Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.
Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.
Пусть сторона правильного треугольника равна .
Высота правильного треугольника:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: .
Радиус описанной окружности в два раза больше: .
Площадь правильного треугольника: .
Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части — докажите их самостоятельно.
. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности .
. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна .
Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен высоты.
. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен .
Площадь равностороннего треугольника
Как найти площадь равностороннего треугольника?
Площадь равностороннего треугольника можно найти и через сторону и проведенную к ней высоту, и через три стороны (по формуле Герона).
Но удобнее всего использовать формулу для вычисления площади треугольника по двум сторонам:
Все стороны равностороннего треугольника равны между собой: b=a.
Все углы равностороннего треугольника равны по 60 градусов.
Подставляем b=a и α=60º:
формула для нахождения площади равностороннего треугольника:
Площадь равностороннего треугольника — формулы и примеры решения
Треугольник с равными сторонами
Каждый школьник, в каком бы классе он ни учился, знает, что собой представляет треугольник. Он является самой простой замкнутой фигурой на плоскости и в пространстве, поскольку образован тремя отрезками (четырьмя ограничены следующие по сложности за ним фигуры: прямоугольник, квадрат, параллелограмм и т. д. ).
Состоит он из трех сторон, которые определяют 3 его угла (отсюда и название геометрического объекта). Для определения значений углов в градусах следует при решении задач использовать теорему о равенстве их суммы — 180. При этом неважно, к какому типу относится сама фигура (равнобедренный, прямоугольный и т. д. ), теорема остается справедливой всегда.
Исходя из названия, равносторонний треугольник — плоская фигура, все 3 стороны которой равны между собой. Для нее являются справедливыми следующие свойства:
- Все 3 угла равны между собой и составляют 60 градусов, поэтому его также называют равноугольным. Это утверждение справедливо в обратную сторону: если все углы треугольника составляют 60 градусов, он является равносторонним.
- Медиана, биссектриса и высота совпадают друг с другом, то есть любая из этих линий будет делить угол пополам, противоположную сторону на 2 равные части и будет перпендикулярна ей одновременно.
- Наличие трех осей симметрии. Все они совпадают с соответствующими медианами, биссектрисами, высотами. Оси пересекаются в точке, которая является геометрическим и массовым центром фигуры. Повороты на 0, 120, 240 и 360 градусов вокруг этой точки треугольника будут переводить его самого в себя, то есть являются операциями симметрии.
- Любые 2 рассматриваемых треугольника являются подобными. Этот вывод следует из равенства их трех углов.
Длина высоты и ее частей
Прежде чем приводить формулы площади равностороннего треугольника, следует выяснить, какую длину имеют его биссектрисы, высоты или медианы. Пусть эта величина будет обозначаться латинской буквой h, а сторона фигуры обозначается a. Поскольку проведенная высота из любого угла делит его на 2 прямоугольных треугольника, этот факт можно использовать для вычисления величины h. Проще всего применить определение какой-либо тригонометрической функции, например, синуса:
Согласно определению, синусом угла называется отношения противолежащего катета (h) к гипотенузе (a). Поскольку значения функции sin (60) является табличной величиной, получается следующее выражение для h:
Из формулы следует, что высота h составляет приблизительно 87% от длины стороны a.
Для получения полной информации о свойствах биссектрис, медиан и высот треугольника, нужно определить, на какие части делит их точка пересечения. Следует ввести некоторые обозначения:
- A, B, C — вершины равноугольного треугольника;
- Q — точка пересечения биссектрис, медиан и высот фигуры;
- P — середины стороны BC, на которую опущена высота AP.
Треугольник PQB является прямоугольным. Прямым углом будет QPB. Поскольку угол QBP разделен биссектрисой на 2 одинаковые части, он составляет 30 градусов. Катет QP лежит против этого угла, поэтому будет иметь длину в 2 раза меньшую, чем гипотенуза BQ. Нетрудно увидеть, что сумма длин BQ и QP равна высоте h. Эти рассуждения позволяют получить следующие формулы:
- QP = ½*BQ = 1/3*h = 3 0,5 /6*a = r;
- BQ = 2*QP = 2/3*h = 3 0,5 /3*a = R.
