Видео:Геометрия 10 класс. Подготовка к ЕГЭ. Площадь сечения.Скачать
C2 найдите площадь сечения
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Плоскость 
пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 7. Плоскость 
параллельная плоскости 
касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144.
а) Докажите, что высота этой пирамиды равна диагонали её основания.
б) Найдите площадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ её основания.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 64, и площадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ её основания, тоже равна 64. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM — биссектриса угла SAC.
а) Докажите, что 
.
б) Площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B, равна 
Найдите сторону основания.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S.
а) Докажите, что плоскость сечения делит отрезок DB в отношении 
, считая от вершины D.
б) Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной четырёхугольной призме 
сторона основания равна 
а боковое ребро 
Точка K принадлежит ребру 
и делит его в отношении 
считая от вершины 
Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки 
и 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В прямоугольном параллелепипеде 
известны рёбра 
Точка O принадлежит ребру 
и делит его в отношении 4:5, считая от вершины 
Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки 
и 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Плоскость пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 7. Плоскость параллельная плоскости касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку C и середину ребра MA параллельно прямой BD.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной четырёхугольной призме сторона основания равна 
а боковое ребро 
Точка M принадлежит ребру 
и делит его в отношении 
считая от вершины 
Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки и 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В прямоугольном параллелепипеде известны рёбра 
Точка W принадлежит ребру 
и делит его в отношении 
считая от вершины 
Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки 
и 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Плоскость пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 
Плоскость параллельная плоскости касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 
Найдите площадь сечения большего шара плоскостью
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Плоскость пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 
Плоскость параллельная плоскости касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 
Найдите площадь сечения большего шара плоскостью
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В треугольной пирамиде MABC основанием является правильный треугольник ABC, ребро MB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 
а ребро 
На ребре AC находится точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка 
Известно, что 
и 
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки 
и
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В треугольной пирамиде MABC, в основаниии которой лежит правильный треугольник ABC, ребро MB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 6, а ребро MA равно 11. На ребре AC находится точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка F. Известно, что AD = 4 и BE = 2, F — середина AM. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и F.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 
а боковые рёбра 
На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM — точка Известно, что 
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки 
и
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра 8. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что СD = BE = LM = 2. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В треугольной пирамиде MABC с основанием ABC ребро MA перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро MB равно 5. На ребре AC находится точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = 2 и BE = ML = 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины ребер АВ и ВС и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 4.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны а боковые рёбра равны 
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной четырёхугольной призме сторона основания равна 
а боковое ребро 
Точка K принадлежит ребру и делит его в отношении считая от вершины Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки и
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA = 2, а сторона основания AB = 3. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AB перпендикулярно ребру SC .
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны а боковые рёбра На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM — точка Известно, что 
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки и
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 104, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 120. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ её основания.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM — биссектриса угла SAC. Площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B, равна 
Найдите сторону основания.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 13, а сторона основания равна 12.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M высота равна 9, а боковые рёбра равны 15.
а) Докажите, что сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон AB и BC параллельно прямой MB, является прямоугольником.
б) Найдите площадь этого сечения.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M высота равна 6, а боковые рёбра равны 9.
а) Докажите, что сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон AC и BC параллельно прямой MC, является прямоугольником.
б) Найдите площадь этого сечения.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В прямоугольном параллелепипеде 
известны рёбра: AB = 3, AD = 2, AA1 = 5. Точка O принадлежит ребру BB1 и делит его в отношении 2 : 3, считая от вершины B.
а) Докажите, что сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C1, является ромбом.
б) Найдите площадь этого сечения.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
а) Докажите, что сечение куба плоскостью A1BE − это равнобокая трапеция.
б) Найдите площадь этого сечения, если ребра куба равны 2.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
а) Докажите, что сечение куба плоскостью D1AE есть равнобокая трапеция.
