треугольников, имеющих по равному углу, относятся как произведения сторон, заключающих эти углы (рисунок 15).

Дано:

ÐBAC=ÐB1A1C1.

1. Отложим на луче AB отрезок AB2=A1B1, а на луче AC – отрезок AC2=A1C1 (рисунок 15). Тогда DAB2C2=DA1B1C1 по двум сторонам и углу между ними (AB2=A1B1 и AC2=A1C1 по построению, а ÐB2AC2=ÐB1A1C1 по условию). Значит, .

2. Соединим точки C и B2.

3. CH – общая высота DAB2C и DABC, Þ .

4. B2F — общая высота DAB2C и DAB2C2, Þ .

5. . #

6. Свойство биссектрисы треугольника.

С использованием теорем об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, и об отношении площадей треугольников с равными высотами, просто доказывается исключительно полезный при решении задач факт, не имеющий непосредственного отношения к площадям фигур:

Свойство биссектрисы треугольника: Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Дано:

AK – биссектриса DABC.

Доказать: .

1. По теореме об отношении треугольников, имеющих по равному углу, .

2. Т. к. AH – общая высота треугольников ABK и ACK, .

3. Из пунктов 1 и 2 получаем: , Þ , Û . #

Замечание: Поскольку в верной пропорции можно менять местами крайние члены или средние члены, свойство биссектрисы треугольника удобнее запоминать в следующем виде (рисунок 16): .

7. Площадь трапеции.

Формула для вычисления площади трапеции: Площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований.

Дано:

Доказать: .

1. Проведем диагональ BD и высоту DF (рисунок 17). BHDF – прямоугольник, Þ BH = DF.

2.
.

Следствие: Отношение площадей трапеций с равными высотами равно отношению их средних линий (или отношению сумм оснований).

8. Площадь четырехугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями.

Формула для вычисления площади четырехугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями: Площадь четырехугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями равна половине произведения его диагоналей.

Доказать: .

1. Обозначим ACÇBD=O. Поскольку AC^BD, AO – высота DABD, а CO – высота DCBD (рисунки 18а и 18б для случаев выпуклого и невыпуклого четырехугольников соответственно).

2.
(знаки «+» или «-» соответствуют случаям выпуклого и невыпуклого четырехугольников соответственно). #

9. Прямая и обратная теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора играет исключительно важную роль в решении самых разнообразных задач; она позволяет находить неизвестную сторону прямоугольного треугольника по двум известным его сторонам. Известно множество доказательств теоремы Пифагора. Приведем наиболее простое из них, опирающееся на формулы для вычисления площадей квадрата и треугольника:

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано:

ÐA=90°.

1. Обозначим AC=a, AB=b. Отложим на луче AB отрезок BP=a, а на луче AC – отрезок CV=b (рисунок 19). Проведем через точку P прямую PRïêAV, а через точку V – прямую VRïêAP. Тогда APRV — п/г по определению. При этом поскольку ÐA=90°, APRV – прямоугольник. А т. к. AV=a+b=AP, APRV – квадрат со стороной a+b, и SAPRV=(a+b)2. Далее поделим сторону PR точкой Q на отрезки PQ=b и QR=a, а сторону RV – точкой T на отрезки RT=b и TV=a.

2. DABC=DPQB=DRTQ=DVCT по двум катетам, Þ ÐACB=ÐPBQ=ÐRQT=ÐVTC, BC=QB=TQ=CT, и
.

4. . Итак, BC2=AB2+AC2. #

Обратная теорема Пифагора является признаком прямоугольного треугольника, т. е. позволяет по трем известным сторонам треугольника проверить, является ли он прямоугольным.

Обратная теорема Пифагора: Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник прямоугольный, а его большая сторона является гипотенузой.

BC2=AB2+AC2.

1. Построим прямой угол A1 и на его сторонах отложим отрезки A1B1=AB и A1C1=AC (рисунок 20). В полученном п/у DA1B1C1 по теореме Пифагора B1C12=A1B12+A1C12=AB2+AC2; но по условию AB2+AC2=BC2; Þ B1C12=BC2, Þ B1C1=BC.

Прямоугольные треугольники, длины сторон которых выражаются натуральными числами, называются пифагоровыми треугольниками, а тройки соответствующих натуральных чисел – пифагоровыми тройками. Пифагоровы тройки полезно помнить (большее из этих чисел равно сумме квадратов двух других). Приведем некоторые пифагоровы тройки:

Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 использовался в Египте для построения прямых углов, в связи с чем такой треугольник называют египетским.

10. Формула Герона.

Формула Герона позволяет находить площадь произвольного треугольника по трем его известным сторонам и является незаменимой при решении многих задач.

Формула Герона: Площадь треугольника со сторонами a, b и c вычисляется по следующей формуле: , где ‑ полупериметр треугольника.

BC=a; AC=b; AB=c.

Доказать: ,

где .

1. Пусть ÐB – наибольший из углов треугольника ABC (рисунок 21), тогда ÐA и ÐC – острые, и основание высоты BH лежит на стороне AC (а не на ее продолжении).

3. Из пункта 2 получаем: , Þ
. Подставим полученное выражение для x в формулу для вычисления высоты h и проведем преобразования:

(здесь учтено, что периметр DABC вдвое больше полупериметра: ). Тогда .

4. Подставим полученное выражение для высоты в формулу для вычисления площади треугольника: . #

Видео:ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА 8 класс геометрия АтанасянСкачать

Площадь. Площадь прямоугольника

Фигуры на рисунке 146, а и б равны, так как они совпадают при наложении.

Очевидно, что фигуры на рисунке 146, а и в не равны. Однако каждая из них состоит из семи квадратов со стороной 1 см.

Про такие фигуры говорят, что их площади равны.

С такой величиной, как площадь, вы час

то встречаетесь в повседневной жизни: площадь квартиры, площадь дачного участка, площадь поля и т.п.

Опыт подсказывает вам, что равные земельные участки имеют равные площади, что площадь квартиры равна сумме площадей всех ее помещений (комнат, кухни, прихожей и т.д.). Эти примеры иллюстрируют свойства площади фигуры.

1 ) Равные фигуры имеют равные площади.

2 ) Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит.

Как можно измерить площадь фигуры?

Напомним, что для измерения отрезков мы вводили единичный отрезок, а для измерения углов − единичный угол.

Вообще, когда нужно измерить какую−либо величину, вводят единицу измерения.

За единицу измерения площади выбираю квадрат, сторона которого равна единичному отрезку. Такой квадрат называют единичным.

Площадь квадрата со стороной 1 м называют квадратным метром.

Площадь квадрата со стороной 1 см называют квадратным сантиметром.

Площадь квадрата со стороной 1 мм называют квадратным миллиметром.

Измерить площадь фигуры − значит подсчитать, сколько единичных квадратов в ней помещается.

Так, площадь каждой фигуры, изображенной на рисунке 146, равна 7 см 2 .

Если одна сторона прямоугольника равна 6 см, а другая сторона 4 см, то этот прямоугольник можно разделить на 4 * 6 единичных квадратов (рис. 147 ). Поэтому его площадь равна 4 * 6 = 24 (см 2 ).