Здесь введены новые буквы r и R для обозначения длин QP и BQ, соответственно.
Формулы площади
Чему равна площадь равностороннего треугольника можно определить с использованием нескольких формул. Для этого привлекаются в том числе понятия вписанной и описанной окружности.
Через величины a или h
Площадь абсолютно любого треугольника может быть определена как произведение его высоты на длину основания, которое следует поделить пополам. Если записать это выражение для равноугольного треугольника, можно получить следующие формулы:
Для получения этих выражений была использована формула связи между длинами высоты h и основания a. Уравнения справедливы для любого треугольника с равными сторонами. Для прямоугольного или равнобедренного эти выражения уже не подходят.
Формулы через длины h и a для площади S говорят, что для однозначного определения геометрической характеристики достаточно знать лишь один параметр треугольника, имеющий размерность длины.
Через радиусы r или R
Чтобы определить площадь, достаточно узнать любой линейный параметр. Это необязательно может быть сторона или высота, но также радиусы вписанной и описанной окружностей.
Вписанной называется окружность, которая лежит внутри фигуры и касается всех ее сторон. В случае равностороннего треугольника ее центр находится в точке пересечения медиан (высот, биссектрис), то есть в точке Q. Ее радиус r равен отрезку QP и составляет:
Выразив из этого равенства сторону a и подставив ее в формулу для площади S через a, можно получить следующее выражение:
Центр вписанной окружности является для равностороннего треугольника центром описанной вокруг него. Ею принято называть в геометрии фигуру, которая проходит через все вершины многоугольника. Поскольку ее центр лежит в точке Q, радиус R будет равен длине отрезка QB. Формула для него уже известна:
Аналогичным образом, выражая из этого равенства величину a, и подставляя ее в формулу для S, можно получить следующее выражение:
Это равенство можно было также получить, если вспомнить, что радиус описанной окружности R в 2 раза больше радиуса r.
Примеры решения задач
Выведенные формулы можно с легкостью применять для решения разнообразных задач по геометрии. Для понимания, как их следует использовать, следует рассмотреть несколько примеров.
Описанная и вписанная окружности
Дан некоторый равноугольный треугольник. Известно, что разница между радиусами описанной и вписанной окружностей составляет 3 см. Следует найти площадь фигуры.
На первый взгляд может показаться, что нахождение решения этой задачи требует проведения некоторых промежуточных вычислений, но это не так. Если вспомнить, что радиус описанной окружности R ровно в 2 раза больше величины r, то их разница является не чем иным, как самим радиусом вписанной окружности r. Для получения ответа на задачу следует всего-навсего воспользоваться известной формулой и вычислить S:
S = 3*3 0,5 *r 2 = 46,765 см 2 .
Тетраэдр и его поверхность
Тетраэдр является объемной фигурой, которая ограничена четырьмя гранями, являющимися равноугольными треугольниками. Необходимо определить площадь поверхности этой геометрической фигуры, если известно, что ее объем составляет 100 см 3 .
Чтобы посчитать необходимую площадь, следует найти эту величину всего лишь для одного равностороннего треугольника, а затем полученное число умножить на 4. Из курса стереометрии известно, что объем тетраэдра рассчитывается по следующей формуле:
Отсюда можно получить длину стороны a:
Подставляя значение объема тетраэдра из условия задачи, можно рассчитать a = 9,467 см. Это значение округлено до третьего знака после запятой.
Теперь можно применить формулу для расчета площади S через a:
S = 3 0,5 /4*a 2 = 38,81 см 2 .
Получилась площадь одной грани тетраэдра. Поскольку объемная фигура состоит из четырех одинаковых треугольников, то площадь его поверхности St составит:
St = 4*S = 155,24 см 2 .
Таким образом, высокая симметрия равностороннего треугольника позволяет рассчитывать его площадь, зная всего один линейный параметр фигуры. Чаще всего таковым является высота, сторона основания или радиусы вписанной и описанной окружностей.