для чего нужно определение площади (5 видео)

Содержание

Что такое площадь?
Презентация «Понятие площади и применение в жизни»
Просмотр содержимого документа «Презентация «Понятие площади и применение в жизни»»
Площади фигур
Понятие площади
Площади прямоугольника и прямоугольного треугольника
Площади треугольников
Площади четырехугольников и многоугольников
Пример:
🎬 Видео

Видео:Аналитический способ определения площадей. Формула землемера, геодезиста, Гаусса.Алгоритм шнурованияСкачать

Что такое площадь?

Площадь можно посчитать математическими методами. С этой целью еще в далекой древности была создана целая наука под названием геометрия. Первоначально геометрия применялась для измерения площадей земельных участков, но почти сразу, же ее стали применять для измерения площадей различных фигур, которые стали называть геометрическими. Площади простых фигур, таких как квадратов и прямоугольников рассчитывать научились быстро. Площади треугольных фигур и трапеций потребовали разработки специальных методов расчетов. Очень долго работали над разработкой методов расчетов круглых площадей. Даже был введен специальный термин, который называли «квадратура круга».

Сегодня посчитать площадь стало насущной необходимостью при ремонте квартир, домов, покупке обоев, строительных материалов и так далее. Нужно просто общую площадь разделить на отдельные простые геометрические фигуры, рассчитать площадь каждой отдельной фигуры, а затем путем сложения получить общую площадь. Сделать это не сложно, зная школьный курс математики. Помогут рассчитать площади и специально созданные калькуляторы.

Видео:Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Презентация «Понятие площади и применение в жизни»

Презентация «Понятие площади и применение в жизни». Применение конструирования при вычислении площадей на практике.

Просмотр содержимого документа
«Презентация «Понятие площади и применение в жизни»»

Понятие площади и применение в жизни

Выполнил Сапрыкин Иван, ученик 7 «А» класса

Руководитель Колесова Ирина Викторовна, учитель математики МБОУ БГО СОШ №13

г Борисоглебск, 2016-2017 учебный год

Проект предназначен для расширения кругозора учащихся по теме «площади», позволяет узнать о применении математики в быту, показывает основные приемы вычисления площадей плоских фигур, используя знание формулы площади квадрата, прямоугольника и прямоугольного треугольника, и приемы конструирования.
Цель : применить конструирование при вычислении площадей на практике; применить математику для расчёта материалов для ремонта квартиры.
Задачи : изучить, как надо вычислять площади; изучить единицы измерения площадей; применение умения вычисления площадей в нашей жизни.

Площадь — это величина показывающая размер той части плоскости, которая очерчена соединенными между собой отрезками. Землю нельзя разделить на равные куски: берега реки извилисты, границы участка будут ломаными линиями. И люди научились измерять площади участков , разбивая их на части в виде прямоугольников и треугольников. Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими. Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит.

S 1 + S 2 + S 3 = S

Единицы измерения площади

Квадратный метр,1 м² = 100 дм² =10000 см² = 1 000 000 мм² ;
Квадратный километр, 1 км² = 1 000 000 м²;
Гектар, 1 га = 10 000 м²;
Ар (сотка), 1 а = 100 м²:

Русские устаревшие единицы измерения площади

Квадратная верста = 1,13806 км²
Десятина = 10925,4 м²
Копна = 0,1 десятины — сенные покосы мерили копнами
Квадратная сажень = 4,55224 м²

Площади квадрата, прямоугольного треугольника, прямоугольника

Площадь фигуры равна сумме площадей всех её частей

Многоугольник можно разделить на части, представляющие собой прямоугольники и прямоугольные треугольники. Найти площади всех получившихся фигур и сложить их.

Найти площади фигур , изображённых на клетчатой бумаге с размером клетки 1*1

Как находить площадь фигур на клетчатой бумаге

Достроить искомую фигуру до прямоугольника.
Найти площадь всех получившихся дополнительных фигур и площадь самого прямоугольника.
Из площади прямоугольника вычесть сумму площадей всех лишних фигур.

