доказательство теоремы про площадь трапеции (4 видео)

Содержание

Площадь трапеции
Теорема
Доказательство
Глоссарий. Алгебра и геометрия
Доказательство.
Как найти площадь трапеции
Что такое трапеция
Что такое площадь
Главная формула для вычисления площади трапеции
Доказательство теоремы о площади трапеции
Как еще можно найти площадь трапеции (другие формулы)
По высоте и средней линии
По четырем сторонам
Площадь трапеции через диагонали
По основанию и углам при нем
Формулы площади для равнобедренной трапеции
По четырем сторонам
По малому основанию, боковой стороне и углу у большого основания
По большому основанию, углу при нем и боковой стороне
По основаниям и углам
Комментарии и отзывы (1)
🔍 Видео

Видео:8 класс, 15 урок, Площадь трапецииСкачать

Площадь трапеции

Для вычисления площади произвольного многоугольника его разбивают на треугольники и находят площадь каждого из них. Площадь данного многоугольника равна сумме площадей этих треугольников.

Условимся называть высотой трапеции перпендикуляр, который проведен из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

Теорема

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту

Доказательство

Дано: ABCD — трапеция, BH и DH₁ — высоты, S — площадь

Доказать: S = (AD + BC) ВН

Доказательство:

Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S = S_ABD + S_BCD. Примем отрезки AD и ВН за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки BC и DH₁ за основание и высоту треугольника BCD. Тогда

S_ABD = AD BH, S_BCD = BC DH₁.

Так как DH₁ = BH, то S_BCD = BC BH.

S = AD BH + BC BH = (AD + BC) BH.

Теорема доказана.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Геометрия 8 класс. Площадь трапецииСкачать

Глоссарий. Алгебра и геометрия

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

S = ((AD + BC) / 2) · BH,

где высота трапеции — это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

Доказательство.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, высотой BH и площадью S.

Докажем, что S = ((AD + BC) / 2) · BH.
Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S = S_ABD + S_BCD. Примем отрезки AD и BH за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки BC и DH₁ за основание и высоту треугольника BCD. Тогда

Так как DH₁ = BH, то S_BCD = BC · BH / 2.
Таким образом,

S = AD · BH / 2 + BC · BH = ((AD + BC) / 2) · BH.

Так же площадь трапеции можно найти с помощью следующих формул:

S = mh, где m — средняя линия, h — высота трапеции.
Если трапеция равнобедренная, то S = 4r 2 / sinα, где r — радиус вписанной окружности, α — угол при основании.
,
где a, b — основания, c и d — боковые стороны трапеции.

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.Скачать

Как найти площадь трапеции

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. В этой статье мы расскажем, как посчитать площадь трапеции. Эту тему подробно изучают в школе в 8-м классе.

Но в классической программе учителя дают далеко не все формулы, с помощью которых можно вычислить нужное значение. И ограничиваются, как правило, одной или двумя.

Мы же дадим максимально развернутый ответ на этот вопрос. Ведь трапеция – это весьма примечательная и сложная фигура в геометрии. А соответственно, и формулы для вычисления ее площади отличаются определенной сложностью и громоздкостью.

Тут нет банальных «перемножить длины сторон», как у площади прямоугольника. Все гораздо мудреней.

Видео:Теорема о площади трапеции. Высота трапеции. Формула площади трапеции. Геометрия 8-9 классСкачать

Что такое трапеция

Но для начала будет нелишним напомнить, что из себя представляет трапеция.

Трапеция – это геометрическая фигура, которая является четырехугольником, и у которой две противоположные стороны параллельны.

Последнее утверждение очень важное. ТОЛЬКО ДВЕ противоположные стороны параллельны у трапеции. Ведь если бы обе пары лежали на параллельных прямых, то это был бы уже параллелограмм.

Вот так выглядит трапеция:

А вот так параллелограмм:

Кстати, именно по этому принципу древний математик Евклид и разделил все четырехугольники на две большие категории.

Именно он впервые описал разные геометрические фигуры, в том числе трапеции и параллелограммы. И все свои соображения подробно изложил в книге «Начала», которая датируется 300 годом до нашей эры.

Видео:ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

Что такое площадь

Раз уж мы решили вычислять эту величину, напомним, что она обозначает.

Площадь – это численное значение геометрической фигуры, нарисованной в двухмерном (плоском) пространстве. А проще говоря, это пространство, которое ограничено границами фигуры, и находится как бы внутри нее.

