что такое площадь и периметр треугольника

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Периметр и площадь треугольника

Видео:Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать

Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?

Периметр

Периметр любого треугольника равен сумме длин трёх его сторон. Общая формула для нахождения периметра треугольников:

где P — это периметр треугольника, a, b и c — его стороны.

что такое площадь и периметр треугольника

Периметр равнобедренного треугольника можно найти сложив последовательно длины его сторон или умножив длину боковой стороны на 2 и прибавив к произведению длину основания. Общая формула для нахождения периметра равнобедренных треугольников будет выглядеть так:

где P — это периметр равнобедренного треугольника, a — любая из боковых сторон, b — основание.

что такое площадь и периметр треугольника

Периметр равностороннего треугольника можно найти сложив последовательно длины его сторон или умножив длину любой его стороны на 3. Общая формула для нахождения периметра равносторонних треугольников будет выглядеть так:

где P — это периметр равностороннего треугольника, a — любая из его сторон.

что такое площадь и периметр треугольника

Видео:Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?Скачать

Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Площадь

Для измерения площади треугольника можно сравнить его с параллелограммом. Рассмотрим треугольник ABC:

что такое площадь и периметр треугольника

Если взять равный ему треугольник и приставить его так, чтобы получился параллелограмм, то получится параллелограмм с той же высотой и основанием, что и у данного треугольника:

что такое площадь и периметр треугольника

В данном случае общая сторона сложенных вместе треугольников является диагональю образованного параллелограмма. Из свойства параллелограммов известно, что диагональ всегда делит параллелограмм на два равных треугольника, значит площадь каждого треугольника равна половине площади параллелограмма.

Так как площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, то площадь треугольника будет равна половине этого произведения. Значит для ΔABC площадь будет равна

AC · BD.
2

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник:

что такое площадь и периметр треугольника

Два равных прямоугольных треугольника можно сложить в прямоугольник, если прислонить их друг к другу гипотенузой. Так как площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, то площадь данного треугольника равна:

AC · AB.
2

Из это можно сделать вывод, что площадь любого прямоугольного треугольника равна произведению катетов, разделённому на 2.

Из данных примеров можно сделать вывод, что площадь любого треугольника равна произведению длин основания и высоты, опущенной на основание, разделённому на 2.

Общая формула площади треугольника:

S =aha,
2

где S — это площадь треугольника, a — его основание, ha — высота, опущенная на основание a.

Видео:Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shorts

Формулы определения периметра, площади и сторон треугольника

Треугольник — это элементарная геометрическая фигура, содержащая минимально возможное количество составляющих — три.

Точки соприкосновения сторон являются вершинами его углов, обозначаются заглавными латинскими символами A; B и C. Отрезки между вершинами являются сторонами или гранями треугольника и обозначаются названиями этих вершин: AB; BC; CA или прописной буквой противолежащего угла (вершины): AB=c; BC=a; CA=b.

Периметр равен длине всех сторон фигуры, у треугольника он равен сумме трех сторон:

Высота треугольника — это перпендикуляр от прямой, на которой лежит основание, до одноименной вершины, обозначается h.

Площадь составляет величину поверхности, заключенной внутри фигуры, обозначается S. Произведение основания на высоту дает значение площади. Ее можно определить и по формуле Герона:

Из этого видео вы узнаете, как найти площадь треугольника.

Видео:Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?

Классификация треугольников

Треугольник состоит из сторон и углов, сумма его углов всегда равна 180 градусов: A+B+C=180°.

  1. Равноугольный: все вершины равны 60°, будет и равносторонним.
  2. Равнобедренный: при равенстве двух граней углы на основании равны.
  3. Разноугольный: все вершины разные, ребра у него тоже разные.
  4. Прямоугольный: один угол равен 90°, примыкающие грани называются катеты, противолежащая — гипотенуза. Бывает равнобедренным (катеты равны) или разноугольным (катеты разные).
  5. Тупоугольный: один угол больше 90°. Может быть равнобедренным или разноугольным.

что такое площадь и периметр треугольника

Видео:Что такое площадь. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Что такое площадь. Как найти площадь прямоугольника?

Описание

Чтобы описать любой треугольник, достаточно указать:

  1. Одну сторону и прилегающие к ней углы.
  2. Две стороны и угол между ними.
  3. Три стороны.

Данных из любого пункта достаточно для построения заданной фигуры и вычисления всех ее параметров, используя теорему косинусов:

Подставляя известные значения, получим уравнение, решив которое узнаем неизвестные величины.

Cos90°=0, поэтому для прямоугольного треугольника c*c=a*a+b*b, где a и b — катеты, c — гипотенуза, сторона, лежащая напротив прямого угла.

что такое площадь и периметр треугольника

Видео:Как найти площадь треугольника без формулы?Скачать

Как найти площадь треугольника без формулы?

Примеры

Известно, что одна грань равна 9 см и прилегающие углы по 60 градусов. Тогда из того, что сумма углов всегда равна 180°, получаем: 180=60+60+x; x=180—120=60. Все три вершины по 60°, значит, все стороны равны. Периметр составляет P=9+9+9=27 см, полупериметр p=13,5 см. Чтобы найти высоту, нужно опустить перпендикуляр из вершины на основание, получим прямоугольный треугольник с гипотенузой 9 см, катетом 4,5 см и катетом неизвестной длины, равным искомой высоте: 9*9—4,5*4,5=60,75=h 2 .