б) Найдите площадь этого сечения, если ребра куба равны 4.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В прямоугольном параллелепипеде известны рёбра: 
Точка O принадлежит ребру и делит его в отношении 
считая от вершины Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки 
и
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 6, боковые рёбра равны 4.
а) Изобразите сечение, проходящее через вершины A, B и середину ребра A1C1, и докажите, что это равнобокая трапеция.
б) Найдите площадь этого сечения.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В прямоугольном параллелепипеде известны рёбра Точка O принадлежит ребру и делит его в отношении 4:5, считая от вершины Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки и
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 8, боковые рёбра равны 
а) Изобразите сечение, проходящее через вершины A, C и середину ребра A1B1, и докажите, что оно является равнобокой трапецией.
б) Найдите площадь этого сечения.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 15, а боковые ребра равны 16.
а) Докажите, что прямые MC и BD перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 8.
а) Докажите, что плоскость, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC, делит ребро MC в отношении 2:1, считая от вершины M.
б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной треугольной призме ABCA’B’C’ стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины A, B и середину ребра A’C’. Найдите его площадь
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 20, а боковое ребро AA1 = 7. Точка M принадлежит ребру A1D1 и делит его в отношении 2 : 3, считая от вершины D1.
а) Докажите, что сечение этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и M, является равнобедренной трапецией.
б) Найдите площадь этой трапеции.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 11, а боковое ребро AA1 = 7. Точка K принадлежит ребру B1C1 и делит его в отношении 8 : 3, считая от вершины B1.
а) Докажите, что сечение этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и K, есть равнобедренная трапеция.
б) Найдите площадь этого сечения.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной треугольной пирамиде SABC провели сечение плоскостью, проходящей через сторону основания AB перпендикулярно ребру SC .
а) Докажите, что площадь этого сечения относится к площади основания так же, как высота пирамиды относится к её боковому ребру.
б) Найдите площадь сечения если боковое ребро SA = 5, а сторона основания AB = 4.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA = 6, а сторона основания AB = 4.
а) Докажите, что объем пирамиды SABC равен произведению ребра SC на площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AB перпендикулярно ребру SC.
б) Найдите площадь этого сечения.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку C и середину ребра MA параллельно прямой BD.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра 10. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = AE = LM = 4.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки E, D и L, проходит еще и через центр основания пирамиды.
б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра 8. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что СD = BE = LM = 2.
а) Докажите, что плоскость EDL содержит центр основания пирамиды.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 8. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5.
а) Докажите, что сечение шара плоскостью есть круг.
б) Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 6. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 4.
а) Докажите, что сечение шара плоскостью есть круг.
б) Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Радиус основания конуса с вершиной P равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки A и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 3.
а) Докажите, что угол 
меньше 
.
б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В треугольной пирамиде MABC основанием является правильный треугольник ABC, ребро MB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро MA = 6. На ребре AC находится точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = AL = 2, и BE = 1.
а) Докажите, что ADE − равносторонний треугольник.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 8, а боковые рёбра 16. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что CD = BE = LM = 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В треугольной пирамиде MABC, в основаниии которой лежит правильный треугольник ABC, ребро MB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 6, а ребро MA равно 11. На ребре AC находится точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка F. Известно, что AD = 4 и BE = 2, F — середина AM.
а) Докажите, что треугольник ADE − равносторонний.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и F.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В треугольной пирамиде MABC с основанием ABC ребро MA перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро MB равно 5. На ребре AC находится точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = 2 и BE = ML = 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через M — середину AB, N — середину BC, и вершину S.
а) Докажите, что прямые MN и SD перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины ребер АВ и ВС и вершину S.
а) Докажите, что указанное сечение делит объем пирамиды в отношении 
.
б) Найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC сторона основания равна 8, а угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM — биссектриса угла SAC. Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Плоскость α перпендикулярна основанию правильной треугольной пирамиды SABC и делит стороны AB и BC основания пополам.
