четыре одинаковые пластины площадью s (7 видео)

Содержание

Четыре одинаковые пластины площадью s
29.1 Электроемкость. Конденсаторы: задачи без решений с ответами
§ 1.28. Примеры решения задач
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Упражнение 4
📹 Видео

Видео:пластины замыкают гор 2018Скачать

Четыре одинаковые пластины площадью s

2018-05-14
Четыре одинаковые металлические пластины расположены в воздухе на одинаковом расстоянии $d$ друг от друга. Площадь каждой пластины равна $S$. Найти емкость системы между точками А я В, если пластины соединены так, как показано:
а) на рис. а; б) на рис. б.

(a) В данном случае мы имеем три конденсаторы с одинаковой емкостью $C = frac< epsilon_S >$ и первая и третья пластины имеют одинаковый потенциал.

Следовательно, мы можем рассматривать систему в простой форме, используя последовательное и параллельное соединение конденсаторов, как показано на рисунке.

Таким образом, эквивалентная емкость

(б) Мы мысленно помещаем заряды $+ q$ и $-q$ на пластины 1 и 2, а затем распределяем их на другие пластины с использованием закона сохранения заряда и электрической индукции. (Рис.)

Поскольку разность потенциалов между пластинами 1 и 2 равна нулю,

Видео:четыре одинаковых пластины и две закороченыСкачать

29.1 Электроемкость. Конденсаторы: задачи без решений с ответами

(Все задачи по электростатике и ответы к ним находятся в zip-архиве (347 кб), который можно скачать и открыть на своем компьютере. Попробуйте решить задачи самостоятельно и только потом сравнивать свои ответы с нашими. Желаем успехов!)

29.1. Найти емкость уединенного проводящего шара радиусом R. [смотрите ответ в общем файле]

29.2. Сферический конденсатор состоит из двух концентрических сферических поверхностей радиусами R₁ и R₂, между которыми находится диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε. Определить емкость конденсатора. [смотрите ответ в общем файле]

29.3. Найти емкость конденсатора, состоящего из двух шаров радиусом r, находящихся в диэлектрике с проницаемостью ε на расстоянии R >> r друг от друга. [смотрите ответ в общем файле]

29.4. Найти емкость проводящего шара радиусом r = 100 мм, окруженного слоем диэлектрика с проницаемостью ε = 6 и внешним радиусом R = 200 мм. Диэлектрик вплотную прилегает к шару. [1.9 пФ]

29.5. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектрика с проницаемостями ε₁ и ε₂ толщиной d₁ и d₂ соответственно (рис.). Какова емкость такого конденсатора, если площадь пластин равна S. [смотрите ответ в общем файле]

29.6. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектрика как показано на рисунке. Высота слоев равна a₁ и a₂, а их диэлектрическая проницаемость ε₁ и ε₂ соответственно. Найти емкость такого конденсатора. Площадь пластин конденсатора равна S, а расстояние между ними d. [смотрите ответ в общем файле]

29.7. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора равна S, расстояние между ними d. Между пластинами параллельно им вставили третью металлическую пластину толщиной a и площадью S (рис.). Найти емкость получившегося конденсатора. [смотрите ответ в общем файле]

29.8. Два проводника емкостью C₁ и C₂ удалены друг от друга на очень большое расстояние. Какова емкость конденсатора, образованного этими проводниками? [смотрите ответ в общем файле]

29.9. Два проводника емкостью C₁ и C₂, заряженные до потенциалов φ₁ и φ₂, находятся на большом расстоянии друг от друга. Каким будет потенциал проводников, если соединить их тонкой проволокой? [смотрите ответ в общем файле]

29.10. Два проводника, заряженные одинаковым зарядом, имеют потенциалы φ₁ = 40 В и φ₂ = 60 В. Проводники находятся на большом расстоянии друг от друга. Каким будет потенциал проводников, если соединить их тонкой проволокой? [48 В]

29.11. Два проводника находятся на большом расстоянии друг от друга. Первый, емкостью C₁ = 10 −5 мкФ, заряжен до потенциала φ₁ = 6 кВ, а второй, емкостью C₂ = 2×10 −5 мкФ — до φ₂ = 12 кВ. Какое количество теплоты выделится, если соединить проводники тонкой проволокой? [12×10 −5 Дж]