Найти площади фигур , изображённых на клетчатой бумаге с размером клетки 1*1

S = 16 – 2 – 8 = 10

Сколько рулонов обоев шириной 1 м понадобится для оклеивания зала шириной 4,25 м, длиной 5,55 м и высотой 2,95 м, если в рулоне 10 м и в комнате находится окно шириной 2 м , высотой 1,6м и дверь шириной 0,9 м и высотой 2 м? Сколько будет потрачено денег на обои, если 1 рулон стоит 1300 рублей?

Сколько стоят жалюзи на окно шириной 1,5 м и высотой 2,6 м, если цена жалюзи 420 руб. за 1 кв. м.?

Сколько плиток прямоугольной формы со сторонами 20 см и 30 см потребуется, чтобы выложить стену в кухне длиной 2,58 м и высотой 2,6 м? Какова стоимость, если плитка стоит 410 рублей за кв. м.

Сколько рулонов обоев шириной 1 м понадобится для оклеивания зала шириной 4,25 м, длиной 5,55 м и высотой 2,95 м, если в рулоне 10 м и в комнате находится окно шириной 2 м , высотой 1,6м и дверь шириной 0,9 м и высотой 2 м? Сколько будет потрачено денег на обои, если 1 рулон стоит 1300 рублей?

Ответ: 7800 рублей.

Сколько стоят жалюзи на окно шириной 1,5 м и высотой 2,6 м, если цена жалюзи 420 руб. за 1 кв. м.?

Ответ: 1638 рублей.

Сколько плиток прямоугольной формы со сторонами 20 см и 30 см потребуется, чтобы выложить стену в кухне длиной 2,58 м и высотой 2,6 м? Какова стоимость, если плитка стоит 410 рублей за кв. м.

http://www.fipi.ru
http://alexlarin.net/
https://neznaika.pro/oge/math_oge/

Видео:Как рассчитать площадь земельного участкаСкачать

Площади фигур

Площадь фигуры — это аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Содержание:

Понятие площади

Площадь — это тоже величина. Каждой плоской геометрической фигуре соответствует своя площадь. У пространственных фигур тоже есть соответствующая им площадь, называемая площадью поверхности.

Площадь фигур мы будем обозначать буквой S. Запись читается как «площадь фигуры F».

Определение. Измерить площадь фигуры — это значит сравнить ее с площадью некоторой фигуры, принятой за единицу измерения площади.

Измерить площадь фигуры в Древней Греции означало построить квадрат, площадь которого равна площади данной фигуры. С тех пор всякое вычисление площади принято называть квадратурой.

Если за единицу длины принимается 1 мм, то единицей площади является 1 (квадратный миллиметр); при единице длины 1 см единицей площади является 1 (квадратный сантиметр). Если единицей измерения длины является 1 м, ему соответствует единица площади 1 (квадратный метр).

Любую площадь S можно выразить через единицу измерения площади в виде , где k — числовой множитель, который показывает, сколько раз единичный квадрат укладывается в данной фигуре.

Пусть, например, за единицу измерения площади принят квадратный сантиметр (т. е. ). Тогда запись означает, что площадь фигуры равна , т. е. в данной фигуре квадрат со стороной 1 см укладывается 15 раз.

Можно сфорулировать свойства измерения площади.

1. Всякий многоугольник F имеет площадь . Площадь является величиной, численное значение которой неотрицательно, т. е. для любой фигуры F.

Площадь фигуры зависит только от ее размеров и формы и не зависит от места расположения фигуры в пространстве. Это формулируется так.

2. Если две фигуры равны, то равны и их площади.

Пусть дана фигура F, которая является объединением двух фигур , причем эти фигуры пересекаются не более чем по конечному числу отрезков и точек. Тогда

Есть случаи, когда фигура является объединением двух других фигур, но данное равенство не выполняется. На рисунке 2.138 изображены два треугольника Фигура R — их объединение. В этом случае (при сложении площадь ромбовидной области в центре рисунка войдет в сумму дважды).

Еще одно свойство площади формулируется следующим образом.

3. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения длины отрезка.

Для фигуры, разбитой на части, справедливо следующее свойство.

4. Если фигура разбита на части, то площадь фигуры равна сумме площадей частей фигуры.

Свойство измерения площади квадрата.

5. Площадь квадрата со стороной равна .

В геометрии различают фигуры равные и равновеликие.