а) Докажите, что плоскость α делит боковое ребро в отношении 1 : 3, считая от вершины S.
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость α разбивает пирамиду.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
а) Докажите, что сечение проходит через середину ребра D1E1.
б) Найдите площадь этого сечения.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной пирамиде SABC точки M и N — середины ребер AB и BC соответственно. На боковом ребре SA отмечена точка K, SK : KA = 1 : 3. Сечение пирамиды плоскостью MNK является четырехугольником, диагонали которого пересекаются в точке Q.
а) Докажите, что точка Q лежит на высоте пирамиды.
б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если известно, что сторона основания равна 2, а высота пирамиды равна 4.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Основанием четырехугольной пирамиды SABCD с равными боковыми ребрами является прямоугольник ABCD, площадь которого равна 25. Плоскость, параллельная плоскости основания, пересекает ребро AS в точке A1, а высоту пирамиды — в середине О. Угол между гранями ADS и BCS равен 60°.
а) Докажите, что сечение пирамиды OABCD плоскостью BCA1 делит ее высоту в отношении 1 : 2, считая от вершины.
б) Найдите площадь сечения пирамиды OABCD плоскостью BCA1.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 на боковом ребре BB1 взята точка M так, что BM : MB1 = 2 : 5. Плоскость α проходит через точки M и D и параллельна прямой A1C1. Плоскость α пересекает ребро CC1 в точке Q.
а) Докажите, что ребро CC1 делится точкой Q в отношении 1 : 6.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если CD = 12, AA = 14.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В основании пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной 2. Боковое ребро SA перпендикулярно основанию и равно 1. Точка F — середина AB.
а) Докажите, что угол между прямыми SF и AC равен .
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку F параллельно прямым BD и SС.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат ABCD со стороной 1, боковое ребро равно 2. Плоскость сечения проходит через середины ребер AD и CC1 параллельно диагонали B1D.
а) Докажите, что плоскость сечения делит ребро BB1 в отношении 1 : 5, считая от точки B1.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания параллелепипеда.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 AB = 4, 
На ребрах AB и B1C1 оснований взяты соответственно точки M и N так, что BM : AB = B1N : B1C1 = 1 : 4. Через середину P бокового ребра BB1 проведено сечение призмы, перпендикулярное прямой MN.
а) Докажите, что плоскость сечения делит ребро АА1в отношении 5:1, считая от вершины A.
б) Найдите площадь сечения.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным 6, точки M и N — середины ребер АВ и CD.
а) Докажите, что угол между прямыми MN и BC равен 45°;
б) Найдите расстояние между прямыми MN и AD.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S через сторону основания АВ проведена плоскость, делящая боковые ребра противоположной грани пополам.
а) Докажите, что плоскость сечения делит грань SCD на части, площади которых относятся как
б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если сторона основания равна 1, а высота пирамиды равна 
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Дана правильная призма АВСА1В1С1, у которой сторона основания АВ = 4, а боковое ребро АА1 = 9, Точка М — середина ребра АС, а на ребре АА1 взята точка Т так, что АТ = 3.
а) Докажите, что плоскость ВВ1М делит отрезок С1Т пополам.
б) Плоскость ВТС1 делит отрезок МВ1 на две части. Найти длину большей из них.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Видео:✓ Площадь сечения | ЕГЭ-2018. Задание 13. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать
C2 найдите площадь сечения
Задание C2 (ЕГЭ 2013, Сибирь)
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 20, а боковое ребро AA1 = 7. Точка M принадлежит ребру A1D1 и делит его в отношении 2:3 , считая от вершины D1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D, M.
Ответ: 
Задание C2 (ЕГЭ 2013, Дальний Восток)
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра AB = 8, AD = 7, AA1 = 5. Точка W принадлежит ребру DD1 и делит его в отношении 1:4, считая от вершины D. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки C, W и A1.