29.12. Два одинаковых шара находятся на большом расстоянии друг от друга. Поле первого шара имеет энергию W₁ = 16×10 −4 Дж, а второго — W₂ = 36×10 −4 Дж. Какое количество теплоты выделится при соединении этих шаров тонкой проволокой? [2×10 −4 Дж]

29.13. Между пластинами плоского конденсатора находится пластина диэлектрика с проницаемостью ε. Емкость конденсатора C, его заряд q. Какую работу надо совершить, чтобы вытащить пластину из конденсатора? Трения нет, конденсатор отключен от источника напряжения. [смотрите ответ в общем файле]

29.14. Решить предыдущую задачу в предположении, что конденсатор от источника напряжения не отключен. [смотрите ответ в общем файле]

29.15. Емкость плоского конденсатора равна C. Одна его пластина имеет заряд q, а другая не заряжена. Найти разность потенциалов между пластинами. [смотрите ответ в общем файле]

29.16. Как изменится сила притяжения пластин плоского воздушного заряженного конденсатора, если расстояние между пластинами увеличить в 3 раза? Рассмотреть случаи: а) конденсатор отключен; б) конденсатор не отключен от источника напряжения. [смотрите ответ в общем файле]

29.17. Одну пластину незаряженного конденсатора емкостью C заземляют, а другую присоединяют длинным проводом к удаленному металлическому шару радиусом r, имеющему заряд q_o. Какой заряд останется на шаре? [смотрите ответ в общем файле]

29.18. Одну пластину конденсатора емкостью C соединяют с удаленным незаряженным металлическим шаром радиусом R, а другую — с удаленным металлическим шаром радиусом r, заряженным зарядом q_o. Какой заряд окажется на первом шаре? [смотрите ответ в общем файле]

29.19. Плоский воздушный конденсатор емкостью C, состоящий из двух металлических пластин массой m каждая, заряжен до напряжения U. Одну из пластин конденсатора отпускают. Какую скорость она приобретет к моменту, когда расстояние между пластинами уменьшится вдвое? Трения нет, силу тяжести не учитывать, конденсатор отключен от источника напряжения. [смотрите ответ в общем файле]

29.20. Решить предыдущую задачу в предположении, что конденсатор от источника напряжения не отключен. [смотрите ответ в общем файле]

29.21. В плоский конденсатор с размерами пластин a × b вдвигают параллельно стороне a с постоянной скоростью v диэлектрик толщиной d, равной расстоянию между пластинами конденсатора. Конденсатор подключен к источнику напряжения U. Определить силу тока в цепи. Диэлектрическая проницаемость диэлектрика равна ε. [смотрите ответ в общем файле]

29.22. С какой силой втягивается диэлектрическая пластина в плоский конденсатор, заряженный зарядом q? Диэлектрическая проницаемость пластины ε, ее толщина d равна расстоянию между пластинами конденсатора, размеры всех трех пластин a × b, пластина вдвинута в конденсатор на величину x (рис.). Силы трения нет. [смотрите ответ в общем файле]

29.23. Три одинаковые параллельные пластины площадью S расположены на одинаковом расстоянии d друг от друга. Крайние пластины объединены (рис.). Определить емкость этой системы. [смотрите ответ в общем файле]

29.24. Между замкнутыми пластинами плоского конденсатора находится металлическая пластина с зарядом q. Размеры всех трех пластин одинаковы и все они параллельны. Внутреннюю пластину переместили параллельно самой себе на расстояние x (рис.). Какой заряд прошел по проводу замыкания? Расстояние между пластинами конденсатора равно d. [смотрите ответ в общем файле]

29.25. Четыре одинаковые металлические пластаны площадью S = 220 см 2 расположены на расстоянии d = 1 мм друг от друга и соединены как показано на рис. Найти емкость такой системы. [≅ 0.29 нФ]

29.26. Одна из пластин плоского конденсатора неподвижна, а вторая может двигаться, но связана с неподвижной стенкой пружиной жесткости k (рис.). Площадь пластин S, расстояние между ними в отсутствии напряжения равно d. Какое максимальное напряжение можно подать на конденсатор? Силу тяжести не учитывать. [смотрите ответ в общем файле]