В нашем случае площадь трапеции – это область, закрашенная синим цветом:

Кстати, в древности вместо термина «площадь» говорили «квадратура». Считалось, что любую фигуру можно разбить на равные квадраты со стороной «один». Частично это понятие докатилось и до наших дней.

Ведь именно в «квадратных метрах» мы измеряем площадь комнаты/квартиры/дачи/офиса. И в «квадратных километрах» частенько озвучивают площадь какой-то территории. Например, когда в телевизионных новостях говорят о масштабах лесных пожаров или наводнений.

Видео:Площадь трапецииСкачать

Главная формула для вычисления площади трапеции

Та формула, которую изучают в школе, основана на вычислении площади трапеции по длине ее оснований и высоте.

Основания трапеции – это стороны, которые лежат на параллельных прямых. Другая пара сторон называется боковыми.

Высота – это отрезок, проведенный из вершины любого угла к противоположному основанию под углом 90 градусов.

То есть мы имеем вот такие исходные данные:

Здесь «a» и «b» являются основаниями трапеции, а «h» — высотой.

И тогда формула для вычисления площади трапеции выглядит вот так:

Например, если длины сторон и высота равны:

то площадь такой трапеции будет равна:

Опять же заметьте, если стороны и высота у трапеции обозначались в сантиметрах, то площадь будет измеряться в квадратных сантиметрах (то самое понятие «квадратуры», о котором мы писали выше).

То же самое – миллиметры/квадратные миллиметры, метры/квадратные метры, километры/квадратные километры и так далее.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№11 - Площадь трапеции.)Скачать

Доказательство теоремы о площади трапеции

Любая формула в геометрии требует доказательства. И в нашем случае, формулы вычисления площади трапеции также доказывают во время уроков.

Возьмем для примера трапецию:

В ней AD и BC – основания, BH – высота. Нам надо доказать, что:

Доказательство строится на том, что если провести диагональ BD, то она разделит нашу трапецию на два треугольника. Это будут треугольники ABD и BCD.

И чтобы получить площадь нашей трапеции, нужно посчитать отдельно площади этих треугольников и сложить их.

А как вычислять площадь треугольника, мы уже знаем (или должны знать, согласно школьному курсу). Надо перемножить длину его основания и высоту и поделить на два.

У треугольника ABD высота – это BH. А у треугольника BCD в силу его выпуклости нам пришлось продлить зрительно основание BC, чтобы получить высоту DH1.

Но в случае с трапецией высоты равны, то есть BH = DH1. И тогда формулу площади для второго треугольника можно заменить на:

И наконец, с учетом всего вышесказанного начинаем вычислять площадь нашей трапеции. Она равна:

Как часто говориться на уроках геометрии – что и требовалось доказать!

Извиняемся за столь подробное описание доказательства. Но, во-первых, это требуется в рамках школьной программы. А во-вторых, всегда ведь интересно докопаться до самой сути и понять, как и почему именно так что-то устроено.

Видео:Площадь трапецииСкачать

Как еще можно найти площадь трапеции (другие формулы)

На этот раз мы уже не будем приводить подробные доказательства каждой из формул. Иначе это займет слишком много времени и места. Просто поверьте, все они правильные и по ним можно вычислить площадь трапеции.

По высоте и средней линии

Средняя линия – это та, которая делит боковые стороны трапеции на две равные части. Формула площади выглядит совсем просто:

По четырем сторонам

Тут формула гораздо сложнее:

Площадь трапеции через диагонали

По основанию и углам при нем

Видео:КАК НЕ ПОПАСТЬ НА ОШИБКУ? Площадь трапеции по 4 сторонам.Скачать

Формулы площади для равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция – та, у которой боковые стороны равны. А соответственно, они еще и соприкасаются с основаниями под одинаковыми углами.

Это частный случай, и для него верны все перечисленные формулы. Но с учетом равенства сторон и углов формулы заметно упрощаются.

По четырем сторонам

По малому основанию, боковой стороне и углу у большого основания

По большому основанию, углу при нем и боковой стороне

По основаниям и углам

Как видите, формулы громоздкие и весьма сложные сами по себе. Без калькулятора здесь точно не обойтись. С другой стороны, они крайне редко применяются. И служат скорее дополнительными средствами.

Вот и все, что мы хотели рассказать о том, как вычислять площадь трапеции.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (1)

Теперь любой школьник сможет блеснуть знаниями перед учителем, продемонстрировав несколько способов нахождения площади трапеции. Я уже далеко не школьник, но тоже было интересно.