Ответ: 
.
Задание С2 (Семенов, Ященко, Высоцкий, ЕГЭ по математике 2014)
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все ребра которой равны 6, точка M — середина ребра BC, точка O — центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Найдите угол между плоскостью MCF и плоскостью ABC.
Ответ: 
Задание С2 (Семенов, Ященко, Высоцкий, ЕГЭ по математике 2014)
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 4, точка N — середина ребра AC, точка O — центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины пирамиды. Найдите расстояние от точки B до прямой NP.
Задание С2 (Семенов, Ященко, ЕГЭ по математике 2013)
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB и A1C.
Ответ: 
Задание С2 (Семенов, Ященко, ЕГЭ по математике 2013)
Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания ABC. Найдите расстояние от вершины A до плоскости, проходящей через середины ребер AB, AC и AD, если 
Видео:C2. Найти площадь сечения пирамиды плоскостьюСкачать
Задания по теме «Площадь сечения»
Открытый банк заданий по теме площадь сечения. Задания C2 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Видео:Площадь сеченияСкачать
Задание №1186
Условие
В правильном тетраэдре DABC с ребром 5 на рёбрах AD , BD и AC выбраны точки K , L и M соответственно так, что KD=MC=2, LD=4.
а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью KLM .
б) Найдите площадь этого сечения.
Решение
а) Так как AK=AM=5-2=3, то triangle AKM равнобедренный.
.png)
Так как в этом равнобедренном треугольнике angle KAM=60^, то он равносторонний, то есть
KM=3. Тогда KM parallel DC, так как равны соответственные углы при прямых KM , DC и секущей AD .
Построим LN parallel DC. Так как в этом случае LN parallel KM, то точки K , L , N и M лежат в одной плоскости, то есть трапеция KLNM есть искомое сечение.
б) 1. triangle BLN sim triangle BDC, так как LN parallel DC. Следовательно, triangle BLN является равносторонним и LN=BN=BL =BD-LD=5-4=1.
2. triangle DKL=triangle CMN, так как DK=CM =2, DL=CN=4 и angle KDL=angle MCN=60^. Значит, KL=MN и KMNL — равнобедренная трапеция.
Опустим в ней высоту LH . Отсюда, KH =frac2=frac2=1.
3. По теореме косинусов для triangle KDL получим:
KL^2= KD^2+DL^2-2cdot KDcdot DLcdot cos 60^= 2^2+4^2-2cdot 2cdot 4cdot frac12= 12.
4. По теореме Пифагора LH= sqrt = sqrt = sqrt .
5. S_= frac12(KM+LN)cdot LH= frac12(3+1)cdot sqrt = 2sqrt .
Ответ
Видео:Подготовка к ЕГЭ. Математика. С2. Площадь сеченияСкачать
Задание №1185
Условие
В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 сторона основания равна 9 , боковое ребро равно 14 . Точка K принадлежит ребру A_1B_1 и делит его в отношении 2:7, считая от вершины A_1.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью, проходящей через точки A , C и K , является равнобедренной трапецией.
б) Найдите площадь этого сечения.
Решение
а) Плоскость сечения пересекает плоскость верхнего основания по прямой, проходя-щей через точку K и параллельной AC (по свойству параллельности плоскостей). Тогда плоскость AKC пересекает ребро B_1C_1 в точке L так, что KL parallel AC. Следовательно, искомым сечением будет трапеция AKLC .
KB_1parallel AB, B_1Lparallel BC, KLparallel AC. Значит, треугольники KB_1L и ABC подобны и являются равнобедренными прямоугольными треугольниками. Тогда KB_1=B_1L и A_1K=C_1L. Треугольники AA_1K и CC_1L равны, следовательно, AK=CL и трапеция AKLC — равнобедренная.
б) Найдём площадь трапеции AKLC .
A_1K=frac29A_1B_1 =frac29cdot 9=2.
