доказательство формулы площади квадрата (7 видео)

Содержание

Глоссарий. Алгебра и геометрия
Доказательство
Урок «Площадь квадрата»
Теоремы площадей фигур
🎬 Видео

Видео:Площадь квадрата. Как найти площадь квадрата?Скачать

Глоссарий. Алгебра и геометрия

Квадрат — это правильный четырёхугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны:
S = a 2

Видео:50* Площадь квадратаСкачать

Доказательство

Начнем с того случая, когда a = 1/n, где n является целым числом.
Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n 2 равных квадратов так, как показано на рисунке 1.

Так как площадь большого квадрата равна единице, то площадь каждого маленького квадрата равна 1/n 2 . Сторона каждого маленького квадрата равна 1/n, т. е. равна a. Итак,
S = 1/n 2 = (1/n) 2 = a 2 . (1)
Пусть теперь число a представляет собой конечную десятичную дробь, содержащую n знаков после запятой (в частности, число a может бать целым, и тогда n = 0). Тогда число m = a · 10 n целое. Разобьем данный квадрат со стороной a на m 2 равных квадратов так, как показано на рисунке 2.

При этом каждая сторона данного квадрата разобьется на m равных частей, и, значит, сторона любого маленького квадрата равна

a/m = a / (a · 10 n ) = 1/10 n .

По формуле (1) площадь маленького квадрата равна (1/10 n ) 2 . Следовательно, площадь S данного квадрата равна

m 2 · (1/10 n ) 2 = (m/10 n ) 2 = ((a · 10 n )/10 n ) 2 = a 2 .

Наконец, пусть число a представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим число a_n, получаемое из a отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n + 1)-го. Так как число a отличается от a_n не более чем на 1/10 n , то a_n ≤ a ≤ a_n + 1/10 n , откуда

Ясно, что площадь S данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной a_n и площадью квадрата со стороной a_n + 1/10 n :

Будем неограниченно увеличивать число n. Тогда число 1/10 n будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число (a_n + 1/10 n ) 2 будет сколь угодно мало отличаться от числа a_n 2 . Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа a 2 . Следовательно, эти числа равны: S = a 2 , что и требовалось доказать.

Так же площадь квадрата можно найти с помощью следующих формул:

где r — радиус вписанной в квадрат окружности,
R — радиус описанной вокруг квадрата окружности.

Видео:8 класс, 11 урок, Площадь квадратаСкачать

Урок «Площадь квадрата»

Краткое описание документа:

От множества геометрических фигур квадрат отличается тем, что является правильным четырехугольником с равными углами и равными сторонами. Если выразить сторону квадрата каким-нибудь числом, то можно найти площадь квадрата. Она численно равна квадрату его стороны.

Доказательство этого положения приведено в данном видео уроке. На первом слайде показан квадрат. Его сторона принята равной единице. Следовательно, площадь квадрата тоже равна единице. Стороны квадрата разбиты одинаковые отрезки. На каждой стороне помещается одинаковое, причем целое, число отрезков. Это число в общем случае равно n. Итак, n – целое число. Если соединить отрезки, как показано на рисунке видео урока, квадрат окажется разделенным на маленькие квадраты. Всего их будет n 2 . В видео уроке сторона малого квадрата обозначена как a. Значит, ее длина равна 1/n, площадь же малого квадрата оказывается равной 1/n 2 . Площадь малого квадрата обозначена S_м. Поскольку дробь 1/n 2 = (1/n) 2 , то можно записать, что S_м = (1/n) 2 . Но поскольку 1/n = a, можно записать, что S_м = a 2 .

Итак, был рассмотрен случай, когда n является целым числом.

Следующий слайд видео урока объясняет случай, когда сторона квадрата a выражена конечной десятичной дробью. У этой дроби имеется после запятой n знаков. Стороны квадрата, показанного на слайде, разбиты на целое число равных отрезков. Это число обозначено m, и оно равно m = a х 10 n . Сам же квадрат на слайде разбит также на целое число равных малых квадратов. Всего этих малых квадратов получается m 2 . Сторона каждого такого маленького квадрата равна числу a, деленному на число m.

Математическая запись будет выглядеть так:

a/m = a/a х 10 n = 1/10 n . Значит, длина стороны маленького квадрата равна 1/10 n . Так и показано на слайде видеоурока.

