деление треугольника на равные площади (5 видео)

Содержание

Медиана делит треугольник
2 Comments
Деление треугольника на равные площади параллельными
Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных
Если треугольник прямоугольный
Если он равнобедренный
Если он равносторонний
Если известна сторона и высота
Если известны две стороны и градус угла между ними
Если известны длины трех сторон
Если известны три стороны и радиус описанной окружности
Если известны три стороны и радиус вписанной окружности
💥 Видео

Видео:Площади треугольников с равным углом.Скачать

Медиана делит треугольник

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Равновеликие треугольники — это треугольники, имеющие равные площади.

То есть медиана делит исходный треугольник на два треугольника с равными площадями (или медиана делит площадь треугольника пополам).

Дано : ABC,

∠AMB +∠CMB=180º (как смежные).

Что и требовалось доказать.

Проведём высоту BH.

Так как AM=CM, то

Что и требовалось доказать.

Видео:Отношение площадей треугольников с равным угломСкачать

2 Comments

а можно попроще? без син, мы их не изучали

Alex, утверждение доказано двумя способами.

Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Деление треугольника на равные площади параллельными

Рассмотрим интересную задачу по делению произвольного треугольника N параллельными линиями ( относительно какой либо стороны) на части , площадь которых одинакова. Данную задачу никто не изучал, поэтому возьмемся за неё.

Нам надо определить на каком расстоянии от стороны (c) , провести красную линию и зеленую линию, параллельную стороне (c), так что бы площади (S_1=S_2=S_3) были равны.

Исходя из принципа, уже примененного в материалах Деление шара на равные объемы параллельными плоскостями мы можем заметить, что несмотря на сколько частей мы будем делить наш треугольник, всегда будет у нас трапеция с основанием (c)

Общая площадь треугольника (ABC) можно выразить так (S=cfrac), где (h) — высота треугольника

Площадь трапеции ограниченной красной линией и основанием равна произведению их полу суммы и высоты (h_1)

Разделив общую площадь треугольника на (n) равных частей мы можем написать равенство.

или после преобразований

И вроде бы все хорошо, получается квадратное уравнение, где мы можем найти (h_1), но количество исходных данных превышает все разумные границы.

Как же нам узнать и избавится от вычислений углов (A) и (B)

Сделаем красивое, а значит и простое предположение.

Пусть этот же исходный треугольник мы разделим на 1 часть ( ну то есть фактически оставив его целым)

Тогда высота (h_1=h) и следовательно уравнение будет иметь вид

Формула очень элегантна и красива, если же мы её попытаемся преобразовать, то придем, к «страшненькой» но очень известной по всем справочникам формуле

Почему «страшненькая»? Потому что зная например основание, высоту и один из углов, второй угол вычислить без «кувырканий» совершенно невозможно. в отличии от формулы

Но мы отвлеклись от основной темы.

Подставим нашу формулу в первоначальную и получим, после сокращений, вот такое квадратное уравнение:

Какие же выводы мы может сделать?

А то, что любой (любой!!) треугольник с разными сторонами или углами, но имеющих одинаковую высоту, делится всегда в одной пропорции

Взяв от высоты треугольника 0.2928932188135 часть и проведя параллельную линию основания треугольника — мы гарантировано разделим его на две равные части.

Как же мы можем проверить столь необычный вывод?

А мы можем вычислить длину секущей(параллельной прямой) в треугольнике, по методу, который гласит — в подобных треугольниках площади относятся как как квадраты линейных размеров.

То есть если основание какого либо треугольника равно например 10, то меньший подобный треугольник, который получается отсечением по красной линии ( см исходный рисунок) имеет основание (redline=cfrac=7.071)

теперь можно узнать площадь трапеции (cfrac*0.2928932) и эта площадь есть половина от площади всего треугольника с основанием 10 и высотой 1., то есть равна 2.5

Фактически последний метод позволяет и без формул узнавать новые высоты треугольника( так как она имеет тоже линейные размеры), но все равно считаю что статья написана не зря.

Что бы разделить треугольник на три части, то высота первой трапеции равна (1-sqrt<cfrac>), что бы разделить на десять частей, первая высота от основания равна (1-sqrt<cfrac>), ну и так далее.

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Видео:Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решенияСкачать

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
Поделите все на 4.

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Видео:Отношение площадей треугольниковСкачать

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Если известны длины трех сторон

Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
Найдите квадратный корень.

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Видео:Как разделить брусок на три равные части. Олимпиадная задачаСкачать

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Видео:Деление отрезка в данном отношенииСкачать

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.