Из triangle AA_1K,, AK = sqrt = sqrt = 10sqrt 2.
AC=ABsqrt 2=9sqrt 2; KL =frac79AC=frac79cdot 9sqrt 2=7sqrt 2.
Так как трапеция AKLC — равнобедренная, имеем
Из triangle AKH,, KH= sqrt = sqrt = sqrt .
S_=frac2cdot KH,= 8sqrt 2cdot sqrt =48sqrt .
Ответ
Видео:Площадь сечения. Задание С2Скачать
Задание №1180
Условие
В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1 B_1C_1 D_1 сторона основания равна 7 , а боковое ребро — 12 . На рёбрах A_1D_1, C_1D_1 и CB взяты точки F, К, L соответственно так, что A_1F=C_1K=CL=3.
а) Пусть P — точка пересечения плоскости FKL с ребром AB . Докажите, что FKLP — прямоугольник.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью FKL.
Решение
а) Найдём положение точки P . Эта точка пересечения плоскости FKL и ребра AB, лежащего в плоскости ABCD.
Плоскость ABCD параллельна плоскости A_1B_1C_1D_1, в которой лежит отрезок KF. Плоскость FKL пересекает параллельные плоскости ABCD и A_1B_1C_1D_1 по параллельным прямым, отсюда KF parallel LP. Прямоугольные треугольники KD_1F и LBP равны по катету и острому углу D_1F=LB=4 и angle D_1FK=angle BLP как острые с соответственно параллельными сторонами).
Чтобы доказать, что четырёхугольник FKLP — прямоугольник, найдём длины его сторон и диагонали.
PF= LK = sqrt = sqrt = sqrt = 9sqrt 2. Противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, значит, это параллелограмм. Проведём A_1A_2 parallel LF, тогда LF= A_1A_2 = sqrt = sqrt = PK. Диагонали параллелограмма равны, следовательно, FKLP — прямоугольник.
б) Пусть Q и R — точки пересечения прямой KF и прямых B_1C_1 и A_1B_1. Проведём прямые RL и QP , они пересекут рёбра CC_1 и AA_1 в точках M и N соответственно. Тогда RC_1=KC_1=CL, поэтому можно доказать, что равны треугольники RC_1M и MCL. Прямая RL , а значит, и плоскость FKL пересекают ребро CC_1 в его середине — точке M . Аналогично плоскость FKL пересекает ребро AA_1 в его середине —точке N .
В диагональном сечении CC_1A_1A, которое является прямоугольником, отрезок MN — средняя линия. В прямоугольнике MCAN противоположные стороны равны: MN=CA=7sqrt 2.
Сечение FKMLPN состоит из двух равных трапеций MKFN и MLPN , причём
мы доказали, что LK perp KF и LK perp LP. Высота каждой из этих трапеций равна frac2=frac2.
S_<text>= 2S_= 2cdot frac2cdot frac2= (4sqrt 2+7sqrt 2)cdot frac2= 99.
🎦 Видео
Задание 14. Площадь сечения и расстояние от точки до плоскостиСкачать
Задание 14. Площадь сечения и расстояние от точки до плоскостиСкачать
ЕГЭ по математике 2014. Решение задачи C2 (смотреть в HD)Скачать
С2. Тренировочный вариант 32Скачать
Нахождение площади сечения кубаСкачать
Площадь сечения. ЕГЭ по математике, Задание С2Скачать
3 минуты на задание С2 по математике (bezbotvy)Скачать
ЕГЭ Задание 14 Правильная пирамида Площадь сеченияСкачать
ЕГЭ математикa задание C2 Расстояние точка прямая 8Скачать
Решаем вместе 12 задание ЕГЭ (правописание окончаний глаголов и суффиксов причастий)Скачать
Видео урок №9 (задание С2).mp4Скачать
ЕГЭ 2014 математика. Решение C2.Скачать
ЕГЭ по математике 03.06.2013. Задача С2.Скачать