29.27. Конденсатор емкостью C₁ = 1 мкФ выдерживает напряжение не более U₁ = 6 кВ, а конденсатор емкостью C₂ = 2 мкФ — не более U₂ = 4 кВ. Какое максимальное напряжение можно подать на систему из этих двух конденсаторов, соединенных последовательно? [9 кВ]

29.28. В некоторой цепи имеется участок, показанный на рис. Потенциалы точек 1, 2 и 3 равны φ₁, φ₂ и φ₃ соответственно. Определить потенциал точки O. [смотрите ответ в общем файле]

29.29. Определить емкость системы конденсаторов (рис.). [смотрите ответ в общем файле]

29.30. Определить емкость бесконечной цепи конденсаторов (рис.). [смотрите ответ в общем файле]

29.31. Определить емкость системы конденсаторов (рис.). [смотрите ответ в общем файле]

29.32. Два одинаковых воздушных конденсатора емкостью C соединены параллельно и заряжены до напряжения U. Какую работу необходимо совершить, чтобы раздвинуть пластины одного из конденсаторов на расстояние вдвое большее? Конденсаторы отключены от источника напряжения.

29.33. Решить предыдущую задачу в предположении, что конденсаторы не отключены от источника напряжения. [смотрите ответ в общем файле]

29.34. В участке цепи, представленном на рис.: C₁ = 1мкФ, C₂ = 2мкФ, Ε = 10 В, φ_A − φ_B = 5 В. Найти напряжение на каждом конденсаторе. [10 В; 5 В]

29.35. В участке цепи, представленном на рис.: C₁ = 20 мкФ, C₂ = 30 мкФ, C₃ = 60 мкФ, Ε₁ = 1 В, Ε₂ = 2 В, φ_A − φ_B = 3 В. Найти напряжение на конденсаторах. [смотрите ответ в общем файле]

Видео:Математика 4 Оценка площади Приближенное вычисление площадейСкачать

§ 1.28. Примеры решения задач

Электрическая емкость — последняя тема главы «Электростатика». При решении задач на эту тему могут потребоваться все сведения, полученные при изучении электростатики: сохранение электрического заряда, понятия напряженности поля и потенциала, поведение проводников в электростатическом поле, изменение напряженности поля в диэлектриках, закон сохранения энергии применительно к электростатическим явлениям. Только при хорошем усвоении всех основных понятий электростатики решение задач на электрическую емкость не вызовет особых затруднений.

Основными формулами при решении задач на емкость являются следующие: формула (1.24.2) — определение емкости, формула (1.24.3) — емкость уединенного шара, выражения для емкости плоского конденсатора (1.25.3) и сферического конденсатора (1.25.7), а также формулы для определения емкости батареи конденсаторов при последовательном и параллельном их соединении (1.26.4) и (1.26.2).

Надо знать еще формулы (1.27.3) и (1.27.9) для энергии заряженного конденсатора и заряженного уединенного тела.

Задача 1

Два одинаковых металлических шарика радиусом г расположены в вакууме на расстоянии d друг от друга, причем d >> r. Шарики заряжены одинаковыми по модулю и противоположными по знаку зарядами. Какова электрическая емкость системы, образованной шариками?

Решение. Искомая емкость равна отношению заряда q одного из шариков к разности потенциалов между ними:

Найдем U. Потенциал φ₁ первого шарика, несущего заряд +q, складывается из его собственного потенциала и потенциала в поле второго шарика, равного —: (см. задачу 16 § 1.23).

Аналогично потенциал второго шарика

Отсюда разность потенциалов

Поскольку d >> r, то с большой степенью точности можно считать, что

Задача 2

Найдите емкость С конденсатора, площадь пластин которого S и расстояние между ними l, если в конденсатор вставлена металлическая пластина толщиной d, параллельная его обкладкам (рис. 1.107).

Решение. Конденсатор со вставленной в него пластиной можно рассматривать как два последовательно соединенных конденсатора. Емкость первого из них , где х — расстояние от одной из обкладок до пластины. Емкость второго конденсатора . При последовательном соединении электрическая емкость батареи определяется уравнением:

Емкость не зависит от положения пластины. При очень тонкой пластине (d ⇒ 0) емкость конденсатора не зависит от наличия пластины.

Задача 3

В плоский конденсатор с расстоянием d между обкладками вводится диэлектрическая пластина, толщина которой d₁ W_k1. Определите количество теплоты, выделившееся в проводнике при соединении шариков, и выясните, за счет какой энергии выделяется эта теплота и увеличивается кинетическая энергия второго шарика.

Решение. Согласно закрну сохранения энергии в первом случае

где W_k01 и W_p01 + W_0c — начальные, a W_k1 и W_p1 + W_1c — конечные значения кинетической и потенциальной энергий системы двух шариков. Причем W_p01 и W_1c, — потенциальные энергии взаимодействия шариков, а W_0c и W_1c — их суммарные собственные энергии, одинаковые по модулю. Считая потенциальную энергию взаимодействия при бесконечно большом расстоянии между шариками равной нулю и учитывая, что W_k01 = 0, получим:

После соединения проводником заряды шариков становят-ся одинаковыми и равными . Начальная потенциальная энергия шариков изменяется. Кинетическая энергия второго шарика на бесконечности теперь равна:

Нетрудно видеть, что действительно W_k2 > W_k1. Кроме того, в проводнике выделяется количество теплоты Q. Однако, разумеется, полная энергия должна сохраняться. Увеличение кинетической энергии и выделение теплоты во втором случае происходит за счет уменьшения собственной потенциальной энергии заряженных шариков при их соединении.

С учетом собственной энергии шариков конечную энергию в первом случае можно представить в виде

— собственная энергия шариков. Конечную энергию во втором случае запишем так:

Количество выделенной теплоты равно:

Упражнение 4

1. Пластины заряженного конденсатора попеременно заземляются. Будет ли при этом конденсатор разряжаться?

2. Плоский конденсатор, расстояние между обкладками которого d₁ = 10 мм, зарядили до разности потенциалов U₁ = 100 В, а затем отключили от сети. Определите разность потенциалов U₂ между обкладками конденсатора, если их раздвинули до расстояния d₂ = 20 мм.

3. Определите емкость конденсатора, площадь пластин которого равна S, а расстояние между пластинами d, если пластины погружены вертикально в жидкий диэлектрик до середины. Диэлектрическая проницаемость диэлектрика равна е.

4. В конденсатор емкостью C₀ внесли диэлектрическую пластинку с диэлектрической проницаемостью ε = 2. Пластинку расположили так, как указано на рисунке 1.114. Определите, во сколько раз изменилась емкость конденсатора при внесении в него пластинки. Площадь пластинки в 2 раза меньше площади обкладки конденсатора, а ее толщина в 2 раза меньше расстояния между обкладками.

5. Плоский конденсатор, пространство между пластинами которого заполнено керосином (ε = 2), расположен вертикально, заряжен и отключен от источника напряжения. Напряженность электрического поля при этом в керосине Е = 20 кВ/см. Из-за дефекта в корпусе конденсатора керосин начинает вытекать, а его место занимает воздух. Предельная напряженность электрического поля в воздухе, при которой наступает электрический пробой (разряд), Е_пр = 30 кВ/см. Какая доля δ керосина вытечет из конденсатора к моменту пробоя конденсатора?

6. Оцените приближенно электрическую емкость тела человека.

7. Найдите емкость металлического шара радиусом r, окруженного прилегающим концентрическим слоем диэлектрика с внешним радиусом R и диэлектрической проницаемостью ε.

8. К пластинам плоского конденсатора, находящимся на расстоянии d = 1 см друг от друга, приложена разность потенциалов U = 300 В. В пространство между пластинами помещается плоскопараллельная пластина из стекла толщиной d₁ = 0,3 см и плоскопараллельная пластина из парафина толщиной d₂ = 0,7 см. Найдите напряжения между поверхностями стеклянной и парафиновой пластин. Диэлектрические проницаемости стекла и парафина соответственно равны ε₁ = б и ε₂ = 2,6.

9. Определите емкость конденсатора с трехслойным диэлектриком, диэлектрические проницаемости слоев равны ε₁, ε₂, ε₁ (рис. 1.115). Толщина каждого диэлектрика (слоя) равна d. Площадь пластин S.

10. Четыре одинаковые металлические пластины расположены в воздухе на равных расстояниях d друг от друга (d мало по сравнению с размерами пластин). Площадь каждой из пластин равна S. Пластина 1 соединена проводником с пластиной 3, а от пластин 2 и 4 сделаны выводы (рис. 1.116). Определите емкость С такого конденсатора.

11. Определите емкость С батареи конденсаторов, схематически изображенной на рисунке 1.117. У каждого конденсатора указано значение его емкости, выраженное в микрофарадах.

12. Из проволоки сделан куб, в каждое ребро которого включено по одному конденсатору емкостью С (рис. 1.118). Найдите емкость получившейся батареи конденсаторов, если она включается в цепь проводниками, присоединенными к вершинам А и В куба.

13. Имеется N точек в пространстве. Между каждой парой точек включен конденсатор емкостью С. Найдите емкость образовавшейся батареи конденсаторов, если она включается в цепь выводами, присоединенными к двум произвольным точкам.

14. Плоский конденсатор емкостью С = 15 пФ зарядили до разности потенциалов U = 100 В, затем отключили от источника и погрузили полностью в жидкий диэлектрик (ε = 1,5). Определите изменение энергии конденсатора ΔW_p.

15. Три конденсатора емкостью С = 1 мкФ каждый соединены последовательно. Конденсаторы зарядили и отключили от источника. Заряд этой батареи q = 10 -4 Кл. Затем пространство между обкладками одного из конденсаторов заполнили диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε = 2. Найдите энергию, запасенную в электрическом поле этих конденсаторов, и напряжение на зажимах батареи после заполнения диэлектриком одного из конденсаторов.

16. Энергия заряженного плоского конденсатора, заполненного диэлектриком, равна W_p = 2 • 10 -5 Дж. После отключения конденсатора от источника напряжения диэлектрик из конденсатора вынули, совершив при этом работу А = 7 • 10 -5 Дж. Найдите диэлектрическую проницаемость диэлектрика.

17. Сделаем в пластинах плоского конденсатора два малых отверстия — одно напротив другого. Пусть через одно из отверстий в заряженный конденсатор влетает с небольшой начальной скоростью частица так, чтобы электрическое поле конденсатора ускоряло ее (рис. 1.119).

Пролетев через конденсатор, частица вылетает из другого отверстия, приобретая дополнительную энергию ΔW_p = qU, где q — заряд частицы, а U — разность потенциалов на пластинах конденсатора. Теперь с помощью магнитного поля направление движения частицы изменяется таким образом, чтобы она снова влетела через первое отверстие в конденсатор (см. рис. 1.119). (В главе 4 вы узнаете, что сила, действующая со стороны магнитного поля на движущуюся заряженную частицу, не совершает работы.) При повторном пролете через конденсатор частица вновь приобретает дополнительную энергию ΔW_p, в следующем цикле — еще ΔW_p и т. д. Получается циклический ускоритель, который не нуждается в источнике энергии! Где ошибка в приведенных рассуждениях?

18. Два конденсатора емкостью С₁ и C₂ заряжены до разности потенциалов U₁ и U₂ (U₁ ≠ U₂). Докажите, что при параллельном соединении этих конденсаторов их общая энергия уменьшается. Объясните, почему происходит уменьшение энергии.

19. Две прямоугольные пластины длиной l и площадью S расположены параллельно друг другу на расстоянии d (плоский конденсатор). Пластины заряжены до разности потенциалов U. В пространство между пластинами втягивается диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε. Толщина диэлектрика равна d, его ширина равна ширине пластин, а длина больше l (рис. 1.120). Трение отсутствует. Найдите зависимость силы, действующей на диэлектрик со стороны поля, от расстояния х.

20. Решите задачу 19 при условии, что разность потенциалов между пластинами поддерживается постоянной и равной U.

Мы потратили довольно много времени на изучение электричества, а рассмотрели лишь простейший частный случай неподвижных заряженных тел — электростатику. Может быть, не стоило уделять электростатике такое больпюе внимание? Нет, стоило! Мы ввели важнейшие понятия, используемые во всей электродинамике: «электрический заряд», «электрическое поле», «потенциал» и «разность потенциалов», «электрическая емкость», «энергия электрического поля». На простом частном случае выяснить суть этих фундаментальных понятий не так трудно, как в общем случае движущихся зарядов.

Теперь перейдем к изучению электромагнитных процессов, наблюдаемых при движении заряженных частиц.