боковая площадь конуса вывод формулы (7 видео)

Содержание

Площадь боковой поверхности конуса
Вывод формулы площади конуса. Пример решения задачи
Конус с круглым основанием
Развертка фигуры
Вычисление площади поверхности фигуры
Задача на вычисление площади конуса
Площадь поверхности конуса
🎬 Видео

Видео:62. Площадь поверхности конусаСкачать

Площадь боковой поверхности конуса

Теорема: Площадь боковой поверхности конуса равна произведению полуокружности его основания и образующей.

Доказательство.

Пусть имеется конус, радиус основания которого равен r, а образующая I (рисунок).

Развернем боковую поверхность конуса на плоскость, в результате получится сектор, радиус которого равен образующей I (рисунок ниже).

Найдем центральный угол ϕ этого сектора, приняв во внимание, что ему соответствует дуга окружности, равная длине окружности основания конуса, т. е. равна 2πr. Поскольку длина всей окружности, связанной с сектором, равна 2πl и этой длине соответствует полный угол, равный 360°, то

Теперь найдем площадь S сектора с радиусом I и углом ср:

Поскольку выражение πr представляет длину полуокружности основания конуса, можем утверждать, что площадь боковой поверхности конуса равна произведению полуокружности его основания и образующей.

Видео:11 класс, 17 урок, Площадь поверхности конусаСкачать

Вывод формулы площади конуса. Пример решения задачи

Изучение свойств пространственных фигур играет важную роль для решения практических задач. Наука, которая занимается фигурами в пространстве, называется стереометрией. В данной статье, с точки зрения стереометрии, рассмотрим конус и покажем, как находить площадь конуса.

Видео:ОТКУДА? Как найти площадь боковой поверхности конуса? Развёртка конуса | Математика с ДетекторомСкачать

Конус с круглым основанием

В общем случае конусом называется поверхность, построенная на некоторой плоской кривой, все точки которой соединены отрезками с одной точкой пространства. Последняя называется вершиной конуса.

Вам будет интересно: Пытка — это что такое. Значение и определение

Из приведенного определения понятно, что кривая может иметь произвольную форму, например параболическую, гиперболическую, эллиптическую и так далее. Тем не менее на практике и в задачах по геометрии встречается часто именно круглый конус. Он показан ниже на рисунке.

Здесь символом r обозначен радиус круга, находящегося в основании фигуры, h — это перпендикуляр к плоскости круга, который проведен из вершины фигуры. Он называется высотой. Величина s — это образующая конуса, или его генератриса.

Видно, что отрезки r, h и s образуют прямоугольный треугольник. Если его вращать вокруг катета h, то гипотенуза s опишет коническую поверхность, а катет r образует круглое основание фигуры. По этой причине конус считают фигурой вращения. Три названных линейных параметра связаны между собой равенством:

Отметим, что приведенное равенство справедливо только для круглого прямого конуса. Прямой фигура является только в том случае, если ее высота падает точно в центр круга основания. Если это условие не выполняется, то фигура называется наклонной. Разница между прямым и наклонным конусами показана ниже на рисунке.

Видео:№558. Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите α, еслиСкачать

Развертка фигуры

Изучение площади поверхности конуса удобно проводить, рассматривая его на плоскости. Такой способ представления поверхности фигур в пространстве называется их разверткой. Для конуса эту развертку можно получить следующим образом: необходимо взять фигуру, изготовленную, например, из бумаги. Затем, ножницами отрезать круглое основание по окружности. После этого вдоль генератрисы сделать разрез конической поверхности и развернуть ее на плоскость. Результатом этих несложных операций будет развертка конуса, показанная ниже на рисунке.

Как видно, поверхность конуса действительно можно представить на плоскости. Она состоит из двух следующих частей:

круг радиусом r, представляющий основание фигуры;
круговой сектор радиусом g, являющийся конической поверхностью.

Формула площади конуса предполагает нахождение площадей обеих развернутых поверхностей.

Видео:Конус. 11 класс.Скачать

Вычисление площади поверхности фигуры

Разделим поставленную задачу на два этапа. Сначала найдем площадь основания конуса, затем площадь конической поверхности.

Первую часть задачи решить просто. Поскольку дан радиус r, то для вычисления площади основания достаточно вспомнить соответствующее выражение для площади круга. Запишем его:

Если радиус не известен, тогда сначала следует его найти, пользуясь формулой связи между ним, высотой и генератрисой.

Вторая часть задачи по нахождению площади конуса несколько сложнее. Заметим, что круговой сектор построен на радиусе g генератрисы и ограничен дугой, длина которой равна длине окружности круга. Этот факт позволяет записать пропорцию и найти угол рассматриваемого сектора. Обозначим его греческой буквой φ. Этот угол будет равен:

2 × pi => 2 × pi × g;

Зная центральный угол φ кругового сектора, можно с помощью соответствующей пропорции найти его площадь. Обозначим ее символом Sb. Она будет равна:

Sb = pi × g2 × φ / (2 × pi) = pi × r × g

То есть площадь конической поверхности соответствует произведению образующей g, радиуса основания r и числа Пи.