Согласно тому, что было записано выше, площадь маленького квадрата должна равняться квадрату его стороны. На слайде видеоурока эта площадь найдена и записана так:

S_м = (1/ 10 n ) 2 . Но поскольку большой квадрат изначально был разбит на m 2 равных частей, то общая площадь его, S, будет равна сумме площадей маленьких квадратов. Как известно, операцию сложения, если слагаемые одинаковы, можно заменить операцией умножения, и записать так:

S = m 2 х (1/ 10 n ) 2 = (m х 1/ 10 n ) 2 = (a х 10 n /10 n ) 2 = a 2 .

Итак, в видеоматериале доказано, что если сторона квадрата выражена числом, представляющем собой конечную десятичную дробь, площадь этого квадрата будет определена квадратом этой стороны.

На последнем слайде этого видео урока рассматривается случай, когда сторона квадрата a выражена бесконечной десятичной дробью. Здесь предлагается рассмотреть некоторое число a_n, которое получится, если у числа a после запятой отбросить все десятичные знаки, начиная с n+1-го знака. Соотношение между числами a, a_n и a_n+1/10 n записано в видеоматериале с помощью двойного неравенства.

Все части этого неравенства можно возвести в квадрат, тогда получается, что площадь исходного квадрата, S, больше, чем площадь квадрата со стороной a_n, и меньше, чем площадь квадрата со стороной a_n+1/10 n . Это числовое неравенство на слайде проиллюстрировано с помощью рисунка. Если теперь бесконечно увеличивать число n, число 1/10 n будет неограниченно уменьшаться и, в конце концов, мало отличаться от нуля. Из записанных неравенств видно, что число S при бесконечном увеличении числа n будет равно a 2 , что и требовалось доказать.

Видео:№ 5.6. Периметр и площадь квадрата (дополнение)Скачать

Теоремы площадей фигур

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Докажем что площадь S квадрата со стороной a равна a 2 . Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n равных квадратов так, как показано на рисунке 1. геометрия площадь фигура теорема

Так как сторона квадрата равна 1, то площадь каждого маленького квадрата равна . Сторона каждого маленького квадрата равна , т.е. равна а. Из этого следует, что . Теорема доказана.

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне (рис.2.):

Пусть ABCD — данный параллелограмм. Если он не является прямоугольником, то один из его углов A или B острый. Пусть для определенности угол A острый (рис.2.).

Опустим перпендикуляр AE из вершины A на прямую CB. Площадь трапеции AECD равна сумме площадей параллелограмма ABCD и треугольника AEB. Опустим перпендикуляр DF из вершины D на прямую CD. Тогда площадь трапеции AECD равна сумме площадей прямоугольника AEFD и треугольника DFC. Прямоугольные треугольники AEB и DFC равны, а значит, имеют равные площади. Отсюда следует, что площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника AEFD, т.е. равна AE * AD. Отрезок AE — высота параллелограмма, опущенная к стороне AD , и, следовательно, S = a * h. Теорема доказана.

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту (рис.3.):

Пусть ABC — данный треугольник. Дополним его до параллелограмма ABCD, как показано на рисунке (рис.3.1.).

Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников ABC и CDA. Так как эти треугольники равны, то площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника ABC. Высота параллелограмма, соответствующая стороне CB, равна высоте треугольника, проведенной к стороне CB. Отсюда следует утверждение теоремы, Теорема доказана.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними (рис 3.2.).

Введем систему координат с началом в точке С так, чтобы B лежала на положительной полуоси C_x , а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле , где h — высота треугольника. Но h равна ординате точки А, т.е. h=b sin C. Следовательно, . Теорема доказана.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы его оснований на высоту (рис.4.).

Пусть ABCD — данная трапеция (рис.4.1.).

Диагональ AC трапеции разбивает ее на два треугольника: ABC и CDA.

Следовательно, площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников.

Площадь треугольника ACD равна площадь треугольника ABC равна . Высоты AF и CE этих треугольников равна расстоянию h между параллельными прямыми BC и AD, т.е. высоте трапеции. Следовательно, . Теорема доказана.

Площади фигур имеют огромное значение в геометрии, как в науке. Ведь площадь это одна из важнейших величин в геометрии. Без знания площадей невозможно решить множество геометрических задач, доказать теоремы, обосновать аксиомы. Площади фигур имели огромное значение много веков назад, но не утратили своего значения в современном мире. Понятия площадей используются во многих профессиях. Они применяются в строительстве, проектирование и во многих других видах деятельности человека. Из этого можно сделать вывод ,что без развития геометрии, в частности понятий о площадях, человечество не смогло бы такой большой прорыв в области наук и технике.