Определение. Две фигуры называются равновеликими, если они имеют одинаковую площадь.

Площади прямоугольника и прямоугольного треугольника

Теорема 33. Площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту.

где — стороны прямоугольника.

Проведя диагональ АС прямоугольника ABCD (рис. 2.139), можно легко доказать, что она разбивает этот прямоугольник на два равных треугольника ABC и CDA, а тогда нетрудно доказать теорему 34.

Теорема 34. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов (рис. 2.140):

где — катеты прямоугольного треугольника.

Площади треугольников

Теорема 35. Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты.

На рисунке 2.141 изображен треугольник ABC.

Есть еще одна формула для вычисления площади треугольника через его стороны. Эта формула носит имя древнегреческого математика Герона Александрийского (около I в.). Кроме этой формулы, есть еще так называемые ге-роновы треугольники — это треугольники, у которых целочисленные стороны и их площадь тоже есть целое число (примерами таких треугольников могут быть треугольники со сторонами 13, 14, 15 или 51, 52, 53).

Теорема 36 (формула Герона). Площадь треугольника равна

где — стороны треугольника, а р — его полупериметр, .

Существует формула площади треугольника, которая использует понятие синуса угла.

Теорема 37. Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними

где — стороны ААВС, а — угол между этими сторонами.

Площади четырехугольников и многоугольников

Для вывода формулы площади параллелограмма определим высоту параллелограмма.

Определение. Высотой параллелограмма называют отрезок перпендикуляра, проведенного из любой точки какой-нибудь стороны параллелограмма к прямой, содержащей противоположную сторону.

Высотой параллелограмма можно считать также и длину этого перпендикуляра. У параллелограмма две пары противоположных параллельных сторон и соответственно две высоты.

На рисунке 2.142 изображен параллелограмм ABCD, — его высоты. Заметим, что основания высот параллелограмма могут попасть и на продолжение одной из сторон (рис. 2.143).

Теорема 38. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны и проведенной к ней высоты.

ABCD — параллелограмм, AD = ВС = , AM = CN = h (рис. 2.144).

Для вывода формулы площади еще одного четырехугольника — трапеции определяется понятие высоты трапеции.

Определение. Высотой трапеции называют отрезок перпендикуляра, проведенного из какой-либо точки основания трапеции к прямой, содержащей другое основание.

Высотой можно также считать длину этого перпендикуляра. На рисунке 2.145 ВМ — высота трапеции ABCD.

Теорема 39. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты, т. е. если и — основания трапеции, h — высота и S — площадь трапеции, то

Чтобы вычислить площадь произвольного многоугольника, можно разбить его на треугольники, не имеющие общих внутренних точек, и найти сумму их площадей.

Такое разбиение выпуклого многоугольника можно осуществить, проведя, например, диагонали из одной его вершины (рис. 2.146). Иногда удобно пользоваться другими разбиениями (рис. 2.147, 2.148).

Пример:

Через середину основания треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Докажите, что полученный таким образом четырехугольник — параллелограмм и что его площадь равна половине площади треугольника.

Решение:

Из условия задачи имеем:

2. AD = DC. (рис. 2.149)

3. DE || ВС, DF || АВ.

4. Надо доказать, что BEDF — параллелограмм и что

5. Так как DE || ВС и DF || АВ, то BEDF — параллелограмм (2, определение параллелограмма).

Нужно установить связь между площадью параллелограмма и треугольника. Для этого удобно параллелограмм разбить на треугольники.

6. Соединим точки В и D и рассмотрим полученные треугольники (построение) (рис. 2.150).

7. равны (BD — общая сторона, и , как углы внутренние накрест лежащие при параллельных прямых (1, 2, 3, признак равенства треугольников по сторонам и двум прилежащим углам).

8. Эти треугольники и равновелики.

9. Треугольники BFD и CFD также равновелики между собой (хотя в общем случае они не равны), так как BF = FC (DF — средняя линия), т. е. основания их равны и они имеют одинаковую высоту, так как вершина D у них общая.

10. Аналогично равновелики между собой и

11. следовательно, площади и параллелограмма BEDF можно записать так: а (8, 10, свойства площадей).

12. (11).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.