Зная, чему равны площади обеих рассмотренных поверхностей, можно записать конечную формулу площади конуса:

S = So + Sb = pi × r2 + pi × r × g = pi × r × (r + g)

Записанное выражение предполагает для вычисления S знание двух линейных параметров конуса. Если g или r неизвестны, то их можно найти через высоту h.

Видео:Усеченный конус. 11 класс.Скачать

Задача на вычисление площади конуса

Известно, что высота круглого прямого конуса равна его диаметру. Необходимо вычислить площадь фигуры, зная, что площадь ее основания составляет 50 см2.

Зная площадь круга, можно найти радиус фигуры. Имеем:

Теперь найдем генератрису g через h и r. Согласно условию, высота h фигуры равна двум радиусам r, тогда:

g = √5 × r = √(5 × So / pi)

Найденные формулы для g и r следует подставить в выражение для всей площади конуса. Получаем:

S = So + pi × √(So / pi) × √(5 × So / pi) = So × (1 + √5)

В полученное выражение подставляем площадь основания So и записываем ответ: S ≈ 161,8 см2.

Видео:🌟 Откройте мир конусов: исследуем площадь их поверхности!Скачать

Площадь поверхности конуса

Площадь поверхности конуса (или просто поверхность конуса) равна сумме площадей основания и боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: S = πRl, где R — радиус основания конуса, а l — образующая конуса.

Так как площадь основания конуса равна πR 2 (как площадь круга), то площадь полной поверхности конуса будет равна: πR 2 + πRl = πR (R + l ).

Получение формулы площади боковой поверхности конуса можно пояснить такими рассуждениями. Пусть на чертеже изображена развёртка боковой поверхности конуса. Разделим дугу АВ на возможно большее число равных частей и все точки деления соединим с центром дуги, а соседние — друг с другом хордами.

Получим ряд равных треугольников. Площадь каждого треугольника равна ah /₂ , где а — длина основания треугольника, a h — его высота.

Сумма площадей всех треугольников составит: ah /₂ • n = anh /₂ , где n — число треугольников.

При большом числе делений сумма площадей треугольников становится весьма близкой к площади развёртки, т. е. площади боковой поверхности конуса. Сумма оснований треугольников, т. е. an, становится весьма близкой к длине дуги АВ, т. е. к длине окружности основания конуса. Высота каждого треугольника становится весьма близкой к радиусу дуги, т. е. к образующей конуса.

Пренебрегая незначительными различиями в размерах этих величин, получаем формулу площади боковой поверхности конуса (S):

S = Cl /₂, где С — длина окружности основания конуса, l — образующая конуса.

Зная, что С = 2πR, где R — радиус окружности основания конуса, получаем: S = πRl.

Примечание. В формуле S = Cl /₂ поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённого рассуждения мы могли бы это равенство считать приближённым. Но в старших классах средней школы доказывается, что равенство

S = Cl /₂ точное, а не приближённое.

Теорема. Боковая поверхность конуса равна произведению длины окружности основания на половину образующей.

Впишем в конус (рис.) какую-нибудь правильную пирамиду и обозначим буквами р и l числа, выражающие длины периметра основания и апофемы этой пирамиды.

Тогда боковая поверхность её выразится произведением 1 /₂ р • l .

Предположим теперь, что число сторон вписанного в основание многоугольника неограниченно возрастает. Тогда периметр р будет стремиться к пределу, принимаемому за длину С окружности основания, а апофема l будет иметь пределом образующую конуса (так как из ΔSAK следует, что SA — SK 1 /₂ р• l, будет стремиться к пределу 1 /₂С• L. Этот предел и принимается за величину боковой поверхности конуса. Обозначив боковую поверхность конуса буквой S, можем написать:

Следствия.
1) Так как С = 2πR, то боковая поверхность конуса выразится формулой:

2) Полную поверхность конуса получим, если боковую поверхность сложим с площадью основания; поэтому, обозначая полную поверхность через Т, будем иметь:

Теорема. Боковая поверхность усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

Впишем в усечённый конус (рис.) какую-нибудь правильную усечённую пирамиду и обозначим буквами р, р₁ и l числа, выражающие в одинаковых линейных единицах длины периметров нижнего и верхнего оснований и апофемы этой пирамиды.

Тогда боковая поверхность вписанной пирамиды равна 1 /₂ (р + р₁) • l

При неограниченном возрастании числа боковых граней вписанной пирамиды периметры р и р₁ стремятся к пределам, принимаемым за длины С и С₁ окружностей оснований, а апофема l имеет пределом образующую L усечённого конуса. Следовательно, величина боковой поверхности вписанной пирамиды стремится при этом к пределу, равному (С + С₁) L. Этот предел и принимается за величину боковой поверхности усечённого конуса. Обозначив боковую поверхность усечённого конуса буквой S, будем иметь:

Следствия.
1) Если R и R₁ означают радиусы окружностей нижнего и верхнего оснований, то боковая поверхность усечённого конуса будет:

2) Если в трапеции OO₁А₁А (рис.), от вращения которой получается усечённый конус, проведём среднюю линию ВС, то получим:

т. е. боковая поверхность усечённого конуса равна произведению длины окружности среднего сечения на образующую.

3) Полная поверхность Т усечённого конуса выразится так: