чему равна площадь сектора формула

Видео:Площадь сектораСкачать

Нахождение площади сектора круга

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь сектора круга, а также разберем примеры решения задач для демонстрации их практического применения.

Видео:Площадь сектора и сегмента. 9 класс.Скачать

Определение сектора круга

Сектор круга – это часть круга, образованная двумя его радиусами и дугой между ними. На рисунке ниже сектор закрашен зеленым цветом.

• AB – дуга сектора;
• R (или r) – радиус круга;
• α – это угол сектора, т.е. угол между двумя радиусами. Также его иногда называют центральным углом.

Видео:Лайфхаки ОГЭ — площадь сектора #огэ #математикаСкачать

Формулы нахождения площади сектора круга

Через длину дуги и радиус круга

Площадь (S) сектора круга равняется одной второй произведения длины дуги сектора (L) и радиуса круга (r).

Через угол сектора (в градусах) и радиус круга

Площадь (S) сектора круга равняется площади круга, умноженной на угол сектора в градусах ( α°) и деленной на 360°.

Через угол сектора (в радианах) и радиус круга

Площадь (S) сектора круга равняется половине произведения угла сектора в радианах (a_рад) и квадрата радиуса круга.

Видео:№1127. Площадь сектора с центральным углом 72° равна S. Найдите радиус сектора.Скачать

Примеры задач

Задание 1
Дан круг радиусом 6 см. Найдите площадь сектора, если известно, что длина его дуги составляет 15 см.

Решение
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее заданные значения:

Задание 2
Найдите угол сектора, если известно, что его площадь равна 78 см 2 , а радиус круга – 8 см.

Решение
Выведем формулу для нахождения центрального угла из второй формулы, рассмотренной выше:

Видео:9 класс, 28 урок, Площадь кругового сектораСкачать

Площадь сектора круга.

Сектор круга — пересечение круга и некоторого его центрального угла, то есть часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами.

Площадь сектора круга равна произведению его дуги на половину радиуса.

Пусть дуга AB сектора AOB содержит n°.Очевидно, что площадь сектора, дуга которого содержит 1°, равна πR 2 /360:

Следовательно, площадь S сектора, дуга которого содержит n°, равна:

.

Поскольку πRn/180 выражает длину дуги AB, то обозначив ее через s, получим:

.

Вычислить площадь сегмента, зная радиус круга и число градусов, заключающееся в дуге сегмента.

Чтобы получить площадь сегмента ASB, достаточно из площади сектора AOB вычесть площадь треугольника AOB.

Проведя AС ⊥ OB будем иметь: площадь сектора = 1 /₂ Rs площадь треугольника = 1 /₂ OB . AС = 1 /₂ R . AС.

Следовательно, площадь сегмента S = 1 /₂ R( s — AС).

Таким образом, вопрос сводится к вычислению высоты AС. Геометрически ее можно вычислить только в некоторых частных случаях следующим способом. Продолжив AС до пересечения с окружностью в точке D, мы увидим, что AС = СD и ∪AB = ∪BD. Значит, AС есть половина хорды, стягивающей дугу, вдвое большую дуги сегмента.

Отсюда заключаем, что если хорда, стягивающая двойную дугу, будет стороной такого правильного вписанного многоугольника, для которого мы знаем формулу его стороны, то высота AС определится геометрически.

Например, пусть дуга сегмента содержит 60°. Тогда AD есть сторона правильного вписанного треугольника. Значит, AС = 1/2R√3.

Дуга AB в этом случае равна 1 /₆ окружности, т.е. 1 /₃ πR.

Поэтому: площадь сегмента равна:

.

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Площадь сектора круга — формулы и примеры расчетов

Выполняя инженерные расчёты при проектировании различных объектов строительства, создании роботов, автоматизированных систем, станков, машин, самолётов, ракет, современных средств вооружения часто бывает необходимо найти площадь сектора круга.

Геометрия помогает при этом решать задачи на нахождение центра тяжести (центр масс), вычислять его координаты для плоских пластин, имеющих, в частности, форму правильного многоугольника.

Измерять и вычислять величины считается базовым умением. Оно включено в первую часть профильной программы выпускного экзамена ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Видео:2199 Найдите площадь сектора Круга радиуса 24 длина дуги которого равна 3Скачать

Сектор круга

Существует несколько определений, каждое из которых отличается только формулировкой, не меняющей подход к рассмотрению понятия:

Часть плоскости, ограниченная центральным углом и соответствующей дугой окружности.

Часть круга, заключённая между двумя радиусами.

Часто эту формулировку заменяют похожей, описывающей построение непосредственно: часть круга, лежащего внутри соответствующего центрального угла.

Видео:Площадь круга. Математика 6 класс.Скачать

Площадь сектора круга через радиус и длину дуги

Пусть известны радиус круга R, длина дуги l. Как в этом случае определить площадь сектора, стягиваемого данной дугой?

Для ответа на вопрос понадобится формула нахождения длины окружности:

Определение, представленное через третью формулировку, даёт возможность соотнести численные величины понятий: сектор и круг, дуга и окружность, центральный и полный углы.

Поскольку отношения постоянны, то для ответа на поставленный вопрос достаточно найти отношение части к целому, затем умножить полученный результат на площадь круга S = πR 2 .

После сокращения дроби получают формулу:

Видео:ЕГЭ 2017 | Задание 3 | Площадь сектора круга ... ✘ Школа ПифагораСкачать

Примеры решения задач

Задача №1

Найти площадь сектора круга радиусом 2 см, имеющего длину дуги 4 см.

Подставляя имеющиеся величины в формулу, получаем:

S_сект = (4 * 2) / 2 = 4.

Ответ: S_сект = 4 см 2 .

Задача №2

Подставив известные данные в формулу, получим:

Тот же результат получился бы при первоначальной работе в «общем виде»:

Видео:Почему площадь круга равна pi•R²Скачать

Площадь сектора круга через радиус и угол сектора

Если известна градусная мера центрального угла (n°), то, находя отношение её к полному кругу (к 360º), также умножают результат на площадь круга:

Задача №3

Чему равна площадь фигуры, изображённой на рисунке?

Центральный угол изображённого сектора равен

Подставляя в формулу величины, несложно получить искомый результат:

Ответ: S_сект = 27 см 2 .

Также аналогичным образом решаются обратные задачи.

Видео:ПЛОЩАДЬ СЕКТОРА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

Площадь сектора круга через угол сектора в радианах

Пусть центральный угол задан своей радианной мерой. Учитывая, что

несложно получить искомую формулу:

Задача №4

Чему равен центральный угол сектора в радианах (рад.), если его площадь равна 32, а радиус – 4?

Выразив α, затем подставив числовые данные, легко получить результат:

Благодаря этой формуле, несложно доказать, что площади двух секторов с равными центральными углами относятся как квадраты радиусов соответствующих окружностей:

С другой стороны, площадь части кольца находится из условия:

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Сегмент круга

Существует два подхода к определению понятия:

Геометрическая фигура, являющаяся общей частью круга и полуплоскости, называется сегментом круга.

Часть плоскости, заключённая между хордой и окружностью.

Оба определения характеризуют один и тот же объект с разных сторон, выражая, по сути одно и то же.

Иногда проводится описательное построение. В этом случае второй вариант быстрее приводит к данному термину.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№24 - Площадь круга. Площадь кругового сектора.)Скачать

Площадь сегмента круга по хорде и высоте

Пусть градусная мера ограничивающей дуги мала, длина хорды равна a, h — высота сегмента (перпендикуляр, опущенный из точки на окружности к середине хорды). Примечание: часто высота сегмента называется «стрелкой».

Тогда можно приближённо считать, что

Погрешность такого вычисления уменьшается вместе с отношением

В частности, когда дуга содержит угол, меньший 50º, то есть,

погрешность оказывается менее 1%.

Более точной является формула для любого сегмента меньшего полукруга:

Точный расчёт производится, исходя из свойства нахождения сложной фигуры, являющейся суммой или разностью двух и более объектов.

Сегмент является частью сектора, к которому либо добавлен треугольник, содержащий центральный угол (для дуг больших 180º), либо убран (соответствующий центральный угол меньше 180º).

Отсюда следует, что

Задача №5

Вычислить стрелку и площадь сегмента, если центральный угол содержит 60º, а

Для нахождения стрелки достаточно из радиуса вычесть высоту треугольника AOB. Поскольку угол AOB по условию равен 60º, то треугольник AOB равносторонний. Поэтому его высота в √3/2 раз отличается от стороны (от радиуса).

Отсюда следует, что:

Площадь по первой формуле будет приблизительно равна

Применяя точную формулу и учитывая, что

Ответ: S_сегм = 1,26 см 2 .

Видео:Площадь сегментаСкачать

Площадь сегмента круга через синус угла

Рассматривая точную формулу, площадь треугольника можно находить, используя половину произведения сторон на синус угла между ними. А значит:

Многие вычисления помогает провести онлайн калькулятор. Достаточно ввести исходные данные и запросить результат.

🎥 Видео

Площадь сектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

ПЛОЩАДЬ КРУГА. ЛАЙФХАК #math #логика #загадка #математика #геометрияСкачать

Находим площадь сектораСкачать

Площадь сегментаСкачать

Задача B3: площадь сектораСкачать

Длина дуги окружности и площадь сектора кругаСкачать