Высота равна корню квадратному из 60,75 или 7,79422863406 см. Умножаем основание на высоту, делим пополам и получаем площадь: 7,79422863406*9/2=35,074028853 см 2 . Если находить площадь по формуле Герона через полупериметр и ребра, ответ будет одинаковый:

S=√(13,5·(13,5—9)·(13,5—9)·(13,5—9))=35,074028853 см 2 .

Следующий пример с разносторонним треугольником. Дано: AB=12 см, BC=10 см, CA=8 см. Требуется найти периметр и площадь фигуры. P=a+b+c=BC+CA+AB=10 см+8 см+12 см=30 см. Площадь находим по формуле Герона, подставляя в нее уже известные значения, учитывая, что p=0,5Р; p=15 см. S=√(p·(p—a)·(p—b)·(p—c))=√(15·(15—10)·(15—8)·(15—12))=√15·5·7·3=√1575=39,686269666 см 2 .

Рассмотрим пример, когда известны два катета прямоугольного треугольника. Допустим, они имеют значения два и четыре метра. Тогда гипотенуза будет равна корню квадратному из суммы квадратов катетов √2 2 +4 2 =4,472135955 м. Периметр 2+4+4,472135955=10,472135955. Площадь равна половине произведения катетов S=2·4=8м 2 .

что такое площадь и периметр треугольника

Когда известны две стороны и угол между ними, остается найти только третью сторону по теореме косинусов. Пусть известные стороны составляют значения 16 и 28 метров, а угол между ними будет в 60 градусов, тогда третья сторона будет равна корню квадратному из этого выражения 16 2 +28 2 — 2·16·28·0,5, что составит значение в 24,3310501212 м. Периметр равен 16+28+24,3310501212=68,3310501212≈68,33 м. Полупериметр будет 34,165 м. Подставляя полученные значения в формулу Герона, найдем площадь S=√(34,165·(34,165—16)·(34,165—28)·(34,165—24,33))=193,982314238 м 2 .

Если известно три параметра любого треугольника — два угла и сторона или две стороны и угол между ними, то ничего особенно сложного в нахождении неизвестных параметров треугольника — периметра, площади или высоты — нет. Нужно только внимательно производить простые вычисления. Иногда можно проявить и смекалку, разбив фигуру на несколько более простых в вычислении, например, прямоугольных треугольников. В каждом конкретном случае все зависит от исходных данных. Все формулы и вычисления, приведенные выше, верны для плоских фигур; для расположенных на сферической поверхности ход вычислений будет иным.

Видео:Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!Скачать

Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!

Видео

Это видео поможет вам закрепить полученные знания.

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

Формулы треугольника

Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Формулы площади треугольника

Площадь геометрической фигуры — часть поверхности, ограниченная замкнутым контуром данной фигуры. Величина площади выражается числом заключающихся в него квадратных единиц.

что такое площадь и периметр треугольника

S — площадь треугольника

a, b — длины 2-х сторон треугольника

С — угол между сторонами a и b

что такое площадь и периметр треугольника

S — площадь треугольника

a — длина стороны треугольника

h — длина высоты, опущенной на сторону a

что такое площадь и периметр треугольника

S — площадь треугольника

a, b, c — длины 3-х сторон треугольника

p — полупериметр треугольника

что такое площадь и периметр треугольника

S — площадь треугольника

r — радиус вписанной окружности

p — полупериметр треугольника

что такое площадь и периметр треугольника

S — площадь треугольника

a, b, c — длины 3-х сторон треугольника

R — радиус описанной окружности

Формула периметра треугольника

Периметр геометрической фигуры — суммарная длина границ плоской геометрической фигуры. Периметр имеет ту же размерность величин, что и длина.

1) Периметр треугольника равен сумме 3-ех его сторон (a, b, c).

что такое площадь и периметр треугольника

что такое площадь и периметр треугольника

P — периметр треугольника

a, b, c — длины сторон треугольника

🎬 Видео

Как вычислить периметр #геометрия #задача #треугольник #периметрСкачать

Как вычислить периметр #геометрия #задача #треугольник #периметр

Как найти площадь и периметр прямоугольника?Скачать

Как найти площадь и периметр прямоугольника?

Как различать периметр и площадь?Скачать

Как различать периметр и площадь?

Математика 3 класс (Урок№22 - Площадь прямоугольника.)Скачать

Математика 3 класс (Урок№22 - Площадь прямоугольника.)

Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать

Запомни: все формулы для площади треугольника

Периметр прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника?Скачать

Периметр прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника?

Площадь равностороннего треугольника #егэ #математика #геометрия #треугольникСкачать

Площадь равностороннего треугольника #егэ #математика #геометрия #треугольник

Как найти периметр?Скачать

Как найти периметр?

№ 5.6. Периметр и площадь квадрата (дополнение)Скачать

№ 5.6. Периметр и площадь квадрата (дополнение)

Как различать периметр и площадь?Скачать

Как различать периметр и площадь?

Математика 2 класс. «Периметр треугольника, прямоугольника и квадрата»Скачать

Математика 2 класс. «Периметр треугольника, прямоугольника и квадрата»
Поделиться или сохранить к себе: